אינפי 1/תנאי קושי לקיום גבול של פונקציה

משפט תנאי קושי לקיום גבול של פונקציה

הגבול [math]\displaystyle{ \displaystyle{\lim_{x\to a}} f(x) }[/math] קיים אם ורק אם \begin{displaymjx}\forall \varepsilon>0 \exists \delta>0 \forall_{x',x''} : \left ( 0<|x'-a|,|x''-a|<\delta \Rightarrow |f(x')-f(x'')|<\varepsilon \right )\end{displaymjx}

הוכחה.

יהי אפסילון גדול מ-[math]\displaystyle{ 0 }[/math], אזי \begin{displaymjx}\exists \delta>0 \forall x : |x-a|<\delta \Leftarrow |f(x)-L|<\frac{\varepsilon}{2}\end{displaymjx} ניקח את אותו דלתא ונראה כי אם [math]\displaystyle{ |x'-a|,|x''-a|<\delta }[/math] אז \begin{displaymjx}|f(x')-f(x'')|=|f(x')-a + a-f(x'')|\leq |f(x')-a|+|a-f(x'')|<\frac{\varepsilon}{2}+\frac{\varepsilon}{2}=\varepsilon\end{displaymjx}

נבדוק שקיים גבול לפי היינה. תהי [math]\displaystyle{ x_n\to a }[/math] כך ש- [math]\displaystyle{ x_n\neq a }[/math] , ונוכיח ש- [math]\displaystyle{ f(x_n) }[/math] סדרת קושי. יהי אפסילון גדול מ-[math]\displaystyle{ 0 }[/math] אז \begin{displaymjx}\exists \delta \forall x',x'' : 0<|x'-a|,|x''-a|<\delta \Rightarrow |f(x')-f(x'')|<\varepsilon\end{displaymjx} אבל משום ש- [math]\displaystyle{ x_n\to a }[/math] אז קיים [math]\displaystyle{ N }[/math] כך ש- [math]\displaystyle{ \forall n>N : |x_n-a|<\delta }[/math] ולכן בפרט \begin{displaymjx}\exists_N \forall n>m>N : |f(x_n)-f(x_m)|<\varepsilon\end{displaymjx} מכאן שזו סדרת קושי ולכן מתכנסת לגבול [math]\displaystyle{ L }[/math] .
אבל עדיין יש להראות ש-[math]\displaystyle{ f(x_n) }[/math] תתכנס תמיד לאותו מספר גם אם ניקח סדרות שונות.
נניח [math]\displaystyle{ y_n\to a, y_n\neq a , f(y_n)\to l }[/math] ונוכיח ש- [math]\displaystyle{ l=L }[/math] .
נניח בשלילה ש- [math]\displaystyle{ l\neq L }[/math] , אזי אם ניקח [math]\displaystyle{ \varepsilon=\frac{|L-l|}{3} }[/math] נראה שנגיע לסתירה עם הנתון, משום שמהגדרת הגבול קיים איבר שממנו והלאה [math]\displaystyle{ |f(x_n)-L|<\varepsilon }[/math] ו- [math]\displaystyle{ |f(y_n)-l|<\varepsilon }[/math] ואז לא יכול להיות ש- [math]\displaystyle{ |f(x_n)-f(y_n)|<\varepsilon }[/math] ומכאן הסתירה

∎