אינפי 2 לתיכוניסטים תש"ע - שאלות ותשובות - ארכיון 1

תרגיל 2 א בתרגיל 1

ארז, האי שוויון לא נכון. צריך להפוך אותו לאי שוויון "חלש", או להפוך את הקטע מסגור לפתוח.

תשובה

נכון, זה צריך להיות הקטע הפתוח. רעיון התרגיל כמובן הוא אותו דבר...

האם מותר להשתמש בזה שאם הנגזרת חיובית אז הפונקציה עולה?

זו לא הכוונה.. תשתמשו במה שלמדנו בשיעור.

אוקיי, תהנה

שאלה

בתרגיל 1ג זה לא בהכרח נכון אם 0=(0)f... לדוג' הפונ Y=0 הנגזרת שלה זה y'=0 ולא מוגדרת חלוקה...

תשובה

נכון. תוסיפו את הנתון [math]\displaystyle{ \forall x \in (0,1) : f(x)\neq 0 }[/math].

שאלה - 1/א'

'הוכח שלכל פולינום ממעלה n יש לכל היותר n שורשים שונים' : אפשר כיוון להוכחה? מפני שאפשר להניח שיש פולינום עם יותר מ-n שורשים שונים, ואז יש לו הצגה מהצורה:[math]\displaystyle{ (x-x_1)^{r_1}...(x-x_{n+1})^{r_{n+1}} }[/math], וכשפותחים את הסוגריים מקבלים פולינום ממעלה n+1...

תחשוב על משפט רול.

שאלה

בשאלה 3e (בתרגילי לופיטל), האם יש צורך להשתמש בזהויות טריגונומטריות "לא שכיחות" כלשהן? כי הדרכים הסטנדרטיות נראות לא מועילות במיוחד - כבר גזרתי לבצעתי את כלל לופיטל 3 פעמים, והגעתי לביטוי שכבר אי אפשר לפשט (כשלא צמצמתי), וכאשר כן צמצמתי הגעתי לביטוי שאי אפשר להמשיך איתו (המונה שואף לגבול שאינו אפס, המכנה שואף לאפס).

תשובה

אין צורך להשתמש בדברים לא שכיחים. ולא ראיתי שיש שם כותרת "תרגילי לופיטל".

שאלה

יש לי פונקצייה ששואפת ל-0 בערך כלשהו, ופונקצייה שחסומה. האם אני יכול להגיד שגם מכפלת הפונקציות הללו שואפת ל-0 באותו ערך?

תשובה

כן. מכיוון שהתכונה הזו קיימת עבור סדרות, בעזרת הגדרה הגבול לפי היינה קל להוכיח אותה עבור פונקציות.

שאלה

נניח שיש לי פונקצייה, ואני מפשט אותה בדרכים שונות מבלי באמת 'לשנות' אותה (צמצום, שימוש בזהויות טריג', וכ'ו), כאשר תחום ההגדרה משתנה, ובנק' a יש גבול ימני אבל מצד שמאל ל-a היא לא מוגדרת. האם מותר לי לומר שגם בפונקצייה המקורית, אם כך, אין גבול ב-a?

תשובה

תאלץ להיות יותר ספציפי. אבל אם שינית את תחום ההגדרה ואין יותר גבול מצד אחד בעקבות זה, למה שלא יהיה גבול במקור?

לדוגמא, אם תיקח e בחזקת ln של פונקציה, אוטומטית כל פעם שהפונקציה f שלילית הפונקציה החדשה לא מוגדרת. זה אומר שבהכרח אין לf גבול בנקודות בהן היא שלילית?

צודק. פשוט הגעתי לפונקצייה: [math]\displaystyle{ \sqrt{(sin(x))(1+cos(x))} }[/math], שאין לה גבול שמאלי ב-0, ובתרגיל המקורי היה עליי למצוא את הגבול ב-0 (אם קיים).

לא בטוח איך הגעת לזה, אבל הוצאת שורש שקולה להפעלת ln ויוצרת את אותה בעייה שתיארתי למעלה. יכול להיות שיש לך טעות חישוב פשוט?

כן, יש לי טעות חישוב, תודה :) . אבל רגע - אחרי פישוט קבלתי: [math]\displaystyle{ \sqrt{1+cos(x)} }[/math], כאשר יש גבול בנק', אבל כשבדקתי בתוכנה אם יש גבול בנק' ראיתי שיש גבולות שמאלי וימני ששונים זה מזה. זה ממש מוזר...

טעות חישוב נוספת, ואני אודה אם לא תירשום אותה פה אחרי שתגלה אותה כי זה כבר ממש יתן את התשובה...

איפה טעות החישוב? בפישוט הביטוי, או בחישוב הגבולות החד צדדיים?

תחשוב לבד, תציב קצת עם מחשבון

לאיזה שאלה זה קשור?

זה לא ברור?? תקרא את שאלות התרגיל..

תרגיל 1 סעיף ב'

יש אפשרות לרמז כלשהו?

תשובה

באיזה משפט השתמשת בשני הסעיפים האחרים באותה שאלה?

השתמשתי ברול אבל זה לא עזר לי לפתור את השאלה הזאת.

אז תנסה שוב.. זה לא מאד מסובך.

שאלה

נתקלתי בבעיה בסעיף c בשאלה 3: מצד אחד יוצא לי שהגבול הוא אפס, אבל אחרי שאני עושה לופיטל, רק לופיטל אחד, יוצא לי שהגבול הוא 0.5 בדקתי כמה פעמים ולא מצאתי איפה טעיתי... אשמח לעזרה, תודה :)

תשובה

לא יודע, יכולות להיות לך הרבה טעיות. מאיזה צד זה יוצא אפס?

איך אחרי לופיטל אחד אתה כבר מגיע לתשובה? הרי יש לך למעלה ולמטה 0 עדיין.

יש לזכור שאפס כפול אינסוף זה לא אפס בהכרח... (אולי זה מה שיצא לך)

שאלה

לתומר, אני נמצא במשלחת של בית הספר לגרמניה בין התאריכים 16.3-23.3 בתאריכים אלה יש שני תרגילים שצריך להגיש (אחד ב-16.3 ואחד ב23.3). את התרגיל הראשון אוכל להגיש (על ידי מסירה לחבר לפני כן) אך את התרגיל של ה-23.3 לא אוכל להספיק להגיש (או אפילו לראות). האם אוכל לקבלת דחייה של מספר ימים ולשים לך את התרגיל בתאתומ

תומר תשובה - הודעת לי מבעוד מועד ואין בעייה ! שתהיה נסיעה טובה :)

שאלה

בשאלה 3 סעיף C, בדקתי במחשבון (ובציור הגרפי של maple) ולפיהן יוצא שהגבול הוא אפס, אך לאחר לופיטל שני, אני מקבל את הביטוי:

cos(x^2)/(2cos(x^2)+x^2*sin(x^2)) ביטוי זה שואף לחצי.

איפה הטעות? (האם הביטוי שהגעתי אליו לא נכון או שהגבול הוא חצי והמחשבונים טועים?)

תשובה

בטח לקחת מספר קטן מידי והוא התאפס. תציב במחשבון 0.01

שאלה

1) האם אני יכול להסתמך על זה שלמשוואה לינארית יש רק שורש אחד (כלומר לא ייתכן שיהיו לה שני מאפסים)?

אם הבנתי נכון איפה אתה נמצא, נראה לי שאתה יכול ללכת צעד אחד קדימה (ממשוואה לינארית לגזירה הבאה), ולהגיע לביטוי מפורש קצת יותר...

אוקי, תודה

שאלה לארז

היי ארז

קוראים לי עמית וייס ואני טס לפולין מהתעריך 15.3. עד ה- 28.3 ולכן לא אהיה פה כדי להגיש את שני התרגילים והייתי רוצה לבקש הערכה כדי שאוכל להגיד את שני תרגילים אלה אחרי שאחזור לארץ. האם זה אפשרי?

תשובה

אפשרי... תהנה

שאלה

בקשר לגבול ההוא עם חצי או 0, הבנתי את הטעות, תודה בכל מקרה :)

עכשיו, בשאלה 1 א - את האמת, אין לי כיוון אפילו.

לעומת זאת, בשאלה בסעיף ב' הצלחתי להוכיח שיש פיתרון יחיד או שאין פיתרון בכלל. איך אני שולל את זה שאין פיתרון בכלל??

תודה.

הגבול בפלוס אינסוף הוא פלוס אינסוף ובמינוס אינסוף הגבול הוא מינוס אינסוף.

הפונקציה רציפה ולכן לפי משפט ערך הביניים יש נקודה שבה היא מתאפסת.

אפשר גם בלי גבולות - נניח שאין פתרון, אז הפונקצייה לא מתאפסת. אתה יודע שיש נק' בה היא חיובית, ויש נק' בה היא שלילית, לכן לפי משפט ערך הביניים - בגלל הרציפות שלה - היא חייבת להתאפס, מתישהו בין שתי הנק' האלה.

תשובות יפות. בסעיף א', בדיוק כמו באחרים משתמשים ברול...

לא הבנתי כל כך את השימוש ברול... לא הבנתי איך מוכיחים שיש פתרון יחיד ולאו דווקא כמה....

תשובה

פתרון יפורסם לאחר הגשת התרגילים (יום שלישי)

תרגיל 2

ארז, לא עשינו חקירת פונקציות בתרגול, ולא כולנו כ"כ טובים בזה מהתיכון..

---

הערה חשובה לגבי תרגיל מספר 2 תומר - מכיוון שלא עברנו על חקירת פונקציות בתירגולים השבוע ,ביום ראשון , נדחה את פיתרון שאלה מספר 1 בתרגיל מספר 2 לתרגיל הבא . נא לא להתייחס לשאלה זו  ! תרגיל חדש מתוקן יפורסם הלילה / עד מחר , יום שני . תהיה בו תוספת קטנה . נא התעדכנו ( בהתאם :) ) . תומר .

שאלה

איך אפשר לגרנז' ב2 [math]\displaystyle{ formula }[/math]a והרי tanx לא רציפה בקטע הסגור אפס וחצי פיי.

צודק. אז מה כן אפשר?

תחשוב קצת, לא תמיד צריך ללכת ישר עם הראש בקיר

תרגיל 3 בתרגיל החדש

נניח שפיתחתי את fו g פיתוח טיילור עד הנגזרת ה- (n-1)-ית, וברצוני להביע את השארית בצורת לגרנז' בעזרת הנגזרת ה-n-ית. מנין אני יכול לדעת שבשתי השאריות מדובר באותו c שבין 0 ל-x? נראה שזהו המפתח לפתרון התרגיל..

תשובה

כפי שתארת את הבעייה, לא ניתן לדעת כי c לא מובטח בשום דרך. אבל אם תפתור את הבעייה בצורה טיפה שונה תצליח.

האם עלי להציג את השארית בצורה שונה?

תחשוב...

שאלה 4 בתרגיל

מותר לי לפתח כל ביטוי בנפרד שיש בפונקציות לאיזה סדר שאני רוצה או שכל הביטויים חייבים להיות מפותחים לאותו סדר?

תשובה

מותר לפתח איך שאתה רוצה בעזרת טיילור כל עוד אתה מגיע לתשובה בסוף...

בקשה

היי ארז, בתרגול האחרון הוכחת שאם נתונה פונקציה f(x) גזירה n פעמים בנקודה x0 ומסמנים [math]\displaystyle{ Rn(x)=f(x)-Pn(x) }[/math] אז מתקיים ש [math]\displaystyle{ lim(x-\gt x0)(Rn(x)/(x-x0)^n)=0 }[/math]. שתי שאלות בקשר לזה:

1. אמרת שהמשפט הזה לא דורש את כל התנאים של פיתוח טיילור. למה? אלו כל התנאים לפיתוח טיילור.

2. לא הצלחת להסביר לנו למה המונה שואף לאפס לכן אפשר להפעיל לופיטל. האם תוכל להסביר?

תשובה

1. במשפט טיילור דורשים גזירות בסביבה של הנקודה ולא בנקודה בלבד.

2. כן. אני אסביר עבור השלב הראשון, השאר דיי דומים. בשלב הראשון

[math]\displaystyle{ R_n(x)= f(x) - P_n(x) = f(x) - f(x_0) - f'(x_0)(x-x_0)-... }[/math]

כאשר לוקחים גבול [math]\displaystyle{ x\rightarrow x_0 }[/math] אזי [math]\displaystyle{ f(x)\rightarrow f(x_0) }[/math] בגלל שאם הפונקציה גזירה בנקודה היא רציפה בנקודה. שאר הגורמים נכפלים בחזקה כלשהי של [math]\displaystyle{ (x-x_0) }[/math] ולכן גם שואפים לאפס...

בקשר ל1- יכול להיות שאתה מדבר על משפט טיילור עם שארית בצורת לגרנז'? שאר "משפטי טיילור" שלמדנו לא דורשים גזירות בסביבת הנקודה.

בקשר ל2- תודה, הבנתי :)

המשך לשאלה.. הבנתי למה כשגוזרים בפעם הראשונה אז המונה שואף ל0, אבל לא ממש הבנתי למה בגזירות הבאות הוא גם שואף ל0.

שאלה בקשר לפיתוח טיילור סביב אינסוף

מותר לי לפתח את טור טיילור סביב x0=infinity? למשל שאלה 4 ב' בתרגיל 2...

תשובה

איך תפתח סביב אינסוף? כמה שווה [math]\displaystyle{ (x-\infty)^n }[/math]? תנסה לחשוב על דרך אחרת

שאלות

היי ארז.. יש לי שתי שאלות. קודם כל, אם יש לי o(x^3)-o(x^3) זה נשאר O(x^3)?

ודבר שני.. לגבי השארית בפיתוח טיילור. המשתנה C נמצא בין x0 לx. השאלה שלי היא מה X מסמל בעצם? נניח ואני מציבה בפיתוח טיילור (בסביבה x0=0, כלומר פיתוח מקלוריין..) x=5 ואז x=4. האם הC הוא אותו C? או שהם שונים, והראשון נמצא בין 0 ל5 והשני בין 0 ל4?..

תשובה

לגבי השאלה עם הo זה נכון, וגם קל להוכחה בעזרת אריתמטיקה של גבולות 0-0=0.

2. התיאור האחרון הוא הנכון. אם פיתחת סביב 0 והצבת x=4 אז יש עבורו ספציפית [math]\displaystyle{ c_x }[/math] בין אפס לבין 4, ועבור x=5 יש [math]\displaystyle{ c_x }[/math] שבין אפס לבין 5. אם היה c אחד שמתאים לכולם זה היה אומר שבעצם הפונקציה שלנו הינה פולינום, אבל לא כל פונקציה היא פולינום. כל פונקציה היא פולינום עד כדי שארית מסויימת...

אם כך, יש לי שאלה בקשר לשאלה 1.. פיתחתי את הפונקציה בסביבה של x0=0 בנק' c, והצבתי פעם את (c+d)/2 ופעם את d. אבל, בשארית, הc1 שמתקבל הוא שונה כל פעם.. נניח c1 וc2. ואז, איך אני יכולה בעצם להתייחס לf(c1) וf(c2)? כלומר, מי יותר גדול?..

קודם כל, מאיפה הבאת את אפס? הנתונים הם בקטע (a,b) שיכול לא לכלול את אפס. דבר שני, הנתונים הם שהפונקציה גזירה בכל הקטע... כלומר ניתן לפתח בכל נקודה. תחשבי על זה...

סליחה, לא התכוונתי ל0, התכוונתי לc. ולא ממש הבנתי את המשפט האחרון.. איך זה קשור לf(c1) וf(c2)? (הכוונה היא לנגזרת השניה, כשעושים שני גרשים זה כנראה מבצע איזו פקודה)

את לא יכולה לדעת מי מבין הנגזרות השניות גדול יותר, זו לא הדרך לפתרון. מה אפשר להשיג מהעובדה שהנגזרת השנייה תמיד חיובית?

בקשה

שיינר אתה יכול בבקשה לקבץ את כל השאלות עבור כל תרגיל בדף נפרד ולשים רק את הקישור לדף? ובעמוד עצמו של השאלות ותשובות להשאיר רק את השאלות עבור התרגיל של אותו שבוע? זה מבולגן וממש מסבך את הקריאה..תודה!

אוקיי, החל מהתרגיל הבא.

שאלה

בפתרונות שפורסמו לתרגיל 1 - האם אין טעות בהוכחה ש-tg(x) > x , מפני שמשפט לגראנז' נכון כאשר הפונקצייה רציפה בקטע הסגור וגזירה בקטע הפתוח, אבל מה הנגזרת של tg(x) כשx שואף לחצי פאי?

תשובה

tg תמיד רציפה בקטע הסגור, [math]\displaystyle{ [0,x] }[/math] וגזירה בקטע הפתוח [math]\displaystyle{ (0,x) }[/math]. מה זה משנה לאן הנגזרת שואפת? האם [math]\displaystyle{ 1/x }[/math] לא מוגדר לכל x>0?

"כשx שואף לחצי פאי" זו לא נקודה, זה גבול. כל הנקודות בדרך לגבול הזה מוגדרות ולכן גם המשוואה נכונה רק בקטע הפתוח (לא כולל חצי פאי שם זה לא מוגדר)

שאלה

השארית בפיתוח טיילור יכולה להיות שלילית, או שהיא תמיד חיובית? תודה.

תשובה

בטח יכולה להיות שלילית.. אם הנגזרת השנייה שלילית או שזו חזקה אי זוגית ולוקחים נקודה קטנה מהנקודה שפיתחנו סביבה (למשל)

שאלה

אפשר עזרה ב-4.ב', בחישוב הגבול? ניסיתי לפתח את הביטוי הימני ולמצוא דרך 'להשוות' באיזו דרך ל-x, אח"כ ניסיתי גם להוציא גורם משותף x ולחשב גבול של הביטוי, או למצוא איזשהי דרך להשתמש ב-o(f(x)) שהראתם, אבל אני ממש לא מצליח! יש לי ביטויים למשהו כמו 8 פונקציות לפי טיילור, בחלק מהן הצלחתי למצוא איבר כללי ולהציג כסכום, אבל ברובן לא. איך אני צריך להסתכל על התרגיל הזה?

נ.ב. , אשמח גם לרמז בשאלה 1. תודה רבה :)

• בשאלה 4 ב' - האם מותר לי לפתח לפי טיילור את הפונקצייה [math]\displaystyle{ ln(1+x) }[/math], ואז להציב במקום x את [math]\displaystyle{ \frac{1}{x} }[/math] ?

• בשאלה 5 - האם מותר לי להסתמך על חישובים שעשיתי בתרגילים אחרים?

שאלה

בנוגע לשאלה 1: צריך לעשות אותה בסוף או לא, כי תומר כתב פה שלא צריך, אבל שיהיה תיקון, אז אני לא יודע אם זאת שאלה 1 "מתוקנת" או לא? תשובה התרגיל כמו שמופיע הוא זה אותו יש לפתור . תומר.

אוקי, תודה