אינפי 1/ערך מוחלט ואי שיוויונים

הגדרה

באופן אינטואיטיבי, הערך המוחלט של מספר ממשי הוא המרחק שלו מ-[math]\displaystyle{ 0 }[/math]. לדוגמא: [math]\displaystyle{ |7|=|-7|=7 }[/math]
ההגדרה המדוייקת של הערך המוחלט היא: \begin{displaymjx}|x|=\begin{cases}x & x\geq 0 \\ -x & x<0\end{cases}=\sqrt{x^2}\end{displaymjx}

הערה

[math]\displaystyle{ \\ }[/math]

1. [math]\displaystyle{ \forall x : |x|=|-x| }[/math]
2. [math]\displaystyle{ \forall x : |x|\geq 0 }[/math]
3. [math]\displaystyle{ x=0 \Leftrightarrow |x|=0 }[/math]
4. [math]\displaystyle{ \forall x,y: |x\cdot y| = |x|\cdot |y| }[/math]
5. [math]\displaystyle{ \forall x: x\leq |x| }[/math]

הערה

המרחק בין [math]\displaystyle{ x }[/math] ל-[math]\displaystyle{ y }[/math] הוא [math]\displaystyle{ |x-y| }[/math]. נשים לב שזה כמובן כמו המרחק בין [math]\displaystyle{ y }[/math] ל-[math]\displaystyle{ x }[/math], שלפי ההגדרה הזו הוא [math]\displaystyle{ |y-x| }[/math].

משפט אי שיוויון המשולש

\begin{displaymjx}\forall x,y: |x+y|\leq |x|+|y| , ||x|-|y||\leq |x-y|\end{displaymjx}

הערה

[math]\displaystyle{ \\ }[/math]

1. [math]\displaystyle{ x\leq y \Leftrightarrow -x\geq -y }[/math]
2. נניח [math]\displaystyle{ 0\leq x,y }[/math] אזי [math]\displaystyle{ x\leq y }[/math] אם ורק אם [math]\displaystyle{ x^2\leq y^2 }[/math]
3. נניח [math]\displaystyle{ 0< x,y }[/math] אזי [math]\displaystyle{ x\leq y }[/math] אם ורק אם [math]\displaystyle{ \frac{1}{x} \geq \frac{1}{y} }[/math]

הערה

נניח [math]\displaystyle{ L\geq 0 }[/math] אזי

1. [math]\displaystyle{ |x|\leq L \Leftrightarrow -L<x<L }[/math]
2. [math]\displaystyle{ |x|\geq L \Leftrightarrow x\geq L \text{ or } x\leq -L }[/math]