אינפי 2 לתיכוניסטים תש"ע - שאלות ותשובות - ארכיון 17

סיכום

מצורף סיכום ממש טוב של כל המשפטים שנלמדו בקורס... תהנו!! (קרדיט ליותם ברקוביץ'): סיכום

ארז - אתה יכול בבקשה לשים אותו בדף הראשי? תודה...

שאלה

איך מוכיחים התכנסות של האינטגרל מ-0 עד 1 של [math]\displaystyle{ ln^a(x) }[/math] עבור a חיובי?

(לא תומר/ארז)עבור a חיובי? זה נשמע קצת מוזר, כי ln(x) הוא שלילי בתחום הזה, ואם למשל נבחר a=0.5 כל הפונק' לא תהיה מוגדרת בתחום הזה..

עבור a>=1, אפשר להשוות את הערך המוחלט בחזקת אלפא עם הערך המוחלט עצמו (קטן שווה ממנו), ואז בגלל ש|lnx| מתכנס ב[0,1] (לפי אינטגרציה בחלקים פשוטה), גם שלנו מתכנס

שאלה

תהא [math]\displaystyle{ f_n }[/math] סדרת פונקציות רציפות על [0,1] שמקיימות [math]\displaystyle{ f_n(0)=0 }[/math] לכל n, ותהי f רציפה על [0,1] המקיימת את אותו התנאי. אם האינטגרל מ-0 ל-x של [math]\displaystyle{ f_n }[/math] מתכנס לאינטגרל מ-0 ל-x של f במ"ש ב-[0,1], הוכח או הפרך : [math]\displaystyle{ f_n }[/math] מתכנס ל-f בקטע [0,1].

(לא ארז/תומר) הפרכה, תיקח fn(x)= x^n ו f=0 כל התנאים מתקיימים אבל fn לא מתכנסת לf בקטע.

יפה, תודה רבה!

שאלה

הרגע גיליתי משהו שזעזע אותי - למה [math]\displaystyle{ \frac{e^{4n}}{n!} \rightarrow 0 }[/math] ?

(לא ארז/תומר) תנסה את מבחן דלאמבר לסדרות. מקבלים ביטוי ששואף לאפס, בפרט קטן מאחד החל מ-N0 מסי\ויים, ומכאן שהסדרה אכן שואפת לאפס!

למה זה מפתיע? למעלה יש לך e^4 (קבוע) בחזקת n ולמטה יש n!. שניהם זה מכפלה של n איברים. כאשר n גדול הרבה יותר מe^4 הביטוי למטה גדול יותר.

שאלה

אם יש לי פונקציה שהיא מנה/מכפלה של שתי פונקציות שאני יודע לפתח לטור חזקות. האם אפשר לפתח כל אחת מהם בנפרד ואז להכפיל/לחלק את האיבר הכללי? מה קורה לx^n במקרה זה? הכוונה שלי לפונקציות כמו: f=ln(1+x)/(1+x) w את הלאן ואת 1+x אני יודע לפתח לטור חזקות, האם במקרה זה האיבר הan של f בטור שווה לחילוק האיברים an בשני הפיתוחים?

תשובה

לא. חלוקה וכפל של טורים אינה חלוקה וכפל איבר-איבר

המשך השאלה

אז איך כן מפתחים את הפונקציה הזו לטור חזקות? הגעתי למצב שאני צריך לפתח את ln^2(1+x) לטור חזקות, אבל כמו שאמרת, מכפלה של טורים זה לא מכפלה איבר איבר..

תומר - יש בתורת טורי החזקות משפטים שמתייחסים למכפלת טורים , שאותם לא למדתם (זה לא שונה ממכפלת פולינומים - רק שכאן יש אינסוף מקדמים ויש להתייחס לשאלת ההתכנסות של הטור שמתקבל ...) פונקציה כזו היא "קלאסית " ליישום אחד המשפטים . מעבר לזה - אפשר לנסות למצוא נוסחא שנותנת נגזרת מסדר n - זה יוצא ארוך , אבל אם מציבים אפס (טור מקלוריין ) אפשר לנסות להשתמש בה . אבל שוב - הדרך לפתח טורים ספציפיים כאלו - ( שלא ניתן למשל למצוא איזה טור הנדסי אינסופי כמו שראינו בכיתה) היא בעזרת משפטי המכפלה .

אז דבר כזה לא יכול להופיע במבחן?

תומר - רק מבחן יש לכם בראש ? (יש מונדיאל :) - אפשר להניח שדבר כזה לא ישאלו אתכם - ומה שיכולים לשאול זה משהו שבזמן סביר ניתן לפיתוח( או על ידי זיהוי אפשרות להגעה לסידרה הנדסית כמו שעשינו בשיעור היום ...)

תזכורת לארז

היי ארז, בשיעור החזרה היום ביקשת ממני להזכיר לך לבדוק את ההוכחה שלכם לתרגיל האחרון בקובץ החזרה של תומר. בקשר להתייחסות לגבול העליון/התחתון כאל גבול ממש, והטענה שמשהו מתקיים לכל n גדול מ-N. תודה.

תשובה

מה שרשום שם הוא כך: נניח והגבול העליון הוא L. לכל x>L קיים n_0 כך שלכל n>n_0 הסדרה קטנה מx. זה נכון, כי L הוא הגבול העליון. אם תמיד היה איבר בסדרה שגדול מx אז היה גבול חלקי גדול או שווה לx שגדול ממש מL בסתירה.

סבבה, תודה :]

שאלה

אם אני רוצה לפתח לטור חזקות את הפונקציה cos(x)/x . מותר לי לפתח את cos(x) לטור חזקות ואז רק לחלק את x^n ב-x ולקבל x^n-1 והשאר לא משתנה, וזה הפיתוח של cos(x)/x לטור חזקות?

תשובה

(לא ארז/תומר) כן, מותר

המשך

זה לא עזר לי, אני מנסה לפתח לטור חזקות (שאלה ממבחן ) סביב 0 את הפונקציה f(x)= integral from 0 to x of 1-cos(t) / t^2 dt ניסיתי לעשות גזירה איבר איבר , אבל אין לי מושג איך להתקדם עם הביטוי שבתוך האינטגרל.

דבר נוסף- אני רוצה לדוגמא לפתח את הפונקציה f(x) =x^-2 . אני יכול להשתמש בסכום של סדרה הנדסית אבל אז אני מקבל (1-x^2) בחזקת n, שזה לא ממש סימפטי. יש דרך לעשות את זה יפה יותר?

תשובה

לגבי השאלה הראשונה - אתה גוזר את הפונקציה ומקבל [math]\displaystyle{ \frac{1-cosx}{x^2} }[/math] שזה שווה [math]\displaystyle{ \frac{1-\sum_{n=0}^{\infty}\frac{(-1)^n x^{2n}}{(2n)!}}{x^2}= \frac{-\sum_{n=1}^{\infty}\frac{(-1)^n x^{2n}}{(2n)!}}{x^2}= -\sum_{n=1}^{\infty}\frac{(-1)^n x^{2(n-1)}}{(2n)!} }[/math]

(עד כדי טעות)

עכשיו צריך לעשות אינטגרציה איבר איבר לקבל את התוצאה הרצוייה

שאלה

והשאלה השנייה שלי?

שאלה

האם יש אפשרות שמישהו יעלה את מה שעשו בתרגיל חזרה היום בבקשה?

שאלה

מישהו יודע מה המבנה של המבחן, אורך?

תומר - אני יודע ... (שאלת מי יודע :) ... יופי, אתה יכול לפרט?

לאאאאאאאאאאאאאאאאאאאאא! :) די כבר עם הדברים השוליים האלו ! מה משנה מה מבנה המבחן ! התעסקו בלהתכונן ולא בחישובים טקטיים של מספר שאלות ... אתם צריכים להבין שאנחנו לא מורידים חומר לפי המבנה,כי איננו יודעים לפי מספר השאלות מה יהיה במבחן...... זה רק עוזר להגיע רגועים יותר,ובכל מוסד כלשהו נהוג לכל הפחות לפרסם את מבנה המבחן.... אם אתם לא מוכנים לפרסם היום,אז לכל הפחות בבקשה תפרסמו אותו ביום שלישי בלילה

תומר - שאלות על מבנה המבחן הפנו לרוני או מיכאל ... אני לא נכנס לפרטים שהם פשוט זניחים . אף אחד לא רוצה להכשיל או לתת מבחן קשה בכוונה - והמבנה של המבחן לא יגיד לכם כלום . עד כאן .

שאלה

צריך להפריך: אם (fn(x) היא סדרה מונטונית (הסדרה עצמה מונוטונית, לא הפונק', כלומר מונוטונית לפי n) של פונקציות רציפות המתכנסות נקודתית לפונק' f(x) בקטע I. אזי f(x) מונוטונית. יש למישהו דוגמה להפרכה?

[לא תומר/ארז] אולי הסדרה x^2 + 1/n המתכנסת נקודתית לx^2?

איך זה מפריך? פונק' הגבול היא x^2, מונוטונית.

קח את I להיות [1-,1] וזה לא

נכון, כל סדרה קבועה של פונקציה שאינה מונוטונית גם תקיים את זה (בדוגמא הזו פשוט מזיזים את כל הפונקציה למטה.)

שאלונת.

נניח והגדרנו את G(x) להיות האינטגרל של f מ0 ועד x.

האם זה מוגדר היטב עבור x<0? כלומר, זה שווה למינוס האינטגרל כאשר מחליפים את הגבולות, אבל האם בפונק' זו, ובכלל כשאני מגדירה פונק' קדומה לפונקציה אחרת (במידה והיא אינטגרבילית למשל בכל קטע סגור), מותר לי להכניס X שקטן מ0?

תומר - בעצם , אם לוקחים איזושהיא נקודה קבועה c בקטע , ומגדירים אינטגרל מסויים של פונקציה רציפה מ c כגבול תחתון , ל - x כגבול עליון - נקבל , שהפונקציה הזו היא קדומה של הפונקציה באיטגרנד ! (הסתכלו על ההוכחה ותראו שאפשר לעשות התאמה כזו ...)

אז לא ממש הבנתי.. כן מותר להציב x<0?

תומר - מותר להציב כל x - בין היתר קטן מ c

השאלה היא אם f אינטגרבילית גם בשליליים. אם כן, האינטגרל מאפס עד x שלילי הוא פשוט מינוס האינטגרל מx עד 0 (כמו שאמרת) ולכן זה בוודאי מוגדר היטב.

תומר - שאלת וענית בעצמך ! אני הוספתי שאפשר למצוא קדומה לפונקציה רציפה כאשר האינטגרל מהמשפט היסודי של החוודא מוגדר גם כאשר ה-x כגבול עליון , בעצם קטן יותר מהגבול התחתון ! כמובן כאשר הגבול התחתון זו נקודה פנימית בקטע כך שיש סביבה שלה שמוכלת כולה בקטע !

שאלה

לא צריך לדעת לשנן משפטים לפי נוסח מדויק, נכון? לא יבקשו מאיתנו 'לצטט במדויק את המשפט היסודי של החדו"א...'

תומר - לגבי הוכחת המשפטים עצמם - לזה כבר התייחסו המרצים . אבל נוסח משפט - ברור שחייבים לדעת ! אחרת איך תדעו האם בכלל אתם יכולים להשתמש במשפט ?

ואם אנחנו יודעים באופן כללי? צריך לדעת ממש באופן מדויק כל משפט ומשפט?..

תומר - לא יודע מה זה "כללי" - או שיודעים מה טענת המשפט או שלא יודעים . לדוגמא - יש הבדל אם באיזה משפט פונקציה צריכה להיות רציפה , או שצריך לדרוש גזירה שזה תנאי חזק יותר . או למשל בתנאי דיני להתכנסות במידה שווה בקטע - הקטע צריך להיות סגור או שלא חייבים שיהיה סגור ... למשל . אם לא נזכור נוסח של משפט איך נדע שמותר להשתמש בו ???

שאלה

איך מראים שהטור מ-n=1 עד אינסוף של sin(nx) מתבדר?

תומר - האם האיבר הכללי בטור , עבור x קבוע (וכמובן שונה מכפולות של פאי ...) שואף לאפס ? זו שאלה שמזכירה אינפי 1 . האם הגבול של הסידרה sinnx שואף לאפס ? וביתר כלליות - האם בכלל קיים גבול לסידרה זו ?

חישבו על זה קצת - ואם אראה שבעייתי - אצרף פיתרון . נסו להשתמש בנוסחאות טריגונומטריות :

sin(n+1)x-sin(n-1)x=2cos(nx)*sinx (הפרש סינוסים ...) , ובסינוס זווית כפולה : sin2nx=2sinnx*cosnx ...

לא ממש הבנתי לאיזה נושא השאלה עצמה קשורה.. טורי חזקות? טורים של פונק'?.. בטורים של פונק' דיברנו על התכנסות והתכנסות במ"ש, כשאתם מדברים על התבדרות, אתם מתכוונים שהוא לא מתכנס נקודתית פשוט?

תומר - אני מדבר על כך שלכל x קבוע יש לך הרי טור מספרים . ואתם יודעים שתנאי הכרחי לטור להתכנס הוא שהאיבר הכללי שלו שואף לאפס . אכן כאן מדובר על התבדרות (נקודתית...)

עוד תרגיל

תהי סדרת פונקציות מונוטוניות מתכנסת. הוכח/הפרך: פונקצית הגבול הינה מונוטונית

תשובה

(לא ארז/תומר)-נראה לי שזה נכון. תניח בשלילה שפונקצית הגבול לא מונוטונית. נניח ב.ה.כ שמדברים על מונוטונית יורדת. ואז קיימת נקודה b>a כך ש: (f(b)>f(a.כעת נתבונן באפסילון שקטן מ-f(b)-f(a))/2), וע"פ הגדרת הגבול תקבל שקיים N כך שלכל n>N קיימת נקודה x1 כך ש-fn(x1) קרובה ל-f(b) עד כדי אפסילון וכן אותו הדבר לגבי x2 כך שfn(x2) קרובה ל-f(a) עד כדי אפסילון. מכיוון שאין חיתוך בין תחומי האפסילון אזי בהכרח (fn(x1)>f(nx2 לכל n>N, בעוד שמכיוון שx1 שואף לb וx2 שואף לa אזי x1>x2 בסתירה למונוטוניות (היורדת) של fn.כל מה שנותר להוכיח זה שאם fn מונוטוניות יורדות אזי f לא יכולה להיות מונוטונית עולה שזה פשוט.

ארז - קודם כל השאלה היא שלי. שנית, לא נתון שהפונקציות כולן מונוטוניות באותו כיוון. חלק עולות חלק יורדות. ההוכחה מאד קרובה בכל מקרה, אבל אפשר היה לוותר על השימוש באפסילון.

אז פשוט אפשר להתסכל על כל פונקציה n בנפרד וזה מוכיח לא?

מה זה פונקציה n? ומה זה יוכיח?

זאת אומרת על כל פונקציה fn(x) בנפרד...ואם לא אז איך מוכיחים?

גם אני רוצה לנסות -- יהיו שתי נקודות x>y. אם החל מn מסוים הסדרה כולה לא יורדת (בה"כ) אז גם בגבולות נקבל f(x)>=f(y. אם אין n כזה אז קיימת פונקצית גבול חלקי לעולות עבורה g(x)>=g(y ופונקצית גבול ליורדות שתקיים h(x)<=h(y. אך משום שההתכנסות היא לפונקציה יחידה נקבל f(x) = f(y (בין x וy במקרה הזה הפונקציה תהיה קבועה, שכן לכל z ביניהן סדרת הפונקציות תשנה מונוטוניות [אחרת תהיה סתירה במונוטוניות של פונקציה מהסדרה]) ובסה"כ נקבל שf מונוטונית

שאלה

תחום ההתכנסות במ"ש של טור חזקות הוא בדיוק תחום ההתכנסות שלו?

תומר - לחזור על נוסח המשפטים !!!

ארז - במילים אחרות - לא :)

תשובה

אם הוא מתכנס (אפילו בתנאי) בR הוא מתכנס במידה שווה בקטע הפתוח (R,-R) אם הוא מתכנס (אפילו בתנאי) בR וגם במינוס R אזי הוא מתכנס במידה שווה בקטע הפתוח (R,-R)

אם הוא מתבדר בR או מינוס R הוא לא מתכנס במידה שווה בקטע הפתוח (R,-R)

בכל מקרה לכל 0<R>r הוא מתכנס במידה שווה בקטע הסגור [r,r-]

אני לא חושב שזה נכון - בהרצאה למדנו שאם הטור מתכנס ב-x=R אז הטור מתכנס במ"ש ב-[R,0] , וכך גם עבור x=-R , אז בסה"כ מקבלים שתחום ההתכנסות במ"ש תמיד שווה לתחום ההתכנסות (אלא אם R=0 ואז יש רק התכנסות נקודתית)

ברור שאם הוא מתכנס בR אתה צודק, אבל מה אם הוא לא...?

ארז - אני חוזר על הקריאה של תומר - שאלות כאלה אינן לפורום אלא למחברת. זה לא שאלת הבנה, זה פשוט קריאת החומר.

שאלה

לא הבנתי משהו. כתוב לי במחברת שהטור פונקציות x^k מ1 עד אינסוף, בקטע (1,1-) פונ' הגבול שלו רציפה: x/1-x וגם כל x^k רציפות, אבל ההתכנסות אינה במ"ש. השאלה שלי היא למה? הרי הסכום הN של הטור, הוא מ1 עד N, וSn זה סכום סדרה אינסופית מתכנסת Sn=a1/1-q. ואז Sn-S=0 ואז זה בסדר. איפה הטעות שלי? עריכה: לא משנה. זה כי הנוסחא S=a1/1-q עובדת רק על סדרה הנדסית *אינסופית*...

שמח שענית לעצמך, בכל מקרה זו לא התכנסות במ"ש כי ככל שמתקרבים לאחד הטור מתקרב להיות הטור של הסדרה הקבוצה 1 ולכן הוא מתכנס לאט כרצוננו ולא במהירות אחידה עם שאר הקטע.