אינפי 2 לתיכוניסטים תש"ע - שאלות ותשובות - ארכיון 7

שאלה

בתרגיל 6, האם מותר להשתמש בעובדה שאם פונקצייה היא אי-שלילית, אז גם כל אינטגרל בכל קטע של הפונקצייה יהיה אי-שלילי?

תשובה

כן, אבל זה גם טיעון טריוויאלי. הרי האינטגרל הוא גבול סכומי רימן, וסכומי הרימן של פונקציה אי שלילית הינם אי שליליים, ולכן גם הגבול אי שלילי

שאלה

האם שאני עושה אינטגרל מסוים ומבצע הצבה t=x+something , אני מקבל אינטרגרל של t עם dt. אם אני משנה גבולות לגבולות מתאימים ל-t, האם אני יכול לכתוב את זה כמו אינטגרל שתלוי בx dx עם הגבולות החדשים (כמו שעשינו בתרגול), במקום לכתוב את זה כאינטגרל של t?

תשובה

באינטגרל המסוים שם המשתנה אינו חשוב. האינטגרל המסוים הינו מספר קבוע. האינטגרל הלא מסוים הוא פונציה קדומה במשתנה כלשהו. לכן באינטגרל הלא מסוים יש משמעות ליחס בין t לx שאלו המשתנים, ואי אפשר להחליף את השמות שלהם כרצוננו. אבל באינטגרל המסוים, יש לנו מספר קבוע ושם המשתנה אינו חשוב, כי ממילא הוא אינו יוצא מחוץ לאינטגרל.

שאלה בנוגע לפרסום התרגיל

שמתי לב שהתרגיל הזה והתרגיל הקודם פורסמו בימי שלישי ורביעי. אולי לקבוצה השנייה זה סבבה אבל למי שמגיש את התרגיל ביום ראשון כמוני יצטרך לעשות אותו שני ימים פחות... אז מי שבקבוצה א' יכול להגיש את התרגילים במועד של קבוצה ב' או שאצטרך להשלים עם רוע הגזרה (סליחה על הטון המוגזם הזה... זה קצת מבאס :$)?

תשובה

כרגע זה רוע הגזירה, נשתדל לפרסם את התרגיל יותר מוקדם בפעמים הבאות.

שאלה

אפשר להסתמך על כך שאי שיוויון ממש(!!) ברמת הפונקציה גורר אי שיוויון (ממש!) ברמת האינטגרל? או שזו בעצם המהות של שאלה 2 ואי אפשר להסתמך על זה..

תשובה

זו לא עובדה נכונה באופן כללי. איך אתה מגדיר אי שיוויון ממש בין פונקציות? נניח ויש פונקציה שבנקודה מסויימת שווה לאחד, ובשאר הנקודות היא אפס. האם היא גדולה ממש מהפונקציה שהיא זהותית אפס להגדרתך? האינטרגל עליה שווה לאפס ממש.

בתרגיל זה, יש להראות שאם הפונקציה רציפה, מספיק שהיא גדולה ממש מפונקציה אחרת בנקודה אחת, וגדולה שווה בשאר הנקודות אזי האינטגרל עליה גדול (זו מסקנה טריוויאלית מהתרגיל). ולכן כמובן יש להוכיח למה דווקא עבור פונקציה רציפה זה עובד, כי עבור פונקציות שאינן רציפות זה פשוט לא נכון (הדוגמא שנתתי).

לא הבהרתי את עצמי מספיק טוב - התכוונתי אי שיוויון ממש מ0. כלומר - אם f(x)>0 לכל X בקטע סגור כלשהו אז האינטגרל גם הוא גדול מ0 לכל X בתחום הסגור הנ"ל.

איך זה מתקשר לשאלה 2? ושוב, יש לך הוכחה לטענה כזו? (ההוכחה תהיה בעקבות משפט לבג, הפונקציה תהיה רציפה לפחות בנקודה אחת בקטע (למעשה הרבה יותר) ואז שם תוכל לחזור על ההוכחה של שאלה 2).

התכוונתי לשאלה 2 בתרגיל 6..

אני יודע, וחוזר על השאלה. ההפך משווה זהותית לאפס לא אומר שזה גדול ממש מאפס בכל נקודה. מציע שתקרא שוב את מה שכתבתי...

נראה לי שהוא התכוון שהוא מניח בשלילה שקיימת נקודה עבורה הפונקצייה חיובית ממש, ומנסה לפתח את הביטוי לרמת האינטגרל.

סבבה, ועבור נקודה אחת המשפט שהוא מנסה לומר נכון בלבד עבור פונקציה שרציפה בנקודה הזו, ואותו יש להוכיח.

הבנתי.. אז אפשר רמז לרעיון של ההוכחה?..

אוקיי, וצריך ממש להוכיח את המשפט שאי-שוויון ברמת הפונקציות (כשהן רציפות) גורר אי-שוויון ברמת האינטגרל, או שמותר להשתמש בו? לאיזה משפט התכוונת שצריך להוכיח?

צריך להוכיח את התרגיל כלשונו, ללא עזר במשפטים אחרים. שאר הדברים שאמרתי נובעים מהתרגיל. ולגבי רמז, תקרא את התשובה המקורית שלי עם הדוגמא הנגדית שאינה רציפה, ותנסה להבין מדוע ברציפה התרגיל נכון.

מונוטוניות

בשאלה 4 (בתרגיל מס' 6). צריך להוכיח באופן פורמלי שהפונקציה מונוטונית?

תשובה

אם רוצים לטעון שפונקציה מונוטונית צריך להוכיח את זה.

שאלה

בתרגיל 7 שאלה 7- התוצאה שאני מקבל יכולה להיות משהו שתלוי ב-x כפול f של משהו שתלוי ב-x? או צריך להיות ביטוי שתלוי רק ב-x בלי f?

תשובה

בוודאי תלוי בf...

תרגיל 7 שאלה 1א

האם להניח ש:[math]\displaystyle{ a-\alpha\lt b-\alpha }[/math] וכן [math]\displaystyle{ \alpha\gt 0 }[/math]

תשובה

לא, וגם אין צורך. הנוסחא הראשונה טריוויאלית לחלוטין, והשנייה מצמצמת את תנאיי השאלה.

תרגיל 7 שאלה 3.b זה לא טריוויאלי? אאי אפשר להגיד ככה: F גזירה על כל הממשיים ולכן רציפה שם. ולכן היא מוגדרת על כל הממשיים.ולכן, לכל מספר M ניקח את הקטע מאפס עד M+1, ואז העקומה תמיד תהיה ארוכה יותר ממנו... זה לא קשור בכלל לאינטגרלים... או שאני טועה...?

ולמה העקומה תהיה יותר גדולה מאורך הקטע? זה מה שצריך להוכיח, ואת זה כמובן עושים בעזרת האינטגרל שזה הדרך שלנו למדוד אורך.

שאלה

בשאלה 3 סעיף ב', לא חסרה ההנחה שהפונקציה גזירה ברציפות? וגם, אפשר לקבל בבקשה איזשהו רמזון לתרגיל 4?

תשובה

נכון, היא צריכה להיות גזירה ברציפות על מנת להשתמש בנוסחאת חישוב עקום (על מנת שהנגזרת תהיה אינטגרבילית..)

את תרגיל 4 לא עושים עם משפטים, אלא עם חישוב אפסילוני (בדיוק כמו ברמז שרשום בשאלה). זה מזכיר את הלך החשיבה שהיה צריך בשאלה 2 בתרגיל הקודם + עובדה קטנה על גבול של סדרות מאינפי 1 (בנוסף לרמז).

אפשר לקבל כיוון כללי? ממש קשה להבין את האופי של הסידרה הזאת. אפשר הסבר שייתן איזושהי אינטואיציה לגבי השוויון הזה?

כמו שאמרתי, אותו הלך מחשבה של שאלה 2 בתרגיל הקודם. שם בחרת נקודה אי שלילית ולקחת סביבת דלתא שלה.... מה תעשה פה?

לא הבנתי. מה זאת אומרת, מה אעשה פה? אני לא ממש מוצא קשר בין התרגילים..

מה היחס בין הנוסחא שרשומה עם הפונקציה f לבין אותה נוסחא עם הפונקציה הקבועה max(f)?

אני עדיין לא מבין את הכוונה שלך... מה המשמעות בכלל של הסידרה שאנחנו נדרשים להוכיח את הגבול שלה? יש לה איזושהי משמעות גיאומטרית?

אתה לא עונה על השאלות שלי. עזוב את משמעות הסדרה, תתרכז בלבנות אי שיוויונים מתאימים כמו ברמז. מה היחס בין אינגרל על f לבין אינטרגל על max(f)?

אי שוויון.

יופי, תרשום את אי השיוויון במדוייק ותראה איך הוא נותן לך כיוון אחד

תודה רבה. עוד שאלה בקשר לתרגיל:האם חייבים להשתמש בחישוב אפסילוני, או שאפשר להשתמש במשפט הסנדוויץ'?

לא חושב שתצליח בלי אפסילון בכיוון השני...

כלומר אני צריך להראות שלכל אפסילון קיימת סידרה (תלוית אפסילון) שחוסמת את הסידרה בתרגיל מלמטה, ושואפת למקסימום מינוס אפסילון?

נכון.

אפשר בבקשה כיוון לגבי איך בונים סידרה שתשאף למקסימום פחות אפסילון?

כמו שאמרתי, אותו הלך מחשבה של שאלה 2 בתרגיל הקודם. שם בחרת נקודה אי שלילית ולקחת סביבת דלתא שלה.... איזו נקודה תבחר פה?

אבל מה הקשר בין התרגיל הזה לבחירת נקודה? איזה נקודה צריך לבחור?

הנקודה בה f מקבלת את המקסימום כמובן... הרי זה הגבול שאתה מחפש.

אבל פה אני לא יכול לקחת סביבת דלתא של הנקודה, כי מדובר בסידרת פונקציות והדלתא אינה קבוע.

בשאלה נתונה f ספציפית. באיזה שלב אתה חושב שהיא מתחלפת?

תרגיל 7 שאלה 3 b

האם אפשר להניח שהפונקציה גזירה ברציפות על כל הממשיים?

תקרא שאלה אחת מעליך...

שאלה לתומר

תומר שלום,לי ולעוד 3 ילדים מכיתתי ביום שלישי יש בגרות חקר בפיסיקה... האם נוכל להגיש את השיעורים בראשון?וביום שני אנחנו לומדים בבי"ס עד מאוחר.. ניסינו להספיק אך לא הצלחנו!! תודה רבה, עידן עבודי

תומר - או קיי !

(תלמידה מהקבוצה) תהיה אפשרות לתת הארכה לתרגיל? אפילו כמה ימים..

שאלה לארז

שכחתי להגיש היום את תרגילי הבית. האם אפשר להגיש אותם ביום שלישי? אם כן כיצד ?

תשובה

תדאג שזה יגיע לתרגול של תומר

שאלה

בתרגיל 6 בשאלה 1- סעיף א'. האם נק' רציפות הכוונה נק' רציפות ממין ראשון בלבד, או שגם ייתכן ממין שני? תודה! (:

תשובה

רציפה פרט למספר סופי של נקודות. לא נתון מה קורה בנקודות האחרות

לא לזה התכוונתי. השאלה שלי היא: האם הנקודות אי רציפות, הן מסוג ראשון בלבד: מדרגות/חורים, או גם ממין שני - אסימפטוטות וכאלה.

אני אחזור בשנית לא נתון מה קורה בנקודות האחרות. בעברית: יכול להיות שם כל דבר.

THANKS ALOT MAN

שאלה

היי ארז, אתמול בתרגול כשחישבנו את האינטגרל של lnx בין 0 ל-1 בסוף היינו צריכים לחשב את הגבול של הפונקציה [math]\displaystyle{ -1-x*ln(x)+x }[/math] כאשר x שואף לאפס מימין. אתה כתבת שזה יוצא -1. איך חישבת את הגבול הזה?

תשובה

המינוס אחד שואף למינוס אחד אני מקווה שזה ברור :) האיקס שואף לאפס, אני מקווה שזה ברור גם כן...

נשאר להוכיח [math]\displaystyle{ \lim_{x\rightarrow 0^{+}} xlnx = \lim_{x\rightarrow 0^{+}} \frac{lnx}{\frac{1}{x}}= }[/math]

לפי לופיטל זה שווה

[math]\displaystyle{ \lim_{x\rightarrow 0^{+}} \frac{\frac{1}{x}}{-\frac{1}{x^2}}=\lim_{x\rightarrow 0^{+}} -x=0 }[/math]

תודה!

שאלה

באופן כללי, אם f אנטגרבילית בהכרח יש לה קדומה?

תשובה

לא, הדוגמא הקלאסית היא לקחת פונקציה קבועה ולהזיז לה נקודה או אינסוף נקודות נניח f:=1 כאשר x=1/n ואפס אחרת. זו פונקציה אינטגרבילית (עם אינטגרל 0) אבל אין לה קדומה.

אם f רציפה אזי בהכרח יש לה קדומה, כי היא אינטגרבילית והקדומה שלה היא [math]\displaystyle{ F(x)=\int_0^xf(x)dx }[/math]

thank u very mucho

תומר- תוספת - ראינו שאם לפונקציה יש קדומה כלומר הפונקציה היא נגזרת של איזושהיא פונקציה - אז חייבת להיות לה תכונת "ערך הביניים " ובנוסף לא יכולות להיות לה נקודות אי רציפות מסוג ראשון ! השתמשו באיפיונים חשובים אלו !

שאלה

כשאני מבצע הצבה, הפונקציה החדשה שאני מציב צריכה להיות גזירה ברציפות? בנוסף, מה עם ההופכית שלה, היא גם צריכה להיות גזירה ברציפות?

תשובה

צריך להבין מה ההצבה בדיוק. במקרה הקלאסי [math]\displaystyle{ \int f(g(x))g'(x)dx=\int f(u)du = F(g(x)) }[/math] כאשר הצבנו [math]\displaystyle{ u=g(x) }[/math] כל מה שצריך להתקיים הוא שg גזירה.

כאשר יש [math]\displaystyle{ \int f(x)dx }[/math] ורוצים להציב [math]\displaystyle{ y=g(x) }[/math] צריך שהפונקציה תהיה הפיכה וההופכית שלה גזירה על מנת שההצבה האמתית תהיה על האינטגרל

[math]\displaystyle{ \int f(g^{-1}(y)) (g^{-1})' dy }[/math]

נציב [math]\displaystyle{ x=g^{-1}(y) }[/math] על מנת לקבל [math]\displaystyle{ \int f(x)dx }[/math]

תודה

שאלה

בתרגיל 6 בשאלה 1 ג, האם ניתן להסיק שלכל קבוצה בת מניה A שנבחר, הפונקציה f(x) תהיה לא רציפה בנקודות הקבוצה A, ורציפה בשאר הנקודות בקטע?

תשובה

1.כמובן שאסור להשתמש במשפט לבג רק כי דחינו לכם את הגשת התרגיל.

2. אם אתה רוצה לומר דבר כזה בוודאי שאתה צריך להוכיח אותו (אבל לא תצליח להוכיח כי זה פשוט לא נכון - פונקציית דיריכליי)