אלגברה לינארית 2 - ארז שיינר

חומרי עזר

• מבחנים ובחנים עם פתרונות

סרטונים ותקצירי הרצאות

הפלייליסט של כל הסרטונים

פרק 1 - מכפלה פנימית ונורמה

מכפלה סקלרית

[math]\displaystyle{ v\cdot w = |v||u|\cos(\theta) }[/math]

מכפלה פנימית

יהי [math]\displaystyle{ V }[/math] מרחב וקטורי מעל [math]\displaystyle{ \mathbb{F}=\mathbb{R} }[/math] או [math]\displaystyle{ \mathbb{F}=\mathbb{C} }[/math]

מכפלה פנימית היא מכפלה [math]\displaystyle{ \langle \cdot, \cdot\rangle:V\times V\to \mathbb{F} }[/math] המקיימת את ארבע התכונות הבאות:

לכל [math]\displaystyle{ x,y\in V }[/math] ולכל [math]\displaystyle{ c\in\mathbb{F} }[/math] מתקיים כי:

• אדטיביות [math]\displaystyle{ \langle x+y,z\rangle = \langle x,z\rangle + \langle y,z\rangle }[/math]
• כפל בסקלר [math]\displaystyle{ \langle cx,y\rangle = c\langle x,y\rangle }[/math]
• הרמיטיות [math]\displaystyle{ \langle y,x\rangle = \overline{\langle x,y\rangle} }[/math]
• אי שליליות [math]\displaystyle{ \langle x,x\rangle \geq 0 }[/math] וכן [math]\displaystyle{ \langle x,x\rangle =0 }[/math] אם ורק אם [math]\displaystyle{ x=0 }[/math]

[math]\displaystyle{ \langle av_1 +bv_2 ,cw_1+dw_2\rangle = a\overline{c}\langle v_1,w_1\rangle + a\overline{d}\langle v_1,w_2\rangle+ b\overline{c}\langle v_2,w_1\rangle+b\overline{d}\langle v_2,w_2\rangle }[/math]

נורמה

יהי [math]\displaystyle{ V }[/math] מרחב וקטורי מעל [math]\displaystyle{ \mathbb{F}=\mathbb{R} }[/math] או [math]\displaystyle{ \mathbb{F}=\mathbb{C} }[/math]

נורמה היא פונקציה [math]\displaystyle{ ||\cdot||:V\to\mathbb{R} }[/math] המקיימת את שלושת התכונות הבאות.

לכל [math]\displaystyle{ x,y\in V }[/math] ולכל [math]\displaystyle{ c\in\mathbb{F} }[/math] מתקיים כי:

• אי שליליות [math]\displaystyle{ ||x|\geq 0 }[/math] וכן [math]\displaystyle{ ||x||=0 }[/math] אם ורק אם [math]\displaystyle{ x=0 }[/math]
• כפל בסקלר [math]\displaystyle{ ||cx|| = |c|\cdot ||x|| }[/math]
• אי שיוויון המשולש [math]\displaystyle{ ||x+y||\leq ||x||+||y|| }[/math]

נורמה מושרית

יהי [math]\displaystyle{ V }[/math] מרחב מכפלה פנימית מעל [math]\displaystyle{ \mathbb{F}=\mathbb{R} }[/math] או [math]\displaystyle{ \mathbb{F}=\mathbb{C} }[/math].

הנורמה המושרית מהמכפלה הפנימית היא הפונקציה [math]\displaystyle{ ||\cdot||:V\to\mathbb{R} }[/math] המוגדרת ע"י הנוסחא:

[math]\displaystyle{ ||v||=\sqrt{\langle v,v\rangle} }[/math]

שימו לב: הפונקציה מוגדרת היטב -

מתכונת האי-שליליות של המכפלה הפנימית ידוע כי [math]\displaystyle{ 0\leq \langle v,v\rangle\in\mathbb{R} }[/math] ולכן מותר להוציא שורש.

הנורמה המושרית היא אכן נורמה

נוכיח כי הנורמה המושרית היא אכן נורמה.

תכונת האי-שליליות של הנורמה מתקבלת בחינם, כי [math]\displaystyle{ ||v||=\sqrt{\langle v,v\rangle} \geq 0 }[/math] ממש לפי הגדרת פונקצית השורש. כמו כן, נקבל כי [math]\displaystyle{ ||v||=0 }[/math] אם ורק אם [math]\displaystyle{ \langle v,v\rangle=0 }[/math] אם ורק אם, לפי תכונת המכפלה הפנימית, [math]\displaystyle{ v=0_V }[/math]

כעת, יהי סקלר [math]\displaystyle{ c\in\mathbb{C} }[/math] אזי

[math]\displaystyle{ ||cv||=\sqrt{\langle cv,cv\rangle}=\sqrt{c\overline{c}\langle v,v\rangle}=\sqrt{|c|^2\langle v,v\rangle}=|c|\cdot \langle v,v\rangle=|c|\cdot ||v|| }[/math]

לבסוף, עלינו להוכיח את אי שיוויון המשולש, אך זה ידרוש קצת הכנה מקדימה.

צריך להוכיח כי:

[math]\displaystyle{ ||v+w||\leq ||v||+||w|| }[/math]

כיוון ששני הצדדים אי שליליים, אפשר להעלות בריבוע ולקבל אי שיוויון שקול:

[math]\displaystyle{ ||v+w||^2 \leq ||v||^2 +2||v||\cdot ||w||+||w||^2 }[/math]

נפתח את צד שמאל לפי ההגדרה של הנורמה:

[math]\displaystyle{ ||v+w||^2=\langle v+w,v+w \rangle = \langle v,v \rangle + \langle v, w\rangle + \langle w, v\rangle + \langle w,w \rangle = }[/math]

[math]\displaystyle{ =||v||^2 +\langle v, w\rangle + \overline{\langle v, w\rangle}+ ||w||^2 = ||v||^2 +2Re\left(\langle v, w\rangle\right) +||w||^2 }[/math]

כעת נחזור לאי השיוויון שצריך להוכיח, נצמצם את [math]\displaystyle{ ||v||^2+||w||^2 }[/math] משני האגפים ונחלק ב2, ונקבל את אי השיוויון השקול הבא:

[math]\displaystyle{ Re\left(\langle v, w\rangle\right)\leq ||v||\cdot ||w|| }[/math]

נעצור על מנת להוכיח אי שיוויון עזר:

מתכונת האי שליליות, אנו יודעים כי

[math]\displaystyle{ \langle v-w, v-w\rangle\geq 0 }[/math]

ובעזרת פיתוח דומה לעיל נקבל כי

[math]\displaystyle{ 0\leq \langle v-w,v-w \rangle = ||v||^2 -2Re\left(\langle v, w\rangle\right) +||w||^2 }[/math]

מכאן נובע כי

[math]\displaystyle{ Re\left(\langle v, w\rangle\right)\leq \frac{||v||^2+||w||^2}{2} }[/math]

כעת, נחזור להוכחת אי שיוויון המשולש. צ"ל כי [math]\displaystyle{ Re\left(\langle v, w\rangle\right)\leq ||v||\cdot ||w|| }[/math]

אם [math]\displaystyle{ v=0_V }[/math] או [math]\displaystyle{ w=0_V }[/math] התוצאה מיידית כי שני הצדדים שווים אפס.

אחרת, נציב את הוקטורים המנורמלים [math]\displaystyle{ \frac{v}{||v||} , \frac{w}{||w||} }[/math] באי שיוויון העזר ונקבל:

[math]\displaystyle{ Re\left(\langle \frac{v}{||v||}, \frac{w}{||w||}\rangle\right)\leq \frac{||\frac{v}{||v||}||^2+||\frac{w}{||w||}||^2}{2} }[/math]

ולכן

[math]\displaystyle{ Re\left(\frac{1}{||v||\cdot ||w||} \langle v, w\rangle\right)\leq \frac{1+1}{2} }[/math]

[math]\displaystyle{ \frac{1}{||v||\cdot ||w||} \cdot Re\left(\langle v, w\rangle\right)\leq \frac{1+1}{2} }[/math]

וסה"כ, קיבלנו את מה שצריך:

[math]\displaystyle{ Re\left(\langle v, w\rangle\right)\leq ||v||\cdot ||w|| }[/math]

אי שיוויון קושי-שוורץ

בהנתן מרחב מכפלה פנימית [math]\displaystyle{ V }[/math] יחד עם הנורמה המושרית, לכל [math]\displaystyle{ v,w\in V }[/math] מתקיים כי

[math]\displaystyle{ |\langle v,w\rangle | \leq ||v||\cdot ||w|| }[/math]

הוכחה

נציב את הוקטורים [math]\displaystyle{ v, \langle v,w \rangle w }[/math] באי השיוויון שקיבלנו בהוכחת אי שיוויון המשולש ונקבל:

[math]\displaystyle{ Re\left(\langle v, \langle v,w \rangle w\rangle\right)\leq ||v||\cdot ||\langle v,w \rangle w|| }[/math]

ולכן

[math]\displaystyle{ Re\left(\overline{\langle v,w \rangle}\langle v, w\rangle\right)\leq ||v||\cdot |\langle v,w \rangle|\cdot ||w|| }[/math]

כלומר

[math]\displaystyle{ |\langle v,w \rangle|^2 \leq |\langle v,w \rangle|\cdot ||v||\cdot||w|| }[/math]

כעת אם [math]\displaystyle{ \langle v,w \rangle=0 }[/math] אי שיוויון קושי-שוורץ מתקיים באופן מיידי, ואחרת מותר לחלק ב[math]\displaystyle{ |\langle v,w \rangle| }[/math] ולקבל את אי שיוויון קושי-שוורץ.

מכפלה פנימית מושרית

• האם כל נורמה היא נורמה מושרית?

• האם ייתכן שנורמה תהיה הנורמה המושרית של שתי מכפלות פנימיות שונות?

לתשובות ולהוכחות קראו את הערך מכפלה פנימית מושרית.

פרק 2 - המרחב הניצב

• משפט הפירוק הניצב
• בא"נ והיטלים
• אי שיוויון בסל
• משפט פיתגורס
• גרם שמידט