אינפי 1/קיבוץ איברים בטור

אנחנו רגילים מחיי היום יום שחוק הקיבוץ עובד לחיבור: [math]\displaystyle{ (a+b)+c=a+(b+c) }[/math] . האם זה ככה בטורים?

נסתכל על \begin{displaymjx}1-1+1-1+1-1+\cdots=(1-1)+(1-1)+(1-1)+\cdots=0+0+0+\cdots = 0\end{displaymjx} אפשר גם להגיד ש- \begin{displaymjx}1-1+1-1+1-1+1-\cdots=1-(1-1)-(1-1)-(1-1)-\cdots=1-0-0-0-\cdots=1\end{displaymjx} לסיכום, אי אפשר באופן כללי, אבל מתי כן?

משפט

אם טור מתכנס, אפשר להשתמש בחוק הקיבוץ. יותר פורמלית, אם נגדיר [math]\displaystyle{ n_k }[/math] סדרה מונוטונית עולה של טבעיים אז הטור [math]\displaystyle{ (a_1+a_2+\cdots+a_{n_1})+(a_{n_1+1}+\cdots a_{n_2})+\cdots = \sum_{k=1}^\infty (\sum_{p=n_{k-1}+1}^{n_k} a_p) }[/math] מתכנס לאותו מספר כמו הטור המקורי.

הוכחה.

לשם ההוכחה נסמן את הסס"ח של הטור המקורי בתור [math]\displaystyle{ A_n }[/math] והסס"ח של הטור "החדש" בתור [math]\displaystyle{ \tilde{A_n} }[/math]. סדרת הסכומים החלקיים במקרה הזה תהיה פשוט \begin{displaymjx}\tilde{A_m} = \sum_{p=1}^{n_m} a_p = A_{n_m}\end{displaymjx} וכיוון ש- [math]\displaystyle{ A_{n_m} \to S }[/math] בתור תת סדרה של [math]\displaystyle{ A_n }[/math] שמתכנסת אז גם [math]\displaystyle{ A_m \to S }[/math] .

∎

תרגיל בית: יהי הטור [math]\displaystyle{ \sum a_n }[/math] ונתון ש- [math]\displaystyle{ a_n\to 0 }[/math] וגם ש- [math]\displaystyle{ \exists C : \forall k : |n_{k+1} -n_k | <C }[/math] אז אם הסס"ח[math]\displaystyle{ \tilde{A_n} }[/math] מתכנסת אז גם [math]\displaystyle{ A_n }[/math] מתכנסת. בעצם התרגיל הוא על טור שאיבריו שואפים ל-0 והקיבוץ לא "רחב כרצוננו" אז אם הטור החדש מתכנס גם הטור המקורי.