אלגברה לינארית 1/הוכחות - דרגת שורות שווה דרגת עמודות

הוכחה שדרגת העמודות שווה לדרגת השורות

נזכור כי דרגת העמודות של מטריצה [math]\displaystyle{ A }[/math] היא מימד מרחב העמודות (המרחב הנפרש על ידי עמודות [math]\displaystyle{ A }[/math]).

ודרגת השורות של מטריצה [math]\displaystyle{ A }[/math] היא מימד מרחב השורות (המרחב הנפרש על ידי שורות [math]\displaystyle{ A }[/math]).

הוכחה לכך שדרגת העמודות של מטריצה שווה לדרגת השורות של מטריצה:

תהי [math]\displaystyle{ A \in \mathbb{F}^{m\times n} }[/math] מטריצה כלשהיא ונניח שדרגת העמודות שלה היא [math]\displaystyle{ k }[/math].

כלומר [math]\displaystyle{ dim{C(A)}=k }[/math].

ההוכחה מחולקת לכמה שלבים.

שלב א': למצוא מטריצות [math]\displaystyle{ D,R }[/math] כך שמספר העמודות ב [math]\displaystyle{ D }[/math] ומספר השורות ב [math]\displaystyle{ R }[/math] הם [math]\displaystyle{ k }[/math]. ומתקיים [math]\displaystyle{ A=DR }[/math].

יהיה [math]\displaystyle{ B=\{b_1,\ldots , b_k\}\subseteq \mathbb{F}^m }[/math] בסיס עבור [math]\displaystyle{ C(A) }[/math].

נסמן ב [math]\displaystyle{ D }[/math] את המטריצה שעמודותיה הם איברי [math]\displaystyle{ B }[/math].

כלומר

[math]\displaystyle{ D=\begin{bmatrix} |&|&&| \\ b_1 & b_2 & \ldots & b_k \\ |&|&&| \end{bmatrix}\in \mathbb{F}^{m\times k} }[/math]

נשים לב שבגלל ש [math]\displaystyle{ B }[/math] בסיס ל [math]\displaystyle{ C(A) }[/math] הוא פורש כל עמודה של [math]\displaystyle{ A }[/math].

כלומר לכל עמודה [math]\displaystyle{ C_i(A) }[/math] מתקיים ש [math]\displaystyle{ C_i(A)\in span\{b_1,\ldots, b_k\} }[/math].

נסמן [math]\displaystyle{ [C_i(A)]_B=\begin{bmatrix} \alpha_{1,i} \\ \alpha_{2,i} \\ \vdots \\ \alpha_{k,i} \end{bmatrix} }[/math]

כלומר [math]\displaystyle{ C_i(A) = \alpha_{1,i}b_1+\alpha_{2,i}b_2+\ldots+\alpha_{k,i}b_k }[/math]

כלומר [math]\displaystyle{ C_i(A)=\begin{bmatrix} |&|&&| \\ b_1 & b_2 & \ldots & b_k \\ |&|&&| \end{bmatrix} \begin{bmatrix} \alpha_{1,i} \\ \alpha_{2,i} \\ \vdots \\ \alpha_{k,i} \end{bmatrix} = D\begin{bmatrix} \alpha_{1,i} \\ \alpha_{2,i} \\ \vdots \\ \alpha_{k,i} \end{bmatrix} }[/math]

נגדיר מטריצה [math]\displaystyle{ R \in \mathbb{F}^{k \times n} }[/math] לפי [math]\displaystyle{ R_{i,j}=\alpha_{i,j} }[/math].

נשים לב ש הכפל [math]\displaystyle{ DR }[/math] מוגדר היות ומספר העמודות ב [math]\displaystyle{ D }[/math] ומספר השורות ב [math]\displaystyle{ R }[/math] הם [math]\displaystyle{ k }[/math].

נקבל ש[math]\displaystyle{ C_i(DR)=DC_i(R)=D\begin{bmatrix} \alpha_{1,i} \\ \alpha_{2,i} \\ \vdots \\ \alpha_{k,i} \end{bmatrix}=C_i(A) }[/math]

כלומר [math]\displaystyle{ DR=A }[/math].

סוף שלב א'.

שלב ב': לראות ש [math]\displaystyle{ A=DR }[/math] אומר שדרגת השורות של [math]\displaystyle{ A }[/math] קטנה מדרגת השורות של [math]\displaystyle{ R }[/math] ולהסיק מסקנות.

לפי כפל שורה שורה [math]\displaystyle{ R_i(A)=R_i(D)R=D_{i,1}R_1(R)+D_{i,2}R_2(R)+\ldots + D_{i,k}R_k(R) }[/math]

כלומר

[math]\displaystyle{ R_i(A) \in span\{R_1(R),R_2(R), \ldots , R_k(R)\} }[/math]

לכן [math]\displaystyle{ R(A) \subseteq R(R) }[/math]

ולכן [math]\displaystyle{ dimR(A) \leq dimR(R) \leq k = dimC(A) }[/math]

(מרחב השורות של המטריצה [math]\displaystyle{ R }[/math] לא יכול להיות יותר מ [math]\displaystyle{ k }[/math] כי יש ב [math]\displaystyle{ R }[/math] רק [math]\displaystyle{ k }[/math] שורות.)

זה מוכיח שלכל מטריצה [math]\displaystyle{ A }[/math] מתקיים ש [math]\displaystyle{ dimR(A) \leq dimC(A) }[/math].

סוף שלב ב'

שלב ג': סיום.

נשים לב ש [math]\displaystyle{ dimC(A) = dim R(A^t) \leq dimC(A^t) = dimR(A) }[/math]

בסה"כ קיבלנו [math]\displaystyle{ dimC(A) \leq dimR(A) }[/math] וגם [math]\displaystyle{ dimR(A) \leq dimC(A) }[/math] ולכן

[math]\displaystyle{ dimR(A)=dimC(A) }[/math] מש"ל.