אינפי 1 20474

טיפים וטריקים

סדרות מונוטוניות

עבור סדרה מונוטונית(עולה או יורדת)

סדרה עולה

אם הסדרה חסומה מלעיל במקרה של סדרה עולה אז היא מתכנסת ל-sup. אחרת שואפות לאינסוף.

סדרה יורדת

אם הסדרה חסומה מלרע במקרה של סדרה יורדת אז היא מתכנסת ל-inf. אחרת שואפות למינוס אינסוף

משפטים לבחינה סמסטר א' 2015

יחידה 1

טענה 1.43

( אי שוויו ברנולי )-עמ' 53 ,הבהרה: ניתן לסלק את NX^2 מאחר וזה הצד הקטן באי שיוויון ולכן מספר חיובי לא ישנה משהו(כי להוריד מספר חיובי רק מקטין עוד יותר והופך את האי שיוויון לעוד יותר נכון).

טענה 1.47

עמ' 56 , הבהרה: מחלקים את ההוכחה ל2 שלבים,מקס' ומינ'(הוכחה זהה לכל אחד), עושים אינדוקציה וההוכחה היא שיש קבוצה בעלת N איברים עם מקס',פשוט וקל להוכיח על N+1 איברים

יחידה 2

משפט 2.12

עמ' 95 , הבהרה: אתה מניח בשלילה שהם שונים ואז על פי הגדרת הגבול לוקח את הN המקסימלי בין שתי הגבולות ומשם מתקיים אי שוויון המשלוש: 

|L1-L2|<=|L1-E|+|E-L2|<E+E=2E < |L1- L2|

משפט 2.16

עמ' 98 , הבהרה: לוקחים את הגדרת הגבול ורושמים, רושמים אחר כך AN-L+L באי שיוויון המשולש ומציבים בצד הימני את הגדרת הגבול, מגדירים M מקס' של כל האיברים והערך המוחלט של L ומוסיפים לM את 1, לפי אי שיוויון המשולש הסדרה תמיד קטנה מM ולכן חסומה.

משפט 2.22

עמ' 102 , הבהרה : נתון לנו כי קיים M שמקיים |bn| < M בנוסף לכך נתון לנו לכל e>0 קיים N טבעי כך שלכל n>N מתקיים |an| < e/M מכאן נובע כי לכל n > N מתקיים: |an * bn | = |an| * |bn| < e/M * M = e

למה 2.26 - עמ' 104 :תשובה עמ' 239 , הבהרה: נקרא לגבול של הסדרה L, הגבול שונה מ0 לפי הנתון, נגדיר את אפסילון כערך המוחלט של L נרשום את הגדרת הגבול ונציב את אפסילון, יתקיים שהסדרה שונה מ0 מאחר ואם היא שווה ל0 זה יסתור את הגדרת הגבול.

משפט 2.32 - עמ' 111 , הבהרה: נתון לנו שBN הוא בין או שווה ל2 סדרות אחרות, נגדיר את 2 הגבולות של הסדרות של AN וBN כL ולאחר מכן נרשום את הגדרת הגבול של כל אחת מהן בנפרד (נזכור לבודד את AN מהערך המוחלט ולדאוג ל2 הצדדים של השוויון משום שזהו ערך מוחלט),נגדיר N כמקס' שך 2 הN, נרשום את הצד השמאלי(AN קטן מ..) ואז מימינו שBN גדול שווה לAN לפי הנתון ואז את הצד הימני של CN, לסיום נוציא את AN וBN וקיבלנו הגדרת גבול זהה לשלהם ולכן BN עם גבול זהה).

משפט 2.43 (ה') - עמ' 120 סעיף ה' - פתרון עמ' 245 ,הבהרה: נגדיר ש AN קטן מ1 חלקי אפסילון, לכן 1 חלקי AN הוא בין אפסילון ל0(ובוודאי בערך מוחלט) לכן הגבול הינו 0. הערה: האי שיוויון שינה כיוון מאחר ועשינו 1 חלקי האי שיוויון המקורי מה שמחליף את כיוונו).

טענה 2.47 - עמ' 125 ,הבהרה: נפריד בין AN לR לאחר מכן נעשה אינדוקציה לכל האיברים ונגלה שכל איבר קטן שווה מA1 בחזק N פחות 1 לכן Aמ קטן שווה מA1 כפולה R בחזקת N פחות 1 וכמובן שגדול מ0, בהשאפה לאינסוף זה שווה 0 מאחר וR בין 1 ל0 ולכן AN ישאף ל0 גם...

משפט 2.51 - עמ' 128 , הבהרה: נחלק ל3 חלקים: חלק 1: נוכיח עבור L=0 , אם נקבע עבור AN אפסילון חלקי 2.. נרשום את נוסחת סדרת הממוצעים החשבונים ונפריד את החלקים בין הקטע שהאיברים קטנים מאפסילון חלקי 2(עד N1) ומN1 עד הסוף. נזכור שn קטןשווה תמיד מהאינדקס שקטן שווה תמיד מN1+1 ולכן נציב את CN באי שיוויון המשולש בצורה המחולקת שהגדרנו קודם ואז נוכל להגיד שהסכום מN1 ועד סופו קטנים מכמות האיברים שיש מN1 עד הסוף כפול הערך המקס' שלהם(אפסילון חלקי 2) נקבל שCN קטנה מהסכום של האיברים עד N1 חלקי n ועוד אפסילון חלקי 2. כעת נסתכל על הסכום חלקי n ונוכל להגיד כי הוא שואף ל0 באינסוף ולכן נוכל גם להגדיר אותו כקטן מאפסילון חלקי 2... נציב את זה באי שיוויון המשולש ממקודם לגבי BN ונקבל שBN קטן מאפסילון. משל! חלק 2: נמציא סדרה AN* הסדרה הזאת שווה לAN-L ולכן שואפת ל0 מאחר וAN שואפת לL נוציא את AN מהסדרה ונבדוק למה היא שואפת, נעביר את L אגף ונקבל שAN תשאף לL . משל. חלק 3: נקח M חיובי כך שמאיבר N1 מתקיים שAN גדול מ2M . נרשום את נוסחאת סדרת הממוצעים החשבונים BN ונקיים אי שיוויון לפיה הסכום מהאיבר הN1 עד הסוף גדול מההפרש שלהם כפול 2M (מאחר וכולם בהכרח גדול מ2M זה יתקיים). אם נשאיף את הצד הימני לאינסוף נקבל 2M לכן ניתן להגיד שהצד הימני בהכרח גדול מM ולכן אם נציב זאת באי השיוויון ממקודם נקבל שBN גדול מM

יחידה 3

טענה 3.10 - עמ' 146-147 , הבהרה: נסמן חסם עליון של A וB כSA וSB , ברור לנו כי SA גדול שווה A וכי SB גדול שווה SB לכן אם נחבר נקבל שA+B קטן שווה SA+SB ולכן הוא חסם עליון של הקבוצה , כעת נוכיח שהוא החסם העליון הקטן ביותר. לצורך כך נרשום כי A גדול מSA פחות אפסילון חלקי 2, אותו הדבר בנוגע לB, אם נחבר את 2 האי שיוויונים נקבל שA+B גדול מחיבור SA+SB פחות אפסילון ולכן הוכחנו את הטענה.

משפט 3.16 - עמ' 151 , הבהרה:נסמן את L כSUPA (וכמובן שL הוא הגבול של A ). אנו יודעים שהסדרה גדולה מהגבול פחות אפסילון מN מסויים ושהסדרה קטנה או שווה לL (נרשום זאת באי שיוויון דו כיווני). ולכן היא כמובן גם קטנה מL ביחד עם אפסילון ולכן הוכחנו את הטענה...(אותו הדבר גם לכיוון ההפוך).

משפט 3.17 - עמ' 152 - פתרון עמ' 264 , הבהרה : L אינו חסם מלעיל של הקבוצה כי אם היה חסם אז AN היה קטן שווה לK והסדרה הייתה חסומה. לכן קיים איבר N שעבורו AN גדול מL ולכן לכל n שגדול מN מתקיים שAn גדול מAN גדול מL כנדרש מהגדרת של שאיפה לאינסוף.

משפט 3.22 ( הלמה של קנטור ) - עמ' 162

משפט 3.30 - עמ' 175

משפט 3.32 ( בולצאנו-ויירשטראס ) - עמ' 178

משפט 3.36 - עמ' 181

למה 3.37 - עמ' 183

יחידה 4

משפט 4.30 - עמ' 66

משפט 4.39 - עמ' 76

יחידה 5

משפט 5.14 - עמ' 112

משפט 5.15 - עמ' 113

משפט 5.29 - עמ' 128

משפט 5.30 - עמ' 132

משפט 5.35 ( המשפט הראשו של ויירשטראס ) - עמ' 138

משפט 5.37 ( המשפט השני של ויירשטראס ) - עמ' 141

משפט 5.48 - עמ' 155

משפט 5.49 - עמ' 157

יחידה 6

טענה 6.16 - עמ' 181

יחידה 7

משפט 7.9 - עמ' 25

יחידה 8

משפט 8.4 ( משפט פרמה ) - עמ' 90

משפט ( 8.5 משפט רול ) - עמ' 94

משפט ( 8.6 משפט הער�ך הממוצע ) - עמ' 96

משפט 8.10 ( משפט דארבו ) - עמ' 104

משפט 8.12 - עמ' 108

משפט 8.14 ( כלל לופיטל ) - עמ' 110