אינפי 2 תיכוניסטים תש"ע - פיתרון שאלת אתגר על פונקציה מונוטונית
- רוצים להוכיח שפונקציה מונוטונית חייבת להיות רציפה לפחות בנקודה אחת.
- נסתכל על הקטע [a,b]. הפונקציה מוגדרת עליו ולכן [math]\displaystyle{ f(a),f(b) }[/math] הם המקסימום והמינימום של הפונקציה בקטע (זוהי פונקציה מונוטונית).
- לפי משפט פונקציה מונוטונית וחסומה בקטע אינטגרבילית בו.
- לפי משפט לבג לפונקציה אינטרגבילית יש לכל היותר קבוצה בת מנייה של נקודות אי רציפות.
- נניח בשלילה שהפונקציה לא רציפה באף נקודה, ולכן נקודות אי הרציפות שלה הן הקטע [a,b] שגדול ממידה אפס בסתירה.