אלגברה לינארית 2 - ארז שיינר

אלגברה לינארית 2 (קורס 88-113) הוא הקורס השני באלגברה לינארית באוניברסיטת בר-אילן, ההמשך הישיר של אלגברה לינארית 1, ועוסק במכפלה פנימית ונורמה, במרחב הניצב ובתהליך גרם-שמידט, בערכים עצמיים ולכסון, בצורת ז'ורדן, בהעתקה הצמודה ובלכסון אוניטרי, ובמיון משוואות ממעלה שנייה. הדף, שחיבר ד"ר ארז שיינר, מכיל תקציר הרצאות מלא עם הוכחות ודוגמאות פתורות, הקלטות של ההרצאות ומבחנים עם פתרונות.

חומרי עזר

• מבחנים ובחנים עם פתרונות
• תקציר מפורט של הקורס של פרופ' בועז צבאן. ההרצאות בנושא צורת ג'ורדן מסוכמות בפירוט בחוברת הסיפור המלא.
• 88-113 אלגברה לינארית 2

סרטונים ותקצירי הרצאות

הפלייליסט של כל הסרטונים

בפרקים 2–6 משובצות הקלטות ההרצאות של הקורס 88-113 (סמסטר א' תשפ"ה); כל סרטון מתחיל בדקה שבה מתחיל הנושא. ההוכחות והדוגמאות הפתורות מוסתרות בתיבות שנפתחות בלחיצה.

פרק 1 - מכפלה פנימית ונורמה

מכפלה סקלרית

[math]\displaystyle{ v\cdot w = |v||w|\cos(\theta) }[/math]

מכפלה פנימית

📄 דף נושא: מכפלה פנימית ותהליך גראם-שמידט - הגדרות, דוגמאות פתורות, שאלות ממבחנים וסרטונים

יהי [math]\displaystyle{ V }[/math] מרחב וקטורי מעל [math]\displaystyle{ \mathbb{F}=\mathbb{R} }[/math] או [math]\displaystyle{ \mathbb{F}=\mathbb{C} }[/math]

מכפלה פנימית היא מכפלה [math]\displaystyle{ \langle \cdot, \cdot\rangle:V\times V\to \mathbb{F} }[/math] המקיימת את ארבע התכונות הבאות:

לכל [math]\displaystyle{ x,y,z\in V }[/math] ולכל [math]\displaystyle{ c\in\mathbb{F} }[/math] מתקיים כי:

• אדטיביות [math]\displaystyle{ \langle x+y,z\rangle = \langle x,z\rangle + \langle y,z\rangle }[/math]
• כפל בסקלר [math]\displaystyle{ \langle cx,y\rangle = c\langle x,y\rangle }[/math]
• הרמיטיות [math]\displaystyle{ \langle y,x\rangle = \overline{\langle x,y\rangle} }[/math]
• אי שליליות [math]\displaystyle{ \langle x,x\rangle \geq 0 }[/math] וכן [math]\displaystyle{ \langle x,x\rangle =0 }[/math] אם ורק אם [math]\displaystyle{ x=0 }[/math]

[math]\displaystyle{ \langle av_1 +bv_2 ,cw_1+dw_2\rangle = a\overline{c}\langle v_1,w_1\rangle + a\overline{d}\langle v_1,w_2\rangle+ b\overline{c}\langle v_2,w_1\rangle+b\overline{d}\langle v_2,w_2\rangle }[/math]

נורמה

יהי [math]\displaystyle{ V }[/math] מרחב וקטורי מעל [math]\displaystyle{ \mathbb{F}=\mathbb{R} }[/math] או [math]\displaystyle{ \mathbb{F}=\mathbb{C} }[/math]

נורמה היא פונקציה [math]\displaystyle{ ||\cdot||:V\to\mathbb{R} }[/math] המקיימת את שלושת התכונות הבאות.

לכל [math]\displaystyle{ x,y\in V }[/math] ולכל [math]\displaystyle{ c\in\mathbb{F} }[/math] מתקיים כי:

• אי שליליות [math]\displaystyle{ ||x||\geq 0 }[/math] וכן [math]\displaystyle{ ||x||=0 }[/math] אם ורק אם [math]\displaystyle{ x=0 }[/math]
• כפל בסקלר [math]\displaystyle{ ||cx|| = |c|\cdot ||x|| }[/math]
• אי שיוויון המשולש [math]\displaystyle{ ||x+y||\leq ||x||+||y|| }[/math]

נורמה מושרית

יהי [math]\displaystyle{ V }[/math] מרחב מכפלה פנימית מעל [math]\displaystyle{ \mathbb{F}=\mathbb{R} }[/math] או [math]\displaystyle{ \mathbb{F}=\mathbb{C} }[/math].

הנורמה המושרית מהמכפלה הפנימית היא הפונקציה [math]\displaystyle{ ||\cdot||:V\to\mathbb{R} }[/math] המוגדרת ע"י הנוסחא:

[math]\displaystyle{ ||v||=\sqrt{\langle v,v\rangle} }[/math]

שימו לב: הפונקציה מוגדרת היטב -

מתכונת האי-שליליות של המכפלה הפנימית ידוע כי [math]\displaystyle{ 0\leq \langle v,v\rangle\in\mathbb{R} }[/math] ולכן מותר להוציא שורש.

הנורמה המושרית היא אכן נורמה

נוכיח כי הנורמה המושרית היא אכן נורמה.

תכונת האי-שליליות של הנורמה מתקבלת בחינם, כי [math]\displaystyle{ ||v||=\sqrt{\langle v,v\rangle} \geq 0 }[/math] ממש לפי הגדרת פונקצית השורש. כמו כן, נקבל כי [math]\displaystyle{ ||v||=0 }[/math] אם ורק אם [math]\displaystyle{ \langle v,v\rangle=0 }[/math] אם ורק אם, לפי תכונת המכפלה הפנימית, [math]\displaystyle{ v=0_V }[/math]

כעת, יהי סקלר [math]\displaystyle{ c\in\mathbb{C} }[/math] אזי

[math]\displaystyle{ ||cv||=\sqrt{\langle cv,cv\rangle}=\sqrt{c\overline{c}\langle v,v\rangle}=\sqrt{|c|^2\langle v,v\rangle}=|c|\cdot \sqrt{\langle v,v\rangle}=|c|\cdot ||v|| }[/math]

לבסוף, עלינו להוכיח את אי שיוויון המשולש, אך זה ידרוש קצת הכנה מקדימה.

צריך להוכיח כי:

[math]\displaystyle{ ||v+w||\leq ||v||+||w|| }[/math]

כיוון ששני הצדדים אי שליליים, אפשר להעלות בריבוע ולקבל אי שיוויון שקול:

[math]\displaystyle{ ||v+w||^2 \leq ||v||^2 +2||v||\cdot ||w||+||w||^2 }[/math]

נפתח את צד שמאל לפי ההגדרה של הנורמה:

[math]\displaystyle{ ||v+w||^2=\langle v+w,v+w \rangle = \langle v,v \rangle + \langle v, w\rangle + \langle w, v\rangle + \langle w,w \rangle = }[/math]

[math]\displaystyle{ =||v||^2 +\langle v, w\rangle + \overline{\langle v, w\rangle}+ ||w||^2 = ||v||^2 +2Re\left(\langle v, w\rangle\right) +||w||^2 }[/math]

כעת נחזור לאי השיוויון שצריך להוכיח, נצמצם את [math]\displaystyle{ ||v||^2+||w||^2 }[/math] משני האגפים ונחלק ב2, ונקבל את אי השיוויון השקול הבא:

[math]\displaystyle{ Re\left(\langle v, w\rangle\right)\leq ||v||\cdot ||w|| }[/math]

נעצור על מנת להוכיח אי שיוויון עזר:

מתכונת האי שליליות, אנו יודעים כי

[math]\displaystyle{ \langle v-w, v-w\rangle\geq 0 }[/math]

ובעזרת פיתוח דומה לעיל נקבל כי

[math]\displaystyle{ 0\leq \langle v-w,v-w \rangle = ||v||^2 -2Re\left(\langle v, w\rangle\right) +||w||^2 }[/math]

מכאן נובע כי

[math]\displaystyle{ Re\left(\langle v, w\rangle\right)\leq \frac{||v||^2+||w||^2}{2} }[/math]

כעת, נחזור להוכחת אי שיוויון המשולש. צ"ל כי [math]\displaystyle{ Re\left(\langle v, w\rangle\right)\leq ||v||\cdot ||w|| }[/math]

אם [math]\displaystyle{ v=0_V }[/math] או [math]\displaystyle{ w=0_V }[/math] התוצאה מיידית כי שני הצדדים שווים אפס.

אחרת, נציב את הוקטורים המנורמלים [math]\displaystyle{ \frac{v}{||v||} , \frac{w}{||w||} }[/math] באי שיוויון העזר ונקבל:

[math]\displaystyle{ Re\left(\langle \frac{v}{||v||}, \frac{w}{||w||}\rangle\right)\leq \frac{||\frac{v}{||v||}||^2+||\frac{w}{||w||}||^2}{2} }[/math]

ולכן

[math]\displaystyle{ Re\left(\frac{1}{||v||\cdot ||w||} \langle v, w\rangle\right)\leq \frac{1+1}{2} }[/math]

[math]\displaystyle{ \frac{1}{||v||\cdot ||w||} \cdot Re\left(\langle v, w\rangle\right)\leq \frac{1+1}{2} }[/math]

וסה"כ, קיבלנו את מה שצריך:

[math]\displaystyle{ Re\left(\langle v, w\rangle\right)\leq ||v||\cdot ||w|| }[/math]

אי שיוויון קושי-שוורץ

בהנתן מרחב מכפלה פנימית [math]\displaystyle{ V }[/math] יחד עם הנורמה המושרית, לכל [math]\displaystyle{ v,w\in V }[/math] מתקיים כי

[math]\displaystyle{ |\langle v,w\rangle | \leq ||v||\cdot ||w|| }[/math]

הוכחה

נציב את הוקטורים [math]\displaystyle{ v, \langle v,w \rangle w }[/math] באי השיוויון שקיבלנו בהוכחת אי שיוויון המשולש ונקבל:

[math]\displaystyle{ Re\left(\langle v, \langle v,w \rangle w\rangle\right)\leq ||v||\cdot ||\langle v,w \rangle w|| }[/math]

ולכן

[math]\displaystyle{ Re\left(\overline{\langle v,w \rangle}\langle v, w\rangle\right)\leq ||v||\cdot |\langle v,w \rangle|\cdot ||w|| }[/math]

כלומר

[math]\displaystyle{ |\langle v,w \rangle|^2 \leq |\langle v,w \rangle|\cdot ||v||\cdot||w|| }[/math]

כעת אם [math]\displaystyle{ \langle v,w \rangle=0 }[/math] אי שיוויון קושי-שוורץ מתקיים באופן מיידי, ואחרת מותר לחלק ב[math]\displaystyle{ |\langle v,w \rangle| }[/math] ולקבל את אי שיוויון קושי-שוורץ.

מכפלה פנימית מושרית

• האם כל נורמה היא נורמה מושרית?

• האם ייתכן שנורמה תהיה הנורמה המושרית של שתי מכפלות פנימיות שונות?

לתשובות ולהוכחות קראו את הערך מכפלה פנימית מושרית.

פרק 2 - המרחב הניצב

וקטורים מאונכים

בגאומטריה האוקלידית הרגילה, המכפלה הסקלרית שימשה אותנו לחישוב הזווית בין וקטורים:

[math]\displaystyle{ \cos(\theta)=\frac{v\cdot w}{|v|\cdot|w|} }[/math]

במרחב מכפלה פנימית (ממ"פ) כללי לא ברור איזו משמעות יכולה להיות לזווית. מה שכן, בזכות אי שיוויון קושי-שוורץ (עם הנורמה המושרית) מובטח לנו שלכל [math]\displaystyle{ v,w\neq 0 }[/math] מתקיים

[math]\displaystyle{ \left|\frac{\langle v,w\rangle}{||v||\cdot||w||}\right|\leq 1 }[/math]

ולכן מעל הממשיים הגיוני לקרוא למספר הזה [math]\displaystyle{ \cos(\theta) }[/math], אבל עדיין לא ברור מה המשמעות של זווית [math]\displaystyle{ \theta }[/math] כזו. יש זווית אחת חשובה מאוד - הזווית הישרה - ואותה נגדיר באופן כללי.

הגדרה: יהי [math]\displaystyle{ V }[/math] ממ"פ ויהיו [math]\displaystyle{ v,w\in V }[/math]. נאמר כי [math]\displaystyle{ v }[/math] ו-[math]\displaystyle{ w }[/math] מאונכים זה לזה, ונסמן [math]\displaystyle{ v\perp w }[/math], אם

[math]\displaystyle{ \langle v,w\rangle = 0 }[/math]

בגאומטריה הרגילה זהו משפט; באופן כללי זו הגדרה.

הערות:

• היחס סימטרי: כיוון ש-[math]\displaystyle{ \langle w,v\rangle=\overline{\langle v,w\rangle} }[/math], מתקיים [math]\displaystyle{ v\perp w }[/math] אם ורק אם [math]\displaystyle{ w\perp v }[/math].
• וקטור האפס מאונך לכל וקטור במרחב, כי [math]\displaystyle{ \langle 0,v\rangle=0 }[/math] לכל [math]\displaystyle{ v }[/math].

▶ בהרצאה מ־15.12.24, החל מהדקה 1:20:35

מרחק בין וקטורים

הגדרה: יהי [math]\displaystyle{ V }[/math] מרחב וקטורי עם נורמה. המרחק (המטריקה הסטנדרטית) בין שני וקטורים [math]\displaystyle{ v,w\in V }[/math] מוגדר להיות

[math]\displaystyle{ d(v,w)=||v-w|| }[/math]

מטריקה היא הכללה של פונקציית מרחק בין שני וקטורים; כאשר נרצה למדוד מרחק בין וקטורים נשתמש תמיד בהגדרה הזו. בממ"פ, אלא אם נאמר אחרת, הנורמה היא הנורמה המושרית [math]\displaystyle{ ||v||=\sqrt{\langle v,v\rangle} }[/math].

▶ בהרצאה מ־18.12.24, החל מהדקה 3:30

קבוצה אורתוגונלית וקבוצה אורתונורמלית

הרצון הוא להכליל, במובן מסוים, את רעיון הצירים. כבר עשינו את זה עם בסיס וקואורדינטות, אבל ליתר דיוק אנחנו רוצים להכליל את רעיון הבסיס הסטנדרטי - בסיס שלפיו קל מאוד לשלוף קואורדינטות.

הגדרה: יהי [math]\displaystyle{ V }[/math] ממ"פ ותהי סדרת וקטורים [math]\displaystyle{ v_1,\ldots,v_k\in V }[/math]. נאמר כי הסדרה אורתוגונלית (א"ג) אם לכל [math]\displaystyle{ i\neq j }[/math] מתקיים [math]\displaystyle{ v_i\perp v_j }[/math].

הערה: הבסיס [math]\displaystyle{ \{(1,0),(0,1)\} }[/math] הוא הבסיס הסטנדרטי של [math]\displaystyle{ \mathbb{R}^2 }[/math], ואילו [math]\displaystyle{ \{(2,0),(0,1)\} }[/math] אינו סטנדרטי, אם כי לא רחוק ממנו. מה משותף לשתי הקבוצות? שתיהן א"ג. מה מיוחד לראשונה? כל הוקטורים בה באורך 1.

הגדרה: יהי [math]\displaystyle{ V }[/math] ממ"פ עם הנורמה המושרית ותהי סדרת וקטורים [math]\displaystyle{ v_1,\ldots,v_k\in V }[/math]. נאמר כי הסדרה אורתונורמלית (א"נ) אם היא א"ג ובנוסף לכל [math]\displaystyle{ i }[/math] מתקיים

[math]\displaystyle{ ||v_i||=\sqrt{\langle v_i,v_i\rangle}=1 }[/math]

הערה: את האורתוגונליות בודקים בעזרת המכפלה הפנימית ואת האורך בעזרת הנורמה, ולכן להגדרה יש משמעות רק כשהנורמה היא הנורמה המושרית מאותה מכפלה פנימית.

סימון: בסיס שהוא סדרה א"ג נקרא בסיס אורתוגונלי (בא"ג), ובסיס שהוא סדרה א"נ נקרא בסיס אורתונורמלי (בא"נ).

נרמול: אם [math]\displaystyle{ v\neq 0 }[/math] אז [math]\displaystyle{ \frac{v}{||v||} }[/math] הוא וקטור באורך 1. לכן מסדרה א"ג שאין בה את וקטור האפס מקבלים סדרה א"נ פשוט ע"י חלוקת כל וקטור באורכו.

שאלה: האם סדרה א"ג היא בהכרח בלתי תלויה לינארית (בת"ל)? לא, כי ייתכן שוקטור האפס נמצא בה. בלי וקטור האפס - כן:

טענה: סדרה א"ג של וקטורים השונים מאפס היא בת"ל. בפרט, כל סדרה א"נ היא בת"ל.

הוכחה. יהי צירוף לינארי מתאפס

[math]\displaystyle{ a_1v_1+\ldots+a_kv_k=0_V }[/math]

צריך להוכיח שכל הסקלרים הם אפס. יהי [math]\displaystyle{ i }[/math]; נכפול (פנימית) מימין ב-[math]\displaystyle{ v_i }[/math] את שני צידי המשוואה:

[math]\displaystyle{ \langle a_1v_1+\ldots+a_kv_k,v_i\rangle=0 }[/math]

נפתח סוגריים; הסקלרים נמצאים בצד שמאל של המכפלה הפנימית ולכן יוצאים כפי שהם:

[math]\displaystyle{ a_1\langle v_1,v_i\rangle+\ldots+a_k\langle v_k,v_i\rangle=0 }[/math]

כיוון שהסדרה א"ג, כל המכפלות מתאפסות פרט לאחת, ונותרים עם

[math]\displaystyle{ a_i\langle v_i,v_i\rangle=0 }[/math]

כיוון ש-[math]\displaystyle{ v_i\neq 0 }[/math], מתכונת האי-שליליות [math]\displaystyle{ \langle v_i,v_i\rangle\neq 0 }[/math], ולכן [math]\displaystyle{ a_i=0 }[/math].

בסדרה א"נ מתקיים [math]\displaystyle{ \langle v_i,v_i\rangle=||v_i||^2=1 }[/math], ולכן אף וקטור בה אינו אפס, והיא בת"ל לפי מה שהוכחנו.

▶ בהרצאה מ־18.12.24, החל מהדקה 8:03

קואורדינטות לפי בסיס אורתוגונלי

כזכור, מה שמיוחד בבסיס הסטנדרטי הוא שקל מאוד לשלוף את הקואורדינטות לפיו (זו אינה הגדרה מתמטית, אלא אנושית בלבד). הרצון למצוא קואורדינטות חשוב מאוד, למשל בפירוק של אות לתדרים: אפשר לעשות את זה בעזרת מעגלים אלקטרוניים, באופן מכני כמו השבלול באוזן, ואנחנו נלמד את השיטה הכי כיפית - באמצעות אלגברה לינארית (וזה מה שמחשבים עושים). מסתבר שבבסיס א"ג קל לשלוף קואורדינטות בדיוק כמו בבסיס הסטנדרטי.

טענה: יהי [math]\displaystyle{ V }[/math] ממ"פ ויהי [math]\displaystyle{ B=(v_1,\ldots,v_n) }[/math] בסיס סדור א"ג של [math]\displaystyle{ V }[/math]. אזי לכל [math]\displaystyle{ v\in V }[/math]

[math]\displaystyle{ v=\frac{\langle v,v_1\rangle}{\langle v_1,v_1\rangle}v_1+\ldots+\frac{\langle v,v_n\rangle}{\langle v_n,v_n\rangle}v_n }[/math]

כלומר

[math]\displaystyle{ [v]_B=\begin{pmatrix}\frac{\langle v,v_1\rangle}{\langle v_1,v_1\rangle}\\ \vdots\\ \frac{\langle v,v_n\rangle}{\langle v_n,v_n\rangle}\end{pmatrix} }[/math]

הוכחה. יהי [math]\displaystyle{ v\in V }[/math] ונסמן את הצירוף הלינארי היחיד

[math]\displaystyle{ v=a_1v_1+\ldots+a_nv_n }[/math]

יהי [math]\displaystyle{ i }[/math]; נכפול (פנימית) מימין ב-[math]\displaystyle{ v_i }[/math] ונקבל

[math]\displaystyle{ \langle v,v_i\rangle=\langle a_1v_1+\ldots+a_nv_n,v_i\rangle }[/math]

נפתח סוגריים; הכל כמעט מתאפס בזכות האורתוגונליות:

[math]\displaystyle{ \langle v,v_i\rangle=a_i\langle v_i,v_i\rangle }[/math]

כיוון שמדובר בבסיס, [math]\displaystyle{ v_i\neq 0 }[/math] ולכן [math]\displaystyle{ \langle v_i,v_i\rangle\neq 0 }[/math], ומותר לחלק בו:

[math]\displaystyle{ a_i=\frac{\langle v,v_i\rangle}{\langle v_i,v_i\rangle} }[/math]

מסקנה: אם [math]\displaystyle{ v_1,\ldots,v_n }[/math] בא"נ של [math]\displaystyle{ V }[/math], אזי לכל [math]\displaystyle{ v\in V }[/math]

[math]\displaystyle{ v=\langle v,v_1\rangle v_1+\ldots+\langle v,v_n\rangle v_n }[/math]

הרי [math]\displaystyle{ \langle v_i,v_i\rangle=||v_i||^2=1 }[/math].

הערות:

• שימו לב לסדר במכפלה הפנימית: [math]\displaystyle{ v }[/math] משמאל ואיבר הבסיס מימין. מעל המרוכבים זה קריטי, כי [math]\displaystyle{ \langle v_i,v\rangle=\overline{\langle v,v_i\rangle} }[/math].
• כל קואורדינטה מחושבת בנפרד! כך, אם מעניין אותנו תדר מסוים, אין צורך לחשב את כל המקדמים כמו בשיטה של דירוג מטריצות.
• עבור הבסיס הסטנדרטי של [math]\displaystyle{ \mathbb{R}^3 }[/math] והמכפלה הסקלרית הרגילה, הנוסחה נותנת כמובן [math]\displaystyle{ (a,b,c)=a(1,0,0)+b(0,1,0)+c(0,0,1) }[/math].

דוגמה: מצאו את הקואורדינטות של וקטור כללי [math]\displaystyle{ (a,b)\in\mathbb{R}^2 }[/math] לפי הבסיס [math]\displaystyle{ B=((1,1),(1,-1)) }[/math], עם המכפלה הסקלרית הסטנדרטית.

פתרון. הבסיס א"ג, כי [math]\displaystyle{ (1,1)\cdot(1,-1)=0 }[/math]. לפי הטענה

[math]\displaystyle{ (a,b)=\frac{(a,b)\cdot(1,1)}{(1,1)\cdot(1,1)}(1,1)\,+ }[/math]

[math]\displaystyle{ +\,\frac{(a,b)\cdot(1,-1)}{(1,-1)\cdot(1,-1)}(1,-1)= }[/math]

[math]\displaystyle{ =\frac{a+b}{2}(1,1)+\frac{a-b}{2}(1,-1) }[/math]

כלומר [math]\displaystyle{ [(a,b)]_B=\begin{pmatrix}\frac{a+b}{2}\\ \frac{a-b}{2}\end{pmatrix} }[/math], וכל קואורדינטה חושבה בנפרד, בלי לדרג מטריצה.

הערה (פירוק כוח לרכיבים): גם בפיזיקה משתמשים בזה. שם בדרך כלל נותנים את הנוסחה הסופית לפי הזווית, בלי הדרך:

[math]\displaystyle{ \frac{v\cdot w}{w\cdot w}\,w=\frac{|v|\cdot|w|\cos(\theta)}{|w|^2}\,w }[/math]

[math]\displaystyle{ =|v|\cos(\theta)\cdot\frac{w}{|w|} }[/math]

כלומר הרכיב של [math]\displaystyle{ v }[/math] בכיוון [math]\displaystyle{ w }[/math] הוא באורך [math]\displaystyle{ |v|\cos(\theta) }[/math]. אבל בשאלה פיזיקלית בתלת-ממד, הנוסחה עם המכפלה הפנימית היא הדרך הנוחה.

▶ בהרצאה מ־18.12.24, החל מהדקה 25:03

משפט פיתגורס

משפט פיתגורס: במשולש ישר זווית שניצביו [math]\displaystyle{ a,b }[/math] והיתר הוא [math]\displaystyle{ c }[/math] מתקיים [math]\displaystyle{ a^2+b^2=c^2 }[/math].

בשפה של וקטורים: המשולש שקודקודיו [math]\displaystyle{ (0,0),(a,0),(a,b) }[/math] הוא משולש כזה, וכן [math]\displaystyle{ (a,b)=(a,0)+(0,b) }[/math]. כלומר עבור הנורמה הסטנדרטית

[math]\displaystyle{ c^2=||(a,b)||^2= }[/math]

[math]\displaystyle{ =||(a,0)||^2+||(0,b)||^2= }[/math]

[math]\displaystyle{ =a^2+b^2 }[/math]

כעת נראה שמשפט זה נכון לכל בא"נ, בכל ממ"פ.

משפט (פיתגורס המוכלל): יהי [math]\displaystyle{ V }[/math] ממ"פ עם הנורמה המושרית, ויהי [math]\displaystyle{ v_1,\ldots,v_n }[/math] בא"נ של [math]\displaystyle{ V }[/math]. אזי לכל [math]\displaystyle{ v\in V }[/math]

[math]\displaystyle{ ||v||^2=|a_1|^2+\ldots+|a_n|^2 }[/math]

כאשר [math]\displaystyle{ a_1,\ldots,a_n }[/math] הן הקואורדינטות של [math]\displaystyle{ v }[/math] לפי הבסיס, כלומר

[math]\displaystyle{ ||v||^2=|\langle v,v_1\rangle|^2+\ldots+|\langle v,v_n\rangle|^2 }[/math]

במילים: אורך הוקטור בריבוע שווה לסכום ריבועי גדלי רכיביו (אורכי הניצבים).

הערה: שימו לב שכתוב [math]\displaystyle{ |a_i|^2 }[/math] ולא [math]\displaystyle{ a_i^2 }[/math]: עבור מספר מרוכב [math]\displaystyle{ z }[/math], באופן כללי [math]\displaystyle{ |z|^2\neq z^2 }[/math].

הוכחה. לפי נוסחת הקואורדינטות בבא"נ

[math]\displaystyle{ v=\langle v,v_1\rangle v_1+\ldots+\langle v,v_n\rangle v_n }[/math]

נכפול (פנימית) את שני הצדדים ב-[math]\displaystyle{ v }[/math] מימין:

[math]\displaystyle{ \langle v,v\rangle= }[/math]

[math]\displaystyle{ =\left\langle \langle v,v_1\rangle v_1+\ldots+\langle v,v_n\rangle v_n\,,\,v\right\rangle }[/math]

הסקלרים נמצאים בצד שמאל ולכן יוצאים כפי שהם:

[math]\displaystyle{ ||v||^2=\langle v,v_1\rangle\langle v_1,v\rangle+\ldots }[/math]

[math]\displaystyle{ \ldots+\langle v,v_n\rangle\langle v_n,v\rangle }[/math]

כיוון ש-[math]\displaystyle{ \langle v_i,v\rangle=\overline{\langle v,v_i\rangle} }[/math], וכפל של מספר מרוכב בצמוד שלו נותן את הערך המוחלט שלו בריבוע, נקבל

[math]\displaystyle{ ||v||^2=|\langle v,v_1\rangle|^2+\ldots+|\langle v,v_n\rangle|^2 }[/math]

▶ בהרצאה מ־18.12.24, החל מהדקה 55:23

הרעיון של תהליך גרם-שמידט

אם כך, שוכנענו כמה חשוב ושימושי בסיס א"נ. השאלה הטבעית הבאה היא האם יש בהכרח בסיס א"נ, ואם כן - איך מוצאים כזה. תהליך גרם-שמידט הוא גם השיטה למציאת בסיס א"נ וגם ההוכחה לקיומו.

תזכורת (היטל על ישר): ההיטל של וקטור [math]\displaystyle{ v }[/math] על הישר שפורש וקטור [math]\displaystyle{ w\neq 0 }[/math] הוא הוקטור [math]\displaystyle{ cw }[/math] שעבורו [math]\displaystyle{ v-cw\perp w }[/math]. מהמשוואה [math]\displaystyle{ \langle v-cw,w\rangle=0 }[/math] מקבלים [math]\displaystyle{ c=\frac{\langle v,w\rangle}{\langle w,w\rangle} }[/math], כלומר ההיטל הוא

[math]\displaystyle{ \frac{\langle v,w\rangle}{\langle w,w\rangle}\,w }[/math]

(המקדם הוא בדיוק הקואורדינטה מהנוסחה לבסיס א"ג.)

הרעיון הגאומטרי: נדמיין גוף על מדרון, שכוח המשיכה [math]\displaystyle{ v_2 }[/math] פועל עליו, והכיוון של המדרון הוא [math]\displaystyle{ w_1 }[/math]. נפרק את כוח המשיכה לשני רכיבים: רכיב בכיוון המדרון ורכיב המאונך למדרון. את הרכיב בכיוון המדרון אפשר לחשב ישירות - זה ההיטל של [math]\displaystyle{ v_2 }[/math] על [math]\displaystyle{ w_1 }[/math]. הרכיב המאונך למדרון הוא מה שנשאר: כוח המשיכה פחות הרכיב בכיוון המדרון,

[math]\displaystyle{ w_2=v_2-\frac{\langle v_2,w_1\rangle}{\langle w_1,w_1\rangle}w_1 }[/math]

וקיבלנו וקטור [math]\displaystyle{ w_2 }[/math] המאונך ל-[math]\displaystyle{ w_1 }[/math]. זה כל הרעיון של גרם-שמידט: מכל וקטור מורידים את ההיטלים שלו על הכיוונים הקודמים, ומה שנשאר מאונך לכולם.

▶ בהרצאה מ־18.12.24, החל מהדקה 1:15:21

דוגמה: בסיס אורתוגונלי למישור

אמרנו שבסיס א"ג או א"נ הוא הכללה של רעיון הבסיס הסטנדרטי, במובן שקל למצוא קואורדינטות לפיו. שאלה טבעית: מדוע לא לקחת פשוט את הבסיס הסטנדרטי?

• ראינו בשאלות פיזיקליות שלפעמים נוח יותר לעבוד עם מערכת צירים מסובבת (למשל ציר אחד מקביל למדרון והשני מאונך לו).
• במקרה הכללי, בממ"פ כלשהו אין בהכרח "בסיס סטנדרטי".
• לעיתים יש לנו תת-מרחב, ולכזה בוודאי שאין בסיס סטנדרטי.

הערה: מספיק למצוא בסיס א"ג, כי קל מאוד לנרמל את הוקטורים ולקבל בסיס א"נ. עדיף לנרמל רק בסוף: בנורמה יש שורש, ונרמול מוקדם מכער את כל החישובים.

דוגמה: נביט במישור

[math]\displaystyle{ U=\{(x,y,z)\in\mathbb{R}^3\mid x-2y-z=0\} }[/math]

עם המכפלה הסקלרית הסטנדרטית. מצאו בסיס א"ג ל-[math]\displaystyle{ U }[/math], ומצאו את הקואורדינטות של הוקטור [math]\displaystyle{ (1,2,-3)\in U }[/math] לפי בסיס זה.

פתרון. נתחיל במציאת בסיס כלשהו למישור (לינארית 1): [math]\displaystyle{ U }[/math] הוא מרחב הפתרונות של המטריצה [math]\displaystyle{ \begin{pmatrix}1 & -2 & -1\end{pmatrix} }[/math]. נציב [math]\displaystyle{ y=t,\ z=s }[/math] ונקבל [math]\displaystyle{ x=2t+s }[/math], ולכן

[math]\displaystyle{ U=\{(2t+s,t,s)\mid t,s\in\mathbb{R}\} }[/math]

[math]\displaystyle{ =span\{(1,0,1),(2,1,0)\} }[/math]

שני הוקטורים אינם מאונכים זה לזה: המכפלה הסקלרית שלהם היא 2 (הזווית ביניהם היא כ-50 מעלות). נסמן [math]\displaystyle{ v_1=(1,0,1) }[/math], [math]\displaystyle{ v_2=(2,1,0) }[/math]. את [math]\displaystyle{ v_1 }[/math] נשאיר כפי שהוא, ומ-[math]\displaystyle{ v_2 }[/math] נוריד את ההיטל שלו על [math]\displaystyle{ v_1 }[/math]:

[math]\displaystyle{ w_1=v_1=(1,0,1) }[/math]

[math]\displaystyle{ w_2=v_2-\frac{\langle v_2,w_1\rangle}{\langle w_1,w_1\rangle}w_1 }[/math]

[math]\displaystyle{ =(2,1,0)-\frac{2}{2}(1,0,1)=(1,1,-1) }[/math]

הוקטור [math]\displaystyle{ w_2 }[/math] הוא צירוף לינארי של [math]\displaystyle{ v_1,v_2 }[/math] ולכן נשאר באותו המרחב (אכן [math]\displaystyle{ 1-2\cdot 1-(-1)=0 }[/math]), והוא מאונך ל-[math]\displaystyle{ w_1 }[/math]: [math]\displaystyle{ (1,1,-1)\cdot(1,0,1)=0 }[/math]. שני וקטורים מאונכים השונים מאפס הם בת"ל, ו-[math]\displaystyle{ \dim U=2 }[/math], ולכן מצאנו בסיס א"ג

[math]\displaystyle{ \{(1,0,1),(1,1,-1)\} }[/math]

(לבא"נ מחלקים באורכים [math]\displaystyle{ \sqrt{2},\sqrt{3} }[/math].)

כעת הנקודה [math]\displaystyle{ (1,2,-3) }[/math] אכן על המישור, כי [math]\displaystyle{ 1-4+3=0 }[/math]. לפי נוסחת הקואורדינטות בבסיס א"ג:

[math]\displaystyle{ (1,2,-3)= }[/math]

[math]\displaystyle{ =\frac{(1,2,-3)\cdot(1,0,1)}{(1,0,1)\cdot(1,0,1)}(1,0,1)\,+ }[/math]

[math]\displaystyle{ +\,\frac{(1,2,-3)\cdot(1,1,-1)}{(1,1,-1)\cdot(1,1,-1)}(1,1,-1)= }[/math]

[math]\displaystyle{ =\frac{-2}{2}(1,0,1)+\frac{6}{3}(1,1,-1) }[/math]

[math]\displaystyle{ =-(1,0,1)+2(1,1,-1) }[/math]

כלומר הקואורדינטות לפי הבסיס [math]\displaystyle{ ((1,0,1),(1,1,-1)) }[/math] הן [math]\displaystyle{ (-1,2) }[/math]. בעולם של המישור, שבו הצירים הם הוקטורים שמצאנו, הנקודה נמצאת "צעד אחד אחורה" בציר הראשון ו"שני צעדים קדימה" בציר השני. חישוב כזה בדיוק נדרש למשל במשחק מחשב, כדי לחשב מיקום של דמות כשזווית ההסתכלות שלנו מסובבת.

▶ בהרצאה מ־22.12.24, החל מהדקה 2:36

תהליך גרם-שמידט

אלגוריתם גרם-שמידט: יהי [math]\displaystyle{ V }[/math] ממ"פ ותהי [math]\displaystyle{ v_1,\ldots,v_n }[/math] סדרת וקטורים בת"ל ב-[math]\displaystyle{ V }[/math]. נגדיר:

[math]\displaystyle{ w_1=v_1 }[/math]

[math]\displaystyle{ w_2=v_2-\frac{\langle v_2,w_1\rangle}{\langle w_1,w_1\rangle}w_1 }[/math]

[math]\displaystyle{ w_3=v_3-\frac{\langle v_3,w_1\rangle}{\langle w_1,w_1\rangle}w_1 }[/math]

[math]\displaystyle{ \qquad -\frac{\langle v_3,w_2\rangle}{\langle w_2,w_2\rangle}w_2 }[/math]

וכך הלאה; באופן כללי, לכל [math]\displaystyle{ 1\leq k\leq n }[/math]

[math]\displaystyle{ w_k=v_k-\sum_{p=1}^{k-1}\frac{\langle v_k,w_p\rangle}{\langle w_p,w_p\rangle}w_p }[/math]

במילים: [math]\displaystyle{ w_k }[/math] הוא [math]\displaystyle{ v_k }[/math] פחות ההיטלים שלו על כל הוקטורים החדשים הקודמים. בהמשך נראה שהסכום שמחסירים הוא בדיוק ההיטל של [math]\displaystyle{ v_k }[/math] על המרחב שפורשים קודמיו.

טענה: התהליך מוגדר היטב (לכל [math]\displaystyle{ k }[/math] מתקיים [math]\displaystyle{ w_k\neq 0 }[/math], ולכן לא מחלקים באפס), הסדרה [math]\displaystyle{ w_1,\ldots,w_n }[/math] א"ג, ולכל [math]\displaystyle{ 1\leq k\leq n }[/math]

[math]\displaystyle{ span\{w_1,\ldots,w_k\}=span\{v_1,\ldots,v_k\} }[/math]

ובפרט [math]\displaystyle{ span\{w_1,\ldots,w_n\}=span\{v_1,\ldots,v_n\} }[/math].

הוכחה. נוכיח באינדוקציה על [math]\displaystyle{ k }[/math] כי [math]\displaystyle{ w_1,\ldots,w_k }[/math] כולם שונים מאפס, כל אחד מהם מאונך לכל קודמיו, ו-[math]\displaystyle{ span\{w_1,\ldots,w_k\}=span\{v_1,\ldots,v_k\} }[/math].

בסיס האינדוקציה: [math]\displaystyle{ w_1=v_1 }[/math], ו-[math]\displaystyle{ v_1\neq 0 }[/math] כי הסדרה [math]\displaystyle{ v_1,\ldots,v_n }[/math] בת"ל. ברור ש-[math]\displaystyle{ span\{w_1\}=span\{v_1\} }[/math].

צעד האינדוקציה: נניח שהטענה נכונה עבור [math]\displaystyle{ k-1 }[/math] ונוכיח עבור [math]\displaystyle{ k }[/math]. לפי הנחת האינדוקציה [math]\displaystyle{ w_1,\ldots,w_{k-1}\neq 0 }[/math], ולכן [math]\displaystyle{ w_k }[/math] מוגדר היטב (לא מחלקים באפס).

[math]\displaystyle{ w_k }[/math] מאונך לכל קודמיו. יהי [math]\displaystyle{ 1\leq i<k }[/math]; צריך להוכיח כי [math]\displaystyle{ \langle w_k,w_i\rangle=0 }[/math]. נפתח סוגריים לפי הלינאריות ברכיב הראשון:

[math]\displaystyle{ \langle w_k,w_i\rangle= }[/math]

[math]\displaystyle{ =\left\langle v_k-\sum_{p=1}^{k-1}\frac{\langle v_k,w_p\rangle}{\langle w_p,w_p\rangle}w_p\,,\,w_i\right\rangle= }[/math]

[math]\displaystyle{ =\langle v_k,w_i\rangle-\sum_{p=1}^{k-1}\frac{\langle v_k,w_p\rangle}{\langle w_p,w_p\rangle}\langle w_p,w_i\rangle }[/math]

כיוון שעד כה כל וקטור היה מאונך לקודמיו (הנחת האינדוקציה), כמעט כל המכפלות [math]\displaystyle{ \langle w_p,w_i\rangle }[/math] מתאפסות, ונותרים רק עם האיבר [math]\displaystyle{ p=i }[/math]:

[math]\displaystyle{ =\langle v_k,w_i\rangle-\frac{\langle v_k,w_i\rangle}{\langle w_i,w_i\rangle}\langle w_i,w_i\rangle=0 }[/math]

[math]\displaystyle{ w_k\neq 0 }[/math]. נב"ש כי [math]\displaystyle{ w_k=0 }[/math]. אז

[math]\displaystyle{ v_k=\sum_{p=1}^{k-1}\frac{\langle v_k,w_p\rangle}{\langle w_p,w_p\rangle}w_p }[/math]

[math]\displaystyle{ \in span\{w_1,\ldots,w_{k-1}\} }[/math]

ולפי הנחת האינדוקציה [math]\displaystyle{ span\{w_1,\ldots,w_{k-1}\}=span\{v_1,\ldots,v_{k-1}\} }[/math], בסתירה לכך ש-[math]\displaystyle{ v_1,\ldots,v_k }[/math] בת"ל.

שוויון הספנים. לפי הנחת האינדוקציה

[math]\displaystyle{ w_1,\ldots,w_{k-1}\in span\{v_1,\ldots,v_{k-1}\} }[/math]

[math]\displaystyle{ \subseteq span\{v_1,\ldots,v_k\} }[/math]

ו-[math]\displaystyle{ w_k }[/math] הוא צירוף לינארי של [math]\displaystyle{ v_k }[/math] ושל [math]\displaystyle{ w_1,\ldots,w_{k-1} }[/math], ולכן גם הוא שייך ל-[math]\displaystyle{ span\{v_1,\ldots,v_k\} }[/math]. מכאן

[math]\displaystyle{ span\{w_1,\ldots,w_k\}\subseteq span\{v_1,\ldots,v_k\} }[/math]

כיוון ש-[math]\displaystyle{ v_1,\ldots,v_k }[/math] בת"ל, הם בסיס ל-[math]\displaystyle{ span\{v_1,\ldots,v_k\} }[/math], שהוא לכן ממימד [math]\displaystyle{ k }[/math]. מצד שני [math]\displaystyle{ w_1,\ldots,w_k }[/math] היא סדרה א"ג של וקטורים שונים מאפס, ולכן בת"ל. אלה [math]\displaystyle{ k }[/math] וקטורים בת"ל בתוך מרחב ממימד [math]\displaystyle{ k }[/math], ולכן הם בסיס שלו, והספנים שווים.

מסקנה: לכל ממ"פ נוצר סופית יש בסיס (לינארית 1), ובעזרת גרם-שמידט יש לו בסיס א"ג, ולכן (אחרי נרמול) גם בא"נ.

הערות:

• גרם-שמידט על וקטורים שכבר מאונכים זה לזה לא עושה כלום: כל ההיטלים שמחסירים הם אפס. לכן אם חלק מהוקטורים כבר מאונכים זה לזה, כדאי לשים אותם ראשונים בסדרה.
• האלגוריתם משתמש רק במכפלה הפנימית, בלי הנורמה. הנורמה (והשורשים) נכנסת רק בשלב הנרמול, ועדיף לנרמל רק בסוף.
• כדי לזכור את האלגוריתם מספיק לזכור שההיטל של [math]\displaystyle{ v }[/math] על [math]\displaystyle{ w }[/math] הוא [math]\displaystyle{ \frac{\langle v,w\rangle}{\langle w,w\rangle}w }[/math]; כל השאר נובע מזה.

▶ בהרצאה מ־22.12.24, החל מהדקה 28:08

היטל על תת-מרחב

בתלת-ממד, הנקודה במישור הקרובה ביותר לנקודה נתונה מתקבלת ע"י הורדת אנך למישור. את ההיטל על תת-מרחב כללי נגדיר בדיוק בעזרת התכונה הזו - הנקודה הקרובה ביותר.

טענה: יהי [math]\displaystyle{ V }[/math] ממ"פ נוצר סופית עם הנורמה המושרית, יהי [math]\displaystyle{ U\leq V }[/math] תת-מרחב ויהי [math]\displaystyle{ v\in V }[/math]. אזי קיים וקטור יחיד [math]\displaystyle{ x\in U }[/math] כך ש

[math]\displaystyle{ ||v-x||=\min\{\,||v-u||\;:\;u\in U\} }[/math]

יתרה מזו, אם [math]\displaystyle{ u_1,\ldots,u_k }[/math] בא"נ של [math]\displaystyle{ U }[/math], אזי [math]\displaystyle{ x=\langle v,u_1\rangle u_1+\ldots+\langle v,u_k\rangle u_k }[/math].

הגדרה: הוקטור [math]\displaystyle{ x }[/math] היחיד מהטענה נקרא ההיטל של [math]\displaystyle{ v }[/math] על [math]\displaystyle{ U }[/math] ומסומן [math]\displaystyle{ \pi_U(v) }[/math]. כלומר, אם [math]\displaystyle{ u_1,\ldots,u_k }[/math] בא"נ של [math]\displaystyle{ U }[/math]:

[math]\displaystyle{ \pi_U(v)=\langle v,u_1\rangle u_1+\ldots+\langle v,u_k\rangle u_k }[/math]

הוכחה. ניקח בא"נ [math]\displaystyle{ u_1,\ldots,u_k }[/math] של [math]\displaystyle{ U }[/math] (מותר בזכות גרם-שמידט). נשלים אותו לבסיס של [math]\displaystyle{ V }[/math] כולו

[math]\displaystyle{ u_1,\ldots,u_k,v_{k+1},\ldots,v_n }[/math]

ונמשיך את תהליך גרם-שמידט (על [math]\displaystyle{ u_1,\ldots,u_k }[/math], שכבר מאונכים זה לזה, גרם-שמידט לא עושה כלום) ונרמל, ונקבל בא"נ של [math]\displaystyle{ V }[/math]:

[math]\displaystyle{ u_1,\ldots,u_k,w_{k+1},\ldots,w_n }[/math]

נציג את [math]\displaystyle{ v }[/math] כצירוף לינארי של הבסיס הזה:

[math]\displaystyle{ v=a_1u_1+\ldots+a_ku_k }[/math]

[math]\displaystyle{ \qquad +\,b_{k+1}w_{k+1}+\ldots+b_nw_n }[/math]

כעת יהי [math]\displaystyle{ u\in U }[/math] כלשהו; נציג גם אותו כצירוף לינארי, אבל של הבסיס של [math]\displaystyle{ U }[/math]:

[math]\displaystyle{ u=c_1u_1+\ldots+c_ku_k }[/math]

לכן

[math]\displaystyle{ v-u=(a_1-c_1)u_1+\ldots+(a_k-c_k)u_k }[/math]

[math]\displaystyle{ \qquad +\,b_{k+1}w_{k+1}+\ldots+b_nw_n }[/math]

ולפי משפט פיתגורס המוכלל

[math]\displaystyle{ ||v-u||^2=|a_1-c_1|^2+\ldots+|a_k-c_k|^2 }[/math]

[math]\displaystyle{ \qquad +\,|b_{k+1}|^2+\ldots+|b_n|^2 }[/math]

אילו ערכי [math]\displaystyle{ c_i }[/math] נבחר כך שהמרחק יהיה מינימלי? על המקדמים [math]\displaystyle{ b_j }[/math] אין לנו שליטה, ואת [math]\displaystyle{ c_1,\ldots,c_k }[/math] אנחנו בוחרים. הביטוי מינימלי אם ורק אם כל האיברים [math]\displaystyle{ |a_i-c_i|^2 }[/math] מתאפסים, כלומר [math]\displaystyle{ c_i=a_i }[/math] לכל [math]\displaystyle{ i }[/math]. לכן הוקטור היחיד ב-[math]\displaystyle{ U }[/math] שבו מתקבל המרחק המינימלי הוא

[math]\displaystyle{ x=a_1u_1+\ldots+a_ku_k }[/math]

וכיוון שמדובר בבא"נ, לפי נוסחת הקואורדינטות [math]\displaystyle{ a_i=\langle v,u_i\rangle }[/math], ולכן

[math]\displaystyle{ x=\langle v,u_1\rangle u_1+\ldots+\langle v,u_k\rangle u_k }[/math]

מסקנה: מהיחידות נובע שההיטל אינו תלוי בבחירת הבא"נ של [math]\displaystyle{ U }[/math].

מסקנה (היטל לפי בסיס א"ג): אם [math]\displaystyle{ u_1,\ldots,u_k }[/math] בא"ג של [math]\displaystyle{ U }[/math], אזי

[math]\displaystyle{ \pi_U(v)=\frac{\langle v,u_1\rangle}{\langle u_1,u_1\rangle}u_1+\ldots }[/math]

[math]\displaystyle{ \ldots+\frac{\langle v,u_k\rangle}{\langle u_k,u_k\rangle}u_k }[/math]

הוכחה. נרמל: [math]\displaystyle{ e_i=\frac{u_i}{||u_i||} }[/math] הוא בא"נ של [math]\displaystyle{ U }[/math]. כיוון ש-[math]\displaystyle{ ||u_i|| }[/math] ממשי, הוא יוצא משני צידי המכפלה הפנימית כפי שהוא, ולכן

[math]\displaystyle{ \langle v,e_i\rangle e_i=\frac{1}{||u_i||^2}\langle v,u_i\rangle u_i= }[/math]

[math]\displaystyle{ =\frac{\langle v,u_i\rangle}{\langle u_i,u_i\rangle}u_i }[/math]

ונסכם על [math]\displaystyle{ i }[/math] לפי נוסחת ההיטל בבא"נ.

הערות:

• בפרט, ההיטל על הישר [math]\displaystyle{ span\{w\} }[/math] (עבור [math]\displaystyle{ w\neq 0 }[/math]) הוא [math]\displaystyle{ \frac{\langle v,w\rangle}{\langle w,w\rangle}w }[/math] - הנוסחה שפגשנו קודם.
• בתהליך גרם-שמידט (עבור [math]\displaystyle{ k\geq 2 }[/math]), [math]\displaystyle{ w_1,\ldots,w_{k-1} }[/math] הם בא"ג של [math]\displaystyle{ U_{k-1}=span\{w_1,\ldots,w_{k-1}\} }[/math], ולכן הסכום שמחסירים מ-[math]\displaystyle{ v_k }[/math] הוא בדיוק ההיטל שלו על [math]\displaystyle{ U_{k-1} }[/math]: [math]\displaystyle{ w_k=v_k-\pi_{U_{k-1}}(v_k) }[/math]. כלומר בכל שלב מורידים מ-[math]\displaystyle{ v_k }[/math] את ההיטל שלו על המרחב שפורשים קודמיו.
• בעת חישוב היטל על תת-מרחב בפועל, עדיף להשתמש בבסיס א"ג ולא א"נ, כי המספרים פחות מכוערים.

דוגמה: חשבו את ההיטל של הוקטור [math]\displaystyle{ (1,2,3) }[/math] על המישור [math]\displaystyle{ U=\{(x,y,z)\in\mathbb{R}^3\mid x-2y-z=0\} }[/math] (עם המכפלה הסקלרית הסטנדרטית), ואת המרחק של [math]\displaystyle{ (1,2,3) }[/math] מהמישור.

פתרון. הוקטור [math]\displaystyle{ (1,2,3) }[/math] נמצא מחוץ למישור, כי [math]\displaystyle{ 1-4-3\neq 0 }[/math]. בדוגמה הקודמת מצאנו למישור בסיס א"ג [math]\displaystyle{ \{(1,0,1),(1,1,-1)\} }[/math]. לפי נוסחת ההיטל בבסיס א"ג:

[math]\displaystyle{ \pi_U(1,2,3)= }[/math]

[math]\displaystyle{ =\frac{(1,2,3)\cdot(1,0,1)}{(1,0,1)\cdot(1,0,1)}(1,0,1)\,+ }[/math]

[math]\displaystyle{ +\,\frac{(1,2,3)\cdot(1,1,-1)}{(1,1,-1)\cdot(1,1,-1)}(1,1,-1)= }[/math]

[math]\displaystyle{ =\frac{4}{2}(1,0,1)+\frac{0}{3}(1,1,-1)=(2,0,2) }[/math]

(במקרה, [math]\displaystyle{ (1,2,3) }[/math] מאונך ל-[math]\displaystyle{ (1,1,-1) }[/math], ולכן ההיטל יצא על הישר שפורש [math]\displaystyle{ (1,0,1) }[/math].)

בדיקה: [math]\displaystyle{ (1,2,3)-(2,0,2)=(-1,2,1)=-(1,-2,-1) }[/math], וזו כפולה של הנורמל למישור [math]\displaystyle{ (1,-2,-1) }[/math], כלומר "הורדנו אנך" למישור, כמצופה.

המרחק של [math]\displaystyle{ (1,2,3) }[/math] מהמישור הוא המרחק המינימלי, שמתקבל בהיטל:

[math]\displaystyle{ ||(1,2,3)-(2,0,2)||= }[/math]

[math]\displaystyle{ =||(-1,2,1)||=\sqrt{6} }[/math]

▶ בהרצאה מ־22.12.24, החל מהדקה 55:30

אי שיוויון בסל

משפט (אי שיוויון בסל): יהי [math]\displaystyle{ V }[/math] ממ"פ נוצר סופית עם הנורמה המושרית, ותהי [math]\displaystyle{ u_1,\ldots,u_k }[/math] סדרה א"נ ב-[math]\displaystyle{ V }[/math]. אזי לכל [math]\displaystyle{ v\in V }[/math]

[math]\displaystyle{ |\langle v,u_1\rangle|^2+\ldots+|\langle v,u_k\rangle|^2\leq||v||^2 }[/math]

ושוויון מתקיים אם ורק אם [math]\displaystyle{ v\in span\{u_1,\ldots,u_k\} }[/math].

הערה: נסמן [math]\displaystyle{ U=span\{u_1,\ldots,u_k\} }[/math]. כיוון ש-[math]\displaystyle{ \pi_U(v)=\langle v,u_1\rangle u_1+\ldots+\langle v,u_k\rangle u_k }[/math], לפי פיתגורס המוכלל (בתוך [math]\displaystyle{ U }[/math]) צד שמאל הוא בדיוק [math]\displaystyle{ ||\pi_U(v)||^2 }[/math]. כלומר אי שיוויון בסל אומר שההיטל אינו ארוך מהוקטור עצמו: [math]\displaystyle{ ||\pi_U(v)||\leq||v|| }[/math].

הוכחה. סדרה א"נ היא בת"ל, ולכן [math]\displaystyle{ u_1,\ldots,u_k }[/math] הוא בא"נ של [math]\displaystyle{ U=span\{u_1,\ldots,u_k\} }[/math]. כמו בהוכחת הטענה על ההיטל, נשלים אותו לבא"נ של [math]\displaystyle{ V }[/math] כולו (משלימים לבסיס, ממשיכים את גרם-שמידט ומנרמלים):

[math]\displaystyle{ u_1,\ldots,u_k,u_{k+1},\ldots,u_n }[/math]

לפי משפט פיתגורס המוכלל

[math]\displaystyle{ ||v||^2=\sum_{i=1}^{n}|\langle v,u_i\rangle|^2\geq\sum_{i=1}^{k}|\langle v,u_i\rangle|^2 }[/math]

כי השמטנו איברים אי-שליליים. שוויון מתקיים אם ורק אם [math]\displaystyle{ \langle v,u_i\rangle=0 }[/math] לכל [math]\displaystyle{ k<i\leq n }[/math], כלומר אם ורק אם הקואורדינטות של [math]\displaystyle{ v }[/math] לפי הבא"נ (שהן [math]\displaystyle{ \langle v,u_i\rangle }[/math]) מתאפסות בכל המקומות שאחרי [math]\displaystyle{ k }[/math]. זה קורה אם ורק אם [math]\displaystyle{ v\in span\{u_1,\ldots,u_k\} }[/math] (מיחידות ההצגה לפי בסיס).

הערה: ההנחה ש-[math]\displaystyle{ V }[/math] נוצר סופית אינה הכרחית: אפשר להפעיל את ההוכחה בתוך המרחב [math]\displaystyle{ W=span\{u_1,\ldots,u_k,v\} }[/math], שהוא נוצר סופית.

המרחב הניצב

הגדרה: יהי [math]\displaystyle{ V }[/math] ממ"פ ויהי [math]\displaystyle{ U\leq V }[/math] תת-מרחב. המרחב הניצב ל-[math]\displaystyle{ U }[/math] הוא

[math]\displaystyle{ U^{\perp}=\{v\in V\mid \forall u\in U:\ v\perp u\} }[/math]

כלומר אוסף כל הוקטורים המאונכים לכל וקטור ב-[math]\displaystyle{ U }[/math].

הערות:

• [math]\displaystyle{ U^{\perp} }[/math] הוא תת-מרחב של [math]\displaystyle{ V }[/math]: [math]\displaystyle{ 0\in U^{\perp} }[/math], ואם [math]\displaystyle{ v,w\in U^{\perp} }[/math] ו-[math]\displaystyle{ a,b }[/math] סקלרים, אז לכל [math]\displaystyle{ u\in U }[/math] מתקיים [math]\displaystyle{ \langle av+bw,u\rangle=a\langle v,u\rangle+b\langle w,u\rangle=0 }[/math].
• כדי לבדוק ש-[math]\displaystyle{ v\in U^{\perp} }[/math] מספיק לבדוק ש-[math]\displaystyle{ v }[/math] מאונך לכל הוקטורים בקבוצה פורשת של [math]\displaystyle{ U }[/math]: אם [math]\displaystyle{ u=c_1s_1+\ldots+c_ms_m }[/math] אז [math]\displaystyle{ \langle v,u\rangle=\overline{c_1}\langle v,s_1\rangle+\ldots+\overline{c_m}\langle v,s_m\rangle }[/math].

דוגמה (ויזואלית): אם [math]\displaystyle{ U }[/math] הוא המישור [math]\displaystyle{ Ax+By+Cz=0 }[/math] ב-[math]\displaystyle{ \mathbb{R}^3 }[/math] (כאשר [math]\displaystyle{ (A,B,C)\neq 0 }[/math]), אז המרחב הניצב לו הוא [math]\displaystyle{ span\{(A,B,C)\} }[/math] - הנורמל למישור, כמו בתיכון. (ההצדקה - אחרי משפט הפירוק הניצב.)

דוגמה: אם [math]\displaystyle{ A\in\mathbb{R}^{m\times n} }[/math], עם המכפלה הפנימית הסטנדרטית ב-[math]\displaystyle{ \mathbb{R}^n }[/math], אז מרחב האפס של [math]\displaystyle{ A }[/math] הוא הניצב למרחב השורות שלה:

[math]\displaystyle{ N(A)=\left(R(A)\right)^{\perp} }[/math]

הדוגמה הויזואלית היא בעצם מקרה פרטי של זה: המישור הוא מרחב האפס של המטריצה [math]\displaystyle{ \begin{pmatrix}A & B & C\end{pmatrix} }[/math], ומרחב השורות שלה הוא [math]\displaystyle{ span\{(A,B,C)\} }[/math].

הוכחה. הרכיב ה-[math]\displaystyle{ i }[/math] של [math]\displaystyle{ Av }[/math] הוא בדיוק המכפלה הסקלרית של השורה ה-[math]\displaystyle{ i }[/math] של [math]\displaystyle{ A }[/math] עם [math]\displaystyle{ v }[/math]. לכן [math]\displaystyle{ Av=0 }[/math] אם ורק אם [math]\displaystyle{ v }[/math] מאונך לכל השורות של [math]\displaystyle{ A }[/math], ולפי ההערה (מספיק לבדוק על קבוצה פורשת) זה קורה אם ורק אם [math]\displaystyle{ v\in\left(R(A)\right)^{\perp} }[/math].

הערה: זה עובד בממשיים כי כפל מטריצות הוא בדיוק המכפלה הסקלרית בין שורות לעמודות. במרוכבים זה לא נכון כפי שהוא, כי במכפלה הפנימית הסטנדרטית יש צמוד; שם מתקיים [math]\displaystyle{ N(A)=\left(R(\overline{A})\right)^{\perp} }[/math], כאשר [math]\displaystyle{ \overline{A} }[/math] היא המטריצה שאיבריה הם הצמודים של איברי [math]\displaystyle{ A }[/math].

▶ בהרצאה מ־5.1.25, החל מהדקה 1:00

משפט הפירוק הניצב

המשפט הבא הוא בעצם משפט הפירוק לרכיבים: המרחב והמרחב הניצב לו יחד "מייצרים" את הכל, וכל וקטור מתפרק בצורה יחידה לרכיב בתוך [math]\displaystyle{ U }[/math] ולרכיב המאונך ל-[math]\displaystyle{ U }[/math].

משפט (הפירוק הניצב): יהי [math]\displaystyle{ V }[/math] ממ"פ ממימד [math]\displaystyle{ n }[/math], ויהי [math]\displaystyle{ U\leq V }[/math] תת-מרחב. אזי

[math]\displaystyle{ V=U\oplus U^{\perp} }[/math]

ובפרט

[math]\displaystyle{ \dim U+\dim U^{\perp}=\dim V }[/math]

הוכחה. ניקח בא"נ [math]\displaystyle{ v_1,\ldots,v_k }[/math] של [math]\displaystyle{ U }[/math] (קיים בזכות גרם-שמידט), ונשלים אותו לבא"נ [math]\displaystyle{ v_1,\ldots,v_n }[/math] של [math]\displaystyle{ V }[/math] (משלימים לבסיס, ממשיכים את גרם-שמידט - שלא משנה את [math]\displaystyle{ v_1,\ldots,v_k }[/math] - ומנרמלים). נוכיח כי

[math]\displaystyle{ U^{\perp}=span\{v_{k+1},\ldots,v_n\} }[/math]

ומכאן הכל נובע: [math]\displaystyle{ U=span\{v_1,\ldots,v_k\} }[/math] ו-[math]\displaystyle{ U^{\perp} }[/math] נפרשים ע"י שני חלקים זרים של בסיס של [math]\displaystyle{ V }[/math], ולכן [math]\displaystyle{ V=U\oplus U^{\perp} }[/math] ו-[math]\displaystyle{ \dim U+\dim U^{\perp}=k+(n-k)=n }[/math].

נבצע הכלה דו-כיוונית.

כיוון ראשון. יהי [math]\displaystyle{ x=a_{k+1}v_{k+1}+\ldots+a_nv_n }[/math]; צריך להוכיח כי [math]\displaystyle{ x\in U^{\perp} }[/math], כלומר שלכל [math]\displaystyle{ u\in U }[/math] מתקיים [math]\displaystyle{ \langle x,u\rangle=0 }[/math]. נציג את [math]\displaystyle{ u }[/math] כצירוף לינארי של הבסיס של [math]\displaystyle{ U }[/math]: [math]\displaystyle{ u=c_1v_1+\ldots+c_kv_k }[/math]. לאחר פתיחת סוגריים

[math]\displaystyle{ \langle x,u\rangle=\sum_{j=k+1}^{n}\sum_{i=1}^{k}a_j\overline{c_i}\langle v_j,v_i\rangle=0 }[/math]

כי תמיד [math]\displaystyle{ j\neq i }[/math], והבסיס א"נ.

כיוון שני. יהי [math]\displaystyle{ x\in U^{\perp} }[/math]; צריך להוכיח כי [math]\displaystyle{ x\in span\{v_{k+1},\ldots,v_n\} }[/math]. כיוון ש-[math]\displaystyle{ x\in V }[/math], אפשר להציגו כצירוף לינארי של הבסיס:

[math]\displaystyle{ x=a_1v_1+\ldots+a_nv_n }[/math]

ורוצים להוכיח כי [math]\displaystyle{ a_1=\ldots=a_k=0 }[/math]. נכפול בהיטל של [math]\displaystyle{ x }[/math] על [math]\displaystyle{ U }[/math]. כיוון ש-[math]\displaystyle{ a_i=\langle x,v_i\rangle }[/math] (נוסחת הקואורדינטות בבא"נ), לפי נוסחת ההיטל

[math]\displaystyle{ \pi_U(x)=a_1v_1+\ldots+a_kv_k\in U }[/math]

כיוון ש-[math]\displaystyle{ x\in U^{\perp} }[/math], מתקיים [math]\displaystyle{ x\perp\pi_U(x) }[/math], כלומר

[math]\displaystyle{ 0=\langle x,\pi_U(x)\rangle= }[/math]

[math]\displaystyle{ =\langle a_1v_1+\ldots+a_nv_n\,,\,a_1v_1+\ldots+a_kv_k\rangle }[/math]

כיוון שמדובר בבא"נ כמעט הכל מתאפס (שימו לב, זה כמעט זהה לתהליך במשפט פיתגורס):

[math]\displaystyle{ 0=a_1\overline{a_1}\langle v_1,v_1\rangle+\ldots }[/math]

[math]\displaystyle{ \ldots+a_k\overline{a_k}\langle v_k,v_k\rangle }[/math]

[math]\displaystyle{ =|a_1|^2+\ldots+|a_k|^2 }[/math]

ולכן [math]\displaystyle{ a_1=\ldots=a_k=0 }[/math].

מסקנה (נוסחת ההיטל בפירוק הניצב): בתנאי המשפט, לכל [math]\displaystyle{ x\in V }[/math]

[math]\displaystyle{ x=\pi_U(x)+\pi_{U^{\perp}}(x) }[/math]

וזהו הפירוק היחיד של [math]\displaystyle{ x }[/math] לרכיב ב-[math]\displaystyle{ U }[/math] ועוד רכיב ב-[math]\displaystyle{ U^{\perp} }[/math]. בפרט [math]\displaystyle{ x-\pi_U(x)\in U^{\perp} }[/math], כלומר [math]\displaystyle{ x-\pi_U(x) }[/math] מאונך לכל וקטור ב-[math]\displaystyle{ U }[/math].

הוכחה. בסימוני הוכחת המשפט, [math]\displaystyle{ v_1,\ldots,v_k }[/math] בא"נ של [math]\displaystyle{ U }[/math] ו-[math]\displaystyle{ v_{k+1},\ldots,v_n }[/math] בא"נ של [math]\displaystyle{ U^{\perp} }[/math]. לכן לפי נוסחת ההיטל

[math]\displaystyle{ \pi_U(x)=\sum_{i=1}^{k}\langle x,v_i\rangle v_i }[/math]

[math]\displaystyle{ \pi_{U^{\perp}}(x)=\sum_{i=k+1}^{n}\langle x,v_i\rangle v_i }[/math]

וסכומם הוא [math]\displaystyle{ x }[/math] לפי נוסחת הקואורדינטות בבא"נ [math]\displaystyle{ v_1,\ldots,v_n }[/math]. יחידות הפירוק נובעת מכך שהסכום ישר.

למשל, אם [math]\displaystyle{ v_1,v_2,v_3 }[/math] בא"נ של [math]\displaystyle{ V }[/math] ו-[math]\displaystyle{ U=span\{v_1,v_2\} }[/math] (מישור), אז [math]\displaystyle{ U^{\perp}=span\{v_3\} }[/math] (הישר המאונך למישור), ולכל [math]\displaystyle{ x\in V }[/math]

[math]\displaystyle{ x=\langle x,v_1\rangle v_1+\langle x,v_2\rangle v_2+\langle x,v_3\rangle v_3 }[/math]

[math]\displaystyle{ \pi_U(x)=\langle x,v_1\rangle v_1+\langle x,v_2\rangle v_2 }[/math]

[math]\displaystyle{ \pi_{U^{\perp}}(x)=\langle x,v_3\rangle v_3 }[/math]

כלומר כל וקטור מתפרק להיטל שלו על המישור ועוד רכיב המאונך למישור.

הערה: כעת אפשר להצדיק את הדוגמה הויזואלית: אם [math]\displaystyle{ U }[/math] הוא המישור [math]\displaystyle{ Ax+By+Cz=0 }[/math], אז [math]\displaystyle{ (A,B,C) }[/math] מאונך לכל וקטור ב-[math]\displaystyle{ U }[/math], ולכן [math]\displaystyle{ span\{(A,B,C)\}\subseteq U^{\perp} }[/math]. לפי המשפט [math]\displaystyle{ \dim U^{\perp}=3-2=1 }[/math], ולכן יש שוויון.

▶ בהרצאה מ־5.1.25, החל מהדקה 7:55

פרק 3 - לכסון, וקטורים עצמיים וערכים עצמיים

חידת הכדור המסתובב

נפתח בחידה גאומטרית יפה (שלימד אותי פרופ' שמעון ברוקס), שפתרונה באמצעות וקטורים עצמיים.

ילד מסובב כדור כך שמרכז הכדור נשאר תקוע במקומו. הוא מסובב את הכדור סביב כל ציר שירצה, כמה פעמים שירצה. השאלה: האם בהכרח יש שתי נקודות על הכדור, כך שהישר העובר דרכן נמצא בסוף הסיבובים בדיוק על אותו ישר שעליו היה בהתחלה? (מותר ששתי הנקודות יתחלפו זו בזו.)

למרות שזה מפתיע - יש ישר כזה!

מה הקשר לקורס? מטריצות הן פונקציות לינאריות, וגם הסיבובים הם כפל במטריצות סיבוב; גם ההרכבה של כל הסיבובים יחד היא כפל במטריצה אחת. השאלה היא אם קיים וקטור [math]\displaystyle{ v\neq 0 }[/math] שהמטריצה שולחת לישר של עצמו, כלומר [math]\displaystyle{ Av=\lambda v }[/math] עבור סקלר כלשהו [math]\displaystyle{ \lambda }[/math].

אם נשאל את אותה השאלה על סיבוב של מעגל במישור, התשובה היא לא: סיבוב בכל זווית שאינה כפולה של [math]\displaystyle{ \pi }[/math] לא משאיר אף ישר דרך המרכז במקומו.

נראה שוקטור כזה קיים אם ורק אם לפולינום מסוים, הנקרא הפולינום האופייני, יש שורש ממשי. במישור זהו פולינום ממשי ממעלה 2, ולו לא חייב להיות שורש ממשי; במרחב זהו פולינום ממשי ממעלה 3, ולו תמיד יש שורש ממשי. הוקטורים שנשארים על אותו הישר כאשר מפעילים עליהם אופרטור (או כופלים אותם במטריצה, שזה בגדול אותו דבר) נקראים וקטורים עצמיים.

▶ בהרצאה מ־10.11.24, החל מהדקה 1:09:58

וקטור עצמי וערך עצמי

הגדרה: תהי מטריצה [math]\displaystyle{ A\in\mathbb{F}^{n\times n} }[/math] ויהי [math]\displaystyle{ v\in\mathbb{F}^n }[/math]. אם [math]\displaystyle{ v\neq 0 }[/math] וקיים [math]\displaystyle{ \lambda\in\mathbb{F} }[/math] כך ש

[math]\displaystyle{ Av=\lambda v }[/math]

אזי [math]\displaystyle{ v }[/math] נקרא וקטור עצמי (ו"ע) של [math]\displaystyle{ A }[/math] עם הערך העצמי (ע"ע) [math]\displaystyle{ \lambda }[/math].

הערה: מדוע דורשים [math]\displaystyle{ v\neq 0 }[/math]? כי [math]\displaystyle{ A\cdot 0=\lambda\cdot 0 }[/math] לכל סקלר [math]\displaystyle{ \lambda }[/math]. אילו וקטור האפס היה ו"ע, כל סקלר היה ע"ע שלו, והגדרה שמתקיימת לכל הקבוצה היא מיותרת. לעומת זאת, על הסקלר אין דרישה: [math]\displaystyle{ \lambda=0 }[/math] הוא ע"ע של [math]\displaystyle{ A }[/math] אם ורק אם יש [math]\displaystyle{ v\neq 0 }[/math] כך ש-[math]\displaystyle{ Av=0 }[/math].

אזהרה: כמעט כל הגדרה לגבי מטריצות ריבועיות מקבלת הגדרה שקולה לגבי אופרטורים, כלומר העתקות לינאריות ממרחב לעצמו. כך, אם [math]\displaystyle{ T:V\to V }[/math] אופרטור לינארי, וקטור [math]\displaystyle{ 0\neq v\in V }[/math] הוא ו"ע של [math]\displaystyle{ T }[/math] עם הע"ע [math]\displaystyle{ \lambda }[/math] אם

[math]\displaystyle{ Tv=\lambda v }[/math]

כדי למצוא ו"ע וע"ע של מטריצה, מוצאים קודם את הע"ע, ורק אחר כך את הו"ע. את הע"ע מוצאים בעזרת המשפט הבא.

משפט: תהי [math]\displaystyle{ A\in\mathbb{F}^{n\times n} }[/math]. אזי [math]\displaystyle{ \lambda\in\mathbb{F} }[/math] הוא ערך עצמי של [math]\displaystyle{ A }[/math] אם ורק אם

[math]\displaystyle{ \det(\lambda I-A)=0 }[/math]

הוכחה. [math]\displaystyle{ \lambda }[/math] הוא ע"ע של [math]\displaystyle{ A }[/math] אם ורק אם קיים [math]\displaystyle{ v\neq 0 }[/math] כך ש-[math]\displaystyle{ Av=\lambda v }[/math], כלומר [math]\displaystyle{ \lambda v-Av=0 }[/math], כלומר

[math]\displaystyle{ (\lambda I-A)v=0 }[/math]

לכן [math]\displaystyle{ \lambda }[/math] ע"ע אם ורק אם יש וקטור שונה מאפס במרחב האפס [math]\displaystyle{ N(\lambda I-A) }[/math]. זה קורה אם ורק אם המטריצה [math]\displaystyle{ \lambda I-A }[/math] אינה הפיכה, ומטריצה אינה הפיכה אם ורק אם הדטרמיננטה שלה היא אפס.

▶ בהרצאה מ־13.11.24, החל מהדקה 2:14

המרחב העצמי

הגדרה: תהי [math]\displaystyle{ A\in\mathbb{F}^{n\times n} }[/math] ויהי [math]\displaystyle{ \lambda\in\mathbb{F} }[/math] ערך עצמי של [math]\displaystyle{ A }[/math]. המרחב העצמי של [math]\displaystyle{ A }[/math] המתאים לערך העצמי [math]\displaystyle{ \lambda }[/math] הוא

[math]\displaystyle{ V_\lambda(A)=N(\lambda I-A) }[/math]

מסקנה: המרחב העצמי [math]\displaystyle{ V_\lambda(A) }[/math] הוא אוסף כל הו"ע של [math]\displaystyle{ A }[/math] המתאימים לע"ע [math]\displaystyle{ \lambda }[/math], יחד עם וקטור האפס. בפרט זהו תת-מרחב של [math]\displaystyle{ \mathbb{F}^n }[/math].

▶ בהרצאה מ־13.11.24, החל מהדקה 18:53

הפולינום האופייני

הגדרה: תהי [math]\displaystyle{ A\in\mathbb{F}^{n\times n} }[/math]. הפולינום האופייני (פ"א) של [math]\displaystyle{ A }[/math] הוא

[math]\displaystyle{ p_A(x)=\det(xI-A) }[/math]

טענה: [math]\displaystyle{ p_A(x) }[/math] הוא אכן פולינום, ויותר מכך - פולינום מתוקן ממעלה [math]\displaystyle{ n }[/math], מהצורה

[math]\displaystyle{ p_A(x)=x^n+a_{n-1}x^{n-1}+\ldots+a_1x+a_0 }[/math]

(ההוכחה - תרגיל, למשל באינדוקציה על [math]\displaystyle{ n }[/math] בעזרת פיתוח הדטרמיננטה לפי שורה. החזקה [math]\displaystyle{ x^n }[/math] מתקבלת רק ממכפלת איברי האלכסון [math]\displaystyle{ (x-a_{11})\cdots(x-a_{nn}) }[/math].)

הערה: [math]\displaystyle{ \lambda }[/math] ע"ע של [math]\displaystyle{ A }[/math] אם ורק אם [math]\displaystyle{ p_A(\lambda)=0 }[/math]. כלומר, הע"ע של [math]\displaystyle{ A }[/math] הם בדיוק השורשים של הפ"א. בפרט, למטריצה מסדר [math]\displaystyle{ n\times n }[/math] יש לכל היותר [math]\displaystyle{ n }[/math] ע"ע שונים.

הערה (סימון): לפי המוסכמה המקובלת, המשתנה של הפ"א נקרא [math]\displaystyle{ x }[/math], ואילו ע"ע, שהוא שורש של הפ"א, נקרא [math]\displaystyle{ \lambda }[/math]. בתרגולים ובספרים רבים כותבים את הפ"א עם המשתנה [math]\displaystyle{ \lambda }[/math]; זה אותו פולינום.

מציאת ע"ע וו"ע של מטריצה:

1. מחשבים את הפ"א [math]\displaystyle{ p_A(x)=\det(xI-A) }[/math].
2. השורשים של [math]\displaystyle{ p_A(x) }[/math] הם הע"ע של המטריצה.
3. לכל ע"ע [math]\displaystyle{ \lambda }[/math] מחשבים בסיס למרחב העצמי [math]\displaystyle{ V_\lambda(A)=N(\lambda I-A) }[/math].

דוגמה: מצאו את הערכים העצמיים ואת המרחבים העצמיים של

[math]\displaystyle{ A=\begin{pmatrix}1&2\\2&1\end{pmatrix}\in\mathbb{R}^{2\times 2} }[/math]

ראשית נמצא את הפולינום האופייני:

[math]\displaystyle{ p_A(x)=\det(xI-A)=\det\begin{pmatrix}x-1&-2\\-2&x-1\end{pmatrix}= }[/math]

[math]\displaystyle{ =(x-1)^2-4=(x-1-2)(x-1+2)= }[/math]

[math]\displaystyle{ =(x-3)(x+1) }[/math]

ולכן הע"ע של המטריצה, השורשים של הפ"א, הם [math]\displaystyle{ \lambda_1=3 }[/math] ו-[math]\displaystyle{ \lambda_2=-1 }[/math].

כעת נחשב לכל ע"ע בסיס למרחב העצמי. עבור [math]\displaystyle{ \lambda=3 }[/math]:

[math]\displaystyle{ V_3(A)=N(3I-A)=N\begin{pmatrix}2&-2\\-2&2\end{pmatrix}=N\begin{pmatrix}1&-1\\0&0\end{pmatrix} }[/math]

נציב פרמטר במשתנה החופשי, [math]\displaystyle{ y=t }[/math], ואז [math]\displaystyle{ x=t }[/math]. לכן

[math]\displaystyle{ V_3(A)=\operatorname{span}\{(1,1)\} }[/math]

בדיקה:

[math]\displaystyle{ \begin{pmatrix}1&2\\2&1\end{pmatrix}\begin{pmatrix}1\\1\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}3\\3\end{pmatrix}=3\begin{pmatrix}1\\1\end{pmatrix} }[/math]

עבור [math]\displaystyle{ \lambda=-1 }[/math]:

[math]\displaystyle{ V_{-1}(A)=N(-I-A)=N\begin{pmatrix}-2&-2\\-2&-2\end{pmatrix}=N\begin{pmatrix}1&1\\0&0\end{pmatrix} }[/math]

נציב [math]\displaystyle{ y=t }[/math], ואז [math]\displaystyle{ x=-t }[/math], וסך הכל

[math]\displaystyle{ V_{-1}(A)=\operatorname{span}\{(-1,1)\} }[/math]

בדיקה:

[math]\displaystyle{ \begin{pmatrix}1&2\\2&1\end{pmatrix}\begin{pmatrix}-1\\1\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}1\\-1\end{pmatrix}=-1\cdot\begin{pmatrix}-1\\1\end{pmatrix} }[/math]

לשם השוואה, נראה מה קורה אם ננסה סקלר שאינו ע"ע, למשל [math]\displaystyle{ 5 }[/math]:

[math]\displaystyle{ N(5I-A)=N\begin{pmatrix}4&-2\\-2&4\end{pmatrix}=N\begin{pmatrix}0&6\\-2&4\end{pmatrix}=\{(0,0)\} }[/math]

אין ו"ע עם הסקלר הזה, כצפוי.

אפשר לבדוק חישובים כאלה באתר matrixcalc.

▶ בהרצאה מ־13.11.24, החל מהדקה 22:20

ריבוי אלגברי וריבוי גאומטרי

שתי שאלות שיהיו חשובות בהמשך: "כמה פעמים" מופיע ע"ע, ו"כמה" ו"ע מתאימים לו? כדי שלשאלות יהיה מובן, נגדיר את הרעיונות במדויק.

הגדרה: תהי [math]\displaystyle{ A\in\mathbb{F}^{n\times n} }[/math] ויהי [math]\displaystyle{ \lambda }[/math] ערך עצמי של [math]\displaystyle{ A }[/math].

• החזקה הגבוהה ביותר [math]\displaystyle{ n_\lambda }[/math] שעבורה [math]\displaystyle{ (x-\lambda)^{n_\lambda} }[/math] מחלק את הפולינום האופייני [math]\displaystyle{ p_A(x) }[/math] נקראת הריבוי האלגברי (ר"א) של [math]\displaystyle{ \lambda }[/math].
• הריבוי הגאומטרי (ר"ג) של [math]\displaystyle{ \lambda }[/math] מוגדר להיות [math]\displaystyle{ \dim V_\lambda(A) }[/math], כלומר המספר המקסימלי של וקטורים עצמיים בלתי תלויים לינארית (בת"ל) המתאימים ל-[math]\displaystyle{ \lambda }[/math].

סימון: נסמן את הר"א של [math]\displaystyle{ \lambda }[/math] ב-[math]\displaystyle{ r_A(\lambda) }[/math] ואת הר"ג שלו ב-[math]\displaystyle{ r_G(\lambda) }[/math].

הערה: [math]\displaystyle{ a }[/math] מאפס את הפולינום [math]\displaystyle{ p(x) }[/math] אם ורק אם [math]\displaystyle{ (x-a) }[/math] מחלק את [math]\displaystyle{ p(x) }[/math]. לכן הר"א של ע"ע הוא לפחות 1. גם הר"ג של ע"ע הוא לפחות 1, כי לע"ע יש לפחות ו"ע אחד (שונה מאפס).

הגדרה: בלוק ז'ורדן הוא מטריצה מהצורה

[math]\displaystyle{ J_k(\lambda)=\begin{pmatrix}\lambda&1&&\\&\lambda&\ddots&\\&&\ddots&1\\&&&\lambda\end{pmatrix}\in\mathbb{F}^{k\times k} }[/math]

(על האלכסון [math]\displaystyle{ \lambda }[/math], מעליו [math]\displaystyle{ 1 }[/math], וכל מה שלא כתוב הוא אפס). בפרט [math]\displaystyle{ J_1(\lambda)=(\lambda)\in\mathbb{F}^{1\times 1} }[/math]. בלוקי ז'ורדן יהיו אבני הבניין של צורת ז'ורדן בפרק הבא.

דוגמה (חשובה מאוד): חשבו את הפולינום האופייני, הערכים העצמיים, הריבויים האלגבריים, המרחבים העצמיים והריבויים הגאומטריים של בלוק ז'ורדן [math]\displaystyle{ J_k(\lambda) }[/math].

המטריצה [math]\displaystyle{ xI-J_k(\lambda) }[/math] משולשית עליונה, ולכן הדטרמיננטה שלה היא מכפלת איברי האלכסון:

[math]\displaystyle{ p_{J_k(\lambda)}(x)=\det\begin{pmatrix}x-\lambda&-1&&\\&x-\lambda&\ddots&\\&&\ddots&-1\\&&&x-\lambda\end{pmatrix}= }[/math]

[math]\displaystyle{ =(x-\lambda)^k }[/math]

לכן הע"ע היחיד הוא [math]\displaystyle{ \lambda }[/math], והר"א שלו הוא [math]\displaystyle{ k }[/math].

כעת נמצא בסיס למרחב העצמי המתאים לע"ע היחיד שמצאנו:

[math]\displaystyle{ V_\lambda=N(\lambda I-J_k(\lambda))=N\begin{pmatrix}0&-1&&\\&0&\ddots&\\&&\ddots&-1\\&&&0\end{pmatrix} }[/math]

המטריצה הזו כבר מדורגת, ויש בה [math]\displaystyle{ k-1 }[/math] שורות שונות מאפס, ולכן דרגתה [math]\displaystyle{ k-1 }[/math]. לפי משפט הדרגה, עבור [math]\displaystyle{ M\in\mathbb{F}^{m\times n} }[/math] מתקיים [math]\displaystyle{ \dim N(M)+\operatorname{rank}(M)=n }[/math], ולכן [math]\displaystyle{ \dim V_\lambda=k-(k-1)=1 }[/math]. קל לוודא כי

[math]\displaystyle{ V_\lambda=\operatorname{span}\{e_1\} }[/math]

לסיכום: הר"א של [math]\displaystyle{ \lambda }[/math] הוא [math]\displaystyle{ k }[/math], ואילו הר"ג שלו הוא [math]\displaystyle{ 1 }[/math], ובסיס למרחב העצמי הוא [math]\displaystyle{ \{e_1\} }[/math]. זה הפער הגדול ביותר האפשרי בין שני הריבויים במטריצה מסדר [math]\displaystyle{ k\times k }[/math].

▶ בהרצאה מ־13.11.24, החל מהדקה 56:27

ערכים עצמיים של אופרטור

יהי [math]\displaystyle{ V }[/math] מרחב וקטורי ממימד סופי [math]\displaystyle{ n }[/math] מעל [math]\displaystyle{ \mathbb{F} }[/math] ויהי [math]\displaystyle{ T:V\to V }[/math] אופרטור לינארי. כזכור, [math]\displaystyle{ \lambda }[/math] ע"ע של [math]\displaystyle{ T }[/math] אם ורק אם קיים [math]\displaystyle{ v\neq 0 }[/math] כך ש-[math]\displaystyle{ Tv=\lambda v }[/math], כלומר [math]\displaystyle{ (\lambda I-T)v=0 }[/math], כאשר [math]\displaystyle{ I }[/math] היא העתקת הזהות. אותו פיתוח שעשינו למטריצות נותן: [math]\displaystyle{ \lambda }[/math] ע"ע של [math]\displaystyle{ T }[/math] אם ורק אם

[math]\displaystyle{ \ker(\lambda I-T)\neq\{0\} }[/math]

והמרחב העצמי של [math]\displaystyle{ T }[/math] המתאים ל-[math]\displaystyle{ \lambda }[/math] הוא [math]\displaystyle{ V_\lambda(T)=\ker(\lambda I-T) }[/math].

הערה (איזה בסיס לבחור?): עבור בסיסים [math]\displaystyle{ B,C }[/math] של [math]\displaystyle{ V }[/math] מתקיים

[math]\displaystyle{ [\lambda I-T]_C^B=\lambda[I]_C^B-[T]_C^B }[/math]

ו-[math]\displaystyle{ [I]_C^B=I }[/math] אם ורק אם [math]\displaystyle{ B=C }[/math] (תרגיל). לכן נעבוד כמעט באופן בלעדי עם מטריצות מייצגות לפי אותו בסיס בתחום ובטווח, ונסמן [math]\displaystyle{ [T]_B=[T]_B^B }[/math].

טענה: יהי [math]\displaystyle{ B }[/math] בסיס כלשהו של [math]\displaystyle{ V }[/math]. אזי [math]\displaystyle{ \lambda }[/math] ערך עצמי של [math]\displaystyle{ T }[/math] אם ורק אם

[math]\displaystyle{ \det(\lambda I-[T]_B)=0 }[/math]

כלומר, הע"ע של [math]\displaystyle{ T }[/math] הם השורשים של הפולינום האופייני של המטריצה [math]\displaystyle{ [T]_B }[/math]. שורה תחתונה: משאלה על אופרטור עברנו לשאלה על פולינום אופייני של מטריצה.

הוכחה. תזכורת מלינארית 1: לפי משפט הדרגה

[math]\displaystyle{ \dim\ker S+\dim\operatorname{Im}S=\dim V }[/math]

ולכן אופרטור [math]\displaystyle{ S }[/math] על מרחב ממימד סופי הפיך אם ורק אם הוא חח"ע, כלומר אם ורק אם [math]\displaystyle{ \ker S=\{0\} }[/math]. כמו כן, העתקה לינארית בין מרחבים נוצרים סופית הפיכה אם ורק אם המטריצה המייצגת שלה הפיכה, לא משנה מי הבסיסים.

לכן: [math]\displaystyle{ \lambda }[/math] ע"ע של [math]\displaystyle{ T }[/math] אם ורק אם [math]\displaystyle{ \ker(\lambda I-T)\neq\{0\} }[/math], אם ורק אם [math]\displaystyle{ \lambda I-T }[/math] אינו הפיך, אם ורק אם המטריצה [math]\displaystyle{ [\lambda I-T]_B=\lambda I-[T]_B }[/math] אינה הפיכה, אם ורק אם [math]\displaystyle{ \det(\lambda I-[T]_B)=0 }[/math].

שאלה: האם בחירת הבסיס משפיעה על הפולינום האופייני שנקבל? כלומר, האם בהכרח

[math]\displaystyle{ \det(xI-[T]_B)=\det(xI-[T]_C) }[/math]

לשני הפולינומים יש אותם שורשים (הע"ע של [math]\displaystyle{ T }[/math]) ואותה מעלה, אבל זה לא מספיק: למשל לפולינומים [math]\displaystyle{ (x-1)^2(x-2) }[/math] ו-[math]\displaystyle{ (x-1)(x-2)^2 }[/math] יש אותם שורשים ואותה מעלה, והם שונים. אולי בסיס אחד ייתן את זה, והבסיס השני את ההוא? נענה על השאלה בהמשך, אחרי שנבין את הקשר בין המטריצות המייצגות.

▶ בהרצאה מ־17.11.24, החל מהדקה 2:20

מטריצות דומות

מה הקשר בין מטריצות שונות שמייצגות את אותו אופרטור [math]\displaystyle{ T:V\to V }[/math]? ידוע לנו מלינארית 1 כי

[math]\displaystyle{ [T]_B=[I]_B^C\,[T]_C\,[I]_C^B }[/math]

ומטריצות המעבר [math]\displaystyle{ [I]_B^C }[/math] ו-[math]\displaystyle{ [I]_C^B }[/math] הפוכות זו לזו, ולכן

[math]\displaystyle{ [T]_B=\left([I]_C^B\right)^{-1}[T]_C\,[I]_C^B }[/math]

זה מוביל אותנו להגדרה הבאה.

הגדרה: תהיינה [math]\displaystyle{ A,B\in\mathbb{F}^{n\times n} }[/math]. אומרים כי [math]\displaystyle{ A }[/math] דומה ל-[math]\displaystyle{ B }[/math] אם קיימת מטריצה הפיכה [math]\displaystyle{ P }[/math] כך ש

[math]\displaystyle{ A=P^{-1}BP }[/math]

הערה: יחס הדמיון הוא יחס שקילות (תרגיל): מטריצה דומה לעצמה; אם [math]\displaystyle{ A }[/math] דומה ל-[math]\displaystyle{ B }[/math] אז [math]\displaystyle{ B }[/math] דומה ל-[math]\displaystyle{ A }[/math]; ואם [math]\displaystyle{ A }[/math] דומה ל-[math]\displaystyle{ B }[/math] וכן [math]\displaystyle{ B }[/math] דומה ל-[math]\displaystyle{ C }[/math], אז [math]\displaystyle{ A }[/math] דומה ל-[math]\displaystyle{ C }[/math]. לכן אפשר לומר פשוט ש-[math]\displaystyle{ A }[/math] ו-[math]\displaystyle{ B }[/math] דומות.

העתקת המטריצה: כל מטריצה [math]\displaystyle{ A\in\mathbb{F}^{n\times n} }[/math] מייצגת, לפי הבסיס הסטנדרטי [math]\displaystyle{ S=\{e_1,\ldots,e_n\} }[/math], את העתקת המטריצה [math]\displaystyle{ T_A:\mathbb{F}^n\to\mathbb{F}^n }[/math] המוגדרת על ידי [math]\displaystyle{ T_A(v)=Av }[/math]. כלומר [math]\displaystyle{ [T_A]_S=A }[/math].

למשל, עבור [math]\displaystyle{ A=\begin{pmatrix}1&2\\3&4\end{pmatrix} }[/math] מתקיים [math]\displaystyle{ T_A(x,y)=(x+2y,\,3x+4y) }[/math]. כדי למצוא מטריצה מייצגת מפעילים את ההעתקה על איברי בסיס התחום, מוצאים קואורדינטות לפי בסיס הטווח, ושמים בעמודות: [math]\displaystyle{ T_A(e_1)=(1,3) }[/math] ו-[math]\displaystyle{ T_A(e_2)=(2,4) }[/math], והקואורדינטות לפי הבסיס הסטנדרטי הן פשוט הוקטורים עצמם. לכן [math]\displaystyle{ [T_A]_S=A }[/math].

טענה: מטריצות דומות אם ורק אם הן מייצגות את אותו אופרטור (לפי בסיסים שונים). במדויק:

• מטריצות המייצגות את אותו אופרטור [math]\displaystyle{ T:V\to V }[/math], כל אחת לפי בסיס כלשהו של [math]\displaystyle{ V }[/math], דומות זו לזו.
• אם [math]\displaystyle{ B=P^{-1}AP }[/math], אז [math]\displaystyle{ B=[T_A]_C }[/math], כאשר [math]\displaystyle{ C }[/math] הוא הבסיס של [math]\displaystyle{ \mathbb{F}^n }[/math] המורכב מעמודות המטריצה [math]\displaystyle{ P }[/math].

הוכחה. החלק הראשון הוא בדיוק הנוסחה [math]\displaystyle{ [T]_B=\left([I]_C^B\right)^{-1}[T]_C\,[I]_C^B }[/math] שראינו לעיל.

לחלק השני: נבחר את [math]\displaystyle{ C }[/math] להיות עמודות המטריצה [math]\displaystyle{ P }[/math]; זה בסיס של [math]\displaystyle{ \mathbb{F}^n }[/math] כי [math]\displaystyle{ P }[/math] הפיכה. הקואורדינטות של וקטורי [math]\displaystyle{ C }[/math] לפי הבסיס הסטנדרטי הן הוקטורים עצמם, ולכן מטריצת המעבר מ-[math]\displaystyle{ C }[/math] ל-[math]\displaystyle{ S }[/math] היא

[math]\displaystyle{ [I]_S^C=P }[/math]

כמו כן [math]\displaystyle{ A=[T_A]_S }[/math]. לכן

[math]\displaystyle{ B=P^{-1}AP=\left([I]_S^C\right)^{-1}[T_A]_S\,[I]_S^C= }[/math]

[math]\displaystyle{ =[I]_C^S\,[T_A]_S\,[I]_S^C=[T_A]_C }[/math]

שורה תחתונה (לא מתמטית): מטריצות דומות הן "אותה העתקה" בבסיסים שונים.

▶ בהרצאה מ־17.11.24, החל מהדקה 24:52

תכונות משותפות למטריצות דומות

טענה: למטריצות דומות יש אותו פולינום אופייני.

הוכחה. תהי [math]\displaystyle{ B=P^{-1}AP }[/math]; נרצה להוכיח כי [math]\displaystyle{ p_A=p_B }[/math]. הטריק המרכזי הוא לכתוב [math]\displaystyle{ I=P^{-1}P }[/math] ולהוציא את [math]\displaystyle{ P^{-1} }[/math] ואת [math]\displaystyle{ P }[/math] החוצה:

[math]\displaystyle{ p_B(x)=\det(xI-P^{-1}AP)= }[/math]

[math]\displaystyle{ =\det(xP^{-1}P-P^{-1}AP)= }[/math]

[math]\displaystyle{ =\det\left(P^{-1}(xI-A)P\right)= }[/math]

[math]\displaystyle{ =\det(P^{-1})\det(xI-A)\det(P)= }[/math]

[math]\displaystyle{ =\det(P^{-1})\det(P)\det(xI-A)= }[/math]

[math]\displaystyle{ =\det(P^{-1}P)\det(xI-A)=\det(I)\,p_A(x)=p_A(x) }[/math]

(בשורה החמישית החלפנו את סדר הגורמים, כי כפל הדטרמיננטות חילופי.)

הערה: ההפך אינו נכון: למטריצות שאינן דומות יכול להיות אותו פולינום אופייני. למשל, ל-[math]\displaystyle{ I }[/math] ול-[math]\displaystyle{ J_2(1) }[/math] יש אותו פ"א [math]\displaystyle{ (x-1)^2 }[/math], אבל המטריצה היחידה הדומה ל-[math]\displaystyle{ I }[/math] היא [math]\displaystyle{ I }[/math] עצמה (כי [math]\displaystyle{ P^{-1}IP=I }[/math]).

הערה: על הדרך הוכחנו שלמטריצות דומות יש אותה דטרמיננטה: [math]\displaystyle{ \det(P^{-1}AP)=\det(P^{-1})\det(A)\det(P)=\det(A) }[/math].

טענה: למטריצות דומות יש אותה עקבה (trace).

הוכחה. נשתמש בתכונה [math]\displaystyle{ \operatorname{tr}(XY)=\operatorname{tr}(YX) }[/math]:

[math]\displaystyle{ \operatorname{tr}(B)=\operatorname{tr}\left(P^{-1}\cdot AP\right)= }[/math]

[math]\displaystyle{ =\operatorname{tr}\left(AP\cdot P^{-1}\right)=\operatorname{tr}(A) }[/math]

טענה: למטריצות דומות יש אותה דרגה.

הוכחה. כפל במטריצה הפיכה אינו משנה את הדרגה.

הוכחה אחרת: שתי המטריצות מייצגות את אותה ההעתקה, והדרגה של מטריצה מייצגת היא מימד התמונה של ההעתקה.

מסקנה: למטריצות דומות יש אותם ערכים עצמיים, ולכל ע"ע יש בשתיהן אותו ריבוי אלגברי ואותו ריבוי גאומטרי.

הוכחה. הע"ע והר"א נקבעים לפי הפולינום האופייני, שהוא משותף. לגבי הר"ג: אם [math]\displaystyle{ B=P^{-1}AP }[/math], אז בדיוק כמו בהוכחה לעיל

[math]\displaystyle{ \lambda I-B=P^{-1}(\lambda I-A)P }[/math]

כלומר גם [math]\displaystyle{ \lambda I-A }[/math] ו-[math]\displaystyle{ \lambda I-B }[/math] דומות. לכן יש להן אותה דרגה, ולפי משפט הדרגה גם מרחבי האפס שלהן מאותו מימד: [math]\displaystyle{ \dim V_\lambda(A)=\dim V_\lambda(B) }[/math].

מסקנה (אופרטורים): יהי [math]\displaystyle{ T:V\to V }[/math] אופרטור על מרחב נוצר סופית. אפשר להגדיר לו פולינום אופייני, דרגה, דטרמיננטה ועקבה (וכן ריבוי אלגברי וריבוי גאומטרי לכל ע"ע): פשוט לוקחים את המושגים הללו עבור המטריצה המייצגת [math]\displaystyle{ [T]_B }[/math] לפי בסיס כלשהו [math]\displaystyle{ B }[/math]. כל המטריצות [math]\displaystyle{ [T]_B }[/math] דומות זו לזו, ולכן לפי הטענות לעיל ההגדרות אינן תלויות בבחירת הבסיס. בפרט זו התשובה לשאלה מהסעיף הקודם: הפ"א [math]\displaystyle{ p_T(x)=\det(xI-[T]_B) }[/math] אינו תלוי ב-[math]\displaystyle{ B }[/math], והע"ע של [math]\displaystyle{ T }[/math] הם בדיוק השורשים שלו.

הערה: אין לנו מושג מה תהיינה התכונות הללו עבור מטריצה מייצגת לפי שני בסיסים שונים [math]\displaystyle{ [T]_C^B }[/math], ולכן לא נעשה זאת.

▶ בהרצאה מ־17.11.24, החל מהדקה 45:15

הריבוי הגאומטרי קטן או שווה לריבוי האלגברי

טענה: תהי [math]\displaystyle{ A\in\mathbb{F}^{n\times n} }[/math] ויהי [math]\displaystyle{ \lambda }[/math] ערך עצמי של [math]\displaystyle{ A }[/math]. אזי הריבוי הגאומטרי של [math]\displaystyle{ \lambda }[/math] קטן או שווה לריבוי האלגברי שלו:

[math]\displaystyle{ 1\le r_G(\lambda)\le r_A(\lambda) }[/math]

במילים פשוטות: אם למשל הפולינום האופייני הוא [math]\displaystyle{ (x-1)^3(x-4) }[/math], כמה ו"ע יש בבסיס של [math]\displaystyle{ V_4 }[/math]? אחד בדיוק, כי הר"ג לא יכול לעקוף את הר"א, שהוא 1. לעומת זאת, המימד של [math]\displaystyle{ V_1 }[/math] יכול להיות [math]\displaystyle{ 1 }[/math], [math]\displaystyle{ 2 }[/math] או [math]\displaystyle{ 3 }[/math]. הר"ג אינו אפס, כי לע"ע יש לפחות ו"ע אחד.

הוכחה. לא במפתיע, נשתמש באופרטור [math]\displaystyle{ T_A:\mathbb{F}^n\to\mathbb{F}^n }[/math], [math]\displaystyle{ T_A(v)=Av }[/math], שהמטריצה המייצגת שלו לפי הבסיס הסטנדרטי היא [math]\displaystyle{ A }[/math]; יש לו אותם ע"ע, ו"ע, ר"א ור"ג כמו ל-[math]\displaystyle{ A }[/math].

נסמן את הר"ג ב-[math]\displaystyle{ k }[/math], כלומר יש [math]\displaystyle{ k }[/math] ו"ע בת"ל המתאימים ל-[math]\displaystyle{ \lambda }[/math]; נסמנם [math]\displaystyle{ v_1,\ldots,v_k }[/math]. זהו בסיס של [math]\displaystyle{ V_\lambda(T_A) }[/math]. נשלים אותם לבסיס של המרחב כולו:

[math]\displaystyle{ B=\{v_1,\ldots,v_k,v_{k+1},\ldots,v_n\} }[/math]

כעת נרצה להבין את [math]\displaystyle{ [T_A]_B }[/math]. ראשית נפעיל את ההעתקה על איברי הבסיס:

[math]\displaystyle{ T_Av_1=\lambda v_1,\ \ldots,\ T_Av_k=\lambda v_k }[/math]

(לגבי שאר איברי הבסיס אין לנו מידע). כעת נמצא קואורדינטות לפי הבסיס: הקואורדינטות של איבר בסיס לפי אותו בסיס הן [math]\displaystyle{ e_i }[/math], ולכן [math]\displaystyle{ [\lambda v_i]_B=\lambda e_i }[/math]. לכן [math]\displaystyle{ k }[/math] העמודות הראשונות של המטריצה המייצגת הן [math]\displaystyle{ \lambda e_1,\ldots,\lambda e_k }[/math], כלומר

[math]\displaystyle{ [T_A]_B=\begin{pmatrix}\lambda I_k&X\\0&Y\end{pmatrix} }[/math]

עבור בלוקים כלשהם [math]\displaystyle{ X\in\mathbb{F}^{k\times(n-k)} }[/math] ו-[math]\displaystyle{ Y\in\mathbb{F}^{(n-k)\times(n-k)} }[/math]. המטריצה הזו דומה ל-[math]\displaystyle{ A }[/math], ולכן יש לה אותו פולינום אופייני:

[math]\displaystyle{ p_A(x)=\det\left(xI-[T_A]_B\right)= }[/math]

[math]\displaystyle{ =\det\begin{pmatrix}(x-\lambda)I_k&-X\\0&xI_{n-k}-Y\end{pmatrix} }[/math]

נפתח את הדטרמיננטה לפי העמודה הראשונה, ואז לפי השנייה, וכן הלאה עד העמודה ה-[math]\displaystyle{ k }[/math], ונקבל

[math]\displaystyle{ p_A(x)=(x-\lambda)^k\det(xI_{n-k}-Y) }[/math]

לכן [math]\displaystyle{ (x-\lambda)^k }[/math] מחלק את [math]\displaystyle{ p_A }[/math], כלומר הר"א של [math]\displaystyle{ \lambda }[/math] הוא לפחות [math]\displaystyle{ k }[/math].

דוגמה: תהי

[math]\displaystyle{ A=\begin{pmatrix}-1&-1&0\\4&3&0\\0&0&1\end{pmatrix}\in\mathbb{R}^{3\times 3} }[/math]

מצאו את הערכים העצמיים ואת הריבויים שלהם. השלימו בסיס של המרחב העצמי לבסיס [math]\displaystyle{ B }[/math] של [math]\displaystyle{ \mathbb{R}^3 }[/math], כמו בהוכחה, וחשבו את [math]\displaystyle{ [T_A]_B=P^{-1}AP }[/math], כאשר עמודות [math]\displaystyle{ P }[/math] הן איברי [math]\displaystyle{ B }[/math].

ראשית נחשב את הפולינום האופייני (פיתוח לפי השורה האחרונה):

[math]\displaystyle{ p_A(x)=\det(xI-A)=\det\begin{pmatrix}x+1&1&0\\-4&x-3&0\\0&0&x-1\end{pmatrix}= }[/math]

[math]\displaystyle{ =(x-1)\det\begin{pmatrix}x+1&1\\-4&x-3\end{pmatrix}= }[/math]

[math]\displaystyle{ =(x-1)\left((x+1)(x-3)+4\right)= }[/math]

[math]\displaystyle{ =(x-1)(x^2-2x-3+4)=(x-1)^3 }[/math]

לכן הע"ע היחיד הוא [math]\displaystyle{ \lambda=1 }[/math], והר"א שלו הוא 3. נמצא בסיס למרחב העצמי:

[math]\displaystyle{ V_1=N(I-A)=N\begin{pmatrix}2&1&0\\-4&-2&0\\0&0&0\end{pmatrix}= }[/math]

[math]\displaystyle{ =N\begin{pmatrix}1&\frac12&0\\0&0&0\\0&0&0\end{pmatrix} }[/math]

נציב פרמטרים במשתנים החופשיים: [math]\displaystyle{ y=t }[/math], [math]\displaystyle{ z=s }[/math], ואז [math]\displaystyle{ x=-\tfrac12t }[/math]:

[math]\displaystyle{ \left(-\tfrac12t,\,t,\,s\right)=t\left(-\tfrac12,\,1,\,0\right)+s(0,0,1) }[/math]

סך הכל

[math]\displaystyle{ V_1=\operatorname{span}\{(-1,2,0),\,(0,0,1)\} }[/math]

הר"ג של [math]\displaystyle{ \lambda=1 }[/math] הוא 2, קטן ממש מהר"א 3. בפרט, כל הו"ע של [math]\displaystyle{ A }[/math] נמצאים ב-[math]\displaystyle{ V_1 }[/math], ולכן אין בסיס של [math]\displaystyle{ \mathbb{R}^3 }[/math] המורכב מו"ע של [math]\displaystyle{ A }[/math].

נשלים את הקבוצה לבסיס (על ידי ניחוש מושכל):

[math]\displaystyle{ B=\{(-1,2,0),\,(0,0,1),\,(0,1,0)\} }[/math]

ונשים את איבריו בעמודות המטריצה

[math]\displaystyle{ P=\begin{pmatrix}-1&0&0\\2&0&1\\0&1&0\end{pmatrix} }[/math]

ההיגיון: [math]\displaystyle{ P=[I]_S^B }[/math], ולכן

[math]\displaystyle{ P^{-1}AP=[I]_B^S\,[T_A]_S\,[I]_S^B=[T_A]_B }[/math]

את [math]\displaystyle{ [T_A]_B }[/math] נחשב לפי עמודות: שני הו"ע נשלחים לעצמם (הע"ע הוא 1), ואילו [math]\displaystyle{ T_A(0,1,0)=(-1,3,0)=(-1,2,0)+(0,1,0) }[/math]. לכן

[math]\displaystyle{ P^{-1}AP=[T_A]_B=\begin{pmatrix}1&0&1\\0&1&0\\0&0&1\end{pmatrix} }[/math]

בדיוק כמו בהוכחה: שתי העמודות הראשונות הן [math]\displaystyle{ \lambda e_1,\lambda e_2 }[/math] עם [math]\displaystyle{ \lambda=1 }[/math].

▶ בהרצאה מ־17.11.24, החל מהדקה 1:04:47

וקטורים עצמיים של ערכים עצמיים שונים

טענה: תהי [math]\displaystyle{ A\in\mathbb{F}^{n\times n} }[/math], ויהיו [math]\displaystyle{ v_1,\ldots,v_k }[/math] וקטורים עצמיים של [math]\displaystyle{ A }[/math] המתאימים לערכים עצמיים שונים זה מזה [math]\displaystyle{ \lambda_1,\ldots,\lambda_k }[/math]. אזי [math]\displaystyle{ v_1,\ldots,v_k }[/math] בלתי תלויים לינארית.

הערה: ו"ע של אותו ע"ע אינם בהכרח בת"ל; למשל [math]\displaystyle{ v }[/math] ו-[math]\displaystyle{ 2v }[/math].

הוכחה. נב"ש שהטענה אינה נכונה, וניקח את [math]\displaystyle{ k }[/math] להיות המספר המינימלי של ו"ע של ע"ע שונים שהם תלויים לינארית. ו"ע בודד הוא בת"ל כי הוא שונה מאפס (לפי ההגדרה), ולכן [math]\displaystyle{ k\ge 2 }[/math].

יש צירוף לינארי לא טריוויאלי שמתאפס:

[math]\displaystyle{ a_1v_1+\ldots+a_kv_k=0 }[/math]

כל הסקלרים [math]\displaystyle{ a_1,\ldots,a_k }[/math] שונים מאפס - אחרת, אחרי מחיקת המחוברים שמקדמם אפס, היינו מוצאים פחות מ-[math]\displaystyle{ k }[/math] ו"ע של ע"ע שונים שהם תלויים לינארית, בסתירה למינימליות של [math]\displaystyle{ k }[/math].

נכפול את השוויון במטריצה [math]\displaystyle{ A }[/math]. כיוון ש-[math]\displaystyle{ Av_i=\lambda_iv_i }[/math], נקבל

[math]\displaystyle{ a_1\lambda_1v_1+\ldots+a_k\lambda_kv_k=0 }[/math]

מצד שני, נכפול את השוויון המקורי בסקלר [math]\displaystyle{ \lambda_k }[/math]:

[math]\displaystyle{ a_1\lambda_kv_1+\ldots+a_k\lambda_kv_k=0 }[/math]

נחסר בין שני השוויונים. המחובר האחרון מתבטל, ונקבל

[math]\displaystyle{ a_1(\lambda_1-\lambda_k)v_1+\ldots }[/math]

[math]\displaystyle{ \ldots+a_{k-1}(\lambda_{k-1}-\lambda_k)v_{k-1}=0 }[/math]

כיוון שהע"ע שונים, [math]\displaystyle{ \lambda_1-\lambda_k\neq 0 }[/math], וכן [math]\displaystyle{ a_1\neq 0 }[/math]; לכן זהו צירוף לינארי לא טריוויאלי. מצאנו [math]\displaystyle{ k-1 }[/math] ו"ע של ע"ע שונים שהם תלויים לינארית, בסתירה למינימליות של [math]\displaystyle{ k }[/math].

מסקנה: תהי [math]\displaystyle{ A\in\mathbb{F}^{n\times n} }[/math] בעלת [math]\displaystyle{ n }[/math] ערכים עצמיים שונים [math]\displaystyle{ \lambda_1,\ldots,\lambda_n }[/math] (ולכן כל אחד מהם מריבוי אלגברי 1). אזי הוקטורים העצמיים המתאימים [math]\displaystyle{ v_1,\ldots,v_n }[/math] מהווים בסיס של [math]\displaystyle{ \mathbb{F}^n }[/math]: לפי הטענה הם בת"ל, ו-[math]\displaystyle{ n }[/math] וקטורים בת"ל במרחב ממימד [math]\displaystyle{ n }[/math] מהווים בסיס ("שלישי חינם").

טענת עזר: תהי [math]\displaystyle{ A\in\mathbb{F}^{n\times n} }[/math] בעלת ערכים עצמיים שונים [math]\displaystyle{ \lambda_1,\ldots,\lambda_m }[/math], ולכל [math]\displaystyle{ i }[/math] יהי [math]\displaystyle{ B_i }[/math] בסיס של המרחב העצמי [math]\displaystyle{ V_{\lambda_i}(A) }[/math]. אזי האיחוד [math]\displaystyle{ B=B_1\cup\cdots\cup B_m }[/math] בלתי תלוי לינארית, וכן

[math]\displaystyle{ |B|=|B_1|+\ldots+|B_m| }[/math]

למה זה לא נובע ישירות מהטענה? נניח ש-[math]\displaystyle{ v_1,v_2 }[/math] ו"ע בת"ל של [math]\displaystyle{ \lambda_1 }[/math], ו-[math]\displaystyle{ v_3,v_4 }[/math] ו"ע בת"ל של [math]\displaystyle{ \lambda_2\neq\lambda_1 }[/math]. הוכחנו ש-[math]\displaystyle{ \{v_1,v_3\} }[/math] בת"ל וגם [math]\displaystyle{ \{v_2,v_4\} }[/math] בת"ל, אבל לא הוכחנו שסדרת הוקטורים [math]\displaystyle{ v_1,v_2,v_3,v_4 }[/math] בת"ל - וזה מה שטענת העזר אומרת. נשתמש בה בהוכחת משפט הלכסון.

הוכחה. נראה תחילה את הרעיון בדוגמה שלמעלה. נניח

[math]\displaystyle{ (a_1v_1+a_2v_2)+(a_3v_3+a_4v_4)=0 }[/math]

נסמן [math]\displaystyle{ w_1=a_1v_1+a_2v_2 }[/math] ו-[math]\displaystyle{ w_2=a_3v_3+a_4v_4 }[/math]. מסגירות המרחב העצמי, [math]\displaystyle{ w_1\in V_{\lambda_1} }[/math] ו-[math]\displaystyle{ w_2\in V_{\lambda_2} }[/math], ו-[math]\displaystyle{ w_1+w_2=0 }[/math]. אם אחד מהם שונה מאפס, הוא ו"ע, ומצאנו תלות לינארית (עם הסקלרים 1) בין ו"ע של ע"ע שונים, בסתירה לטענה. לכן שניהם שווים אפס: [math]\displaystyle{ a_1v_1+a_2v_2=0 }[/math] וגם [math]\displaystyle{ a_3v_3+a_4v_4=0 }[/math], ומכאן הסקלרים מתאפסים, כי כל אחת מהסדרות [math]\displaystyle{ v_1,v_2 }[/math] ו-[math]\displaystyle{ v_3,v_4 }[/math] בת"ל.

כעת ההוכחה הכללית. נסמן את הריבויים הגאומטריים [math]\displaystyle{ r_i=\dim V_{\lambda_i}(A) }[/math], ואת איברי הבסיס [math]\displaystyle{ B_i }[/math] ב-[math]\displaystyle{ v_{i,1},\ldots,v_{i,r_i} }[/math]. נוכיח שהסדרה

[math]\displaystyle{ v_{1,1},\ldots,v_{1,r_1},\ \ldots,\ v_{m,1},\ldots,v_{m,r_m} }[/math]

בת"ל. מכאן נובעים שני חלקי הטענה (בפרט אין בסדרה וקטור שמופיע פעמיים, ולכן [math]\displaystyle{ |B|=r_1+\ldots+r_m }[/math]).

יהי צירוף לינארי מתאפס

[math]\displaystyle{ \sum_{i=1}^m\left(a_{i,1}v_{i,1}+\ldots+a_{i,r_i}v_{i,r_i}\right)=0 }[/math]

לכל [math]\displaystyle{ i }[/math] נסמן

[math]\displaystyle{ w_i=a_{i,1}v_{i,1}+\ldots+a_{i,r_i}v_{i,r_i} }[/math]

מסגירות המרחב העצמי [math]\displaystyle{ w_i\in V_{\lambda_i}(A) }[/math], וכן

[math]\displaystyle{ w_1+\ldots+w_m=0 }[/math]

אם חלק מהוקטורים [math]\displaystyle{ w_i }[/math] שונים מאפס, הרי שהם ו"ע של ע"ע שונים שסכומם אפס - תלות לינארית בין ו"ע של ע"ע שונים, בסתירה לטענה. לכן כולם אפס, כלומר לכל [math]\displaystyle{ i }[/math] מתקיים

[math]\displaystyle{ a_{i,1}v_{i,1}+\ldots+a_{i,r_i}v_{i,r_i}=0 }[/math]

וכיוון ש-[math]\displaystyle{ B_i }[/math] בסיס, כל הסקלרים [math]\displaystyle{ a_{i,j} }[/math] הם אפס.

▶ בהרצאה מ־20.11.24, החל מהדקה 25:22

לכסון

הגדרה: תהי [math]\displaystyle{ A\in\mathbb{F}^{n\times n} }[/math]. אומרים כי [math]\displaystyle{ A }[/math] לכסינה אם היא דומה למטריצה אלכסונית, כלומר אם קיימות מטריצה הפיכה [math]\displaystyle{ P }[/math] ומטריצה אלכסונית [math]\displaystyle{ D }[/math] כך ש

[math]\displaystyle{ D=P^{-1}AP }[/math]

(ובאופן שקול [math]\displaystyle{ A=PDP^{-1} }[/math]).

הגדרה: יהי [math]\displaystyle{ T:V\to V }[/math] אופרטור על מרחב [math]\displaystyle{ V }[/math] ממימד [math]\displaystyle{ n }[/math]. האופרטור [math]\displaystyle{ T }[/math] נקרא לכסין אם קיים בסיס [math]\displaystyle{ B }[/math] של [math]\displaystyle{ V }[/math] כך שהמטריצה [math]\displaystyle{ [T]_B\in\mathbb{F}^{n\times n} }[/math] אלכסונית. בסיס כזה נקרא בסיס מלכסן.

הערה: קל להוכיח (תרגיל) כי [math]\displaystyle{ T }[/math] לכסין אם ורק אם המטריצה המייצגת [math]\displaystyle{ [T]_C }[/math] לכסינה, כאשר [math]\displaystyle{ C }[/math] בסיס כלשהו של [math]\displaystyle{ V }[/math].

טענה: אופרטור [math]\displaystyle{ T }[/math] על מרחב נוצר סופית [math]\displaystyle{ V }[/math] הוא לכסין אם ורק אם קיים בסיס [math]\displaystyle{ B }[/math] של [math]\displaystyle{ V }[/math] שכל איבריו הם וקטורים עצמיים של [math]\displaystyle{ T }[/math].

הוכחה. נניח כי [math]\displaystyle{ T }[/math] לכסין, כלומר יש לו בסיס מלכסן [math]\displaystyle{ B=\{v_1,\ldots,v_n\} }[/math], וידוע כי

[math]\displaystyle{ [T]_B=\begin{pmatrix}\lambda_1&&\\&\ddots&\\&&\lambda_n\end{pmatrix} }[/math]

העמודה ה-[math]\displaystyle{ i }[/math] של המטריצה המייצגת היא וקטור הקואורדינטות של [math]\displaystyle{ Tv_i }[/math], ולכן

[math]\displaystyle{ [Tv_i]_B=\lambda_ie_i=(0,\ldots,0,\lambda_i,0,\ldots,0) }[/math]

ולכן [math]\displaystyle{ Tv_i=\lambda_iv_i }[/math]. כיוון ש-[math]\displaystyle{ v_i\neq 0 }[/math] (הוא איבר בבסיס), [math]\displaystyle{ v_i }[/math] הוא ו"ע של [math]\displaystyle{ T }[/math] עם הע"ע [math]\displaystyle{ \lambda_i }[/math].

הכיוון ההפוך דומה: אם [math]\displaystyle{ B=\{v_1,\ldots,v_n\} }[/math] בסיס של ו"ע, [math]\displaystyle{ Tv_i=\lambda_iv_i }[/math], אז [math]\displaystyle{ [Tv_i]_B=\lambda_ie_i }[/math] לכל [math]\displaystyle{ i }[/math], ולכן [math]\displaystyle{ [T]_B }[/math] היא המטריצה האלכסונית שעל האלכסון שלה [math]\displaystyle{ \lambda_1,\ldots,\lambda_n }[/math].

הערה: במקרה זה, איברי האלכסון של המטריצה האלכסונית [math]\displaystyle{ [T]_B }[/math] הם הע"ע של איברי הבסיס, לפי הסדר.

את הטענה המקבילה על מטריצות אפשר להסיק ישירות (בעזרת [math]\displaystyle{ T_A }[/math]), אבל כדאי לנסח ולהוכיח אותה מחדש בשפת המטריצות, כי זה עוזר להבנה.

טענה: תהי [math]\displaystyle{ A\in\mathbb{F}^{n\times n} }[/math]. אזי [math]\displaystyle{ A }[/math] לכסינה אם ורק אם קיים בסיס [math]\displaystyle{ B }[/math] של [math]\displaystyle{ \mathbb{F}^n }[/math] שכל איבריו הם וקטורים עצמיים של [math]\displaystyle{ A }[/math]. במקרה זה [math]\displaystyle{ D=P^{-1}AP }[/math], כאשר בעמודות [math]\displaystyle{ P }[/math] נמצאים הו"ע שבבסיס, ועל האלכסון של [math]\displaystyle{ D }[/math] נמצאים הע"ע המתאימים, באותו סדר.

הוכחה. בכיוון הראשון, נניח כי [math]\displaystyle{ A }[/math] לכסינה, כלומר קיימות מטריצה אלכסונית [math]\displaystyle{ D }[/math] ומטריצה הפיכה [math]\displaystyle{ P }[/math] כך ש-[math]\displaystyle{ D=P^{-1}AP }[/math]. נכפול את שני האגפים ב-[math]\displaystyle{ P }[/math] משמאל:

[math]\displaystyle{ PD=AP }[/math]

נסמן את עמודות [math]\displaystyle{ P }[/math] ב-[math]\displaystyle{ v_1,\ldots,v_n }[/math] ואת איברי האלכסון של [math]\displaystyle{ D }[/math] ב-[math]\displaystyle{ \lambda_1,\ldots,\lambda_n }[/math]. לפי חישוב הכפל לפי עמודות, העמודה ה-[math]\displaystyle{ i }[/math] של [math]\displaystyle{ PD }[/math] היא [math]\displaystyle{ \lambda_iv_i }[/math], והעמודה ה-[math]\displaystyle{ i }[/math] של [math]\displaystyle{ AP }[/math] היא [math]\displaystyle{ Av_i }[/math]:

[math]\displaystyle{ \begin{pmatrix}|&&|\\\lambda_1v_1&\cdots&\lambda_nv_n\\|&&|\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}|&&|\\Av_1&\cdots&Av_n\\|&&|\end{pmatrix} }[/math]

ולכן לכל [math]\displaystyle{ i }[/math] מתקיים [math]\displaystyle{ Av_i=\lambda_iv_i }[/math]. כיוון ש-[math]\displaystyle{ v_i\neq 0 }[/math] (הוא עמודה במטריצה הפיכה), [math]\displaystyle{ v_i }[/math] הוא ו"ע, ועמודות [math]\displaystyle{ P }[/math] ההפיכה מהוות בסיס של ו"ע.

הכיוון ההפוך דומה מאוד: שמים את הו"ע של הבסיס בעמודות מטריצה שנקרא לה [math]\displaystyle{ P }[/math], ואת הע"ע המתאימים, בסדר תואם, על האלכסון של מטריצה אלכסונית שנקרא לה [math]\displaystyle{ D }[/math]. אותו חישוב לפי עמודות נותן

[math]\displaystyle{ PD=AP }[/math]

כיוון שעמודות [math]\displaystyle{ P }[/math] מהוות בסיס, [math]\displaystyle{ P }[/math] הפיכה, ומותר לכפול ב-[math]\displaystyle{ P^{-1} }[/math] משמאל ולקבל [math]\displaystyle{ D=P^{-1}AP }[/math], כפי שרצינו.

מסקנה: מטריצה [math]\displaystyle{ A\in\mathbb{F}^{n\times n} }[/math] בעלת [math]\displaystyle{ n }[/math] ערכים עצמיים שונים היא לכסינה, כי לפי המסקנה בסעיף הקודם הו"ע המתאימים מהווים בסיס.

למשל, למטריצה [math]\displaystyle{ A=\begin{pmatrix}1&2\\2&1\end{pmatrix} }[/math] מהדוגמה בסעיף הפולינום האופייני יש שני ע"ע שונים, [math]\displaystyle{ 3 }[/math] ו-[math]\displaystyle{ -1 }[/math], עם הו"ע [math]\displaystyle{ (1,1) }[/math] ו-[math]\displaystyle{ (-1,1) }[/math]. לכן

[math]\displaystyle{ P=\begin{pmatrix}1&-1\\1&1\end{pmatrix},\quad D=\begin{pmatrix}3&0\\0&-1\end{pmatrix},\quad D=P^{-1}AP }[/math]

▶ בהרצאה מ־20.11.24, החל מהדקה 47:35

חזקות של מטריצה לכסינה

נניח שאנחנו רוצים לחשב את [math]\displaystyle{ A^{1024} }[/math]. כמה כפלי מטריצות נצטרך? באופן נאיבי 1023. באופן חכם יותר מספיקים 10, על ידי העלאה חוזרת בריבוע: [math]\displaystyle{ A^2=A\cdot A }[/math], [math]\displaystyle{ A^4=A^2\cdot A^2 }[/math], [math]\displaystyle{ A^8=A^4\cdot A^4 }[/math], ..., [math]\displaystyle{ A^{1024}=A^{512}\cdot A^{512} }[/math]. אבל כך אי אפשר להגיע לביטוי כללי עבור [math]\displaystyle{ A^k }[/math]. כאן נכנס הלכסון - וזו מוטיבציה נוספת ללכסון.

טענה: אם [math]\displaystyle{ A=PDP^{-1} }[/math] כאשר [math]\displaystyle{ D }[/math] אלכסונית, אז לכל [math]\displaystyle{ k\in\mathbb{N} }[/math]

[math]\displaystyle{ A^k=PD^kP^{-1} }[/math]

וכיוון ש-[math]\displaystyle{ D }[/math] אלכסונית,

[math]\displaystyle{ D^k=\begin{pmatrix}\lambda_1&&\\&\ddots&\\&&\lambda_n\end{pmatrix}^k=\begin{pmatrix}\lambda_1^k&&\\&\ddots&\\&&\lambda_n^k\end{pmatrix} }[/math]

הוכחה. כל המכפלות [math]\displaystyle{ P^{-1}P=I }[/math] שבאמצע מתבטלות:

[math]\displaystyle{ A^k=\left(PDP^{-1}\right)^k=PDP^{-1}\,PDP^{-1}\cdots PDP^{-1}= }[/math]

[math]\displaystyle{ =PD(P^{-1}P)D(P^{-1}P)\cdots(P^{-1}P)DP^{-1}=PD^kP^{-1} }[/math]

וכפל מטריצות אלכסוניות הוא כפל איברי האלכסון, איבר איבר.

דוגמה: (מודל תאורטי בלבד) בשנה 0 יש במדינה [math]\displaystyle{ a_0 }[/math] דתיים ו-[math]\displaystyle{ b_0 }[/math] חילונים. מדי שנה 30% מן הדתיים יוצאים בשאלה, ו-15% מן החילונים חוזרים בתשובה; אין ילודה, תמותה או הגירה. מה יהיה המצב בעוד הרבה שנים, והאם הוא תלוי במצב ההתחלתי?

נסמן ב-[math]\displaystyle{ a_n }[/math] וב-[math]\displaystyle{ b_n }[/math] את מספר הדתיים והחילונים בשנה [math]\displaystyle{ n }[/math]. יש לנו נוסחת נסיגה לינארית:

[math]\displaystyle{ \begin{pmatrix}a_{n+1}\\b_{n+1}\end{pmatrix}=H\begin{pmatrix}a_n\\b_n\end{pmatrix},\qquad H=\begin{pmatrix}0.7&0.15\\0.3&0.85\end{pmatrix} }[/math]

ולכן

[math]\displaystyle{ \begin{pmatrix}a_n\\b_n\end{pmatrix}=H^n\begin{pmatrix}a_0\\b_0\end{pmatrix} }[/math]

כדי לחשב את [math]\displaystyle{ H^n }[/math] ביעילות ובנוחות, ננסה ללכסן את [math]\displaystyle{ H }[/math].

ערכים עצמיים:

[math]\displaystyle{ p_H(x)=\det\begin{pmatrix}x-0.7&-0.15\\-0.3&x-0.85\end{pmatrix}= }[/math]

[math]\displaystyle{ =(x-0.7)(x-0.85)-0.15\cdot 0.3= }[/math]

[math]\displaystyle{ =x^2-1.55x+0.55=(x-1)(x-0.55) }[/math]

לכן הע"ע הם [math]\displaystyle{ 1 }[/math] ו-[math]\displaystyle{ 0.55=\tfrac{11}{20} }[/math]. אלה שני ע"ע שונים למטריצה מסדר [math]\displaystyle{ 2\times 2 }[/math], ולכן [math]\displaystyle{ H }[/math] לכסינה.

וקטורים עצמיים:

[math]\displaystyle{ V_{11/20}=N\left(\tfrac{11}{20}I-H\right)=N\begin{pmatrix}-0.15&-0.15\\-0.3&-0.3\end{pmatrix}= }[/math]

[math]\displaystyle{ =N\begin{pmatrix}1&1\\0&0\end{pmatrix}=\operatorname{span}\{(-1,1)\} }[/math]

[math]\displaystyle{ V_1=N(I-H)=N\begin{pmatrix}0.3&-0.15\\-0.3&0.15\end{pmatrix}= }[/math]

[math]\displaystyle{ =N\begin{pmatrix}2&-1\\0&0\end{pmatrix}=\operatorname{span}\left\{\left(\tfrac12,1\right)\right\} }[/math]

לכסון: נשים את הו"ע בעמודות [math]\displaystyle{ P }[/math] ואת הע"ע המתאימים, באותו סדר, על האלכסון של [math]\displaystyle{ D }[/math]:

[math]\displaystyle{ P=\begin{pmatrix}-1&\frac12\\1&1\end{pmatrix},\qquad D=\begin{pmatrix}\frac{11}{20}&0\\0&1\end{pmatrix} }[/math]

ומתקיים [math]\displaystyle{ \det P=-\tfrac32 }[/math] ו-

[math]\displaystyle{ P^{-1}=\frac13\begin{pmatrix}-2&1\\2&2\end{pmatrix} }[/math]

כלומר [math]\displaystyle{ H=PDP^{-1} }[/math].

חזקה: נסמן [math]\displaystyle{ q=\tfrac{11}{20} }[/math]. לפי הטענה,

[math]\displaystyle{ H^n=PD^nP^{-1}= }[/math]

[math]\displaystyle{ =\begin{pmatrix}-1&\frac12\\1&1\end{pmatrix}\begin{pmatrix}q^n&0\\0&1\end{pmatrix}\cdot\frac13\begin{pmatrix}-2&1\\2&2\end{pmatrix}= }[/math]

[math]\displaystyle{ =\frac13\begin{pmatrix}-q^n&\frac12\\q^n&1\end{pmatrix}\begin{pmatrix}-2&1\\2&2\end{pmatrix}= }[/math]

[math]\displaystyle{ =\frac13\begin{pmatrix}2q^n+1&1-q^n\\2-2q^n&q^n+2\end{pmatrix} }[/math]

גבול: כיוון ש-[math]\displaystyle{ 0<q<1 }[/math], מתקיים [math]\displaystyle{ q^n\to 0 }[/math], ולכן

[math]\displaystyle{ \lim_{n\to\infty}\begin{pmatrix}a_n\\b_n\end{pmatrix}=\lim_{n\to\infty}H^n\begin{pmatrix}a_0\\b_0\end{pmatrix}= }[/math]

[math]\displaystyle{ =\frac13\begin{pmatrix}1&1\\2&2\end{pmatrix}\begin{pmatrix}a_0\\b_0\end{pmatrix}=\frac13\begin{pmatrix}a_0+b_0\\2(a_0+b_0)\end{pmatrix} }[/math]

תשובה: הדתיים שואפים להיות שליש מכלל האוכלוסייה [math]\displaystyle{ a_0+b_0 }[/math], והחילונים שני שלישים - לא משנה מאילו כמויות התחלנו.

▶ בהרצאה מ־20.11.24, החל מהדקה 1:11:38

פולינום המתפרק לגורמים לינאריים

כמה מושגים לגבי פולינומים, שנזכיר פעמים רבות בהמשך.

פולינום מעל שדה [math]\displaystyle{ \mathbb{F} }[/math] הוא ביטוי מהצורה

[math]\displaystyle{ f(x)=\sum_{k=0}^n a_kx^k }[/math]

כאשר [math]\displaystyle{ a_k\in\mathbb{F} }[/math] ו-[math]\displaystyle{ n\in\mathbb{N} }[/math] (כולל אפס). קבוצת הפולינומים מעל [math]\displaystyle{ \mathbb{F} }[/math] מסומנת [math]\displaystyle{ \mathbb{F}[x] }[/math].

• הדרגה של פולינום שונה מאפס היא החזקה הגבוהה ביותר שהמקדם שלה שונה מאפס. למשל [math]\displaystyle{ \deg(0\cdot x^4+2x^3)=3 }[/math] ו-[math]\displaystyle{ \deg(4)=\deg(4\cdot x^0)=0 }[/math]. עבור פולינום האפס נהוג להגדיר [math]\displaystyle{ \deg(0)=-\infty }[/math].
• פולינום שונה מאפס נקרא מתוקן אם המקדם של [math]\displaystyle{ x^{\deg p} }[/math] שווה 1. למשל, הפולינום האופייני של מטריצה הוא מתוקן.
• פולינום נקרא לינארי אם הוא מהצורה [math]\displaystyle{ ax+b }[/math] עם [math]\displaystyle{ a\neq 0 }[/math], כלומר מדרגה 1.

הגדרה: יהי [math]\displaystyle{ p(x)\in\mathbb{F}[x] }[/math]. אומרים ש-[math]\displaystyle{ p(x) }[/math] מתפרק לגורמים לינאריים, או בקיצור מל"ל, אם [math]\displaystyle{ p(x) }[/math] ניתן להצגה כמכפלה של גורמים לינאריים, כלומר

[math]\displaystyle{ p(x)=c(x-a_1)(x-a_2)\cdots(x-a_m) }[/math]

עבור סקלרים [math]\displaystyle{ c,a_1,\ldots,a_m\in\mathbb{F} }[/math].

דוגמאות:

• בשדה הממשיים [math]\displaystyle{ x^2-3x+2=(x-1)(x-2) }[/math] מל"ל, ואילו [math]\displaystyle{ x^2+1 }[/math] אינו מל"ל.
• בשדה המרוכבים [math]\displaystyle{ x^2+1 }[/math] כן מל"ל, כי [math]\displaystyle{ x^2+1=(x-i)(x+i) }[/math].

הגדרה: פולינום נקרא פריק אם אפשר להציג אותו כמכפלה של שני פולינומים מדרגה 1 לפחות. פולינום מדרגה 1 לפחות שאינו פריק נקרא אי פריק.

עובדה: כל פולינום מתוקן מדרגה 1 לפחות מתפרק באופן יחיד (עד כדי סדר הגורמים) למכפלה של גורמים אי פריקים מתוקנים - בדומה לפירוק של מספר טבעי לגורמים ראשוניים.

דוגמאות:

• [math]\displaystyle{ 2x-4=2(x-2) }[/math] הוא כמובן פולינום אי פריק: הדרגה של [math]\displaystyle{ 2 }[/math] היא אפס, ומכפלה של שני פולינומים מדרגה 1 לפחות היא מדרגה 2 לפחות.
• לפולינום [math]\displaystyle{ x^4+1 }[/math] אין שורשים ממשיים, ובכל זאת הוא פריק מעל הממשיים: [math]\displaystyle{ x^4+1=\left(x^2+\sqrt2x+1\right)\left(x^2-\sqrt2x+1\right) }[/math]. למעשה, כל פולינום ממשי מדרגה 3 ומעלה פריק מעל הממשיים.
• אז למה [math]\displaystyle{ x^2+1 }[/math] אי פריק מעל הממשיים? כי פירוק שלו חייב להיות למכפלה של שני פולינומים מדרגה 1, ולפולינומים מדרגה 1 יש שורשים: [math]\displaystyle{ x^2+1=(x-a)(x-b) }[/math] עם [math]\displaystyle{ a,b\in\mathbb{R} }[/math]. לצד ימין יש שורשים ממשיים, ולצד שמאל אין - סתירה.

▶ בהרצאה מ־24.11.24, החל מהדקה 22:27

שדה סגור אלגברית

הגדרה: שדה [math]\displaystyle{ \mathbb{F} }[/math] נקרא סגור אלגברית אם כל פולינום מדרגה 1 לפחות מעליו מתפרק לגורמים לינאריים (מל"ל).

הערה: ההגדרה המקובלת בספרות היא שלכל פולינום מדרגה 1 לפחות מעל [math]\displaystyle{ \mathbb{F} }[/math] יש שורש ב-[math]\displaystyle{ \mathbb{F} }[/math]. זה שקול להגדרה לעיל: מוציאים גורם לינארי [math]\displaystyle{ (x-a) }[/math] עבור שורש [math]\displaystyle{ a }[/math], וממשיכים עם המנה, שדרגתה קטנה ב-1.

עובדה (ללא הוכחה בקורס זה, אבל נשתמש בה): כל שדה [math]\displaystyle{ \mathbb{F} }[/math] מוכל בשדה סגור אלגברית. השדה הסגור אלגברית "הקטן ביותר" שמכיל את [math]\displaystyle{ \mathbb{F} }[/math] מסומן [math]\displaystyle{ \overline{\mathbb{F}} }[/math] ונקרא הסגור האלגברי של [math]\displaystyle{ \mathbb{F} }[/math]. (ההגדרה המדויקת נלמדת בתורת גלואה; לנו מספיק לדעת שיש שדה כזה.)

לדוגמה, אם נביט בשדה הממשיים [math]\displaystyle{ \mathbb{F}=\mathbb{R} }[/math], הסגור האלגברי שלו הוא המרוכבים:

[math]\displaystyle{ \overline{\mathbb{F}}=\overline{\mathbb{R}}=\mathbb{C} }[/math]

בפרט [math]\displaystyle{ \mathbb{C} }[/math] סגור אלגברית (המשפט היסודי של האלגברה).

▶ בהרצאה מ־24.11.24, החל מהדקה 29:53

משפט הלכסון

ראינו שמטריצה לכסינה אם ורק אם יש בסיס המורכב מוקטורים עצמיים, כלומר צריכים להיות מספיק ו"ע. הר"ג אף פעם לא עוקף את הר"א, ולכן זה יקרה רק כשהם שווים - בתנאי שלא "חסרים" ע"ע, כלומר שכל הע"ע נמצאים בשדה עצמו ולא רק בסגור האלגברי שלו.

משפט: תהי [math]\displaystyle{ A\in\mathbb{F}^{n\times n} }[/math]. אזי [math]\displaystyle{ A }[/math] לכסינה (מעל [math]\displaystyle{ \mathbb{F} }[/math]) אם ורק אם שני התנאים הבאים מתקיימים:

1. הפולינום האופייני [math]\displaystyle{ p_A(x) }[/math] מתפרק לגורמים לינאריים מעל [math]\displaystyle{ \mathbb{F} }[/math].
2. לכל ערך עצמי [math]\displaystyle{ \lambda }[/math] של [math]\displaystyle{ A }[/math] מתקיים [math]\displaystyle{ r_A(\lambda)=r_G(\lambda) }[/math], כלומר הריבוי האלגברי שווה לריבוי הגאומטרי.

הוכחה. בכיוון הראשון, נניח כי [math]\displaystyle{ A }[/math] לכסינה. לכן יש בסיס המורכב מו"ע שלה [math]\displaystyle{ v_1,\ldots,v_n }[/math], ו-[math]\displaystyle{ A }[/math] דומה למטריצה האלכסונית שעל האלכסון שלה הע"ע המתאימים [math]\displaystyle{ \lambda_1,\ldots,\lambda_n }[/math] (שימו לב: הם לא בהכרח שונים). למטריצות דומות יש אותו פ"א, והפ"א של המטריצה האלכסונית הוא

[math]\displaystyle{ p_A(x)=(x-\lambda_1)\cdots(x-\lambda_n) }[/math]

לכן הפ"א מל"ל. בפרט, אם נסמן את הע"ע השונים של [math]\displaystyle{ A }[/math] ב-[math]\displaystyle{ \mu_1,\ldots,\mu_m }[/math], אז סכום הריבויים האלגבריים שלהם הוא דרגת הפ"א, כלומר [math]\displaystyle{ n }[/math].

כעת נוכיח שלכל ע"ע הר"א שווה לר"ג. כל ו"ע בבסיס שייך לאחד הע"ע; נסמן ב-[math]\displaystyle{ k_i }[/math] את מספר הו"ע בבסיס המתאימים לע"ע [math]\displaystyle{ \mu_i }[/math]. האם ייתכן ש-[math]\displaystyle{ k_i }[/math] גדול מהר"א? לא: אלה [math]\displaystyle{ k_i }[/math] וקטורים בת"ל בתוך המרחב העצמי [math]\displaystyle{ V_{\mu_i} }[/math], ולכן

[math]\displaystyle{ k_i\le r_G(\mu_i)\le r_A(\mu_i) }[/math]

אבל כמות כל הו"ע בבסיס היא [math]\displaystyle{ n }[/math], וגם סכום הריבויים האלגבריים הוא [math]\displaystyle{ n }[/math]:

[math]\displaystyle{ n=k_1+\ldots+k_m\le }[/math]

[math]\displaystyle{ \le r_G(\mu_1)+\ldots+r_G(\mu_m)\le }[/math]

[math]\displaystyle{ \le r_A(\mu_1)+\ldots+r_A(\mu_m)=n }[/math]

הדרך היחידה שהכמויות יסתדרו היא שלכל [math]\displaystyle{ i }[/math] מתקיים [math]\displaystyle{ k_i=r_A(\mu_i) }[/math], ולכן הר"ג, שנמצא בין שני הגדלים הללו, שווה גם הוא לר"א.

בכיוון השני, נניח שהפ"א מל"ל ושלכל ע"ע הר"א שווה לר"ג. נסמן את הע"ע השונים [math]\displaystyle{ \lambda_1,\ldots,\lambda_m }[/math]. כיוון שהפ"א מתוקן ומל"ל,

[math]\displaystyle{ p_A(x)=(x-\lambda_1)^{r_A(\lambda_1)}\cdots(x-\lambda_m)^{r_A(\lambda_m)} }[/math]

ולכן

[math]\displaystyle{ r_A(\lambda_1)+\ldots+r_A(\lambda_m)=\deg p_A=n }[/math]

כיוון שהריבויים הגאומטריים שווים לאלגבריים, נקבל

[math]\displaystyle{ \dim V_{\lambda_1}(A)+\ldots+\dim V_{\lambda_m}(A)= }[/math]

[math]\displaystyle{ =r_G(\lambda_1)+\ldots+r_G(\lambda_m)=n }[/math]

לכן באיחוד הבסיסים של המרחבים העצמיים יש [math]\displaystyle{ n }[/math] ו"ע, ולפי טענת העזר (מהסעיף על ו"ע של ע"ע שונים) האיחוד בת"ל. מצאנו סדרה של [math]\displaystyle{ n }[/math] ו"ע בת"ל, ולפי "שלישי חינם" הם מהווים בסיס של [math]\displaystyle{ \mathbb{F}^n }[/math]. לכן [math]\displaystyle{ A }[/math] לכסינה.

אלגוריתם הלכסון (לפי המשפט וההוכחה):

1. מחשבים את הפ"א. אם אינו מל"ל מעל [math]\displaystyle{ \mathbb{F} }[/math] - המטריצה אינה לכסינה מעל [math]\displaystyle{ \mathbb{F} }[/math].
2. לכל ע"ע מוצאים בסיס למרחב העצמי. אם לאחד הע"ע הר"ג קטן מהר"א - המטריצה אינה לכסינה.
3. אחרת, מאחדים את הבסיסים של המרחבים העצמיים ומקבלים בסיס של ו"ע. שמים אותם בעמודות [math]\displaystyle{ P }[/math], ואת הע"ע המתאימים על האלכסון של [math]\displaystyle{ D }[/math]; אז [math]\displaystyle{ D=P^{-1}AP }[/math].

הערה: מעל שדה סגור אלגברית, כמו [math]\displaystyle{ \mathbb{C} }[/math], התנאי הראשון מתקיים תמיד, ולכן מטריצה מרוכבת לכסינה אם ורק אם לכל ע"ע הר"א שווה לר"ג.

דוגמה: בלוק ז'ורדן [math]\displaystyle{ J_k(\lambda) }[/math] עם [math]\displaystyle{ k\ge 2 }[/math] אינו לכסין: הפ"א [math]\displaystyle{ (x-\lambda)^k }[/math] מל"ל, אבל הר"א של [math]\displaystyle{ \lambda }[/math] הוא [math]\displaystyle{ k }[/math] והר"ג הוא 1. מאותה סיבה גם המטריצה [math]\displaystyle{ 3\times 3 }[/math] מהסעיף על הריבויים (ר"א 3, ר"ג 2) אינה לכסינה.

דוגמה: האם מטריצת הסיבוב

[math]\displaystyle{ A=\begin{pmatrix}\cos\theta&-\sin\theta\\\sin\theta&\cos\theta\end{pmatrix}\in\mathbb{R}^{2\times 2} }[/math]

לכסינה מעל [math]\displaystyle{ \mathbb{R} }[/math]?

נחשב את הפולינום האופייני:

[math]\displaystyle{ p_A(x)=\det\begin{pmatrix}x-\cos\theta&\sin\theta\\-\sin\theta&x-\cos\theta\end{pmatrix}= }[/math]

[math]\displaystyle{ =(x-\cos\theta)^2+\sin^2\theta= }[/math]

[math]\displaystyle{ =x^2-2\cos\theta\cdot x+1 }[/math]

הדיסקרימיננטה היא

[math]\displaystyle{ 4\cos^2\theta-4=4\left(\cos^2\theta-1\right)\le 0 }[/math]

והיא אפס רק אם [math]\displaystyle{ \cos\theta=\pm1 }[/math], כלומר בזווית [math]\displaystyle{ 0 }[/math] או [math]\displaystyle{ \pi }[/math] (עד כדי כפולות של [math]\displaystyle{ 2\pi }[/math]). אלה המקרים [math]\displaystyle{ A=\pm I }[/math] (שכן זו מטריצת סיבוב), ובהם [math]\displaystyle{ A }[/math] כבר אלכסונית.

בכל מקרה אחר אין ל-[math]\displaystyle{ A }[/math] ע"ע ממשיים כלל. האם המטריצה לכסינה במקרה זה, שהרי התנאי "הר"א שווה לר"ג לכל ע"ע" מתקיים באופן ריק? לא! הפולינום האופייני אינו מל"ל מעל [math]\displaystyle{ \mathbb{R} }[/math] - "חסרים" ע"ע, שנמצאים רק בסגור האלגברי [math]\displaystyle{ \mathbb{C} }[/math]. זו בדיוק הסיבה שבמישור, בניגוד לכדור מחידת הפתיחה, סיבוב (בזווית שאינה כפולה של [math]\displaystyle{ \pi }[/math]) לא משאיר אף ישר במקומו.

▶ בהרצאה מ־24.11.24, החל מהדקה 44:10

פרק 4 - צורת ז'ורדן

בלוקי ז'ורדן וסכום ישר של מטריצות

ראינו שאם מטריצה לכסינה קל לטפל בה: להעלות אותה בחזקה, לחשב את הפולינום האופייני שלה, את הדרגה שלה וכו'. הבעיה היא שלא כל מטריצה לכסינה. אז למה אפשר לקוות במקרה הכללי? בסוף נגיע לבלוקי ז'ורדן על האלכסון (כאשר הפולינום האופייני מתפרק לגורמים לינאריים, בקיצור מל"ל): מטריצה שהיא כמעט אלכסונית, פרט לאחדות שמעל האלכסון.

תזכורת: בלוק ז'ורדן מגודל [math]\displaystyle{ k }[/math] של הערך העצמי (ע"ע) [math]\displaystyle{ \lambda }[/math] הוא המטריצה

[math]\displaystyle{ J_k(\lambda)=\begin{pmatrix}\lambda&1&&\\&\lambda&\ddots&\\&&\ddots&1\\&&&\lambda\end{pmatrix}\in\mathbb{F}^{k\times k} }[/math]

(כל מה שלא כתוב הוא אפס). בפרט [math]\displaystyle{ J_1(\lambda)=(\lambda) }[/math].

לבלוק ז'ורדן יש ע"ע יחיד [math]\displaystyle{ \lambda }[/math], הריבוי האלגברי (ר"א) שלו הוא גודל הבלוק [math]\displaystyle{ k }[/math], ואילו הריבוי הגאומטרי (ר"ג) שלו הוא 1. לכן בלוק ז'ורדן מגודל גדול מ־1 אינו לכסין.

דוגמה: במטריצה

[math]\displaystyle{ \begin{pmatrix}\pi&1&0&0&0\\0&\pi&1&0&0\\0&0&\pi&0&0\\0&0&0&4&0\\0&0&0&0&0\end{pmatrix} }[/math]

יש שלושה בלוקי ז'ורדן על האלכסון: בלוק מגודל 3 של [math]\displaystyle{ \pi }[/math], בלוק מגודל 1 של 4 ובלוק מגודל 1 של 0. מטריצה כזו, שעל האלכסון שלה בלוקי ז'ורדן ובכל מקום אחר אפסים, נקראת מטריצת ז'ורדן.

רואים שהכתיבה הזו מסורבלת מאוד, ולכן נשתמש בסימון הבא.

הגדרה: תהיינה [math]\displaystyle{ A_1,\ldots,A_k }[/math] מטריצות ריבועיות (לא בהכרח מאותו גודל). הסכום הישר [math]\displaystyle{ A_1\oplus\cdots\oplus A_k }[/math] הוא המטריצה הריבועית שעל האלכסון שלה נמצאים הבלוקים [math]\displaystyle{ A_1,\ldots,A_k }[/math], ובכל מקום אחר אפסים.

לדוגמה, לפי סימון זה המטריצה שלמעלה היא

[math]\displaystyle{ J_3(\pi)\oplus J_1(4)\oplus J_1(0) }[/math]

הערה: זהו סימון חדש, שונה מסכום ישר של תתי מרחבים שלמדנו באלגברה לינארית 1. בהמשך הפרק נראה מה הקשר בין השניים.

טענה (תרגיל): אם מטריצה היא "משולשית בלוקים", כלומר יש לה בלוקים ריבועיים על האלכסון ומתחתם אפסים, אזי הדטרמיננטה שלה שווה למכפלת הדטרמיננטות של הבלוקים. לכן גם הפולינום האופייני שלה שווה למכפלת הפולינומים האופייניים של הבלוקים. בפרט

[math]\displaystyle{ p_{A_1\oplus\cdots\oplus A_k}=p_{A_1}\cdots p_{A_k} }[/math]

▶ בהרצאה מ־27.11.24, החל מהדקה 9:40

מסלולים

עכשיו נחקור קצת בלוקי ז'ורדן, ומשם נתקדם לכיוון משפט ז'ורדן, שאומר שכל מטריצה שהפולינום האופייני שלה מל"ל דומה לסכום ישר של בלוקי ז'ורדן. למה דווקא בלוקי ז'ורדן? כי בלוק ז'ורדן הוא ההפך הגמור ממטריצה לכסינה: הריבוי האלגברי שלו מקסימלי והגאומטרי מינימלי. נתחיל מהסוף: נבין איך נראה בסיס שלפיו המטריצה המייצגת היא בלוק ז'ורדן, ואז נחפש בסיסים כאלה במקרה הכללי.

דוגמה (כללית): יהי [math]\displaystyle{ T:V\to V }[/math] אופרטור מעל מרחב ממימד [math]\displaystyle{ n }[/math], ויהי [math]\displaystyle{ B=\{v_1,\ldots,v_n\} }[/math] בסיס כך ש־[math]\displaystyle{ [T]_B=J_n(\lambda) }[/math]. מה אפשר לומר על איברי [math]\displaystyle{ B }[/math]? (זכרו: המטריצה המייצגת אלכסונית אם ורק אם [math]\displaystyle{ B }[/math] מכיל וקטורים עצמיים (ו"ע) בלבד.)

זכרו: על מנת למצוא את המטריצה המייצגת מפעילים את ההעתקה על איברי הבסיס, מוצאים את הקואורדינטות של התוצאות לפי הבסיס, ושמים אותן בעמודות.

העמודה הראשונה של [math]\displaystyle{ J_n(\lambda) }[/math] היא [math]\displaystyle{ [Tv_1]_B=(\lambda,0,\ldots,0)^T }[/math]. מה עושים עם הקואורדינטות? כופלים באיברי הבסיס:

[math]\displaystyle{ Tv_1=\lambda v_1 }[/math]

כלומר [math]\displaystyle{ v_1 }[/math] הוא ו"ע עם הע"ע [math]\displaystyle{ \lambda }[/math] (הרי [math]\displaystyle{ v_1\neq 0 }[/math] כיוון שמדובר באיבר בסיס).

העמודה השנייה היא [math]\displaystyle{ [Tv_2]_B=(1,\lambda,0,\ldots,0)^T }[/math], ולכן

[math]\displaystyle{ Tv_2=v_1+\lambda v_2 }[/math]

כלומר [math]\displaystyle{ Tv_2-\lambda v_2=v_1 }[/math], ולכן

[math]\displaystyle{ v_1=(T-\lambda I)v_2 }[/math]

באופן דומה, לכל [math]\displaystyle{ 1\leq k\leq n-1 }[/math]

[math]\displaystyle{ v_k=(T-\lambda I)v_{k+1} }[/math]

ולכן כל הבסיס נקבע ע"י הוקטור האחרון:

[math]\displaystyle{ B=\{(T-\lambda I)^{n-1}v_n,\ \ldots,\ (T-\lambda I)v_n,\ v_n\} }[/math]

הערה: וקטור ה"זהב" שאנו מחפשים, שמייצר את בלוק הז'ורדן, הוא הוקטור [math]\displaystyle{ (T-\lambda I)^{n-1}v_n }[/math]: הוא גם בתמונה של [math]\displaystyle{ (T-\lambda I)^{n-1} }[/math] וגם ו"ע. כדי למצוא בלוק ז'ורדן מחפשים וקטור כזה בחיתוך של התמונה עם המרחב העצמי, ואז מוצאים לו מקור.

הגדרה: יהי [math]\displaystyle{ T:V\to V }[/math] אופרטור, ויהי [math]\displaystyle{ v\in V }[/math] וקטור כך ש־[math]\displaystyle{ (T-\lambda I)^{k-1}v }[/math] הוא ו"ע של [math]\displaystyle{ T }[/math] עם הע"ע [math]\displaystyle{ \lambda }[/math] (עבור [math]\displaystyle{ k\geq 1 }[/math] כלשהו). אזי סדרת הוקטורים

[math]\displaystyle{ (T-\lambda I)^{k-1}v,\ \ldots,\ (T-\lambda I)v,\ v }[/math]

נקראת מסלול (מאורך [math]\displaystyle{ k }[/math]).

הערה: המטריצה המייצגת אופרטור לפי מסלול היא בלוק ז'ורדן: אם נסמן את איברי המסלול [math]\displaystyle{ b_1,\ldots,b_k }[/math] (לפי הסדר שלמעלה), אז [math]\displaystyle{ Tb_1=\lambda b_1 }[/math] ו־[math]\displaystyle{ Tb_j=b_{j-1}+\lambda b_j }[/math] לכל [math]\displaystyle{ j\geq 2 }[/math], בדיוק כמו בדוגמה.

הערה: כיוון ש־[math]\displaystyle{ (T-\lambda I)^{k-1}v }[/math] הוא ו"ע של [math]\displaystyle{ T }[/math] עם ע"ע [math]\displaystyle{ \lambda }[/math], הוא בגרעין של [math]\displaystyle{ T-\lambda I }[/math], ולכן

[math]\displaystyle{ (T-\lambda I)(T-\lambda I)^{k-1}v=0 }[/math]

כלומר

[math]\displaystyle{ (T-\lambda I)^kv=0 }[/math]

אם כך, להיות מסלול פירושו בדיוק [math]\displaystyle{ (T-\lambda I)^{k-1}v\neq 0 }[/math] וגם [math]\displaystyle{ (T-\lambda I)^kv=0 }[/math].

טענה: מסלול הוא בהכרח בלתי תלוי לינארית (בת"ל).

הוכחה. באינדוקציה על אורך המסלול [math]\displaystyle{ k }[/math]. עבור [math]\displaystyle{ k=1 }[/math] המסלול הוא ו"ע, שונה מאפס, ולכן בת"ל.

נניח שהטענה נכונה למסלולים מאורך [math]\displaystyle{ k-1 }[/math], ויהי צירוף לינארי מתאפס

[math]\displaystyle{ a_1v+a_2(T-\lambda I)v+\ldots+a_k(T-\lambda I)^{k-1}v=0 }[/math]

צריך להוכיח כי כל הסקלרים הם אפס. נפעיל את [math]\displaystyle{ T-\lambda I }[/math] על שני הצדדים. המחובר האחרון הופך ל־[math]\displaystyle{ a_k(T-\lambda I)^kv=0 }[/math], ולכן קיבלנו

[math]\displaystyle{ a_1(T-\lambda I)v+\ldots+a_{k-1}(T-\lambda I)^{k-1}v=0 }[/math]

אבל [math]\displaystyle{ (T-\lambda I)^{k-1}v,\ldots,(T-\lambda I)v }[/math] הוא מסלול מאורך [math]\displaystyle{ k-1 }[/math] (של הוקטור [math]\displaystyle{ (T-\lambda I)v }[/math]), ולכן לפי הנחת האינדוקציה [math]\displaystyle{ a_1=\ldots=a_{k-1}=0 }[/math]. נשאר [math]\displaystyle{ a_k(T-\lambda I)^{k-1}v=0 }[/math], וכיוון שזהו ו"ע ובפרט שונה מאפס, גם [math]\displaystyle{ a_k=0 }[/math].

דרך נוספת: נכפול את הצירוף ב־[math]\displaystyle{ (T-\lambda I)^{k-1} }[/math]. כל המחוברים פרט לראשון מתאפסים, ונקבל

[math]\displaystyle{ a_1(T-\lambda I)^{k-1}v=0 }[/math]

ולכן [math]\displaystyle{ a_1=0 }[/math], כי [math]\displaystyle{ (T-\lambda I)^{k-1}v }[/math] ו"ע ששונה מאפס. כעת נכפול ב־[math]\displaystyle{ (T-\lambda I)^{k-2} }[/math] ונקבל באותו אופן [math]\displaystyle{ a_2=0 }[/math], וכן הלאה.

▶ בהרצאה מ־27.11.24, החל מהדקה 22:05

המרחב העצמי המוכלל

הגדרה: יהי [math]\displaystyle{ T:V\to V }[/math] אופרטור כך ש־[math]\displaystyle{ \dim V=n }[/math], ויהי [math]\displaystyle{ \lambda }[/math] ע"ע של [math]\displaystyle{ T }[/math]. המרחב העצמי המוכלל של [math]\displaystyle{ \lambda }[/math] הוא

[math]\displaystyle{ K_\lambda(T)=\ker\left((T-\lambda I)^n\right) }[/math]

זכרו שהמרחב העצמי הוא [math]\displaystyle{ V_\lambda(T)=\ker(T-\lambda I) }[/math]. וקטורים עצמיים הם מי שמתאפסים ע"י [math]\displaystyle{ T-\lambda I }[/math] כבר בחזקה הראשונה; במרחב העצמי המוכלל נמצאים מי שמתאפסים ע"י חזקה כלשהי שלו. בפרט [math]\displaystyle{ V_\lambda(T)\subseteq K_\lambda(T) }[/math].

הערה: בהמשך נוכיח שאפשר להחליף את החזקה [math]\displaystyle{ n }[/math] בריבוי האלגברי של [math]\displaystyle{ \lambda }[/math]:

[math]\displaystyle{ K_\lambda(T)=\ker\left((T-\lambda I)^{r_A}\right) }[/math]

טענה: בתנאי ההגדרה, אם [math]\displaystyle{ v\in V }[/math] ו־[math]\displaystyle{ k\geq 1 }[/math] מקיימים [math]\displaystyle{ (T-\lambda I)^kv=0 }[/math] אבל [math]\displaystyle{ (T-\lambda I)^{k-1}v\neq 0 }[/math], אזי [math]\displaystyle{ k\leq n }[/math].

הוכחה. הנתונים מבטיחים כי [math]\displaystyle{ (T-\lambda I)^{k-1}v }[/math] ו"ע (הוא שונה מאפס, ו־[math]\displaystyle{ T-\lambda I }[/math] מאפס אותו), ולכן יש לנו מסלול

[math]\displaystyle{ (T-\lambda I)^{k-1}v,\ \ldots,\ (T-\lambda I)v,\ v }[/math]

כיוון שזו סדרה בת"ל של [math]\displaystyle{ k }[/math] וקטורים במרחב ממימד [math]\displaystyle{ n }[/math], נובע כי [math]\displaystyle{ k\leq n }[/math].

מסקנה: אם [math]\displaystyle{ (T-\lambda I)^kv=0 }[/math] עבור [math]\displaystyle{ k }[/math] כלשהו, אזי [math]\displaystyle{ v\in K_\lambda(T) }[/math]: הרי אם החזקות של [math]\displaystyle{ T-\lambda I }[/math] איפסו את [math]\displaystyle{ v }[/math] לפני החזקה [math]\displaystyle{ n }[/math], בוודאי [math]\displaystyle{ v }[/math] ישאר אפס עד חזקה [math]\displaystyle{ n }[/math]. בפרט כל מסלול של [math]\displaystyle{ \lambda }[/math] מוכל ב־[math]\displaystyle{ K_\lambda(T) }[/math], ולכן כל בסיס שמייצר בלוק ז'ורדן של [math]\displaystyle{ \lambda }[/math] מוכל במרחב העצמי המוכלל.

המטרה: להראות שיש בסיס למרחב המורכב מאיחוד של בסיסים של המרחבים העצמיים המוכללים, ושלכל מרחב עצמי מוכלל יש בסיס המורכב ממסלולים.

▶ בהרצאה מ־27.11.24, החל מהדקה 1:03:44

תת מרחב אינווריאנטי

יהי [math]\displaystyle{ T:V\to V }[/math] אופרטור ויהי [math]\displaystyle{ U\leq V }[/math] תת מרחב. אם נצמצם את [math]\displaystyle{ T }[/math] ל־[math]\displaystyle{ U }[/math] נקבל העתקה לינארית

[math]\displaystyle{ T_{|U}:U\to V }[/math]

היינו רוצים שזה יהיה אופרטור, [math]\displaystyle{ T_{|U}:U\to U }[/math], אבל לא מובטח שזה קורה, אלא אם [math]\displaystyle{ T[U]\subseteq U }[/math].

הגדרה: יהי [math]\displaystyle{ T:V\to V }[/math] אופרטור ויהי [math]\displaystyle{ U\leq V }[/math] תת מרחב. אומרים כי [math]\displaystyle{ U }[/math] הוא תת מרחב [math]\displaystyle{ T }[/math]-אינווריאנטי אם

[math]\displaystyle{ T[U]\subseteq U }[/math]

כלומר לכל וקטור [math]\displaystyle{ x\in U }[/math] מתקיים [math]\displaystyle{ Tx\in U }[/math].

דוגמה: המרחב העצמי [math]\displaystyle{ V_\lambda(T) }[/math] הוא [math]\displaystyle{ T }[/math]-אינווריאנטי.

הוכחה. יהי [math]\displaystyle{ v\in V_\lambda(T) }[/math]. לכן [math]\displaystyle{ Tv=\lambda v\in V_\lambda(T) }[/math], מסגירות המרחב העצמי לכפל בסקלר.

הערה: אם [math]\displaystyle{ U\leq V }[/math] תת מרחב [math]\displaystyle{ T }[/math]-אינווריאנטי, אזי אפשר לצמצם את [math]\displaystyle{ T }[/math] לאופרטור [math]\displaystyle{ T_{|U}:U\to U }[/math]. כך נוכל לפרק את המטריצה המייצגת לבלוקים: כאשר המרחב הוא סכום ישר של תתי מרחבים אינווריאנטיים, לכל אחד מהם יהיה בלוק משלו (כפי שנראה מיד).

▶ בהרצאה מ־27.11.24, החל מהדקה 1:14:03

סכום ישר של תתי מרחבים אינווריאנטיים

תזכורת: אומרים כי [math]\displaystyle{ V=U\oplus W }[/math] אם [math]\displaystyle{ U+W=V }[/math] וכן [math]\displaystyle{ U\cap W=\{0\} }[/math]. במקרה כזה, אם [math]\displaystyle{ B_U,B_W }[/math] בסיסים ל־[math]\displaystyle{ U,W }[/math] בהתאמה, אז [math]\displaystyle{ B_V=B_U\cup B_W }[/math] מהווה בסיס ל־[math]\displaystyle{ V }[/math], וכמו כן [math]\displaystyle{ |B_V|=|B_U|+|B_W| }[/math] (הוכחה: תרגיל).

מה אפשר לומר על המטריצה המייצגת לפי בסיס [math]\displaystyle{ B_V }[/math] כזה? באופן כללי, כלום. אבל:

טענה: יהי [math]\displaystyle{ T:V\to V }[/math] אופרטור, ויהיו [math]\displaystyle{ U,W }[/math] תתי מרחבים [math]\displaystyle{ T }[/math]-אינווריאנטיים כך ש־[math]\displaystyle{ V=U\oplus W }[/math]. אזי המטריצה המייצגת לפי [math]\displaystyle{ B_V }[/math] היא מטריצת בלוקים של המטריצות המייצגות את האופרטורים המצומצמים:

[math]\displaystyle{ [T]_{B_V}=[T_{|U}]_{B_U}\oplus[T_{|W}]_{B_W} }[/math]

הוכחה. נסמן [math]\displaystyle{ \dim V=n }[/math] ו־

[math]\displaystyle{ B_U=\{u_1,\ldots,u_k\},\quad B_W=\{w_1,\ldots,w_m\} }[/math]

ולכן [math]\displaystyle{ B_V=\{u_1,\ldots,u_k,w_1,\ldots,w_m\} }[/math], וכמובן [math]\displaystyle{ k+m=n }[/math].

כיוון ש־[math]\displaystyle{ U }[/math] הוא [math]\displaystyle{ T }[/math]-אינווריאנטי, לכל [math]\displaystyle{ i }[/math] מתקיים [math]\displaystyle{ Tu_i\in U }[/math], ולכן [math]\displaystyle{ Tu_i }[/math] נפרש ע"י [math]\displaystyle{ u_1,\ldots,u_k }[/math] בלבד. לכן בוקטור הקואורדינטות [math]\displaystyle{ [Tu_i]_{B_V} }[/math] כל הקואורדינטות בשורות [math]\displaystyle{ k+1,\ldots,n }[/math] הן אפס. באופן דומה [math]\displaystyle{ Tw_i\in W }[/math], ולכן ב־[math]\displaystyle{ [Tw_i]_{B_V} }[/math] הקואורדינטות ב־[math]\displaystyle{ k }[/math] השורות הראשונות הן אפס. לכן

[math]\displaystyle{ [T]_{B_V}=\begin{pmatrix}C&0\\0&D\end{pmatrix} }[/math]

כאשר [math]\displaystyle{ C }[/math] מגודל [math]\displaystyle{ k\times k }[/math] ו־[math]\displaystyle{ D }[/math] מגודל [math]\displaystyle{ m\times m }[/math] (בלוקי האפסים אינם ריבועיים בהכרח).

נותר לראות ש־[math]\displaystyle{ C=[T_{|U}]_{B_U} }[/math]: אם [math]\displaystyle{ Tu_i=c_1u_1+\ldots+c_ku_k }[/math], אז גם [math]\displaystyle{ T_{|U}u_i=Tu_i=c_1u_1+\ldots+c_ku_k }[/math], ולכן הקואורדינטות של [math]\displaystyle{ T_{|U}u_i }[/math] לפי [math]\displaystyle{ B_U }[/math] הן בדיוק [math]\displaystyle{ k }[/math] הקואורדינטות הראשונות של [math]\displaystyle{ Tu_i }[/math] לפי [math]\displaystyle{ B_V }[/math], כלומר העמודה ה־[math]\displaystyle{ i }[/math] של [math]\displaystyle{ C }[/math]. באופן דומה [math]\displaystyle{ D=[T_{|W}]_{B_W} }[/math].

הגדרה: נאמר כי [math]\displaystyle{ V=U_1\oplus\cdots\oplus U_k }[/math] אם עבור בסיסים [math]\displaystyle{ B_1,\ldots,B_k }[/math] של המרחבים [math]\displaystyle{ U_1,\ldots,U_k }[/math] בהתאמה, האיחוד [math]\displaystyle{ B_V=B_1\cup\cdots\cup B_k }[/math] הוא בסיס ל־[math]\displaystyle{ V }[/math], וכן

[math]\displaystyle{ |B_V|=|B_1|+\ldots+|B_k| }[/math]

מסקנה: (באינדוקציה) אם [math]\displaystyle{ V=U_1\oplus\cdots\oplus U_k }[/math] וכל המרחבים [math]\displaystyle{ U_i }[/math] הם [math]\displaystyle{ T }[/math]-אינווריאנטיים, אזי

[math]\displaystyle{ [T]_{B_V}=[T_{|U_1}]_{B_1}\oplus\cdots\oplus[T_{|U_k}]_{B_k} }[/math]

זכרו: על מנת שהמטריצה תהיה מטריצת בלוקים צריך שהמרחבים יהיו אינווריאנטיים. זה גם הקשר בין סכום ישר של תתי מרחבים לבין סכום ישר של מטריצות.

▶ בהרצאה מ־1.12.24, החל מהדקה 3:05

מימד המרחב העצמי המוכלל

מהלך הדברים הבאים:

1. נוכיח שאם הפולינום האופייני (פ"א) של אופרטור [math]\displaystyle{ T }[/math] מל"ל, אזי אפשר לפרק את המרחב לסכום ישר של המרחבים העצמיים המוכללים (שהם אינווריאנטיים).
2. לכל מרחב עצמי מוכלל אפשר לבנות בסיס המורכב ממסלולים, ולכן המטריצה המייצגת תהיה סכום ישר של בלוקי ז'ורדן.

ראינו שכל המסלולים של [math]\displaystyle{ \lambda }[/math] מוכלים ב־[math]\displaystyle{ K_\lambda }[/math], אבל השאלה היא אם יש גם דברים אחרים, מחוץ למרחבים העצמיים המוכללים. לכן אנחנו רוצים להציג את המרחב כולו כסכום ישר של המרחבים העצמיים המוכללים.

שימו לב: יהי [math]\displaystyle{ \lambda }[/math] ע"ע של [math]\displaystyle{ T }[/math] עם ר"א [math]\displaystyle{ r_A }[/math]. אם [math]\displaystyle{ T }[/math] לכסין אזי [math]\displaystyle{ \dim V_\lambda=r_A }[/math], ואם [math]\displaystyle{ T }[/math] לא בהכרח לכסין אזי רק [math]\displaystyle{ \dim V_\lambda\leq r_A }[/math]. מה לגבי [math]\displaystyle{ \dim K_\lambda }[/math]? נוכיח שהוא תמיד שווה לריבוי האלגברי.

סימון: [math]\displaystyle{ I_\lambda=\mathrm{Im}\left((T-\lambda I)^n\right) }[/math], כאשר [math]\displaystyle{ n=\dim V }[/math].

טענה: יהי [math]\displaystyle{ V }[/math] מרחב וקטורי (מ"ו) כך ש־[math]\displaystyle{ \dim V=n }[/math], יהי [math]\displaystyle{ T:V\to V }[/math] אופרטור ויהי [math]\displaystyle{ \lambda }[/math] ע"ע של [math]\displaystyle{ T }[/math]. אזי

[math]\displaystyle{ V=K_\lambda\oplus I_\lambda }[/math]

וכן [math]\displaystyle{ K_\lambda,I_\lambda }[/math] הם [math]\displaystyle{ T }[/math]-אינווריאנטיים.

הוכחה. [math]\displaystyle{ K_\lambda }[/math] הוא הגרעין ו־[math]\displaystyle{ I_\lambda }[/math] היא התמונה של אותה העתקה [math]\displaystyle{ (T-\lambda I)^n }[/math], ולכן לפי משפט המימדים

[math]\displaystyle{ \dim K_\lambda+\dim I_\lambda=\dim V }[/math]

לכן מספיק להוכיח כי [math]\displaystyle{ K_\lambda\cap I_\lambda=\{0\} }[/math]: אז [math]\displaystyle{ \dim(K_\lambda+I_\lambda)=\dim V }[/math], וסיימנו לפי הכלה חד כיוונית ושוויון מימדים.

יהי [math]\displaystyle{ v\in K_\lambda\cap I_\lambda }[/math]. לכן [math]\displaystyle{ (T-\lambda I)^nv=0 }[/math], וכמו כן קיים [math]\displaystyle{ u }[/math] כך ש־[math]\displaystyle{ v=(T-\lambda I)^nu }[/math]. לכן

[math]\displaystyle{ (T-\lambda I)^{2n}u=0 }[/math]

לפי הטענה הקודמת על המסלול נובע כי [math]\displaystyle{ (T-\lambda I)^nu=0 }[/math]: אם [math]\displaystyle{ u\neq 0 }[/math] ו־[math]\displaystyle{ k }[/math] היא החזקה הראשונה שבה [math]\displaystyle{ (T-\lambda I)^ku=0 }[/math], אז [math]\displaystyle{ k\leq n }[/math], כי אחרת, כיוון שמסלולים הם בת"ל, היינו מקבלים סדרה בת"ל ארוכה מדי. כלומר הוכחנו כי [math]\displaystyle{ v=(T-\lambda I)^nu=0 }[/math].

נותר להוכיח שהמרחבים [math]\displaystyle{ T }[/math]-אינווריאנטיים. כיוון ש־[math]\displaystyle{ T }[/math] מתחלפת עם עצמה וגם עם [math]\displaystyle{ I }[/math], נובע כי

[math]\displaystyle{ T(T-\lambda I)^n=(T-\lambda I)^nT }[/math]

יהי [math]\displaystyle{ v\in K_\lambda }[/math], כלומר [math]\displaystyle{ (T-\lambda I)^nv=0 }[/math]. אזי

[math]\displaystyle{ (T-\lambda I)^nTv=T(T-\lambda I)^nv=0 }[/math]

ולכן [math]\displaystyle{ Tv\in K_\lambda }[/math].

כעת לגבי התמונה: יהי [math]\displaystyle{ v\in I_\lambda }[/math], אזי קיים [math]\displaystyle{ u }[/math] כך ש־[math]\displaystyle{ v=(T-\lambda I)^nu }[/math], ולכן

[math]\displaystyle{ Tv=T(T-\lambda I)^nu=(T-\lambda I)^nTu }[/math]

כלומר [math]\displaystyle{ Tv\in I_\lambda }[/math], בדיוק כפי שרצינו.

הערה (תרגיל): [math]\displaystyle{ T }[/math] מתחלף עם [math]\displaystyle{ p(T) }[/math] לכל פולינום [math]\displaystyle{ p }[/math] (הגדרה מדויקת של הצבה בפולינום תופיע בהמשך הפרק). למשל, עבור [math]\displaystyle{ p(x)=x^2+3x+1 }[/math] מתקיים [math]\displaystyle{ p(T)=T^2+3T+I }[/math], ו־[math]\displaystyle{ Tp(T)=p(T)T }[/math].

לפי הטענה, אפשר לפרק את המטריצה המייצגת את [math]\displaystyle{ T }[/math] לשני בלוקים, של המטריצות המייצגות את [math]\displaystyle{ T_{|K_\lambda} }[/math] ואת [math]\displaystyle{ T_{|I_\lambda} }[/math]:

[math]\displaystyle{ [T]=\begin{pmatrix}[T_{|K_\lambda}]&0\\0&[T_{|I_\lambda}]\end{pmatrix} }[/math]

ולכן, בזכות הדטרמיננטה של מטריצת בלוקים,

[math]\displaystyle{ p_T=p_{T_{|K_\lambda}}\cdot p_{T_{|I_\lambda}} }[/math]

משפט: יהי [math]\displaystyle{ T:V\to V }[/math] אופרטור שהפ"א שלו מל"ל, ויהי [math]\displaystyle{ \lambda }[/math] ע"ע של [math]\displaystyle{ T }[/math] עם ר"א [math]\displaystyle{ r_A }[/math], כלומר [math]\displaystyle{ p_T(x)=(x-\lambda)^{r_A}g(x) }[/math] כאשר [math]\displaystyle{ g(\lambda)\neq 0 }[/math]. אזי

[math]\displaystyle{ p_{T_{|K_\lambda}}(x)=(x-\lambda)^{r_A} }[/math]

ולכן [math]\displaystyle{ \dim K_\lambda=r_A }[/math]. כמו כן [math]\displaystyle{ p_{T_{|I_\lambda}}=g }[/math].

הוכחה. ראשית נראה ש־[math]\displaystyle{ (x-\lambda) }[/math] אינו מחלק את [math]\displaystyle{ p_{T_{|I_\lambda}} }[/math]. נב"ש שכן. אזי [math]\displaystyle{ \lambda }[/math] ע"ע של [math]\displaystyle{ T_{|I_\lambda} }[/math], ולכן קיים [math]\displaystyle{ 0\neq v\in I_\lambda }[/math] כך ש־[math]\displaystyle{ T_{|I_\lambda}v=\lambda v }[/math]. לכן [math]\displaystyle{ Tv=\lambda v }[/math], ולכן

[math]\displaystyle{ v\in V_\lambda\subseteq K_\lambda }[/math]

כלומר [math]\displaystyle{ 0\neq v\in K_\lambda\cap I_\lambda }[/math], בסתירה לכך שהסכום [math]\displaystyle{ K_\lambda\oplus I_\lambda }[/math] ישר.

כעת נראה שאין ל־[math]\displaystyle{ p_{T_{|K_\lambda}} }[/math] שורש [math]\displaystyle{ \mu\neq\lambda }[/math] (הוא מחלק את [math]\displaystyle{ p_T }[/math], ולכן גם הוא מל"ל). נב"ש ש־[math]\displaystyle{ (x-\mu) }[/math] מחלק את [math]\displaystyle{ p_{T_{|K_\lambda}} }[/math] עבור [math]\displaystyle{ \mu\neq\lambda }[/math] כלשהו. לכן קיים [math]\displaystyle{ 0\neq v\in K_\lambda }[/math] כך ש־[math]\displaystyle{ Tv=\mu v }[/math]. כעת

[math]\displaystyle{ (T-\lambda I)v=Tv-\lambda v=(\mu-\lambda)v }[/math]

ולכן

[math]\displaystyle{ (T-\lambda I)^nv=(\mu-\lambda)^nv\neq 0 }[/math]

בסתירה לכך ש־[math]\displaystyle{ v\in K_\lambda=\ker\left((T-\lambda I)^n\right) }[/math].

לכן [math]\displaystyle{ p_{T_{|K_\lambda}}(x)=(x-\lambda)^d }[/math] כאשר [math]\displaystyle{ d=\dim K_\lambda }[/math] (מעלת הפ"א היא המימד). מצד אחד [math]\displaystyle{ p_T(x)=(x-\lambda)^{r_A}g(x) }[/math], ומצד שני

[math]\displaystyle{ p_T(x)=(x-\lambda)^d\,p_{T_{|I_\lambda}}(x) }[/math]

כיוון ש־[math]\displaystyle{ (x-\lambda) }[/math] אינו מחלק לא את [math]\displaystyle{ g }[/math] ולא את [math]\displaystyle{ p_{T_{|I_\lambda}} }[/math], נובע כי [math]\displaystyle{ d=r_A }[/math] וכי [math]\displaystyle{ p_{T_{|I_\lambda}}=g }[/math].

מסקנה: [math]\displaystyle{ K_\lambda(T)=\ker\left((T-\lambda I)^{r_A}\right) }[/math].

הוכחה. כיוון ש־[math]\displaystyle{ r_A\leq n }[/math], ההכלה [math]\displaystyle{ \ker\left((T-\lambda I)^{r_A}\right)\subseteq K_\lambda }[/math] ברורה. בכיוון השני, יהי [math]\displaystyle{ 0\neq v\in K_\lambda }[/math], ויהי [math]\displaystyle{ k }[/math] המינימלי כך ש־[math]\displaystyle{ (T-\lambda I)^kv=0 }[/math]. אזי [math]\displaystyle{ (T-\lambda I)^{k-1}v,\ldots,(T-\lambda I)v,v }[/math] הוא מסלול, כלומר סדרה בת"ל של [math]\displaystyle{ k }[/math] וקטורים, וכולם שייכים ל־[math]\displaystyle{ K_\lambda }[/math]. לכן [math]\displaystyle{ k\leq\dim K_\lambda=r_A }[/math], ולכן [math]\displaystyle{ (T-\lambda I)^{r_A}v=0 }[/math].

▶ בהרצאה מ־1.12.24, החל מהדקה 22:40

פירוק המרחב לסכום ישר של מרחבים עצמיים מוכללים

משפט: יהי [math]\displaystyle{ T:V\to V }[/math] אופרטור שהפ"א שלו מל"ל, ויהיו [math]\displaystyle{ \lambda_1,\ldots,\lambda_m }[/math] הע"ע השונים שלו. אזי

[math]\displaystyle{ V=K_{\lambda_1}\oplus\cdots\oplus K_{\lambda_m} }[/math]

ולכן, אם [math]\displaystyle{ B }[/math] הוא איחוד של בסיסים של המרחבים העצמיים המוכללים,

[math]\displaystyle{ [T]_B=[T_{|K_{\lambda_1}}]\oplus\cdots\oplus[T_{|K_{\lambda_m}}] }[/math]

הוכחה. באינדוקציה על מספר הע"ע השונים [math]\displaystyle{ m }[/math]. אם [math]\displaystyle{ m=1 }[/math] אזי [math]\displaystyle{ p_T(x)=(x-\lambda_1)^n }[/math], ולפי המשפט הקודם [math]\displaystyle{ \dim K_{\lambda_1}=n }[/math], כלומר [math]\displaystyle{ K_{\lambda_1}=V }[/math].

נניח שהמשפט נכון לאופרטורים עם [math]\displaystyle{ m-1 }[/math] ע"ע שונים. נסמן [math]\displaystyle{ p_T(x)=(x-\lambda_1)^{r_1}g(x) }[/math], [math]\displaystyle{ W=I_{\lambda_1} }[/math] ו־[math]\displaystyle{ T'=T_{|W} }[/math]; זהו אופרטור על [math]\displaystyle{ W }[/math], כי [math]\displaystyle{ W }[/math] הוא [math]\displaystyle{ T }[/math]-אינווריאנטי. לפי המשפט הקודם [math]\displaystyle{ p_{T'}=g }[/math], ולכן [math]\displaystyle{ p_{T'} }[/math] מל"ל, הע"ע של [math]\displaystyle{ T' }[/math] הם [math]\displaystyle{ \lambda_2,\ldots,\lambda_m }[/math], ולכל אחד מהם אותו ר"א כמו ב־[math]\displaystyle{ T }[/math]. לפי הנחת האינדוקציה

[math]\displaystyle{ W=K_{\lambda_2}(T')\oplus\cdots\oplus K_{\lambda_m}(T') }[/math]

נותר להוכיח כי המרחב העצמי המוכלל של הצמצום [math]\displaystyle{ T' }[/math] שווה למרחב העצמי המוכלל של [math]\displaystyle{ T }[/math]. יהי [math]\displaystyle{ \mu=\lambda_i }[/math] עבור [math]\displaystyle{ i\geq 2 }[/math], ונסמן את הר"א שלו ב־[math]\displaystyle{ r_A(\mu) }[/math]. כיוון ש־[math]\displaystyle{ (x-\mu)^{r_A(\mu)} }[/math] מחלק את [math]\displaystyle{ p_{T'} }[/math] בדיוק בחזקה זו, לפי המשפט הקודם (עבור [math]\displaystyle{ T' }[/math] ועבור [math]\displaystyle{ T }[/math])

[math]\displaystyle{ \dim K_\mu(T')=r_A(\mu)=\dim K_\mu(T) }[/math]

מצד שני ברור כי [math]\displaystyle{ K_\mu(T')\subseteq K_\mu(T) }[/math]: אם [math]\displaystyle{ v\in W }[/math] מתאפס ע"י [math]\displaystyle{ (T-\mu I)^{\dim W} }[/math], בוודאי הוא מתאפס ע"י [math]\displaystyle{ (T-\mu I)^n }[/math]. מהכלה חד כיוונית ושוויון מימדים סיימנו: [math]\displaystyle{ K_\mu(T')=K_\mu(T) }[/math].

לכן, יחד עם [math]\displaystyle{ V=K_{\lambda_1}\oplus W }[/math], איחוד בסיסים של [math]\displaystyle{ K_{\lambda_1},\ldots,K_{\lambda_m} }[/math] הוא בסיס של [math]\displaystyle{ V }[/math] שגודלו סכום הגדלים, כלומר [math]\displaystyle{ V=K_{\lambda_1}\oplus\cdots\oplus K_{\lambda_m} }[/math]. כיוון שכל המרחבים העצמיים המוכללים אינווריאנטיים, המטריצה המייצגת היא מטריצת הבלוקים שבמשפט.

סיכום ביניים: אופרטור הוא לכסין כאשר יש בסיס המורכב מוקטורים של המרחבים העצמיים [math]\displaystyle{ V_\lambda=\ker(T-\lambda I) }[/math]. אחרת (אם הפ"א מל"ל) אפשר לפרק את המרחב לסכום ישר של המרחבים העצמיים המוכללים [math]\displaystyle{ K_\lambda=\ker\left((T-\lambda I)^n\right) }[/math], ולכן

[math]\displaystyle{ [T]=\begin{pmatrix}[T_{|K_{\lambda_1}}]&&\\&\ddots&\\&&[T_{|K_{\lambda_m}}]\end{pmatrix} }[/math]

לבסוף נרצה להראות שעבור בחירת בסיס מתאימה, כל בלוק [math]\displaystyle{ [T_{|K_{\lambda_i}}] }[/math] הוא סכום ישר של בלוקי ז'ורדן של [math]\displaystyle{ \lambda_i }[/math].

דוגמה: זו יכולה להיות מטריצה מתאימה:

[math]\displaystyle{ [T]=J_2(1)\oplus J_3(1)\oplus J_2(0)\oplus J_1(\pi) }[/math]

ולכן [math]\displaystyle{ \dim K_1(T)=5 }[/math] (וכן [math]\displaystyle{ \dim K_0(T)=2 }[/math] ו־[math]\displaystyle{ \dim K_\pi(T)=1 }[/math]). במפורש, המטריצה היא (כל מה שלא כתוב הוא אפס)

[math]\displaystyle{ \begin{pmatrix}1&1&&&&&&\\&1&&&&&&\\&&1&1&&&&\\&&&1&1&&&\\&&&&1&&&\\&&&&&0&1&\\&&&&&&0&\\&&&&&&&\pi\end{pmatrix} }[/math]

הבלוק של [math]\displaystyle{ K_1 }[/math] הוא [math]\displaystyle{ J_2(1)\oplus J_3(1) }[/math], מגודל [math]\displaystyle{ 5\times 5 }[/math].

▶ ההרצאה מ־4.12.24

בסיס של מסלולים למרחב העצמי המוכלל

טענה: יהי [math]\displaystyle{ T:V\to V }[/math] אופרטור, [math]\displaystyle{ \dim V=n }[/math], ויהי [math]\displaystyle{ \lambda }[/math] ע"ע של [math]\displaystyle{ T }[/math]. למרחב העצמי המוכלל [math]\displaystyle{ K_\lambda }[/math] יש בסיס המורכב מאיחוד מסלולים. לכן המטריצה המייצגת את [math]\displaystyle{ T_{|K_\lambda} }[/math] לפי בסיס זה היא סכום ישר של בלוקי ז'ורדן של [math]\displaystyle{ \lambda }[/math].

תהליך ההוכחה:

1. נבנה את הקבוצה [math]\displaystyle{ B }[/math], שהיא סדרה של מסלולים.
2. נוכיח כי איברי [math]\displaystyle{ B }[/math] בת"ל.
3. נוכיח כי [math]\displaystyle{ B }[/math] פורשת את [math]\displaystyle{ K_\lambda }[/math].

הוכחה. לשם קיצור נסמן [math]\displaystyle{ N=T-\lambda I }[/math] ו־[math]\displaystyle{ N^0=I }[/math]. כיוון ש־[math]\displaystyle{ \mathrm{Im}(N^{j+1})\subseteq\mathrm{Im}(N^j) }[/math], מתקיימות ההכלות

[math]\displaystyle{ \mathrm{Im}(N^{n-1})\cap V_\lambda\subseteq\mathrm{Im}(N^{n-2})\cap V_\lambda }[/math]

[math]\displaystyle{ \subseteq\cdots\subseteq\mathrm{Im}(N^0)\cap V_\lambda=V_\lambda }[/math]

שלב 1: בניית [math]\displaystyle{ B }[/math]. ראשית, נבחר בסיס ל־[math]\displaystyle{ \mathrm{Im}(N^{n-1})\cap V_\lambda }[/math] (ייתכן שהוא ריק), ונסמנו

[math]\displaystyle{ w_{n-1,1},\ldots,w_{n-1,i_{n-1}} }[/math]

כל וקטור כזה הוא איבר בתמונה של [math]\displaystyle{ N^{n-1} }[/math], ולכן יש לו מקור [math]\displaystyle{ v_{n-1,l} }[/math], כלומר [math]\displaystyle{ w_{n-1,l}=N^{n-1}v_{n-1,l} }[/math]. כיוון ש־[math]\displaystyle{ w_{n-1,l} }[/math] ו"ע, מצאנו [math]\displaystyle{ i_{n-1} }[/math] מסלולים מאורך [math]\displaystyle{ n }[/math], ונוסיף את כולם ל־[math]\displaystyle{ B }[/math]:

[math]\displaystyle{ N^{n-1}v_{n-1,l},\ \ldots,\ Nv_{n-1,l},\ v_{n-1,l} }[/math]

כעת נשלים את [math]\displaystyle{ w_{n-1,1},\ldots,w_{n-1,i_{n-1}} }[/math] לבסיס של [math]\displaystyle{ \mathrm{Im}(N^{n-2})\cap V_\lambda }[/math] ע"י הוקטורים [math]\displaystyle{ w_{n-2,1},\ldots,w_{n-2,i_{n-2}} }[/math]. שוב יש להם מקורות [math]\displaystyle{ v_{n-2,l} }[/math], כלומר [math]\displaystyle{ N^{n-2}v_{n-2,l}=w_{n-2,l} }[/math], ונוסיף ל־[math]\displaystyle{ B }[/math] את המסלולים מאורך [math]\displaystyle{ n-1 }[/math]:

[math]\displaystyle{ N^{n-2}v_{n-2,l},\ \ldots,\ Nv_{n-2,l},\ v_{n-2,l} }[/math]

נמשיך כך הלאה, עד שנשלים לבסיס של [math]\displaystyle{ V_\lambda }[/math] כולו ע"י [math]\displaystyle{ w_{0,1},\ldots,w_{0,i_0} }[/math], והפעם [math]\displaystyle{ v_{0,l}=w_{0,l} }[/math] (מסלולים מאורך 1).

סה"כ [math]\displaystyle{ B }[/math] מורכבת מהוקטורים [math]\displaystyle{ N^sv_{j,l} }[/math] עבור [math]\displaystyle{ 0\leq s\leq j\leq n-1 }[/math] ו־[math]\displaystyle{ 1\leq l\leq i_j }[/math]. מהבנייה, לכל [math]\displaystyle{ t }[/math] הוקטורים [math]\displaystyle{ w_{j,l} }[/math] עם [math]\displaystyle{ j\geq t }[/math] הם בסיס ל־[math]\displaystyle{ \mathrm{Im}(N^t)\cap V_\lambda }[/math]. כמו כן, כיוון ש־[math]\displaystyle{ Nw_{j,l}=0 }[/math],

[math]\displaystyle{ N^tN^sv_{j,l}=\begin{cases}w_{j,l}&s+t=j\\0&s+t>j\end{cases} }[/math]

בפרט [math]\displaystyle{ B\subseteq K_\lambda }[/math], כי כל וקטור ב־[math]\displaystyle{ B }[/math] מתאפס כאשר כופלים אותו ב־[math]\displaystyle{ N^n }[/math].

שלב 2: [math]\displaystyle{ B }[/math] בת"ל. יהי צירוף לינארי מתאפס

[math]\displaystyle{ \sum_{j,l}\ \sum_{s=0}^{j}a_{j,l,s}N^sv_{j,l}=0 }[/math]

נכפול את שני הצדדים ב־[math]\displaystyle{ N^{n-1} }[/math]. כמעט הכל יתאפס, פרט למחוברים עם [math]\displaystyle{ j=n-1 }[/math] ו־[math]\displaystyle{ s=0 }[/math]:

[math]\displaystyle{ a_{n-1,1,0}w_{n-1,1}+\ldots+a_{n-1,i_{n-1},0}w_{n-1,i_{n-1}}=0 }[/math]

וכיוון שוקטורים אלה בת"ל, הסקלרים הללו מתאפסים.

כעת נכפול את הצירוף ב־[math]\displaystyle{ N^{n-2} }[/math]. כמעט הכל יתאפס, ויוותרו רק המחוברים עם [math]\displaystyle{ s+n-2=j }[/math] (המחוברים עם [math]\displaystyle{ s+n-2<j }[/math] הם בדיוק אלה שהסקלרים שלהם כבר התאפסו):

[math]\displaystyle{ \sum_l a_{n-1,l,1}w_{n-1,l}+\sum_l a_{n-2,l,0}w_{n-2,l}=0 }[/math]

ושוב, מהבנייה הוקטורים הללו בת"ל (הרי השלמנו לבסיס), וכל הסקלרים מתאפסים.

כך נמשיך הלאה: בשלב ה־[math]\displaystyle{ t }[/math] נכפול ב־[math]\displaystyle{ N^t }[/math] ונקבל

[math]\displaystyle{ \sum_{j\geq t}\ \sum_l a_{j,l,j-t}\,w_{j,l}=0 }[/math]

ולכן [math]\displaystyle{ a_{j,l,j-t}=0 }[/math]. בסוף התהליך ([math]\displaystyle{ t=0 }[/math]) כל הסקלרים התאפסו.

שלב 3: [math]\displaystyle{ B }[/math] פורשת את [math]\displaystyle{ K_\lambda }[/math]. יהי [math]\displaystyle{ v\in K_\lambda }[/math]. נוכיח באינדוקציה יורדת על [math]\displaystyle{ t=n,n-1,\ldots,0 }[/math] שקיים [math]\displaystyle{ u_t\in\mathrm{span}(B) }[/math] כך ש־

[math]\displaystyle{ N^tv=N^tu_t }[/math]

עבור [math]\displaystyle{ t=n }[/math] זה נכון עם [math]\displaystyle{ u_n=0 }[/math], כי לפי ההגדרה [math]\displaystyle{ N^nv=0 }[/math]. נניח שמצאנו [math]\displaystyle{ u_{t+1} }[/math], ונסמן [math]\displaystyle{ x=N^t(v-u_{t+1}) }[/math]. אזי [math]\displaystyle{ Nx=N^{t+1}(v-u_{t+1})=0 }[/math], ולכן

[math]\displaystyle{ x\in\mathrm{Im}(N^t)\cap V_\lambda }[/math]

לכן אפשר להציג את [math]\displaystyle{ x }[/math] כצירוף לינארי של הבסיס:

[math]\displaystyle{ x=\sum_{j\geq t}\ \sum_l b_{j,l}w_{j,l} }[/math]

[math]\displaystyle{ =N^t\Big(\sum_{j\geq t}\ \sum_l b_{j,l}N^{j-t}v_{j,l}\Big) }[/math]

הוקטור שבסוגריים, נסמנו [math]\displaystyle{ u' }[/math], שייך ל־[math]\displaystyle{ \mathrm{span}(B) }[/math], כי [math]\displaystyle{ N^{j-t}v_{j,l}\in B }[/math]. לכן

[math]\displaystyle{ N^tv=N^tu_{t+1}+x=N^t(u_{t+1}+u') }[/math]

ונבחר [math]\displaystyle{ u_t=u_{t+1}+u' }[/math]. עבור [math]\displaystyle{ t=0 }[/math] נקבל [math]\displaystyle{ v=u_0\in\mathrm{span}(B) }[/math], כפי שרצינו.

לבסוף, כל מסלול פורש תת מרחב [math]\displaystyle{ T }[/math]-אינווריאנטי ([math]\displaystyle{ T }[/math] שולח כל איבר במסלול ל־[math]\displaystyle{ \lambda }[/math] כפול עצמו ועוד האיבר הקודם לו במסלול), ו־[math]\displaystyle{ K_\lambda }[/math] הוא הסכום הישר של תתי המרחבים הללו, כי איחוד המסלולים הוא בסיס. לכן לפי הטענה על סכום ישר של מרחבים אינווריאנטיים, המטריצה המייצגת את [math]\displaystyle{ T_{|K_\lambda} }[/math] היא סכום ישר של המטריצות המייצגות לפי המסלולים, כלומר של בלוקי ז'ורדן של [math]\displaystyle{ \lambda }[/math].

הערות:

• הוקטורים [math]\displaystyle{ w_{j,l} }[/math] (הו"ע שבסופי המסלולים) הם יחד בסיס ל־[math]\displaystyle{ V_\lambda }[/math], ולכל אחד מהם מתאים מסלול אחד, כלומר בלוק ז'ורדן אחד. לכן כמות בלוקי הז'ורדן של ע"ע שווה לריבוי הגאומטרי של הע"ע.
• סכום הגדלים של בלוקי הז'ורדן של [math]\displaystyle{ \lambda }[/math] הוא [math]\displaystyle{ \dim K_\lambda }[/math], כלומר הריבוי האלגברי של [math]\displaystyle{ \lambda }[/math].

▶ ההרצאה מ־4.12.24

משפט ז'ורדן

משפט (ז'ורדן): יהי [math]\displaystyle{ T:V\to V }[/math] אופרטור על מרחב ממימד סופי, שהפ"א שלו מל"ל. אזי קיים בסיס [math]\displaystyle{ B }[/math] של [math]\displaystyle{ V }[/math] כך שהמטריצה המייצגת היא סכום ישר של בלוקי ז'ורדן:

[math]\displaystyle{ [T]_B=J_{k_1}(\mu_1)\oplus\cdots\oplus J_{k_s}(\mu_s) }[/math]

(ה־[math]\displaystyle{ \mu_i }[/math] הם הע"ע של [math]\displaystyle{ T }[/math], והם יכולים לחזור על עצמם). מטריצה כזו נקראת צורת ז'ורדן של [math]\displaystyle{ T }[/math], ובסיס כזה נקרא בסיס מז'רדן. צורת הז'ורדן יחידה עד כדי סדר הבלוקים (נוכיח זאת בהמשך הפרק).

בשפת מטריצות: לכל מטריצה ריבועית [math]\displaystyle{ A }[/math] שהפ"א שלה מל"ל יש צורת ז'ורדן, כלומר קיימות מטריצה הפיכה [math]\displaystyle{ P }[/math] ומטריצת ז'ורדן [math]\displaystyle{ J }[/math] כך ש־[math]\displaystyle{ P^{-1}AP=J }[/math] (העמודות של [math]\displaystyle{ P }[/math] הן בסיס מז'רדן). בפרט, מעל [math]\displaystyle{ \mathbb{C} }[/math] כל מטריצה ריבועית דומה לצורת ז'ורדן.

הוכחה. יהיו [math]\displaystyle{ \lambda_1,\ldots,\lambda_m }[/math] הע"ע השונים של [math]\displaystyle{ T }[/math]. לפי משפט הפירוק

[math]\displaystyle{ V=K_{\lambda_1}\oplus\cdots\oplus K_{\lambda_m} }[/math]

והמרחבים הללו [math]\displaystyle{ T }[/math]-אינווריאנטיים. לכל [math]\displaystyle{ K_{\lambda_i} }[/math] ניקח בסיס המורכב ממסלולים, כך שהמטריצה המייצגת את [math]\displaystyle{ T_{|K_{\lambda_i}} }[/math] היא סכום ישר של בלוקי ז'ורדן של [math]\displaystyle{ \lambda_i }[/math]. איחוד הבסיסים הוא בסיס [math]\displaystyle{ B }[/math] של [math]\displaystyle{ V }[/math], ולפי הטענה על סכום ישר של מרחבים אינווריאנטיים

[math]\displaystyle{ [T]_B=[T_{|K_{\lambda_1}}]\oplus\cdots\oplus[T_{|K_{\lambda_m}}] }[/math]

שהוא סכום ישר של בלוקי ז'ורדן.

עבור מטריצה [math]\displaystyle{ A }[/math] נפעיל את המשפט על האופרטור [math]\displaystyle{ T_A(x)=Ax }[/math]: מטריצות דומות הן בדיוק המטריצות המייצגות את אותו אופרטור לפי בסיסים שונים, ולכן [math]\displaystyle{ A }[/math] דומה ל־[math]\displaystyle{ [T_A]_B }[/math].

מסקנות: לכל ע"ע [math]\displaystyle{ \lambda }[/math]:

• סכום הגדלים של בלוקי הז'ורדן של [math]\displaystyle{ \lambda }[/math] הוא הריבוי האלגברי של [math]\displaystyle{ \lambda }[/math].
• מספר בלוקי הז'ורדן של [math]\displaystyle{ \lambda }[/math] הוא הריבוי הגאומטרי של [math]\displaystyle{ \lambda }[/math].
• מטריצה אלכסונית היא מקרה פרטי של צורת ז'ורדן, שבה כל הבלוקים מגודל [math]\displaystyle{ 1\times 1 }[/math].

▶ בהרצאה מ־8.12.24, החל מהדקה 0:36

הצבת מטריצה בפולינום ומטריצות נילפוטנטיות

הגדרה: יהי פולינום

[math]\displaystyle{ p(x)=a_nx^n+\ldots+a_1x+a_0 }[/math]

הצבת אופרטור [math]\displaystyle{ T }[/math] בפולינום היא

[math]\displaystyle{ p(T)=a_nT^n+\ldots+a_1T+a_0I }[/math]

למטריצה ריבועית [math]\displaystyle{ A }[/math] יש כמובן הגדרה דומה: [math]\displaystyle{ p(A)=a_nA^n+\ldots+a_1A+a_0I }[/math].

הערות (תרגיל):

• אם [math]\displaystyle{ p(x)=g(x)h(x) }[/math] אזי [math]\displaystyle{ p(T)=g(T)h(T) }[/math]. בפרט שני פולינומים ב־[math]\displaystyle{ T }[/math] מתחלפים זה עם זה, ו־[math]\displaystyle{ T }[/math] מתחלף עם [math]\displaystyle{ p(T) }[/math].
• אם [math]\displaystyle{ P }[/math] הפיכה אזי [math]\displaystyle{ p(P^{-1}AP)=P^{-1}p(A)P }[/math]. לכן אם [math]\displaystyle{ A\sim B }[/math] אזי [math]\displaystyle{ p(A)\sim p(B) }[/math], ובפרט [math]\displaystyle{ p(A)=0 }[/math] אם ורק אם [math]\displaystyle{ p(B)=0 }[/math] (רק מטריצת האפס דומה למטריצת האפס).
• אם [math]\displaystyle{ A=B_1\oplus B_2 }[/math] אזי [math]\displaystyle{ p(A)=p(B_1)\oplus p(B_2) }[/math] (בגלל כפל מטריצות אלכסוניות בלוקים). כלומר הפולינום פועל על כל בלוק בנפרד, והוא מאפס את המטריצה אם ורק אם הוא מאפס את כל הבלוקים.

דוגמה: יהיו

[math]\displaystyle{ A=\begin{pmatrix}1&1&0\\0&1&0\\0&0&2\end{pmatrix}=J_2(1)\oplus J_1(2) }[/math]

ו־[math]\displaystyle{ p(x)=(x-1)^2 }[/math]. חשבו את [math]\displaystyle{ p(A) }[/math].

לפי ההערה האחרונה

[math]\displaystyle{ p(A)=(A-I)^2=p\left(J_2(1)\right)\oplus p\left(J_1(2)\right) }[/math]

נחשב:

[math]\displaystyle{ p\left(J_2(1)\right)=\left(J_2(1)-I\right)^2=\begin{pmatrix}0&1\\0&0\end{pmatrix}^2=0 }[/math]

[math]\displaystyle{ p\left(J_1(2)\right)=\left(J_1(2)-I\right)^2=(1)^2=(1) }[/math]

ולכן סה"כ

[math]\displaystyle{ p(A)=\begin{pmatrix}0&0&0\\0&0&0\\0&0&1\end{pmatrix} }[/math]

חזקות של בלוק ז'ורדן: באופן כללי

[math]\displaystyle{ J_k(\lambda)-\lambda I=\begin{pmatrix}0&1&&\\&\ddots&\ddots&\\&&\ddots&1\\&&&0\end{pmatrix} }[/math]

[math]\displaystyle{ \left(J_k(\lambda)-\lambda I\right)^2=\begin{pmatrix}0&0&1&&\\&\ddots&\ddots&\ddots&\\&&\ddots&\ddots&1\\&&&\ddots&0\\&&&&0\end{pmatrix} }[/math]

וכך אלכסון האחדות עולה בכל פעם אלכסון אחד למעלה, עד שב־[math]\displaystyle{ \left(J_k(\lambda)-\lambda I\right)^{k-1} }[/math] נשאר 1 יחיד, בפינה הימנית העליונה, ולבסוף

[math]\displaystyle{ \left(J_k(\lambda)-\lambda I\right)^k=0 }[/math]

כלומר הפולינום [math]\displaystyle{ (x-\lambda)^k }[/math] מאפס את [math]\displaystyle{ J_k(\lambda) }[/math], ואילו [math]\displaystyle{ (x-\lambda)^j }[/math] עבור [math]\displaystyle{ j<k }[/math] אינו מאפס אותו. בכל העלאה בחזקה, עד שמגיעים לאפס, הדרגה יורדת בדיוק ב־1: הדרגה של [math]\displaystyle{ \left(J_k(\lambda)-\lambda I\right)^j }[/math] היא [math]\displaystyle{ k-j }[/math] לכל [math]\displaystyle{ 0\leq j\leq k }[/math].

הגדרה: מטריצה [math]\displaystyle{ A }[/math] נקראת נילפוטנטית אם קיים [math]\displaystyle{ k }[/math] עבורו [math]\displaystyle{ A^k=0 }[/math]. למשל, [math]\displaystyle{ J_k(\lambda)-\lambda I=J_k(0) }[/math] נילפוטנטית.

טענה: אם [math]\displaystyle{ \mu\neq\lambda }[/math] אזי לכל [math]\displaystyle{ m }[/math] המטריצה [math]\displaystyle{ \left(J_k(\lambda)-\mu I\right)^m }[/math] הפיכה. כלומר גורם מהצורה [math]\displaystyle{ (x-\mu)^m }[/math] לעולם לא יאפס בלוק ז'ורדן של ע"ע אחר, ואפילו משאיר אותו הפיך.

הוכחה. מתקיים

[math]\displaystyle{ \left(J_k(\lambda)-\mu I\right)^m=\left(J_k(\lambda-\mu)\right)^m }[/math]

אבל [math]\displaystyle{ J_k(\lambda-\mu) }[/math] משולשית, ולכן

[math]\displaystyle{ \det\left(J_k(\lambda-\mu)\right)=(\lambda-\mu)^k\neq 0 }[/math]

כלומר זו מטריצה הפיכה, ולכן גם כל חזקה שלה הפיכה.

▶ ההרצאה מ־4.12.24

משפט קיילי-המילטון

משפט (קיילי-המילטון): תהי [math]\displaystyle{ A\in\mathbb{F}^{n\times n} }[/math]. אזי

[math]\displaystyle{ p_A(A)=0 }[/math]

באופן שקול, לכל אופרטור [math]\displaystyle{ T }[/math] על מרחב ממימד סופי מתקיים [math]\displaystyle{ p_T(T)=0 }[/math].

הוכחה. ראשית, נעבוד מעל הסגור האלגברי [math]\displaystyle{ \overline{\mathbb{F}} }[/math] של השדה, כך שהפ"א יהיה מל"ל. נסמן

[math]\displaystyle{ p_A(x)=(x-\lambda_1)^{r_1}\cdots(x-\lambda_m)^{r_m} }[/math]

עבור [math]\displaystyle{ \lambda_1,\ldots,\lambda_m }[/math] שונים. נסמן ב־[math]\displaystyle{ J }[/math] את צורת הז'ורדן של [math]\displaystyle{ A }[/math], ונוכיח כי [math]\displaystyle{ p_A(J)=0 }[/math]. זה מספיק, כי [math]\displaystyle{ A\sim J }[/math] ולכן [math]\displaystyle{ p_A(A)\sim p_A(J) }[/math], ורק מטריצת האפס דומה למטריצת האפס. (לחילופין: [math]\displaystyle{ J }[/math] ו־[math]\displaystyle{ A }[/math] מייצגות את אותו אופרטור, והמטריצה המייצגת אופרטור היא אפס אם ורק אם הוא אופרטור האפס.)

נסמן ב־[math]\displaystyle{ B_{\lambda_i} }[/math] את הסכום הישר של כל בלוקי הז'ורדן של הע"ע [math]\displaystyle{ \lambda_i }[/math], כך ש־

[math]\displaystyle{ J=B_{\lambda_1}\oplus\cdots\oplus B_{\lambda_m} }[/math]

מספיק להראות כי לכל [math]\displaystyle{ i }[/math] מתקיים [math]\displaystyle{ p_A(B_{\lambda_i})=0 }[/math]. ואכן

[math]\displaystyle{ p_A(B_{\lambda_i})= }[/math]

[math]\displaystyle{ =(B_{\lambda_i}-\lambda_1I)^{r_1}\cdots(B_{\lambda_i}-\lambda_mI)^{r_m} }[/math]

רוב הגורמים כאן הפיכים, פרט לגורם

[math]\displaystyle{ (B_{\lambda_i}-\lambda_iI)^{r_i}=0 }[/math]

שהוא אפס: הרי בלוק ז'ורדן [math]\displaystyle{ J_k(\lambda_i) }[/math] מתאפס כך בחזקת הגודל שלו, ומה הגודל הגדול ביותר האפשרי? [math]\displaystyle{ r_i }[/math], כי סכום הגדלים של בלוקי [math]\displaystyle{ \lambda_i }[/math] הוא הר"א [math]\displaystyle{ r_i }[/math]. כיוון שאחד הגורמים במכפלה הוא אפס, [math]\displaystyle{ p_A(B_{\lambda_i})=0 }[/math].

הערה: מה רע ב"הוכחה" הבאה? לפי ההגדרה [math]\displaystyle{ p_A(x)=\det(xI-A) }[/math]; האם נובע מכך כי [math]\displaystyle{ p_A(A)=\det(A\cdot I-A)=0 }[/math]? לא, זה שגוי לחלוטין! הרי [math]\displaystyle{ x }[/math] הוא מספר, והצבה של מטריצה בפולינום היא פעולה אחרת: קודם מחשבים את הפולינום (את הדטרמיננטה), ורק אחר כך מציבים בו מטריצה. תראו איך זה נראה עבור מטריצה ריבועית מגודל 2:

[math]\displaystyle{ p_A(x)=\det\begin{pmatrix}x-a&-b\\-c&x-d\end{pmatrix} }[/math]

ו"הצבה" של [math]\displaystyle{ A }[/math] במקום [math]\displaystyle{ x }[/math] בתוך הדטרמיננטה הייתה נותנת את הביטוי חסר המשמעות

[math]\displaystyle{ \det\begin{pmatrix}A-a&-b\\-c&A-d\end{pmatrix} }[/math]

(הפרש בין מטריצה לסקלר, בתוך מטריצה).

▶ ההרצאה מ־4.12.24

הפולינום המינימלי

הגדרה: הפולינום המינימלי (פ"מ) של מטריצה ריבועית [math]\displaystyle{ A }[/math], המסומן [math]\displaystyle{ m_A }[/math], הוא הפולינום המתוקן (שהמקדם המוביל שלו 1) מהמעלה הקטנה ביותר המאפס את [math]\displaystyle{ A }[/math], כלומר [math]\displaystyle{ m_A(A)=0 }[/math]. לפי משפט קיילי-המילטון יש פולינום שמאפס את [math]\displaystyle{ A }[/math], למשל [math]\displaystyle{ p_A }[/math].

ראינו שלכל [math]\displaystyle{ \mu\neq\lambda }[/math] הגורם [math]\displaystyle{ (x-\mu)^k }[/math] אינו מאפס את בלוקי הז'ורדן של [math]\displaystyle{ \lambda }[/math]; יתרה מכך, הוא משאיר אותם הפיכים! הדבר היחיד שיאפס אותם הוא כפל במטריצת האפס. מנגד, הגורם [math]\displaystyle{ (x-\lambda)^j }[/math] מאפס את בלוקי הז'ורדן של [math]\displaystyle{ \lambda }[/math] עד גודל [math]\displaystyle{ j }[/math]. לכן אם בלוק הז'ורדן הגדול ביותר של [math]\displaystyle{ \lambda }[/math] הוא מגודל [math]\displaystyle{ t }[/math], פולינום המאפס את המטריצה חייב להתחלק ב־[math]\displaystyle{ (x-\lambda)^t }[/math].

טענה: תהי [math]\displaystyle{ A }[/math] מטריצה ריבועית שהפ"א שלה מל"ל, ויהיו [math]\displaystyle{ \lambda_1,\ldots,\lambda_m }[/math] הע"ע השונים שלה. לכל [math]\displaystyle{ i }[/math] יהי [math]\displaystyle{ t_i }[/math] גודל בלוק הז'ורדן הגדול ביותר של [math]\displaystyle{ \lambda_i }[/math] בצורת הז'ורדן של [math]\displaystyle{ A }[/math]. אזי

[math]\displaystyle{ m_A(x)=(x-\lambda_1)^{t_1}\cdots(x-\lambda_m)^{t_m} }[/math]

יתרה מכך, פולינום [math]\displaystyle{ q }[/math] מאפס את [math]\displaystyle{ A }[/math] אם ורק אם [math]\displaystyle{ m_A }[/math] מחלק את [math]\displaystyle{ q }[/math].

הוכחה. תהי [math]\displaystyle{ J }[/math] צורת הז'ורדן של [math]\displaystyle{ A }[/math]. כיוון ש־[math]\displaystyle{ A\sim J }[/math], פולינום [math]\displaystyle{ q }[/math] מאפס את [math]\displaystyle{ A }[/math] אם ורק אם הוא מאפס את [math]\displaystyle{ J }[/math], כלומר אם ורק אם הוא מאפס כל אחד מבלוקי הז'ורדן של [math]\displaystyle{ J }[/math].

יהי [math]\displaystyle{ q\neq 0 }[/math] ונכתוב [math]\displaystyle{ q(x)=(x-\lambda_i)^eh(x) }[/math] כאשר [math]\displaystyle{ h(\lambda_i)\neq 0 }[/math]. מעל הסגור האלגברי [math]\displaystyle{ h(x)=c(x-\mu_1)^{e_1}\cdots(x-\mu_s)^{e_s} }[/math] עם [math]\displaystyle{ c\neq 0 }[/math] וכל [math]\displaystyle{ \mu_j\neq\lambda_i }[/math], ולכן לפי הטענה הקודמת [math]\displaystyle{ h\left(J_k(\lambda_i)\right) }[/math] הפיכה. לכן

[math]\displaystyle{ q\left(J_k(\lambda_i)\right)= }[/math]

[math]\displaystyle{ =\left(J_k(\lambda_i)-\lambda_iI\right)^e\,h\left(J_k(\lambda_i)\right) }[/math]

היא אפס אם ורק אם [math]\displaystyle{ \left(J_k(\lambda_i)-\lambda_iI\right)^e=0 }[/math], כלומר אם ורק אם [math]\displaystyle{ e\geq k }[/math].

לכן [math]\displaystyle{ q }[/math] מאפס את כל בלוקי הז'ורדן של [math]\displaystyle{ \lambda_i }[/math] אם ורק אם [math]\displaystyle{ e\geq t_i }[/math], כלומר אם ורק אם [math]\displaystyle{ (x-\lambda_i)^{t_i} }[/math] מחלק את [math]\displaystyle{ q }[/math]. סה"כ [math]\displaystyle{ q(A)=0 }[/math] אם ורק אם [math]\displaystyle{ (x-\lambda_1)^{t_1}\cdots(x-\lambda_m)^{t_m} }[/math] מחלק את [math]\displaystyle{ q }[/math], ולכן הפולינום המתוקן מהמעלה המינימלית שמאפס את [math]\displaystyle{ A }[/math] הוא בדיוק המכפלה הזו.

מסקנות: בתנאי הטענה,

• [math]\displaystyle{ m_A }[/math] מחלק את [math]\displaystyle{ p_A }[/math] (כי [math]\displaystyle{ t_i\leq r_i }[/math], הר"א של [math]\displaystyle{ \lambda_i }[/math]).
• השורשים של [math]\displaystyle{ m_A }[/math] הם בדיוק הע"ע של [math]\displaystyle{ A }[/math] (כי [math]\displaystyle{ t_i\geq 1 }[/math]).
• למטריצות דומות יש אותו פ"מ.

דוגמה: תהי [math]\displaystyle{ A=J_3(1)\oplus J_2(1)\oplus J_2(2) }[/math]. מצאו את הפ"מ, הפ"א והריבויים הגאומטריים של [math]\displaystyle{ A }[/math].

בלוק הז'ורדן הגדול ביותר של 1 הוא מגודל 3, ושל 2 מגודל 2, ולכן הפולינום המינימלי של [math]\displaystyle{ A }[/math] הוא

[math]\displaystyle{ m_A(x)=(x-1)^3(x-2)^2 }[/math]

סכום גדלי הבלוקים של 1 הוא 5, ושל 2 הוא 2, ולכן הפולינום האופייני של [math]\displaystyle{ A }[/math] הוא

[math]\displaystyle{ p_A(x)=(x-1)^5(x-2)^2 }[/math]

הריבוי הגאומטרי של הע"ע 1 הוא 2, כי זה מספר הבלוקים של הע"ע 1. הריבוי הגאומטרי של הע"ע 2 הוא 1, כי זה מספר הבלוקים של הע"ע 2.

מסקנה: מטריצה היא לכסינה אם ורק אם הפולינום המינימלי שלה מתפרק לגורמים לינאריים שונים,

[math]\displaystyle{ m_A(x)=(x-\lambda_1)\cdots(x-\lambda_m) }[/math]

כלומר כל ה־[math]\displaystyle{ t_i }[/math] שלמעלה שווים 1, ולכן גודל בלוק הז'ורדן הגדול ביותר הוא 1.

הוכחה. אם [math]\displaystyle{ A }[/math] לכסינה, היא דומה למטריצה אלכסונית [math]\displaystyle{ D }[/math], שהיא צורת ז'ורדן שכל בלוקיה מגודל 1. לכן לפי הטענה [math]\displaystyle{ m_A=m_D=(x-\lambda_1)\cdots(x-\lambda_m) }[/math], כאשר [math]\displaystyle{ \lambda_1,\ldots,\lambda_m }[/math] הם האיברים השונים על האלכסון של [math]\displaystyle{ D }[/math].

בכיוון השני, נניח ש־[math]\displaystyle{ m_A(x)=(x-\lambda_1)\cdots(x-\lambda_m) }[/math] עם [math]\displaystyle{ \lambda_1,\ldots,\lambda_m\in\mathbb{F} }[/math] שונים. כל ע"ע [math]\displaystyle{ \mu }[/math] של [math]\displaystyle{ A }[/math] (אפילו מעל הסגור האלגברי) הוא שורש של [math]\displaystyle{ m_A }[/math]: אם [math]\displaystyle{ Av=\mu v }[/math] עם [math]\displaystyle{ v\neq 0 }[/math] אז

[math]\displaystyle{ 0=m_A(A)v=m_A(\mu)v }[/math]

ולכן [math]\displaystyle{ m_A(\mu)=0 }[/math]. לכן כל שורשי [math]\displaystyle{ p_A }[/math] הם מבין [math]\displaystyle{ \lambda_1,\ldots,\lambda_m\in\mathbb{F} }[/math], כלומר [math]\displaystyle{ p_A }[/math] מל"ל ול־[math]\displaystyle{ A }[/math] יש צורת ז'ורדן. לפי הטענה כל [math]\displaystyle{ t_i=1 }[/math], כלומר כל בלוקי הז'ורדן מגודל 1, וצורת הז'ורדן אלכסונית. לכן [math]\displaystyle{ A }[/math] לכסינה.

▶ בהרצאה מ־8.12.24, החל מהדקה 6:20

יחידות צורת ז'ורדן

שאלה: נניח שיש לנו זוג מטריצות בעלות אותו פ"א, אותו פ"מ, ואותם ריבויים גאומטריים לכל ע"ע. האם הן בהכרח דומות?

דוגמה: יהיו

[math]\displaystyle{ A=J_3(\lambda)\oplus J_2(\lambda)\oplus J_2(\lambda) }[/math]

[math]\displaystyle{ B=J_3(\lambda)\oplus J_3(\lambda)\oplus J_1(\lambda) }[/math]

השוו את הפ"א, הפ"מ והר"ג של שתי המטריצות. האם הן דומות?

[math]\displaystyle{ p_A(x)=p_B(x)=(x-\lambda)^7 }[/math]

[math]\displaystyle{ m_A(x)=m_B(x)=(x-\lambda)^3 }[/math]

כי גודל הבלוק הגדול ביותר בשתי המטריצות הוא 3. הריבוי הגאומטרי של [math]\displaystyle{ \lambda }[/math] בשתי המטריצות הוא 3, כי זה מספר הבלוקים.

ובכל זאת המטריצות אינן דומות: לפי יחידות צורת ז'ורדן (שנוכיח מיד), למטריצות דומות יש אותה צורת ז'ורדן עד כדי סדר הבלוקים, וכאן הבלוקים שונים. אפשר לראות זאת גם ישירות, לפי הדרגות של [math]\displaystyle{ (x-\lambda)^2 }[/math]:

[math]\displaystyle{ \dim N\left((A-\lambda I)^2\right)=2+2+2=6 }[/math]

[math]\displaystyle{ \dim N\left((B-\lambda I)^2\right)=2+2+1=5 }[/math]

ואילו למטריצות דומות יש אותה דרגה, ולכן גם אותו מימד מרחב אפס.

התשובה אם כן היא לא. אפשר לבדוק שדוגמה כזו קיימת רק החל ממטריצות מגודל [math]\displaystyle{ 7\times 7 }[/math].

משפט (יחידות צורת ז'ורדן): צורת הז'ורדן של מטריצה (או אופרטור) יחידה עד כדי סדר הבלוקים. במילים אחרות, כמות הבלוקים מכל גודל נקבעת באופן יחיד ע"י המטריצה. במדויק: תהי [math]\displaystyle{ A }[/math] מטריצה ריבועית שהפ"א שלה מל"ל. לכל ע"ע [math]\displaystyle{ \lambda }[/math] של [math]\displaystyle{ A }[/math] נסמן

[math]\displaystyle{ d_k=\dim N\left((A-\lambda I)^k\right) }[/math]

ו־[math]\displaystyle{ d_0=0 }[/math]. אזי לכל [math]\displaystyle{ k\geq 1 }[/math]:

• מספר בלוקי הז'ורדן של [math]\displaystyle{ \lambda }[/math] שגודלם לפחות [math]\displaystyle{ k }[/math] הוא [math]\displaystyle{ d_k-d_{k-1} }[/math].
• מספר בלוקי הז'ורדן של [math]\displaystyle{ \lambda }[/math] שגודלם בדיוק [math]\displaystyle{ k }[/math] הוא [math]\displaystyle{ (d_k-d_{k-1})-(d_{k+1}-d_k) }[/math].

בפרט, כמות כל הבלוקים של [math]\displaystyle{ \lambda }[/math] היא [math]\displaystyle{ d_1=\dim N(A-\lambda I) }[/math], הריבוי הגאומטרי.

הוכחה. תזכורת: למטריצות דומות יש אותה דרגה, ולכן אותו מימד מרחב אפס. אם [math]\displaystyle{ P^{-1}AP=J }[/math] אזי [math]\displaystyle{ P^{-1}(A-\lambda I)^kP=(J-\lambda I)^k }[/math], ולכן מותר לחשב את [math]\displaystyle{ d_k }[/math] על צורת הז'ורדן [math]\displaystyle{ J }[/math]. נעשה זאת בלוק אחר בלוק:

• הבלוקים של ע"ע [math]\displaystyle{ \mu\neq\lambda }[/math] נותרים הפיכים, כפי שאמרנו, ולא תורמים למרחב האפס כלום.
• בלוק [math]\displaystyle{ J_s(\lambda) }[/math] תורם את מימד מרחב האפס של [math]\displaystyle{ \left(J_s(\lambda)-\lambda I\right)^k }[/math], שהוא [math]\displaystyle{ \min(k,s) }[/math], כי הדרגה יורדת בכל העלאה בחזקה בדיוק ב־1 עד שהבלוק מתאפס.

מה קורה לבלוק מגודל קטן מ־[math]\displaystyle{ k }[/math] כאשר עוברים מ־[math]\displaystyle{ (x-\lambda)^{k-1} }[/math] ל־[math]\displaystyle{ (x-\lambda)^k }[/math]? שום דבר חדש, הוא כבר התאפס קודם. ואילו לכל בלוק מגודל [math]\displaystyle{ k }[/math] ומעלה הדרגה קטנה בדיוק ב־1. לכן [math]\displaystyle{ d_k-d_{k-1} }[/math] הוא מספר הבלוקים מגודל [math]\displaystyle{ k }[/math] ומעלה. ההפרש בין מספר הבלוקים מגודל [math]\displaystyle{ k }[/math] ומעלה לבין מספר הבלוקים מגודל [math]\displaystyle{ k+1 }[/math] ומעלה הוא מספר הבלוקים מגודל בדיוק [math]\displaystyle{ k }[/math].

המספרים [math]\displaystyle{ d_k }[/math] תלויים רק ב־[math]\displaystyle{ A }[/math], ולא בבחירת צורת הז'ורדן. לכן כמות הבלוקים מכל גודל של כל ע"ע נקבעת ע"י [math]\displaystyle{ A }[/math], כלומר כל שתי צורות ז'ורדן של [math]\displaystyle{ A }[/math] שוות עד כדי סדר הבלוקים.

המחשה: נביט בבלוקים [math]\displaystyle{ J_3(\lambda),J_2(\lambda),J_1(\lambda) }[/math]. כאשר מציבים אותם ב־[math]\displaystyle{ (x-\lambda) }[/math] מקבלים

[math]\displaystyle{ \begin{pmatrix}0&1&\\&0&1\\&&0\end{pmatrix},\begin{pmatrix}0&1\\&0\end{pmatrix},(0) }[/math]

הסכום הישר של שלושתם הוא מטריצה מגודל 6 ומדרגה 3, כי כל בלוק תורם את גודלו פחות 1; לכן [math]\displaystyle{ d_1=3 }[/math], מספר הבלוקים. כאשר מציבים אותם ב־[math]\displaystyle{ (x-\lambda)^2 }[/math] מקבלים

[math]\displaystyle{ \begin{pmatrix}0&0&1\\&0&0\\&&0\end{pmatrix},\begin{pmatrix}0&0\\&0\end{pmatrix},(0) }[/math]

סה"כ מימד מרחב האפס עלה ב־2 ([math]\displaystyle{ d_2=5 }[/math]), שזה כמות הבלוקים שלא התאפסו בשלב הקודם, ולכן דרגתם ירדה ב־1: הבלוקים מגודל 2 ומעלה. כך נמשיך הלאה, ונדע כמה בלוקים יש מכל גודל.

שימו לב: תהליך זה מוצא את צורת הז'ורדן, אבל לא את הבסיס המז'רדן. אם רוצים רק את צורת הז'ורדן, זו הדרך המהירה.

▶ בהרצאה מ־8.12.24, החל מהדקה 22:07

מציאת צורת ז'ורדן ובסיס מז'רדן

ההוכחה שלמרחב העצמי המוכלל יש בסיס של מסלולים היא גם הדרך למצוא בסיס מז'רדן. טעות נפוצה היא לחפש קודם את הוקטור שבתחילת המסלול; למעשה מתחילים מהו"ע שבסוף המסלול, שנמצא בחיתוך של התמונה עם המרחב העצמי, ואז מוצאים לו מקור.

האלגוריתם: תהי [math]\displaystyle{ A\in\mathbb{F}^{n\times n} }[/math] שהפ"א שלה מל"ל.

1. מוצאים את הע"ע של [math]\displaystyle{ A }[/math], השורשים של [math]\displaystyle{ p_A }[/math].
2. לכל ע"ע [math]\displaystyle{ \lambda }[/math] מחשבים את [math]\displaystyle{ d_k=\dim N\left((A-\lambda I)^k\right) }[/math] עבור [math]\displaystyle{ k=1,2,\ldots }[/math] עד ש־[math]\displaystyle{ d_k }[/math] מגיע לר"א של [math]\displaystyle{ \lambda }[/math]. מכאן יודעים כמה בלוקים יש מכל גודל, כלומר את צורת הז'ורדן [math]\displaystyle{ J }[/math].
3. בסיס מז'רדן עבור [math]\displaystyle{ \lambda }[/math]: יהי [math]\displaystyle{ t }[/math] גודל הבלוק הגדול ביותר של [math]\displaystyle{ \lambda }[/math]. בוחרים בסיס ל־[math]\displaystyle{ \mathrm{Im}\left((A-\lambda I)^{t-1}\right)\cap V_\lambda }[/math]. לכל וקטור [math]\displaystyle{ w }[/math] בבסיס זה מוצאים מקור [math]\displaystyle{ v }[/math], כלומר [math]\displaystyle{ (A-\lambda I)^{t-1}v=w }[/math], ומקבלים מסלול מאורך [math]\displaystyle{ t }[/math]. משלימים לבסיס של [math]\displaystyle{ \mathrm{Im}\left((A-\lambda I)^{t-2}\right)\cap V_\lambda }[/math], ולכל וקטור חדש מוצאים מקור תחת [math]\displaystyle{ (A-\lambda I)^{t-2} }[/math] ומקבלים מסלול מאורך [math]\displaystyle{ t-1 }[/math]. וכן הלאה, עד שמשלימים לבסיס של [math]\displaystyle{ V_\lambda }[/math] כולו (מסלולים מאורך 1, כלומר ו"ע).
4. שמים בעמודות של מטריצה [math]\displaystyle{ P }[/math] את כל המסלולים של כל הע"ע, כל מסלול לפי הסדר [math]\displaystyle{ (A-\lambda I)^{s-1}v,\ldots,(A-\lambda I)v,v }[/math] (מהו"ע אל המקור). אזי [math]\displaystyle{ P^{-1}AP=J }[/math].

(כאן [math]\displaystyle{ \mathrm{Im}(M) }[/math] הוא מרחב העמודות של [math]\displaystyle{ M }[/math]. בהוכחה התחלנו מהחזקה [math]\displaystyle{ n-1 }[/math], אבל עבור [math]\displaystyle{ k\geq t }[/math] מתקיים [math]\displaystyle{ \mathrm{Im}\left((A-\lambda I)^k\right)\cap V_\lambda=\{0\} }[/math], ולכן השלבים האלה ריקים.)

דוגמה: מצאו צורת ז'ורדן ובסיס מז'רדן למטריצה

[math]\displaystyle{ A=\begin{pmatrix}2&1&0&1\\0&3&0&1\\1&0&2&0\\0&-1&0&1\end{pmatrix} }[/math]

(אפשר לבדוק כי [math]\displaystyle{ p_A(x)=(x-2)^4 }[/math].)

הע"ע היחיד הוא [math]\displaystyle{ \lambda=2 }[/math], עם ר"א 4. נחשב:

[math]\displaystyle{ A-2I=\begin{pmatrix}0&1&0&1\\0&1&0&1\\1&0&0&0\\0&-1&0&-1\end{pmatrix} }[/math]

[math]\displaystyle{ (A-2I)^2=\begin{pmatrix}0&0&0&0\\0&0&0&0\\0&1&0&1\\0&0&0&0\end{pmatrix} }[/math]

ו־[math]\displaystyle{ (A-2I)^3=0 }[/math]. הדרגות הן 2, 1, 0, ולכן

[math]\displaystyle{ d_1=2,\quad d_2=3,\quad d_3=4 }[/math]

מספר הבלוקים הוא [math]\displaystyle{ d_1=2 }[/math]; מספר הבלוקים מגודל 2 ומעלה הוא [math]\displaystyle{ d_2-d_1=1 }[/math]; מספר הבלוקים מגודל 3 ומעלה הוא [math]\displaystyle{ d_3-d_2=1 }[/math]; ואין בלוקים מגודל 4. לכן יש בלוק אחד מגודל 3 ובלוק אחד מגודל 1:

[math]\displaystyle{ J=J_3(2)\oplus J_1(2) }[/math]

(ובפרט [math]\displaystyle{ m_A(x)=(x-2)^3 }[/math].)

כעת נמצא בסיס מז'רדן. המרחב העצמי הוא מרחב האפס של [math]\displaystyle{ A-2I }[/math], כלומר הפתרונות של [math]\displaystyle{ x_1=0 }[/math], [math]\displaystyle{ x_2+x_4=0 }[/math]:

[math]\displaystyle{ V_2=\mathrm{span}\{(0,0,1,0),(0,1,0,-1)\} }[/math]

הבלוק הגדול ביותר הוא מגודל [math]\displaystyle{ t=3 }[/math], ולכן מתחילים מ־[math]\displaystyle{ \mathrm{Im}\left((A-2I)^2\right) }[/math], מרחב העמודות של [math]\displaystyle{ (A-2I)^2 }[/math], שהוא [math]\displaystyle{ \mathrm{span}\{(0,0,1,0)\} }[/math]. וקטור זה נמצא ב־[math]\displaystyle{ V_2 }[/math], ולכן

[math]\displaystyle{ \mathrm{Im}\left((A-2I)^2\right)\cap V_2= }[/math]

[math]\displaystyle{ =\mathrm{span}\{(0,0,1,0)\} }[/math]

נמצא לו מקור: [math]\displaystyle{ (A-2I)^2v=(0,0,v_2+v_4,0) }[/math], ולכן למשל [math]\displaystyle{ v=(0,1,0,0) }[/math] מקיים [math]\displaystyle{ (A-2I)^2v=(0,0,1,0) }[/math]. המסלול הוא

[math]\displaystyle{ (A-2I)^2v=(0,0,1,0) }[/math]

[math]\displaystyle{ (A-2I)v=(1,1,0,-1) }[/math]

[math]\displaystyle{ v=(0,1,0,0) }[/math]

השלב הבא: [math]\displaystyle{ \mathrm{Im}(A-2I)=\mathrm{span}\{(0,0,1,0),(1,1,0,-1)\} }[/math], והוקטור [math]\displaystyle{ a(0,0,1,0)+b(1,1,0,-1) }[/math] נמצא ב־[math]\displaystyle{ V_2 }[/math] רק אם [math]\displaystyle{ b=0 }[/math]. לכן [math]\displaystyle{ \mathrm{Im}(A-2I)\cap V_2=\mathrm{span}\{(0,0,1,0)\} }[/math], ואין מה להשלים בשלב זה (ואכן אין בלוקים מגודל 2).

לבסוף משלימים את [math]\displaystyle{ (0,0,1,0) }[/math] לבסיס של [math]\displaystyle{ V_2 }[/math] ע"י הו"ע [math]\displaystyle{ (0,1,0,-1) }[/math], שהוא מסלול מאורך 1.

סה"כ, בסיס מז'רדן הוא

[math]\displaystyle{ (0,0,1,0),\ (1,1,0,-1), }[/math]

[math]\displaystyle{ (0,1,0,0),\ (0,1,0,-1) }[/math]

ואם נשים אותו בעמודות

[math]\displaystyle{ P=\begin{pmatrix}0&1&0&0\\0&1&1&1\\1&0&0&0\\0&-1&0&-1\end{pmatrix} }[/math]

נקבל [math]\displaystyle{ P^{-1}AP=J_3(2)\oplus J_1(2) }[/math]. (כדי לבדוק, מספיק לוודא ש־[math]\displaystyle{ AP=PJ }[/math].)

הערה: כאשר יש כמה ע"ע, מבצעים את התהליך לכל ע"ע בנפרד, ואיחוד כל המסלולים הוא בסיס מז'רדן (לפי משפט הפירוק לסכום ישר של מרחבים עצמיים מוכללים). דוגמה מלאה נוספת, של ז'רדון מטריצה נילפוטנטית (הע"ע היחיד שלה הוא 0), נמצאת בערך משפט ז'ורדן.

▶ בהרצאה מ־27.11.24, החל מהדקה 42:32

פרק 5 - ההעתקה הצמודה, לכסון אוניטרי

מוטיבציה - מבחן הנגזרת השנייה ומטריצת הסה

נתחיל בדוגמה שעל פניה נראית לא קשורה, אבל היא כן קשורה.

נניח כי [math]\displaystyle{ f'(x_0)=0 }[/math]. האם הנקודה [math]\displaystyle{ x_0 }[/math] היא בהכרח נקודת קיצון או נקודת פיתול? לא. למשל, הפונקציה

[math]\displaystyle{ f(x)=\begin{cases}x^2\sin\left(\frac{1}{x}\right) & x\neq 0\\ 0 & x=0\end{cases} }[/math]

גזירה ומקיימת [math]\displaystyle{ f'(0)=0 }[/math], אבל בכל סביבה של 0 היא מקבלת גם ערכים חיוביים וגם ערכים שליליים (ולכן 0 אינה נקודת קיצון), ומחליפה קמירות וקעירות אינסוף פעמים (ולכן 0 גם אינה נקודת פיתול).

אילו כלים יש לנו לבדוק אם נקודה היא קיצון מקומי של פונקציה במשתנה אחד? שניים:

• תחומי עלייה וירידה.
• מבחן הנגזרת השנייה (בנקודה שבה [math]\displaystyle{ f'(x_0)=0 }[/math]): אם [math]\displaystyle{ f''(x_0)>0 }[/math] זו נקודת מינימום מקומי, אם [math]\displaystyle{ f''(x_0)<0 }[/math] זו נקודת מקסימום מקומי, ואם [math]\displaystyle{ f''(x_0)=0 }[/math] צריך לבדוק ידנית.

עכשיו נביט בפונקציה בשני משתנים (ובהרחבה - באינפי 3, המקום הקסום בו אינפי 1+2 פוגשים את לינארית 1+2), למשל

[math]\displaystyle{ f(x,y)=x^3+3xy+y^2 }[/math]

בראשית הצירים יש לה נקודת אוכף: כמו באוכף של סוס, בכיוון אחד זו נקודת מינימום ובכיוון אחר זו נקודת מקסימום. בנוסף יש לה נקודה אחרת, שבה יש מינימום מקומי.

השיטה של תחומי עלייה וירידה כבר אינה רלוונטית, כי מאותה נקודה יש עלייה בחלק מהכיוונים וירידה בחלק אחר. נותר מבחן הנגזרת השנייה - אבל מהי בכלל נגזרת שנייה? אפשר לגזור לפי כל אחד מהמשתנים, בהנחה שהשני קבוע:

[math]\displaystyle{ f_x=3x^2+3y,\qquad f_y=3x+2y }[/math]

ואז לגזור שוב, לפי [math]\displaystyle{ x }[/math] או לפי [math]\displaystyle{ y }[/math]. כלומר יש לנו ארבע נגזרות שניות:

[math]\displaystyle{ f_{xx}=6x,\quad f_{xy}=f_{yx}=3,\quad f_{yy}=2 }[/math]

מה נעשה עם כל הנגזרות הללו? נשים אותן במטריצה, הנקראת מטריצת הסה:

[math]\displaystyle{ H=\begin{pmatrix}f_{xx}&f_{xy}\\ f_{yx}&f_{yy}\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}6x&3\\ 3&2\end{pmatrix} }[/math]

לפי הערכים העצמיים של מטריצת ההסה בנקודה קובעים אם זו נקודת קיצון, ומאיזה סוג (את הפרטים תלמדו באינפי 3).

אם [math]\displaystyle{ f }[/math] מספיק טובה (למשל, אם הנגזרות החלקיות השניות שלה רציפות) אז [math]\displaystyle{ f_{xy}=f_{yx} }[/math], ולכן מטריצת ההסה היא סימטרית. לכן נרצה משפט שמבטיח שלמטריצה ממשית סימטרית הפולינום האופייני מתפרק לגורמים לינאריים (מל"ל) מעל [math]\displaystyle{ \mathbb{R} }[/math], כלומר שכל הערכים העצמיים שלה ממשיים. יותר מזה - נגלה שהיא לכסינה.

מה הבעיה כרגע? מטריצה סימטרית היא מטריצה המקיימת [math]\displaystyle{ A=A^t }[/math]. אבל מה זה שחלוף? זו פעולה טכנית ואלגברית לחלוטין, שלא קשורה לשום דבר מבני שלמדנו. (למשל, בלינארית 1 למדנו שדירוג הוא כפל במטריצה הפיכה, וכך קישרנו בין הפיכות לדירוג.) עכשיו נלמד לראשונה מה זה "באמת" שחלוף.

▶ בהרצאה מ־5.1.25, החל מהדקה 36:27

ההעתקה הצמודה

הגדרה: יהי [math]\displaystyle{ V }[/math] מרחב מכפלה פנימית (ממ"פ), ויהי [math]\displaystyle{ T:V\to V }[/math] אופרטור. אופרטור [math]\displaystyle{ T^*:V\to V }[/math] נקרא צמוד ל[math]\displaystyle{ T }[/math] אם לכל [math]\displaystyle{ v,w\in V }[/math] מתקיים

[math]\displaystyle{ \langle Tv,w\rangle=\langle v,T^*w\rangle }[/math]

במילים: מותר להעביר את [math]\displaystyle{ T }[/math] מהרכיב השמאלי של המכפלה לרכיב הימני, ואז הוא הופך ל[math]\displaystyle{ T^* }[/math]. אם מצמידים (באופן מרוכב) את שני האגפים, מקבלים את אותה תכונה בכיוון ההפוך: לכל [math]\displaystyle{ v,w\in V }[/math]

[math]\displaystyle{ \langle v,Tw\rangle=\langle T^*v,w\rangle }[/math]

הערה: נראה מה קורה ב[math]\displaystyle{ \mathbb{F}^n }[/math] עם המכפלה הפנימית הסטנדרטית [math]\displaystyle{ \langle v,w\rangle=v^t\overline{w} }[/math]. לכל מטריצה [math]\displaystyle{ A\in\mathbb{F}^{n\times n} }[/math]:

[math]\displaystyle{ \langle Av,w\rangle=(Av)^t\,\overline{w}=v^tA^t\,\overline{w} }[/math]

[math]\displaystyle{ =v^t\,\overline{\overline{A^t}w}=\langle v,\overline{A^t}w\rangle }[/math]

כלומר הצמוד של הכפל במטריצה [math]\displaystyle{ A }[/math] הוא הכפל במטריצה [math]\displaystyle{ \overline{A^t} }[/math]. לכן נהוג לסמן (ולא בכדי):

הגדרה: תהי [math]\displaystyle{ A\in\mathbb{C}^{m\times n} }[/math]. המטריצה הצמודה ל[math]\displaystyle{ A }[/math] היא

[math]\displaystyle{ A^*=\overline{A^t} }[/math]

כלומר משחלפים ומצמידים (באופן מרוכב) כל איבר. עבור מטריצה ממשית פשוט [math]\displaystyle{ A^*=A^t }[/math].

דוגמה: נביט ב[math]\displaystyle{ V=\mathbb{R}^2 }[/math] עם המכפלה הסקלרית הרגילה, ובאופרטור [math]\displaystyle{ T }[/math] שמסובב וקטורים בזווית [math]\displaystyle{ \alpha }[/math] נגד כיוון השעון. מיהו [math]\displaystyle{ T^* }[/math]?

נזכר כי [math]\displaystyle{ \langle v,w\rangle=||v||\cdot||w||\cdot\cos(\varphi) }[/math], כאשר [math]\displaystyle{ \varphi }[/math] הזווית בין הוקטורים. הסיבוב לא משנה אורכים, ואם הזווית (המכוונת) מ[math]\displaystyle{ w }[/math] ל[math]\displaystyle{ v }[/math] היא [math]\displaystyle{ \varphi }[/math], אז הזווית מ[math]\displaystyle{ w }[/math] ל[math]\displaystyle{ Tv }[/math] היא [math]\displaystyle{ \varphi+\alpha }[/math]:

[math]\displaystyle{ \langle Tv,w\rangle=||v||\cdot||w||\cdot\cos(\varphi+\alpha) }[/math]

אנחנו רוצים ש[math]\displaystyle{ \langle Tv,w\rangle=\langle v,T^*w\rangle }[/math]. את אותה זווית [math]\displaystyle{ \varphi+\alpha }[/math] בין שני הוקטורים נקבל אם נשאיר את [math]\displaystyle{ v }[/math] במקומו ונסובב את [math]\displaystyle{ w }[/math] בזווית [math]\displaystyle{ \alpha }[/math] עם כיוון השעון. לכן [math]\displaystyle{ T^* }[/math] הוא הסיבוב בזווית [math]\displaystyle{ \alpha }[/math] עם כיוון השעון; בפרט [math]\displaystyle{ T^*=T^{-1} }[/math].

מי שזוכר מטריצות סיבוב יראה שזה בדיוק השחלוף:

[math]\displaystyle{ \begin{pmatrix}\cos\alpha&-\sin\alpha\\ \sin\alpha&\cos\alpha\end{pmatrix}^t= }[/math]

[math]\displaystyle{ =\begin{pmatrix}\cos\alpha&\sin\alpha\\ -\sin\alpha&\cos\alpha\end{pmatrix} }[/math]

וזו מטריצת הסיבוב בזווית [math]\displaystyle{ -\alpha }[/math], כי [math]\displaystyle{ \cos(-\alpha)=\cos\alpha }[/math] ו[math]\displaystyle{ \sin(-\alpha)=-\sin\alpha }[/math].

▶ בהרצאה מ־5.1.25, החל מהדקה 1:06:33

קיום ויחידות ההעתקה הצמודה

שאלות טבעיות: האם לכל ממ"פ ולכל אופרטור יש צמוד? והאם הוא יחיד? במרחב נוצר סופית התשובה חיובית:

משפט: יהי [math]\displaystyle{ V }[/math] ממ"פ נוצר סופית. אזי לכל אופרטור [math]\displaystyle{ T:V\to V }[/math] קיים אופרטור צמוד [math]\displaystyle{ T^* }[/math], והוא יחיד. יתר על כן, אם [math]\displaystyle{ B }[/math] בסיס אורתונורמלי (בא"נ) של [math]\displaystyle{ V }[/math] אזי

[math]\displaystyle{ [T^*]_B=\overline{\left([T]_B\right)^t}=\left([T]_B\right)^* }[/math]

דגש: הכוכביות בשני צידי השוויון אומרות דברים שונים! הכוכבית משמאל היא האופרטור הצמוד, והכוכבית מימין היא שחלוף וצמוד מרוכב של מטריצה. במילים: האופרטור הצמוד מיוצג על ידי המטריצה הצמודה, בתנאי שהבסיס אורתונורמלי. מעל הממשיים זו המשמעות "האמיתית" של שחלוף: בבסיס אורתונורמלי, המטריצה המשוחלפת מייצגת את האופרטור הצמוד. בפרט, מטריצה ממשית סימטרית מייצגת (בבסיס הסטנדרטי) אופרטור השווה לצמוד שלו.

הערה: בהוכחה נשתמש שוב ושוב בעובדה הבאה. אם [math]\displaystyle{ \{v_1,\ldots,v_n\} }[/math] בא"נ ו[math]\displaystyle{ x\in V }[/math], אז הקואורדינטה של [math]\displaystyle{ x }[/math] לפי [math]\displaystyle{ v_i }[/math] היא פשוט המכפלה של [math]\displaystyle{ x }[/math] באיבר הבסיס:

[math]\displaystyle{ x=\langle x,v_1\rangle v_1+\ldots+\langle x,v_n\rangle v_n }[/math]

(בבסיס אורתוגונלי שאינו אורתונורמלי הקואורדינטה היא [math]\displaystyle{ \frac{\langle x,v_i\rangle}{||v_i||^2} }[/math].)

הוכחה. יהי [math]\displaystyle{ B=\{v_1,\ldots,v_n\} }[/math] בא"נ של [math]\displaystyle{ V }[/math] (קיים לפי תהליך גרם-שמידט).

יחידות. נניח ש[math]\displaystyle{ T^* }[/math] אופרטור צמוד ל[math]\displaystyle{ T }[/math]. לפי ההערה, לכל [math]\displaystyle{ j }[/math]:

[math]\displaystyle{ T^*v_j=\sum_{i=1}^n\langle T^*v_j,v_i\rangle v_i }[/math]

[math]\displaystyle{ =\sum_{i=1}^n\overline{\langle v_i,T^*v_j\rangle}\, v_i }[/math]

[math]\displaystyle{ =\sum_{i=1}^n\overline{\langle Tv_i,v_j\rangle}\, v_i }[/math]

המקדמים תלויים ב[math]\displaystyle{ T }[/math] בלבד, כלומר [math]\displaystyle{ T^* }[/math] נקבע ביחידות על איברי הבסיס, ולכן הוא יחיד.

המטריצה המייצגת. מהחישוב, הקואורדינטה ה[math]\displaystyle{ i }[/math] של [math]\displaystyle{ T^*v_j }[/math], כלומר האיבר במקום ה[math]\displaystyle{ (i,j) }[/math] של [math]\displaystyle{ [T^*]_B }[/math], היא

[math]\displaystyle{ \left[[T^*]_B\right]_{ij}=\overline{\langle Tv_i,v_j\rangle} }[/math]

מצד שני, לפי ההערה [math]\displaystyle{ Tv_j=\sum_{i}\langle Tv_j,v_i\rangle v_i }[/math], ולכן

[math]\displaystyle{ \left[[T]_B\right]_{ij}=\langle Tv_j,v_i\rangle }[/math]

נשים לב שלכל [math]\displaystyle{ i,j }[/math] מתקיים [math]\displaystyle{ \left[[T^*]_B\right]_{ij}=\overline{\left[[T]_B\right]_{ji}} }[/math], ולכן אכן [math]\displaystyle{ [T^*]_B=\overline{[T]_B^t}=[T]_B^* }[/math].

קיום. לפי משפט ההגדרה (העתקה לינארית נקבעת ביחידות על ידי ערכיה על בסיס), נגדיר אופרטור לינארי [math]\displaystyle{ T^*:V\to V }[/math] על ידי

[math]\displaystyle{ T^*v_j=\sum_{i=1}^n\overline{\langle Tv_i,v_j\rangle}\, v_i }[/math]

צריך להוכיח שלכל [math]\displaystyle{ u,w\in V }[/math] מתקיים [math]\displaystyle{ \langle Tu,w\rangle=\langle u,T^*w\rangle }[/math]. נסמן [math]\displaystyle{ u=\sum_i a_iv_i }[/math] ו[math]\displaystyle{ w=\sum_j b_jv_j }[/math], ונפתח סוגריים בשני הצדדים:

[math]\displaystyle{ \langle Tu,w\rangle=\sum_{i,j}a_i\overline{b_j}\langle Tv_i,v_j\rangle }[/math]

[math]\displaystyle{ \langle u,T^*w\rangle=\sum_{i,j}a_i\overline{b_j}\langle v_i,T^*v_j\rangle }[/math]

לכן כל שנותר הוא להראות שלכל [math]\displaystyle{ i,j }[/math] מתקיים [math]\displaystyle{ \langle Tv_i,v_j\rangle=\langle v_i,T^*v_j\rangle }[/math]. אכן, [math]\displaystyle{ \langle T^*v_j,v_i\rangle }[/math] הוא המקדם של [math]\displaystyle{ v_i }[/math] בהצגה של [math]\displaystyle{ T^*v_j }[/math], כלומר לפי ההגדרה של [math]\displaystyle{ T^* }[/math]

[math]\displaystyle{ \langle T^*v_j,v_i\rangle=\overline{\langle Tv_i,v_j\rangle} }[/math]

נצמיד את שני הצדדים ונקבל [math]\displaystyle{ \langle v_i,T^*v_j\rangle=\langle Tv_i,v_j\rangle }[/math], כנדרש.

תכונות: יהי [math]\displaystyle{ V }[/math] ממ"פ נוצר סופית. לכל אופרטורים [math]\displaystyle{ S,T }[/math] על [math]\displaystyle{ V }[/math] ולכל סקלר [math]\displaystyle{ c }[/math]:

• [math]\displaystyle{ (T^*)^*=T }[/math]
• [math]\displaystyle{ (S+T)^*=S^*+T^* }[/math] וכן [math]\displaystyle{ (cT)^*=\overline{c}\,T^* }[/math]
• [math]\displaystyle{ (ST)^*=T^*S^* }[/math]
• [math]\displaystyle{ I^*=I }[/math], ואם [math]\displaystyle{ T }[/math] הפיך אז גם [math]\displaystyle{ T^* }[/math] הפיך ו[math]\displaystyle{ (T^{-1})^*=(T^*)^{-1} }[/math]

הוכחה. נבחר בא"נ [math]\displaystyle{ B }[/math]. לפי המשפט [math]\displaystyle{ [T^*]_B=[T]_B^* }[/math], ולכן כל התכונות נובעות מהתכונות המתאימות של המטריצה הצמודה, שנובעות בתורן מתכונות השחלוף והצמוד המרוכב: [math]\displaystyle{ (M^*)^*=M }[/math], [math]\displaystyle{ (M+N)^*=M^*+N^* }[/math], [math]\displaystyle{ (cM)^*=\overline{c}M^* }[/math] ו[math]\displaystyle{ (MN)^*=N^*M^* }[/math]. למשל:

[math]\displaystyle{ [(ST)^*]_B=([S]_B[T]_B)^*=[T]_B^*[S]_B^* }[/math]

[math]\displaystyle{ =[T^*]_B[S^*]_B=[T^*S^*]_B }[/math]

לבסוף, [math]\displaystyle{ [I]_B=I }[/math] ולכן [math]\displaystyle{ I^*=I }[/math], ואם [math]\displaystyle{ T }[/math] הפיך אז [math]\displaystyle{ (T^{-1})^*T^*=(TT^{-1})^*=I^*=I }[/math], ולכן [math]\displaystyle{ T^* }[/math] הפיך וההופכי שלו הוא [math]\displaystyle{ (T^{-1})^* }[/math].

▶ בהרצאה מ־8.1.25, החל מהדקה 10:30

אופרטור צמוד לעצמו - הערכים העצמיים ממשיים

כעת נראה דוגמה לכוח של השפה החדשה.

הגדרה: אופרטור [math]\displaystyle{ T }[/math] על מרחב מכפלה פנימית נקרא צמוד לעצמו (או הרמיטי) אם [math]\displaystyle{ T^*=T }[/math]. מטריצה [math]\displaystyle{ A\in\mathbb{C}^{n\times n} }[/math] נקראת הרמיטית אם [math]\displaystyle{ A^*=A }[/math]. מטריצה ממשית היא הרמיטית אם ורק אם היא סימטרית, כלומר [math]\displaystyle{ A^t=A }[/math].

טענה: יהי [math]\displaystyle{ V }[/math] ממ"פ ויהי [math]\displaystyle{ T }[/math] אופרטור צמוד לעצמו. אזי כל ערך עצמי (ע"ע) של [math]\displaystyle{ T }[/math] הוא ממשי.

הוכחה. יהי [math]\displaystyle{ \lambda }[/math] ע"ע של [math]\displaystyle{ T }[/math], ויהי [math]\displaystyle{ v }[/math] וקטור עצמי (ו"ע) מתאים, כלומר [math]\displaystyle{ Tv=\lambda v }[/math] ו[math]\displaystyle{ v\neq 0 }[/math]. נביט במכפלה [math]\displaystyle{ \langle Tv,v\rangle }[/math]. מצד אחד

[math]\displaystyle{ \langle Tv,v\rangle=\langle\lambda v,v\rangle=\lambda||v||^2 }[/math]

מצד שני, כיוון ש[math]\displaystyle{ T^*=T }[/math],

[math]\displaystyle{ \langle Tv,v\rangle=\langle v,T^*v\rangle=\langle v,Tv\rangle }[/math]

[math]\displaystyle{ =\langle v,\lambda v\rangle=\overline{\lambda}||v||^2 }[/math]

גילינו ש[math]\displaystyle{ \lambda||v||^2=\overline{\lambda}||v||^2 }[/math]. כיוון ש[math]\displaystyle{ v }[/math] ו"ע, הוא שונה מאפס, ולכן מותר לחלק ב[math]\displaystyle{ ||v||^2\neq 0 }[/math]. נקבל [math]\displaystyle{ \lambda=\overline{\lambda} }[/math], כלומר [math]\displaystyle{ \lambda\in\mathbb{R} }[/math].

שימו לב באיזו מהירות הוכחנו משהו שנראה קודם רחוק: עם הניסוח הנכון ההוכחה קצרה מאוד.

מסקנה: תהי [math]\displaystyle{ A\in\mathbb{R}^{n\times n} }[/math] מטריצה סימטרית. אזי כל שורשי הפולינום האופייני של [math]\displaystyle{ A }[/math] ממשיים, כלומר הפולינום האופייני מל"ל מעל [math]\displaystyle{ \mathbb{R} }[/math].

הוכחה. נביט ב[math]\displaystyle{ A }[/math] כמטריצה מרוכבת, ובאופרטור [math]\displaystyle{ T(v)=Av }[/math] על [math]\displaystyle{ \mathbb{C}^n }[/math] עם המכפלה הסטנדרטית. לפי ההערה על המכפלה הסטנדרטית, [math]\displaystyle{ T^* }[/math] הוא הכפל במטריצה [math]\displaystyle{ A^*=\overline{A^t}=A^t=A }[/math], כלומר [math]\displaystyle{ T }[/math] צמוד לעצמו.

יהי [math]\displaystyle{ \lambda\in\mathbb{C} }[/math] שורש של הפולינום האופייני. אזי [math]\displaystyle{ \lambda I-A }[/math] אינה הפיכה, ולכן קיים [math]\displaystyle{ 0\neq v\in\mathbb{C}^n }[/math] עם [math]\displaystyle{ Av=\lambda v }[/math]. כלומר [math]\displaystyle{ \lambda }[/math] ע"ע של [math]\displaystyle{ T }[/math], ולפי הטענה [math]\displaystyle{ \lambda\in\mathbb{R} }[/math]. מעל [math]\displaystyle{ \mathbb{C} }[/math] הפולינום האופייני מתפרק, [math]\displaystyle{ p_A(x)=(x-\lambda_1)\cdots(x-\lambda_n) }[/math], וכעת ידוע שכל ה[math]\displaystyle{ \lambda_i }[/math] ממשיים.

▶ בהרצאה מ־5.1.25, החל מהדקה 1:17:33

אופרטורים נורמליים, הרמיטיים ואוניטריים

הגדרה: יהי [math]\displaystyle{ V }[/math] מרחב מכפלה פנימית נוצר סופית, ויהי [math]\displaystyle{ T:V\to V }[/math] אופרטור. [math]\displaystyle{ T }[/math] נקרא נורמלי אם הוא מתחלף עם הצמוד שלו:

[math]\displaystyle{ TT^*=T^*T }[/math]

מקרים פרטיים חשובים:

• [math]\displaystyle{ T }[/math] נקרא צמוד לעצמו (או הרמיטי, או סימטרי) אם [math]\displaystyle{ T^*=T }[/math].
• [math]\displaystyle{ T }[/math] נקרא אנטי-צמוד לעצמו (או אנטי-הרמיטי, או אנטי-סימטרי) אם [math]\displaystyle{ T^*=-T }[/math].
• [math]\displaystyle{ T }[/math] נקרא אוניטרי (או אורתוגונלי, בקיצור א"ג) אם [math]\displaystyle{ T }[/math] הפיך ו[math]\displaystyle{ T^*=T^{-1} }[/math], כלומר [math]\displaystyle{ TT^*=T^*T=I }[/math]. נהוג לומר "אוניטרי" מעל [math]\displaystyle{ \mathbb{C} }[/math] ו"אורתוגונלי" מעל [math]\displaystyle{ \mathbb{R} }[/math].

הערה: ברור שבכל שלושת המקרים [math]\displaystyle{ T }[/math] נורמלי, כי [math]\displaystyle{ T^* }[/math] שווה ל[math]\displaystyle{ T }[/math], ל[math]\displaystyle{ -T }[/math] או ל[math]\displaystyle{ T^{-1} }[/math], וכל אלה מתחלפים עם [math]\displaystyle{ T }[/math].

ההגדרות למטריצות דומות: מטריצה [math]\displaystyle{ A\in\mathbb{C}^{n\times n} }[/math] נקראת נורמלית אם [math]\displaystyle{ AA^*=A^*A }[/math], הרמיטית אם [math]\displaystyle{ A^*=A }[/math], אנטי-הרמיטית אם [math]\displaystyle{ A^*=-A }[/math] ואוניטרית אם [math]\displaystyle{ A^{-1}=A^* }[/math]. עבור מטריצה ממשית אלה הן מטריצה סימטרית ([math]\displaystyle{ A^t=A }[/math]), אנטי-סימטרית ([math]\displaystyle{ A^t=-A }[/math]) ואורתוגונלית ([math]\displaystyle{ A^{-1}=A^t }[/math]). כיוון ש[math]\displaystyle{ [T^*]_B=[T]_B^* }[/math] בכל בא"נ [math]\displaystyle{ B }[/math], האופרטור [math]\displaystyle{ T }[/math] נורמלי (הרמיטי, אוניטרי...) אם ורק אם המטריצה [math]\displaystyle{ [T]_B }[/math] כזו.

טענה: יהי [math]\displaystyle{ T }[/math] אופרטור על ממ"פ נוצר סופית [math]\displaystyle{ V }[/math], ויהיו [math]\displaystyle{ v,w\in V }[/math].

• אם [math]\displaystyle{ T }[/math] אוניטרי אז [math]\displaystyle{ ||Tv||=||v|| }[/math], כלומר אופרטור אוניטרי שומר על אורכים (ובאופן דומה [math]\displaystyle{ \langle Tv,Tw\rangle=\langle v,w\rangle }[/math]).
• אם [math]\displaystyle{ T }[/math] נורמלי אז [math]\displaystyle{ ||Tv||=||T^*v|| }[/math], כלומר [math]\displaystyle{ T }[/math] ו[math]\displaystyle{ T^* }[/math] שולחים כל וקטור לוקטורים באותו אורך.

הוכחה.

[math]\displaystyle{ ||Tv||^2=\langle Tv,Tv\rangle=\langle v,T^*Tv\rangle }[/math]

אם [math]\displaystyle{ T }[/math] אוניטרי אז [math]\displaystyle{ T^*T=I }[/math] ונקבל [math]\displaystyle{ ||Tv||^2=\langle v,v\rangle=||v||^2 }[/math] (ובאותו אופן [math]\displaystyle{ \langle Tv,Tw\rangle=\langle v,T^*Tw\rangle=\langle v,w\rangle }[/math]).

אם [math]\displaystyle{ T }[/math] נורמלי, נשתמש בתכונה [math]\displaystyle{ \langle v,Tu\rangle=\langle T^*v,u\rangle }[/math]:

[math]\displaystyle{ \langle v,T^*Tv\rangle=\langle v,TT^*v\rangle }[/math]

[math]\displaystyle{ =\langle T^*v,T^*v\rangle=||T^*v||^2 }[/math]

טענה: תהי [math]\displaystyle{ A\in\mathbb{R}^{n\times n} }[/math]. אזי [math]\displaystyle{ A }[/math] אורתוגונלית אם ורק אם העמודות שלה מהוות בא"נ של [math]\displaystyle{ \mathbb{R}^n }[/math] עם המכפלה הפנימית הסטנדרטית.

הוכחה. כיוון ש[math]\displaystyle{ A }[/math] ממשית, [math]\displaystyle{ A^*=A^t }[/math] (אין צורך בצמוד המרוכב). לכן [math]\displaystyle{ A }[/math] אורתוגונלית אם ורק אם [math]\displaystyle{ A^tA=AA^t=I }[/math], ולמטריצות ריבועיות מספיק לבדוק ש[math]\displaystyle{ A^tA=I }[/math] (הופכית חד-צדדית של מטריצה ריבועית היא הופכית).

נסמן ב[math]\displaystyle{ C_i(A) }[/math] את העמודה ה[math]\displaystyle{ i }[/math] של [math]\displaystyle{ A }[/math] וב[math]\displaystyle{ R_i(A) }[/math] את השורה ה[math]\displaystyle{ i }[/math]. נשים לב כי

[math]\displaystyle{ [A^tA]_{ij}=R_i(A^t)C_j(A)=C_i(A)^tC_j(A) }[/math]

[math]\displaystyle{ =\langle C_i(A),C_j(A)\rangle }[/math]

לכן [math]\displaystyle{ A^tA=I }[/math] אם ורק אם [math]\displaystyle{ \langle C_i(A),C_j(A)\rangle=0 }[/math] לכל [math]\displaystyle{ i\neq j }[/math] וגם [math]\displaystyle{ \langle C_i(A),C_i(A)\rangle=1 }[/math] לכל [math]\displaystyle{ i }[/math], כלומר אם ורק אם העמודות מהוות בא"נ.

הערה: כאן ההבדל בין אורתוגונלי לאורתונורמלי קריטי: אם העמודות רק מאונכות זו לזו (ואינן באורך 1), אז [math]\displaystyle{ A^tA }[/math] יוצאת אלכסונית, אבל לא בהכרח מטריצת היחידה. השם "מטריצה אורתוגונלית" קצת מטעה - העמודות שלה אורתונורמליות.

הערה: באותו אופן (תרגיל): [math]\displaystyle{ A }[/math] אורתוגונלית אם ורק אם השורות שלה מהוות בא"נ של [math]\displaystyle{ \mathbb{R}^n }[/math]; ומעל המרוכבים, [math]\displaystyle{ A\in\mathbb{C}^{n\times n} }[/math] אוניטרית אם ורק אם העמודות שלה מהוות בא"נ של [math]\displaystyle{ \mathbb{C}^n }[/math] עם המכפלה הסטנדרטית, כי [math]\displaystyle{ [A^*A]_{ij}=\langle C_j(A),C_i(A)\rangle }[/math].

ספוילר: המטריצות הממשיות האורתוגונליות מבצעות סיבובים ושיקופים בלבד, ולא משנות את הצורות הגאומטריות במרחב. נראה זאת בסוף הפרק.

▶ בהרצאה מ־8.1.25, החל מהדקה 57:04

לכסון אוניטרי

הגדרה: יהי [math]\displaystyle{ V }[/math] מרחב מכפלה פנימית נוצר סופית, ויהי [math]\displaystyle{ T:V\to V }[/math] אופרטור. [math]\displaystyle{ T }[/math] נקרא לכסין אוניטרית אם קיים בסיס אורתונורמלי של [math]\displaystyle{ V }[/math] המורכב מוקטורים עצמיים של [math]\displaystyle{ T }[/math] (בסיס אורתונורמלי מלכסן).

מטריצה [math]\displaystyle{ A\in\mathbb{C}^{n\times n} }[/math] נקראת לכסינה אוניטרית אם קיימת מטריצה אוניטרית [math]\displaystyle{ P }[/math] כך ש[math]\displaystyle{ P^{-1}AP=P^*AP }[/math] אלכסונית; עמודות [math]\displaystyle{ P }[/math] הן אז בא"נ של [math]\displaystyle{ \mathbb{C}^n }[/math] המורכב מו"ע של [math]\displaystyle{ A }[/math]. מעל הממשיים דורשים ש[math]\displaystyle{ P }[/math] תהיה ממשית אורתוגונלית, ואז [math]\displaystyle{ P^tAP }[/math] אלכסונית, ואומרים ש[math]\displaystyle{ A }[/math] לכסינה אורתוגונלית (לכסינה אוניטרית מעל הממשיים).

שאלה טבעית: האם כל אופרטור לכסין הוא לכסין אוניטרית? הרי כיוון שהוא לכסין יש לו בסיס מלכסן, כלומר בסיס המורכב מו"ע, ואם הבסיס אינו אורתונורמלי אפשר להפעיל עליו גרם-שמידט. הבעיה: גרם-שמידט מבצע צירופים לינאריים של כל וקטור עם קודמיו, וצירוף לינארי של ו"ע של ע"ע שונים אינו בהכרח ו"ע. לכן הבסיס האורתונורמלי החדש לא בהכרח מורכב מו"ע, ולא בהכרח מלכסן. (הנרמול אינו הבעיה - כפולה של ו"ע היא ו"ע.)

דוגמה: המטריצה [math]\displaystyle{ A=\begin{pmatrix}1&1\\ 0&2\end{pmatrix} }[/math] לכסינה (יש לה שני ע"ע שונים, [math]\displaystyle{ 1 }[/math] ו[math]\displaystyle{ 2 }[/math]), אבל המרחבים העצמיים שלה הם הישרים הנפרשים על ידי [math]\displaystyle{ (1,0) }[/math] ו[math]\displaystyle{ (1,1) }[/math], שאינם מאונכים זה לזה. לכן אין ל[math]\displaystyle{ A }[/math] בא"נ של ו"ע: היא לכסינה, אך אינה לכסינה אוניטרית.

משפט (לכסון אוניטרי): יהי [math]\displaystyle{ V }[/math] ממ"פ נוצר סופית מעל [math]\displaystyle{ \mathbb{F}=\mathbb{R} }[/math] או [math]\displaystyle{ \mathbb{F}=\mathbb{C} }[/math], ויהי [math]\displaystyle{ T:V\to V }[/math] אופרטור שהפולינום האופייני שלו מל"ל. אזי [math]\displaystyle{ T }[/math] לכסין אוניטרית אם ורק אם [math]\displaystyle{ T }[/math] נורמלי.

מסקנה: מעל [math]\displaystyle{ \mathbb{C} }[/math] כל פולינום מל"ל, ולכן אופרטור על ממ"פ מרוכב נוצר סופית הוא לכסין אוניטרית אם ורק אם הוא נורמלי. בפרט, מטריצה [math]\displaystyle{ A\in\mathbb{C}^{n\times n} }[/math] לכסינה אוניטרית אם ורק אם [math]\displaystyle{ AA^*=A^*A }[/math]. (בדוגמה לעיל אכן [math]\displaystyle{ AA^*\neq A^*A }[/math].)

טענה (הכיוון הראשון של המשפט): יהי [math]\displaystyle{ T }[/math] אופרטור לכסין אוניטרית על ממ"פ נוצר סופית. אזי [math]\displaystyle{ T }[/math] נורמלי.

הוכחה. יהי [math]\displaystyle{ B=\{v_1,\ldots,v_n\} }[/math] בא"נ מלכסן (קיים לפי הגדרת הלכסון האוניטרי). לכן המטריצה המייצגת אלכסונית: [math]\displaystyle{ [T]_B=D }[/math]. בזכות שהבסיס אורתונורמלי, [math]\displaystyle{ [T^*]_B=D^* }[/math], שגם היא אלכסונית (שחלוף של מטריצה אלכסונית לא משנה אותה). מטריצות אלכסוניות תמיד מתחלפות זו עם זו, ולכן

[math]\displaystyle{ [TT^*]_B=DD^*=D^*D=[T^*T]_B }[/math]

ולכן [math]\displaystyle{ TT^*=T^*T }[/math]. (שוב היופי של הקשר ההדוק בין העתקות לינאריות למטריצות.)

▶ בהרצאה מ־12.1.25, החל מהדקה 9:59

הוכחת משפט הלכסון האוניטרי

הכיוון השני מורכב ומעניין יותר. לא רק שצריך להוכיח לכסינות (כלומר שיש מספיק ו"ע), צריך גם להוכיח שהם מאונכים זה לזה. נוכיח זאת באמצעות טריק שעוקף את שתי הבעיות במקביל:

• הפולינום האופייני של [math]\displaystyle{ T }[/math] מל"ל, ולכן יש לו צורת ז'ורדן [math]\displaystyle{ J }[/math] (מספיק לנו שיש לו צורה משולשית).
• האם העובדה ש[math]\displaystyle{ J }[/math] משולשית ו[math]\displaystyle{ JJ^*=J^*J }[/math] מבטיחה ש[math]\displaystyle{ J }[/math] אלכסונית? כן - וזה נכון לכל מטריצה משולשית (טענת עזר 1).
• אבל למה ש[math]\displaystyle{ J }[/math] ו[math]\displaystyle{ J^* }[/math] יתחלפו? אמנם [math]\displaystyle{ T }[/math] נורמלי, אבל הבסיס המז'רדן לא בהכרח אורתונורמלי.
• כדי לקבל בסיס אורתונורמלי נפעיל גרם-שמידט. הבסיס החדש כבר כנראה לא יהיה מז'רדן, אבל המטריצה המייצגת לפיו תישאר משולשית (טענת עזר 2), ולכן - כמטריצה משולשית נורמלית - אלכסונית.

טענת עזר 1: תהי [math]\displaystyle{ A\in\mathbb{C}^{n\times n} }[/math] משולשית עליונה, כך ש[math]\displaystyle{ AA^*=A^*A }[/math]. אזי [math]\displaystyle{ A }[/math] אלכסונית.

הוכחה. נסמן [math]\displaystyle{ A=(a_{ij}) }[/math], כאשר [math]\displaystyle{ a_{ij}=0 }[/math] לכל [math]\displaystyle{ i>j }[/math]:

[math]\displaystyle{ A=\begin{pmatrix}a_{11}&\cdots&a_{1n}\\ &\ddots&\vdots\\ &&a_{nn}\end{pmatrix} }[/math]

[math]\displaystyle{ A^*=\begin{pmatrix}\overline{a_{11}}&&\\ \vdots&\ddots&\\ \overline{a_{1n}}&\cdots&\overline{a_{nn}}\end{pmatrix} }[/math]

נשווה את האיבר במקום ה[math]\displaystyle{ (i,i) }[/math] בשתי המכפלות:

[math]\displaystyle{ [AA^*]_{ii}=R_i(A)C_i(A^*)=\sum_{j=i}^n|a_{ij}|^2 }[/math]

[math]\displaystyle{ [A^*A]_{ii}=R_i(A^*)C_i(A)=\sum_{k=1}^i|a_{ki}|^2 }[/math]

עבור [math]\displaystyle{ i=1 }[/math] נקבל [math]\displaystyle{ |a_{11}|^2+|a_{12}|^2+\ldots+|a_{1n}|^2=|a_{11}|^2 }[/math], ולכן [math]\displaystyle{ |a_{12}|^2+\ldots+|a_{1n}|^2=0 }[/math], כלומר [math]\displaystyle{ a_{1j}=0 }[/math] לכל [math]\displaystyle{ j>1 }[/math].

נמשיך באינדוקציה: נניח שכבר הוכחנו שבשורות [math]\displaystyle{ 1,\ldots,i-1 }[/math] כל האיברים שמחוץ לאלכסון מתאפסים. בפרט [math]\displaystyle{ a_{ki}=0 }[/math] לכל [math]\displaystyle{ k<i }[/math], ולכן [math]\displaystyle{ [A^*A]_{ii}=|a_{ii}|^2 }[/math]. מהשוויון [math]\displaystyle{ [AA^*]_{ii}=[A^*A]_{ii} }[/math] נקבל [math]\displaystyle{ \sum_{j>i}|a_{ij}|^2=0 }[/math], כלומר [math]\displaystyle{ a_{ij}=0 }[/math] לכל [math]\displaystyle{ j>i }[/math]. סה"כ כל האיברים מעל האלכסון מתאפסים, ויחד עם המשולשיות [math]\displaystyle{ A }[/math] אלכסונית.

הערה: באותו אופן (או על ידי הפעלת הטענה על [math]\displaystyle{ A^* }[/math]) גם מטריצה משולשית תחתונה נורמלית היא אלכסונית, והטענה נכונה כמובן גם למטריצות ממשיות.

טענת עזר 2: יהי [math]\displaystyle{ B=\{v_1,\ldots,v_n\} }[/math] בסיס של ממ"פ [math]\displaystyle{ V }[/math], ויהי [math]\displaystyle{ C=\{w_1,\ldots,w_n\} }[/math] הבסיס האורתונורמלי המתקבל מ[math]\displaystyle{ B }[/math] בתהליך גרם-שמידט (כולל נרמול). אזי מטריצת המעבר [math]\displaystyle{ [I]_B^C }[/math], שעמודותיה הן [math]\displaystyle{ [w_1]_B,\ldots,[w_n]_B }[/math], משולשית עליונה. לכן גם [math]\displaystyle{ [I]_C^B=\left([I]_B^C\right)^{-1} }[/math] משולשית עליונה (ההופכית של מטריצה משולשית הפיכה היא משולשית).

הוכחה. למשל [math]\displaystyle{ w_1=\frac{v_1}{||v_1||} }[/math], ולכן [math]\displaystyle{ [w_1]_B=\left(\frac{1}{||v_1||},0,\ldots,0\right) }[/math]. באופן כללי, הוכחנו (בפרק 2) שבתהליך גרם-שמידט לכל [math]\displaystyle{ i }[/math] מתקיים

[math]\displaystyle{ w_i\in span\{v_1,\ldots,v_i\} }[/math]

ולכן בוקטור הקואורדינטות [math]\displaystyle{ [w_i]_B }[/math] כל הרכיבים במקומות [math]\displaystyle{ i+1,\ldots,n }[/math] הם אפס. כלומר בעמודה ה[math]\displaystyle{ i }[/math] של [math]\displaystyle{ [I]_B^C }[/math] כל האיברים שמתחת לאלכסון מתאפסים:

[math]\displaystyle{ [I]_B^C=\begin{pmatrix}|&&|\\ \left[w_1\right]_B&\cdots&\left[w_n\right]_B\\ |&&|\end{pmatrix}= }[/math]

[math]\displaystyle{ =\begin{pmatrix}*&\cdots&*\\ &\ddots&\vdots\\ &&*\end{pmatrix} }[/math]

כלומר זו אכן מטריצה משולשית עליונה. (אפשר גם לראות ישירות ש[math]\displaystyle{ [I]_C^B }[/math] משולשית: גרם-שמידט מקיים [math]\displaystyle{ span\{w_1,\ldots,w_i\}=span\{v_1,\ldots,v_i\} }[/math], ולכן גם [math]\displaystyle{ v_i\in span\{w_1,\ldots,w_i\} }[/math].)

טענה (הכיוון השני של המשפט): יהי [math]\displaystyle{ V }[/math] ממ"פ נוצר סופית, ויהי [math]\displaystyle{ T:V\to V }[/math] אופרטור נורמלי שהפולינום האופייני שלו מל"ל. אזי [math]\displaystyle{ T }[/math] לכסין אוניטרית.

הוכחה. כיוון שהפולינום האופייני מל"ל, יש ל[math]\displaystyle{ T }[/math] בסיס מז'רדן [math]\displaystyle{ B }[/math] (מספיק בסיס משלש), כלומר [math]\displaystyle{ [T]_B=J }[/math] משולשית עליונה. נפעיל גרם-שמידט על [math]\displaystyle{ B }[/math] ונקבל בסיס אורתונורמלי [math]\displaystyle{ C }[/math]. כעת

[math]\displaystyle{ [T]_C=[I]_C^B\,[T]_B\,[I]_B^C }[/math]

לפי טענת עזר 2 שתי מטריצות המעבר משולשיות עליונות, וגם [math]\displaystyle{ [T]_B=J }[/math] משולשית עליונה; לכן שלוש המטריצות מימין משולשיות עליונות, ולכן גם מכפלתן משולשית עליונה. סה"כ [math]\displaystyle{ [T]_C=U }[/math], כאשר [math]\displaystyle{ U }[/math] משולשית עליונה.

כיוון ש[math]\displaystyle{ C }[/math] אורתונורמלי, [math]\displaystyle{ [T^*]_C=U^* }[/math], ולכן מ[math]\displaystyle{ TT^*=T^*T }[/math] נובע [math]\displaystyle{ UU^*=U^*U }[/math], כלומר [math]\displaystyle{ U }[/math] נורמלית. [math]\displaystyle{ U }[/math] משולשית ונורמלית, ולכן לפי טענת עזר 1 היא אלכסונית. כלומר [math]\displaystyle{ C }[/math] הוא בסיס אורתונורמלי מלכסן, ולא רק משלש.

מסקנה: יהי [math]\displaystyle{ T }[/math] אופרטור לכסין אוניטרית (למשל אופרטור נורמלי על ממ"פ מרוכב נוצר סופית). אזי ו"ע של ע"ע שונים מאונכים זה לזה: [math]\displaystyle{ V_\lambda\perp V_\mu }[/math] לכל [math]\displaystyle{ \lambda\neq\mu }[/math].

הוכחה. יהי [math]\displaystyle{ C=\{c_1,\ldots,c_n\} }[/math] בא"נ של ו"ע, [math]\displaystyle{ Tc_i=d_ic_i }[/math]. עבור [math]\displaystyle{ v=\sum_ix_ic_i }[/math] מתקיים [math]\displaystyle{ Tv=\sum_id_ix_ic_i }[/math], ולכן [math]\displaystyle{ Tv=\lambda v }[/math] אם ורק אם [math]\displaystyle{ (d_i-\lambda)x_i=0 }[/math] לכל [math]\displaystyle{ i }[/math], כלומר אם ורק אם [math]\displaystyle{ x_i=0 }[/math] לכל [math]\displaystyle{ i }[/math] שעבורו [math]\displaystyle{ d_i\neq\lambda }[/math]. לכן

[math]\displaystyle{ V_\lambda=span\{c_i\ :\ d_i=\lambda\} }[/math]

עבור [math]\displaystyle{ \lambda\neq\mu }[/math] המרחבים [math]\displaystyle{ V_\lambda,V_\mu }[/math] נפרשים על ידי תת-קבוצות זרות של בא"נ, ולכן הם מאונכים זה לזה.

▶ בהרצאה מ־12.1.25, החל מהדקה 38:40

לכסון אורתוגונלי של מטריצה ממשית סימטרית

מסקנה (הדוגמה הקלאסית): כל מטריצה ממשית סימטרית [math]\displaystyle{ A\in\mathbb{R}^{n\times n} }[/math] לכסינה אורתוגונלית: קיימת מטריצה אורתוגונלית [math]\displaystyle{ P\in\mathbb{R}^{n\times n} }[/math] כך ש[math]\displaystyle{ P^tAP=P^{-1}AP }[/math] אלכסונית (וממשית).

הוכחה. נביט באופרטור [math]\displaystyle{ T(v)=Av }[/math] על [math]\displaystyle{ \mathbb{R}^n }[/math] עם המכפלה הסטנדרטית. הבסיס הסטנדרטי [math]\displaystyle{ E }[/math] אורתונורמלי, ולכן [math]\displaystyle{ [T^*]_E=A^*=A^t=A=[T]_E }[/math], כלומר [math]\displaystyle{ T }[/math] צמוד לעצמו, ובפרט נורמלי. לפי המסקנה על מטריצה סימטרית, הפולינום האופייני של [math]\displaystyle{ A }[/math] מל"ל מעל [math]\displaystyle{ \mathbb{R} }[/math]. לכן לפי משפט הלכסון האוניטרי (מעל [math]\displaystyle{ \mathbb{R} }[/math]) יש ל[math]\displaystyle{ \mathbb{R}^n }[/math] בא"נ המורכב מו"ע של [math]\displaystyle{ A }[/math]. נשים אותו בעמודות מטריצה [math]\displaystyle{ P }[/math]: היא אורתוגונלית כי עמודותיה בא"נ, ו[math]\displaystyle{ P^{-1}AP }[/math] אלכסונית.

זה בדיוק מה שרצינו במוטיבציה: מטריצת ההסה הסימטרית לכסינה, ואפילו עם בסיס מלכסן אורתונורמלי.

איך מלכסנים אוניטרית בפועל?

• מוצאים את הע"ע, ולכל ע"ע בסיס למרחב העצמי שלו.
• ו"ע של ע"ע שונים כבר מאונכים זה לזה (המסקנה בסוף הסעיף הקודם). לכן לעולם לא צריך לעשות גרם-שמידט בין ו"ע של ע"ע שונים, אלא רק בתוך מרחב עצמי של ע"ע שחוזר על עצמו.
• מנרמלים, ושמים את הבא"נ שהתקבל בעמודות של [math]\displaystyle{ P }[/math].

דוגמה: לכסנו אורתוגונלית את המטריצה [math]\displaystyle{ A=\begin{pmatrix}1&1\\ 1&3\end{pmatrix} }[/math], ובעזרת זה זהו את הצורה הגאומטרית של העקום [math]\displaystyle{ x^2+2xy+3y^2=10 }[/math].

ראשית נשים לב שהעקום קשור למטריצה [math]\displaystyle{ A }[/math]:

[math]\displaystyle{ (x\ \ y)\begin{pmatrix}1&1\\ 1&3\end{pmatrix}\begin{pmatrix}x\\ y\end{pmatrix}=x^2+2xy+3y^2 }[/math]

ערכים עצמיים.

[math]\displaystyle{ p_A(\lambda)=\det\begin{pmatrix}\lambda-1&-1\\ -1&\lambda-3\end{pmatrix}= }[/math]

[math]\displaystyle{ =(\lambda-1)(\lambda-3)-1=\lambda^2-4\lambda+2 }[/math]

ולכן [math]\displaystyle{ \lambda_1=2-\sqrt{2}\approx 0.586 }[/math] ו[math]\displaystyle{ \lambda_2=2+\sqrt{2}\approx 3.414 }[/math].

וקטורים עצמיים.

[math]\displaystyle{ V_{\lambda_1}=N(\lambda_1I-A)=N\begin{pmatrix}1-\sqrt{2}&-1\\ -1&-1-\sqrt{2}\end{pmatrix} }[/math]

השורה הראשונה היא השורה השנייה כפול [math]\displaystyle{ \sqrt{2}-1 }[/math], ולכן נשארת המשוואה [math]\displaystyle{ x+(1+\sqrt{2})y=0 }[/math]. נציב [math]\displaystyle{ y=-1 }[/math] ונקבל [math]\displaystyle{ v_1=(1+\sqrt{2},-1) }[/math].

[math]\displaystyle{ V_{\lambda_2}=N(\lambda_2I-A)=N\begin{pmatrix}1+\sqrt{2}&-1\\ -1&-1+\sqrt{2}\end{pmatrix} }[/math]

כאן השורה הראשונה היא השורה השנייה כפול [math]\displaystyle{ -(1+\sqrt{2}) }[/math], ולכן נשארת המשוואה [math]\displaystyle{ x=(\sqrt{2}-1)y }[/math]. נציב [math]\displaystyle{ y=1+\sqrt{2} }[/math] ונקבל [math]\displaystyle{ v_2=(1,1+\sqrt{2}) }[/math].

בדיקה: [math]\displaystyle{ Av_2=\begin{pmatrix}2+\sqrt{2}\\ 4+3\sqrt{2}\end{pmatrix}=(2+\sqrt{2})v_2 }[/math], כי [math]\displaystyle{ (2+\sqrt{2})(1+\sqrt{2})=4+3\sqrt{2} }[/math].

מאונכות ונרמול. כצפוי, [math]\displaystyle{ v_1\cdot v_2=(1+\sqrt{2})-(1+\sqrt{2})=0 }[/math], ולכן אין צורך בגרם-שמידט - רק לנרמל:

[math]\displaystyle{ ||v_1||^2=||v_2||^2=(1+\sqrt{2})^2+1=4+2\sqrt{2} }[/math]

לכן המטריצה שעמודותיה הן הבא"נ [math]\displaystyle{ \frac{v_1}{||v_1||},\frac{v_2}{||v_2||} }[/math] היא

[math]\displaystyle{ P=\frac{1}{\sqrt{4+2\sqrt{2}}}\begin{pmatrix}1+\sqrt{2}&1\\ -1&1+\sqrt{2}\end{pmatrix} }[/math]

היא אורתוגונלית, ומתקיים

[math]\displaystyle{ P^tAP=\begin{pmatrix}2-\sqrt{2}&0\\ 0&2+\sqrt{2}\end{pmatrix}=D }[/math]

מה עושה [math]\displaystyle{ P }[/math]? מתקיים [math]\displaystyle{ \frac{1+\sqrt{2}}{\sqrt{4+2\sqrt{2}}}=\cos\frac{\pi}{8}\approx 0.924 }[/math] ו[math]\displaystyle{ \frac{1}{\sqrt{4+2\sqrt{2}}}=\sin\frac{\pi}{8}\approx 0.383 }[/math], ולכן

[math]\displaystyle{ P=\begin{pmatrix}\cos\frac{\pi}{8}&\sin\frac{\pi}{8}\\ -\sin\frac{\pi}{8}&\cos\frac{\pi}{8}\end{pmatrix} }[/math]

זו מטריצת הסיבוב בזווית [math]\displaystyle{ 22.5^\circ }[/math] עם כיוון השעון.

הצורה הגאומטרית. נחליף קואורדינטות: [math]\displaystyle{ \begin{pmatrix}x\\ y\end{pmatrix}=P\begin{pmatrix}t\\ s\end{pmatrix} }[/math], כלומר [math]\displaystyle{ \begin{pmatrix}t\\ s\end{pmatrix}=P^t\begin{pmatrix}x\\ y\end{pmatrix} }[/math]. כיוון ש[math]\displaystyle{ A=PDP^t }[/math]:

[math]\displaystyle{ x^2+2xy+3y^2=(x\ \ y)\,PDP^t\begin{pmatrix}x\\ y\end{pmatrix} }[/math]

[math]\displaystyle{ =(t\ \ s)\,D\begin{pmatrix}t\\ s\end{pmatrix} }[/math]

[math]\displaystyle{ =(2-\sqrt{2})t^2+(2+\sqrt{2})s^2 }[/math]

לכן בקואורדינטות החדשות העקום הוא [math]\displaystyle{ (2-\sqrt{2})t^2+(2+\sqrt{2})s^2=10 }[/math], כלומר בערך [math]\displaystyle{ 0.586t^2+3.414s^2=10 }[/math]. זו אליפסה (שני המקדמים חיוביים), שציריה בכיווני [math]\displaystyle{ v_1,v_2 }[/math]: הצירים הרגילים מסובבים ב[math]\displaystyle{ 22.5^\circ }[/math] עם כיוון השעון.

הערה: באופן דומה, העקום [math]\displaystyle{ x^2+4xy+3y^2=10 }[/math] מתאים למטריצה [math]\displaystyle{ \begin{pmatrix}1&2\\ 2&3\end{pmatrix} }[/math], שהע"ע שלה [math]\displaystyle{ 2\pm\sqrt{5} }[/math] (בערך [math]\displaystyle{ -0.236 }[/math] ו[math]\displaystyle{ 4.236 }[/math]) בעלי סימנים מנוגדים, ולכן הצורה היא היפרבולה. בפרק 6 נמיין כך משוואות ממעלה שנייה באופן כללי.

▶ בהרצאה מ־12.1.25, החל מהדקה 15:27

ערכים עצמיים של אופרטור הרמיטי, אנטי-הרמיטי ואוניטרי

ראינו שאופרטור על ממ"פ מרוכב נוצר סופית הוא נורמלי אם ורק אם הוא לכסין אוניטרית. נראה מה המטריצה האלכסונית מספרת לנו על המקרים המיוחדים.

יהי [math]\displaystyle{ T }[/math] אופרטור נורמלי על ממ"פ מרוכב נוצר סופית, ויהי [math]\displaystyle{ B }[/math] בא"נ מלכסן:

[math]\displaystyle{ [T]_B=D=\begin{pmatrix}\lambda_1&&\\ &\ddots&\\ &&\lambda_n\end{pmatrix} }[/math]

לכן

[math]\displaystyle{ [T^*]_B=D^*=\overline{D}=\begin{pmatrix}\overline{\lambda_1}&&\\ &\ddots&\\ &&\overline{\lambda_n}\end{pmatrix} }[/math]

מסקנה: יהי [math]\displaystyle{ T }[/math] אופרטור על ממ"פ מרוכב נוצר סופית. אזי:

• [math]\displaystyle{ T^*=T }[/math] (הרמיטי) אם ורק אם [math]\displaystyle{ T }[/math] נורמלי וכל הע"ע שלו ממשיים.
• [math]\displaystyle{ T^*=-T }[/math] (אנטי-הרמיטי) אם ורק אם [math]\displaystyle{ T }[/math] נורמלי וכל הע"ע שלו מדומים טהורים (מהצורה [math]\displaystyle{ ai }[/math] עם [math]\displaystyle{ a\in\mathbb{R} }[/math]).
• [math]\displaystyle{ T }[/math] אוניטרי אם ורק אם [math]\displaystyle{ T }[/math] נורמלי וכל הע"ע שלו בעלי ערך מוחלט 1.

הוכחה. בכל שלושת המקרים [math]\displaystyle{ T }[/math] נורמלי (ראינו שכל אחד מהסוגים נורמלי), ולכן יש בא"נ [math]\displaystyle{ B }[/math] כמו לעיל. כעת:

• [math]\displaystyle{ T=T^* }[/math] אם ורק אם [math]\displaystyle{ D=\overline{D} }[/math], אם ורק אם [math]\displaystyle{ \lambda_i=\overline{\lambda_i} }[/math] לכל [math]\displaystyle{ i }[/math], כלומר כל הע"ע ממשיים.
• [math]\displaystyle{ T^*=-T }[/math] אם ורק אם [math]\displaystyle{ \overline{\lambda_i}=-\lambda_i }[/math] לכל [math]\displaystyle{ i }[/math], כלומר [math]\displaystyle{ Re(\lambda_i)=0 }[/math] (ואכן [math]\displaystyle{ \overline{ai}=-ai }[/math]).
• [math]\displaystyle{ T }[/math] אוניטרי אם ורק אם [math]\displaystyle{ TT^*=I }[/math] (במימד סופי זה מספיק), אם ורק אם [math]\displaystyle{ DD^*=I }[/math], כלומר

[math]\displaystyle{ DD^*=\begin{pmatrix}|\lambda_1|^2&&\\ &\ddots&\\ &&|\lambda_n|^2\end{pmatrix}=I }[/math]

וזה קורה אם ורק אם [math]\displaystyle{ |\lambda_i|=1 }[/math] לכל [math]\displaystyle{ i }[/math].

הערה: ההנחה ש[math]\displaystyle{ T }[/math] נורמלי הכרחית, ולא מספיק לדרוש שהוא לכסין. למשל [math]\displaystyle{ \begin{pmatrix}1&1\\ 0&-1\end{pmatrix} }[/math] לכסינה, וכל הע"ע שלה ([math]\displaystyle{ \pm 1 }[/math]) ממשיים ובעלי ערך מוחלט 1, אבל היא אינה הרמיטית ואינה אוניטרית (עמודותיה אינן בא"נ).

מסקנה: כל מטריצה הרמיטית (ובפרט כל מטריצה ממשית סימטרית) לכסינה אוניטרית וכל הע"ע שלה ממשיים; כל מטריצה אוניטרית לכסינה אוניטרית וכל הע"ע שלה על מעגל היחידה.

▶ בהרצאה מ־15.1.25, החל מהדקה 14:11

ערכים עצמיים צמודים ומטריצות סיבוב

טענה: יהי [math]\displaystyle{ p(x)=\sum_{k=0}^na_kx^k }[/math] פולינום עם מקדמים ממשיים, ויהי [math]\displaystyle{ z\in\mathbb{C} }[/math] שורש של [math]\displaystyle{ p }[/math]. אזי גם [math]\displaystyle{ \overline{z} }[/math] שורש של [math]\displaystyle{ p }[/math].

הוכחה. נשתמש בכך ש[math]\displaystyle{ \overline{z_1z_2}=\overline{z_1}\cdot\overline{z_2} }[/math] ו[math]\displaystyle{ \overline{z_1+z_2}=\overline{z_1}+\overline{z_2} }[/math], ובכך ש[math]\displaystyle{ a_k\in\mathbb{R} }[/math], כלומר [math]\displaystyle{ \overline{a_k}=a_k }[/math]:

[math]\displaystyle{ p(\overline{z})=\sum_{k=0}^na_k\overline{z}^k=\sum_{k=0}^n\overline{a_kz^k} }[/math]

[math]\displaystyle{ =\overline{\sum_{k=0}^na_kz^k}=\overline{p(z)}=\overline{0}=0 }[/math]

הערה: לכל [math]\displaystyle{ z\in\mathbb{C} }[/math]

[math]\displaystyle{ (x-z)(x-\overline{z})=x^2-(z+\overline{z})x+|z|^2 }[/math]

[math]\displaystyle{ =x^2-2Re(z)\,x+|z|^2 }[/math]

וזה פולינום עם מקדמים ממשיים! לכן אם [math]\displaystyle{ z\notin\mathbb{R} }[/math] שורש של פולינום ממשי [math]\displaystyle{ p }[/math], אפשר לחלק את [math]\displaystyle{ p }[/math] בפולינום הממשי הזה ולקבל שוב פולינום ממשי; באינדוקציה נובע שהשורשים הלא ממשיים של פולינום ממשי באים בזוגות של צמודים, ולשני השורשים בכל זוג אותו ריבוי. בפרט, הע"ע הלא ממשיים של מטריצה ממשית (שהפולינום האופייני שלה ממשי) באים בזוגות צמודים.

סימון: כל מספר מרוכב הוא מהצורה [math]\displaystyle{ r\,\mathrm{cis}(\theta) }[/math], ומספר מרוכב בעל ערך מוחלט 1 הוא מהצורה

[math]\displaystyle{ \mathrm{cis}(\theta)=\cos\theta+i\sin\theta=e^{i\theta} }[/math]

הצמוד שלו הוא [math]\displaystyle{ \mathrm{cis}(-\theta)=\cos\theta-i\sin\theta }[/math] (כי קוסינוס זוגית וסינוס אי-זוגית), וכן [math]\displaystyle{ \mathrm{cis}(\theta_1)\cdot\mathrm{cis}(\theta_2)=\mathrm{cis}(\theta_1+\theta_2) }[/math].

מטריצת הסיבוב בזווית [math]\displaystyle{ \theta }[/math] נגד כיוון השעון היא

[math]\displaystyle{ R_\theta=\begin{pmatrix}\cos\theta&-\sin\theta\\ \sin\theta&\cos\theta\end{pmatrix} }[/math]

טענה: [math]\displaystyle{ R_\theta }[/math] דומה מעל [math]\displaystyle{ \mathbb{C} }[/math] למטריצה האלכסונית

[math]\displaystyle{ \begin{pmatrix}e^{i\theta}&0\\ 0&e^{-i\theta}\end{pmatrix}= }[/math]

[math]\displaystyle{ =\begin{pmatrix}\mathrm{cis}(\theta)&0\\ 0&\mathrm{cis}(-\theta)\end{pmatrix} }[/math]

בנוסף, היא אוניטרית (אורתוגונלית).

הוכחה. הפולינום האופייני של [math]\displaystyle{ R_\theta }[/math] הוא

[math]\displaystyle{ \det\begin{pmatrix}x-\cos\theta&\sin\theta\\ -\sin\theta&x-\cos\theta\end{pmatrix}= }[/math]

[math]\displaystyle{ =(x-\cos\theta)^2+\sin^2\theta }[/math]

[math]\displaystyle{ =x^2-2\cos(\theta)x+1 }[/math]

והפולינום האופייני של המטריצה האלכסונית הוא

[math]\displaystyle{ (x-e^{i\theta})(x-e^{-i\theta})= }[/math]

[math]\displaystyle{ =x^2-(e^{i\theta}+e^{-i\theta})x+e^0 }[/math]

[math]\displaystyle{ =x^2-2\cos(\theta)x+1 }[/math]

(כי [math]\displaystyle{ e^{i\theta}+e^{-i\theta}=\mathrm{cis}(\theta)+\mathrm{cis}(-\theta)=2\cos\theta }[/math]). קיבלנו אותו פולינום אופייני! אם [math]\displaystyle{ \theta }[/math] אינו כפולה שלמה של [math]\displaystyle{ \pi }[/math], הע"ע [math]\displaystyle{ e^{\pm i\theta} }[/math] שונים זה מזה, ולכן [math]\displaystyle{ R_\theta }[/math] לכסינה (מעל [math]\displaystyle{ \mathbb{C} }[/math]) עם אותם ע"ע כמו המטריצה האלכסונית, ולכן הן דומות. אם [math]\displaystyle{ \theta }[/math] כפולה שלמה של [math]\displaystyle{ \pi }[/math], אז [math]\displaystyle{ R_\theta=\pm I }[/math] היא בעצמה המטריצה האלכסונית.

[math]\displaystyle{ R_\theta }[/math] אורתוגונלית כי עמודותיה בא"נ. (אפשר לראות זאת גם לפי הסעיף הקודם: [math]\displaystyle{ R_\theta }[/math] נורמלית, כפי שבודקים ישירות, וכל הע"ע שלה בעלי ערך מוחלט 1.)

▶ בהרצאה מ־15.1.25, החל מהדקה 30:15

מטריצות ממשיות הדומות מעל המרוכבים

ראינו שמטריצת הסיבוב הממשית דומה מעל [math]\displaystyle{ \mathbb{C} }[/math] למטריצה אלכסונית מרוכבת. בהמשך נעבור הלוך ושוב בין [math]\displaystyle{ \mathbb{R} }[/math] ל[math]\displaystyle{ \mathbb{C} }[/math], וזה מעלה את השאלה: אם מטריצות ממשיות דומות מעל המרוכבים, האם הן דומות גם מעל הממשיים? התשובה חיובית:

טענה: תהיינה [math]\displaystyle{ A,B\in\mathbb{R}^{n\times n} }[/math], ונניח שקיימת [math]\displaystyle{ P\in\mathbb{C}^{n\times n} }[/math] הפיכה עבורה [math]\displaystyle{ B=P^{-1}AP }[/math]. אזי קיימת [math]\displaystyle{ Q\in\mathbb{R}^{n\times n} }[/math] הפיכה כך ש[math]\displaystyle{ B=Q^{-1}AQ }[/math].

הוכחה. מ[math]\displaystyle{ B=P^{-1}AP }[/math] נקבל [math]\displaystyle{ PB=AP }[/math]. נכתוב [math]\displaystyle{ P=C+iD }[/math], כאשר [math]\displaystyle{ C,D\in\mathbb{R}^{n\times n} }[/math]. אז

[math]\displaystyle{ (C+iD)B=A(C+iD) }[/math]

נפתח סוגריים ונשווה חלק ממשי לממשי ומדומה למדומה (כל המטריצות [math]\displaystyle{ A,B,C,D }[/math] ממשיות):

[math]\displaystyle{ CB=AC,\qquad DB=AD }[/math]

אם [math]\displaystyle{ C }[/math] הפיכה, אפשר לכפול ב[math]\displaystyle{ C^{-1} }[/math] ולקבל [math]\displaystyle{ B=C^{-1}AC }[/math], כלומר המטריצה ה"מצמידה" ממשית, כפי שרצינו; כנ"ל לגבי [math]\displaystyle{ D }[/math]. אבל לא מובטח ש[math]\displaystyle{ C }[/math] או [math]\displaystyle{ D }[/math] הפיכות...

נביט בפולינום

[math]\displaystyle{ f(x)=\det(C+xD) }[/math]

זה פולינום ממעלה לכל היותר [math]\displaystyle{ n }[/math], והוא אינו פולינום האפס, שהרי

[math]\displaystyle{ f(i)=\det(C+iD)=\det(P)\neq 0 }[/math]

כי [math]\displaystyle{ P }[/math] הפיכה. לכן ל[math]\displaystyle{ f }[/math] יש מספר סופי של שורשים, ובפרט קיים מספר ממשי [math]\displaystyle{ a\in\mathbb{R} }[/math] כך ש[math]\displaystyle{ f(a)=\det(C+aD)\neq 0 }[/math]. נבחר [math]\displaystyle{ Q=C+aD\in\mathbb{R}^{n\times n} }[/math]. היא הפיכה, ומתקיים

[math]\displaystyle{ QB=CB+aDB=AC+aAD=AQ }[/math]

ולכן [math]\displaystyle{ B=Q^{-1}AQ }[/math].

▶ בהרצאה מ־15.1.25, החל מהדקה 0:29

הגאומטריה של מטריצות אורתוגונליות ממשיות

כעת נראה איך הכל מסתדר יחד למשפט מדהים.

משפט: תהי [math]\displaystyle{ A\in\mathbb{R}^{n\times n} }[/math] מטריצה אורתוגונלית. אזי [math]\displaystyle{ A }[/math] דומה (מעל [math]\displaystyle{ \mathbb{R} }[/math]) לסכום ישר של בלוקים

[math]\displaystyle{ A\sim B_1\oplus\cdots\oplus B_k }[/math]

כאשר כל בלוק [math]\displaystyle{ B_p }[/math] הוא [math]\displaystyle{ (1) }[/math], או [math]\displaystyle{ (-1) }[/math], או מטריצת סיבוב [math]\displaystyle{ R_\theta }[/math] בגודל [math]\displaystyle{ 2\times 2 }[/math].

הוכחה. כיוון ש[math]\displaystyle{ A }[/math] ממשית, [math]\displaystyle{ A^*=A^t=A^{-1} }[/math], כלומר [math]\displaystyle{ A }[/math] אוניטרית כמטריצה מרוכבת. לכן היא נורמלית, ולכן לכסינה אוניטרית מעל [math]\displaystyle{ \mathbb{C} }[/math], וכל הע"ע שלה בעלי ערך מוחלט 1:

• הע"ע הממשיים שלה הם [math]\displaystyle{ 1 }[/math] או [math]\displaystyle{ -1 }[/math].
• הע"ע שאינם ממשיים באים בזוגות צמודים בעלי אותו ריבוי, מהצורה [math]\displaystyle{ \mathrm{cis}(\pm\theta) }[/math].

לכן (אחרי סידור האלכסון) [math]\displaystyle{ A }[/math] דומה מעל [math]\displaystyle{ \mathbb{C} }[/math] לסכום ישר של בלוקים מהצורות [math]\displaystyle{ (1) }[/math], [math]\displaystyle{ (-1) }[/math] ו[math]\displaystyle{ \begin{pmatrix}\mathrm{cis}(\theta)&0\\ 0&\mathrm{cis}(-\theta)\end{pmatrix} }[/math].

כל בלוק מהצורה האחרונה דומה מעל [math]\displaystyle{ \mathbb{C} }[/math] למטריצת הסיבוב הממשית [math]\displaystyle{ R_\theta }[/math]. מצמידים כל בלוק בנפרד, ומקבלים ש[math]\displaystyle{ A }[/math] דומה מעל [math]\displaystyle{ \mathbb{C} }[/math] למטריצה הממשית [math]\displaystyle{ M=B_1\oplus\cdots\oplus B_k }[/math] מהמשפט. [math]\displaystyle{ A }[/math] ו[math]\displaystyle{ M }[/math] ממשיות ודומות מעל המרוכבים, ולכן לפי הטענה מהסעיף הקודם הן דומות גם מעל הממשיים.

סיכום: מטריצה ממשית היא אורתוגונלית אם ורק אם עמודותיה מהוות בא"נ של [math]\displaystyle{ \mathbb{R}^n }[/math] לפי המכפלה הפנימית הסטנדרטית, וזה נכון אם ורק אם שורותיה מהוות בא"נ. כאופרטור, היא פועלת על מערכת צירים: חלק מהצירים היא משאירה במקומם, חלק מהצירים היא משקפת (שולחת כל וקטור עליהם למינוס עצמו), ולזוגות של צירים אחרים היא מסובבת את המישור הנפרש ביניהם. לכן היא שומרת על אורכים וזוויות, ולא משנה צורות גאומטריות.

הערה: המשפט כפי שהוכחנו נותן מטריצת מעבר ממשית [math]\displaystyle{ Q }[/math]; עם עוד קצת עבודה (תרגיל) אפשר לבחור את [math]\displaystyle{ Q }[/math] אורתוגונלית, כלומר את מערכת הצירים אורתונורמלית. בדוגמה הבאה נראה זאת במפורש עבור [math]\displaystyle{ n=3 }[/math].

מדוע התעמקנו כל כך בגאומטריה של מטריצות כאלה? כי הן המטריצות המלכסנות בלכסון אורתוגונלי, ולמטריצות ממשיות סימטריות יש לכסון כזה: שינוי הקואורדינטות שמלכסן מטריצה סימטרית מורכב רק מסיבובים ושיקופים, ולכן אינו מעוות את הצורה הגאומטרית. על זה נבנה בפרק 6.

דוגמה: נפעיל גרם-שמידט על הוקטורים [math]\displaystyle{ (1,1,1),(1,0,1),(1,-1,0) }[/math] של [math]\displaystyle{ \mathbb{R}^3 }[/math], נשים את הבא"נ שיתקבל בעמודות מטריצה [math]\displaystyle{ A }[/math], ונבין מה [math]\displaystyle{ A }[/math] עושה גאומטרית.

גרם-שמידט. אם מתחילים לפי הסדר, [math]\displaystyle{ w_1=(1,1,1) }[/math] ו

[math]\displaystyle{ w_2=(1,0,1)-\frac{2}{3}(1,1,1)=\left(\frac{1}{3},-\frac{2}{3},\frac{1}{3}\right) }[/math]

אבל שימו לב ש[math]\displaystyle{ (1,-1,0) }[/math] כבר מאונך ל[math]\displaystyle{ (1,1,1) }[/math]. ברגע שמגלים וקטורים מאונכים, עדיף להתחיל מהם. לכן נתחיל מחדש עם [math]\displaystyle{ w_1=(1,1,1) }[/math], [math]\displaystyle{ w_2=(1,-1,0) }[/math], ו

[math]\displaystyle{ w_3=(1,0,1)-\frac{2}{3}(1,1,1)-\frac{1}{2}(1,-1,0) }[/math]

[math]\displaystyle{ =\left(-\frac{1}{6},-\frac{1}{6},\frac{1}{3}\right) }[/math]

מותר להחליף את [math]\displaystyle{ w_3 }[/math] בכפולה שלו, ונבחר [math]\displaystyle{ w_3=(-1,-1,2) }[/math]. קיבלנו בסיס אורתוגונלי [math]\displaystyle{ \{(1,1,1),(1,-1,0),(-1,-1,2)\} }[/math]. ננרמל ונשים בעמודות:

[math]\displaystyle{ A=\begin{pmatrix}\frac{1}{\sqrt{3}}&\frac{1}{\sqrt{2}}&-\frac{1}{\sqrt{6}}\\ \frac{1}{\sqrt{3}}&-\frac{1}{\sqrt{2}}&-\frac{1}{\sqrt{6}}\\ \frac{1}{\sqrt{3}}&0&\frac{2}{\sqrt{6}}\end{pmatrix} }[/math]

[math]\displaystyle{ =\frac{1}{\sqrt{6}}\begin{pmatrix}\sqrt{2}&\sqrt{3}&-1\\ \sqrt{2}&-\sqrt{3}&-1\\ \sqrt{2}&0&2\end{pmatrix} }[/math]

[math]\displaystyle{ A }[/math] אורתוגונלית כי עמודותיה בא"נ.

הציר המשוקף. פתרון המערכת [math]\displaystyle{ (A+I)v=0 }[/math] (למשל בעזרת מחשב) נותן את הו"ע

[math]\displaystyle{ v=\left(-1,\ 1+\sqrt{2},\ \sqrt{3}-\sqrt{2}\right) }[/math]

ואכן, בדיקה ישירה נותנת

[math]\displaystyle{ \sqrt{6}\,Av=\begin{pmatrix}\sqrt{6}\\ -\sqrt{6}-2\sqrt{3}\\ 2\sqrt{3}-3\sqrt{2}\end{pmatrix}=-\sqrt{6}\,v }[/math]

כלומר [math]\displaystyle{ Av=-v }[/math]: [math]\displaystyle{ -1 }[/math] הוא ע"ע של [math]\displaystyle{ A }[/math], ו[math]\displaystyle{ A }[/math] שולחת את [math]\displaystyle{ v }[/math] למינוס עצמו.

מישור הסיבוב. יהי [math]\displaystyle{ U=v^\perp }[/math] המישור המאונך ל[math]\displaystyle{ v }[/math]. [math]\displaystyle{ A }[/math] שולחת את [math]\displaystyle{ U }[/math] לעצמו: אם [math]\displaystyle{ u\perp v }[/math] אז, כיוון ש[math]\displaystyle{ A }[/math] שומרת על מכפלות פנימיות ו[math]\displaystyle{ v=-Av }[/math],

[math]\displaystyle{ \langle Au,v\rangle=-\langle Au,Av\rangle=-\langle u,v\rangle=0 }[/math]

שני הע"ע האחרים של [math]\displaystyle{ A }[/math] (שהם הע"ע של הצמצום של [math]\displaystyle{ A }[/math] ל[math]\displaystyle{ U }[/math]) בעלי ערך מוחלט 1, והם אינם ממשיים: אחרת כל שלושת הע"ע היו [math]\displaystyle{ \pm 1 }[/math], והעקבה (סכום הע"ע) הייתה מספר שלם, אבל

[math]\displaystyle{ \mathrm{tr}(A)=\frac{1}{\sqrt{3}}-\frac{1}{\sqrt{2}}+\frac{2}{\sqrt{6}}\approx 0.687 }[/math]

לכן הם זוג צמוד [math]\displaystyle{ \mathrm{cis}(\pm\theta) }[/math], ומ[math]\displaystyle{ \mathrm{tr}(A)=-1+2\cos\theta }[/math] נקבל

[math]\displaystyle{ \cos\theta=\frac{1+\mathrm{tr}(A)}{2}\approx 0.843,\qquad \theta\approx 32.5^\circ }[/math]

בבסיס אורתונורמלי של [math]\displaystyle{ U }[/math], הצמצום של [math]\displaystyle{ A }[/math] ל[math]\displaystyle{ U }[/math] מיוצג על ידי מטריצה אורתוגונלית [math]\displaystyle{ 2\times 2 }[/math]. העמודה הראשונה שלה היא וקטור יחידה [math]\displaystyle{ (\cos\varphi,\sin\varphi) }[/math], והשנייה היא וקטור יחידה מאונך לו, [math]\displaystyle{ \pm(-\sin\varphi,\cos\varphi) }[/math]. בסימן מינוס מתקבלת מטריצה סימטרית - שיקוף, שהע"ע שלו [math]\displaystyle{ \pm 1 }[/math]; לכן כאן מדובר בסימן פלוס, כלומר במטריצת הסיבוב [math]\displaystyle{ R_\varphi }[/math], שהע"ע שלה [math]\displaystyle{ e^{\pm i\varphi} }[/math]. כלומר [math]\displaystyle{ \varphi=\pm\theta }[/math], ועל המישור [math]\displaystyle{ U }[/math] המטריצה [math]\displaystyle{ A }[/math] פועלת כסיבוב בזווית [math]\displaystyle{ \theta }[/math].

סיכום הדוגמה: [math]\displaystyle{ A }[/math] הופכת את הכיוון של הציר [math]\displaystyle{ v }[/math] (שולחת את [math]\displaystyle{ v }[/math] ל[math]\displaystyle{ -v }[/math]), ומסובבת את המישור המאונך לו בזווית של כ־[math]\displaystyle{ 32.5^\circ }[/math]. בבסיס אורתונורמלי שמורכב מ[math]\displaystyle{ \frac{v}{||v||} }[/math] ומבא"נ של [math]\displaystyle{ U }[/math], המטריצה של [math]\displaystyle{ A }[/math] היא [math]\displaystyle{ (-1)\oplus R_{\theta} }[/math] (או [math]\displaystyle{ (-1)\oplus R_{-\theta} }[/math], לפי כיוון הבסיס של [math]\displaystyle{ U }[/math]) - בדיוק כמו במשפט, והפעם עם מערכת צירים אורתונורמלית.

▶ בהרצאה מ־15.1.25, החל מהדקה 52:41

פרק 6 - מיון משוואות ממעלה שנייה

בפרק האחרון של הקורס נראה שימוש יפה בכל מה שלמדנו - שינוי קואורדינטות, מכפלה פנימית, לכסון אוניטרי: מיון של משוואות ממעלה שנייה (אליפסה, היפרבולה, פרבולה ועוד), וקביעת הסימנים של הערכים העצמיים של מטריצה סימטרית.

תבנית בילינארית ותבנית ריבועית

לא נציג כאן את המקרה הכללי של תבניות בילינאריות, אלא נדבר ישר על התבניות הנוצרות ממטריצה.

הגדרה: תהי [math]\displaystyle{ A\in\mathbb{F}^{n\times n} }[/math] מטריצה ריבועית. התבנית הבילינארית הנוצרת מ[math]\displaystyle{ A }[/math] היא הפעולה בין שני וקטורי עמודה [math]\displaystyle{ v,w\in\mathbb{F}^{n\times 1} }[/math] הנתונה ע"י

[math]\displaystyle{ v^tAw }[/math]

יותר בפרט, התבנית הריבועית הנוצרת מ[math]\displaystyle{ A }[/math] היא הפונקציה

[math]\displaystyle{ v\mapsto v^tAv }[/math]

התבנית הבילינארית לינארית בכל אחד מהרכיבים.

הערה: ה[math]\displaystyle{ A }[/math] היא מה שמבדיל בין זה לבין סתם מכפלה פנימית או נורמה. למשל עבור [math]\displaystyle{ A=I }[/math] מעל הממשיים מקבלים את המכפלה הסקלרית [math]\displaystyle{ v^tw }[/math] ואת [math]\displaystyle{ v^tv=||v||^2 }[/math], אבל עבור [math]\displaystyle{ A }[/math] כללית (למשל [math]\displaystyle{ A=0 }[/math]) התבנית אינה מכפלה פנימית.

נראה מה קורה כאשר מסמנים [math]\displaystyle{ A=(a_{ij}) }[/math] ו

[math]\displaystyle{ v=\begin{pmatrix}x_1\\ \vdots\\ x_n\end{pmatrix} }[/math]

נכפול קודם את השורה [math]\displaystyle{ v^t }[/math] ב[math]\displaystyle{ A }[/math]: הרכיב ה[math]\displaystyle{ j }[/math] של [math]\displaystyle{ v^tA }[/math] הוא [math]\displaystyle{ x_1a_{1j}+\ldots+x_na_{nj} }[/math]. כעת נכפול בעמודה [math]\displaystyle{ v }[/math]:

[math]\displaystyle{ v^tAv=\begin{pmatrix}x_1 & \cdots & x_n\end{pmatrix}A\begin{pmatrix}x_1\\ \vdots\\ x_n\end{pmatrix}= }[/math]

[math]\displaystyle{ =\sum_{j=1}^n\left(x_1a_{1j}+\ldots+x_na_{nj}\right)x_j= }[/math]

[math]\displaystyle{ =\sum_{i,j=1}^n a_{ij}x_ix_j }[/math]

הערה: זהו בסך הכל פולינום ריבועי במשתנים [math]\displaystyle{ x_1,\ldots,x_n }[/math]: כל מונום בו הוא קבוע כפול מכפלה של שני משתנים. (המעלה של מונום בפולינום רב-משתני היא סכום החזקות; למשל בפולינום [math]\displaystyle{ p(x,y)=2xy+x+3 }[/math] המונום [math]\displaystyle{ 2xy }[/math] הוא ממעלה 2, ולכן הפולינום ממעלה 2.)

דוגמה:

[math]\displaystyle{ \begin{pmatrix}x & y\end{pmatrix}\begin{pmatrix}a & b\\ c & d\end{pmatrix}\begin{pmatrix}x\\ y\end{pmatrix}= }[/math]

[math]\displaystyle{ =ax^2+(b+c)xy+dy^2 }[/math]

דוגמה:

[math]\displaystyle{ \begin{pmatrix}x & y & z\end{pmatrix}\begin{pmatrix}1 & 2 & 0\\ 1 & -1 & 1\\ 0 & 3 & 0\end{pmatrix}\begin{pmatrix}x\\ y\\ z\end{pmatrix}= }[/math]

[math]\displaystyle{ =x^2-y^2+3xy+4yz }[/math]

זה פולינום ריבועי במשתנים [math]\displaystyle{ x,y,z }[/math]. בזכות חוק החילוף, המקדם של [math]\displaystyle{ xy }[/math] הוא [math]\displaystyle{ a_{12}+a_{21}=2+1=3 }[/math], המקדם של [math]\displaystyle{ yz }[/math] הוא [math]\displaystyle{ a_{23}+a_{32}=1+3=4 }[/math] והמקדם של [math]\displaystyle{ xz }[/math] הוא [math]\displaystyle{ a_{13}+a_{31}=0 }[/math].

▶ בהרצאה מ־19.1.25, החל מהדקה 13:32

המטריצה הסימטרית של פולינום ריבועי

מדוע לא הגדרנו פשוט פולינום ריבועי בכמה משתנים, אלא עברנו דרך השפה המסובכת של תבניות בילינאריות ותבניות ריבועיות? כי בעזרת השפה המסובכת נפשט ממש את הפולינומים.

שימו לב: לכל מטריצה מתאים פולינום מסוים, אבל לפולינום יש כמה מטריצות מתאימות - רק הסכום [math]\displaystyle{ a_{ij}+a_{ji} }[/math] קובע את המקדם של [math]\displaystyle{ x_ix_j }[/math]. באופן טבעי נרצה להביט במטריצה הסימטרית שמייצגת את הפולינום: על האלכסון נשים את המקדמים של [math]\displaystyle{ x_i^2 }[/math], ואת המקדם של [math]\displaystyle{ x_ix_j }[/math] (עבור [math]\displaystyle{ i\neq j }[/math]) נחלק שווה בשווה בין המקומות [math]\displaystyle{ ij }[/math] ו[math]\displaystyle{ ji }[/math].

דוגמה:

[math]\displaystyle{ ax^2+bxy+cy^2=\begin{pmatrix}x & y\end{pmatrix}\begin{pmatrix}a & \frac{b}{2}\\ \frac{b}{2} & c\end{pmatrix}\begin{pmatrix}x\\ y\end{pmatrix} }[/math]

הערה: לכל מטריצה ממשית [math]\displaystyle{ A }[/math] מתקיים

[math]\displaystyle{ v^tAv=v^t\,\frac{A+A^t}{2}\,v }[/math]

שהרי [math]\displaystyle{ v^tAv }[/math] הוא סקלר, ולכן הוא שווה לשחלוף שלו [math]\displaystyle{ v^tA^tv }[/math]. לכן תמיד מותר להחליף את [math]\displaystyle{ A }[/math] במטריצה הסימטרית [math]\displaystyle{ \frac{A+A^t}{2} }[/math], וזו המטריצה הסימטרית היחידה שנותנת את הפולינום.

למה דווקא סימטרית? כי מטריצה ממשית סימטרית היא לא סתם לכסינה - היא לכסינה אוניטרית, וכפי שנראה מייד יש לזה תוצאות מרחיקות לכת.

▶ בהרצאה מ־19.1.25, החל מהדקה 30:06

לכסון אורתוגונלי של תבנית ריבועית (הצירים הראשיים)

יהי [math]\displaystyle{ p(x_1,\ldots,x_n) }[/math] פולינום ריבועי ממשי ב[math]\displaystyle{ n }[/math] משתנים (כל המונומים שלו ממעלה 2), ותהי [math]\displaystyle{ A }[/math] המטריצה הממשית הסימטרית שהתבנית הריבועית שלה נותנת את הפולינום:

[math]\displaystyle{ p(x_1,\ldots,x_n)=v^tAv,\qquad v=\begin{pmatrix}x_1\\ \vdots\\ x_n\end{pmatrix} }[/math]

כיוון ש[math]\displaystyle{ A }[/math] ממשית וסימטרית, היא לכסינה אוניטרית מעל הממשיים (פרק 5: היא נורמלית, וגם הפולינום האופייני שלה מתפרק לגורמים לינאריים מעל [math]\displaystyle{ \mathbb{R} }[/math]): קיימת מטריצה אורתוגונלית [math]\displaystyle{ P }[/math] (כלומר ממשית אוניטרית, [math]\displaystyle{ P^{-1}=P^*=P^t }[/math]), שעמודותיה בסיס אורתונורמלי (בא"נ) של וקטורים עצמיים (ו"ע) של [math]\displaystyle{ A }[/math], כך ש

[math]\displaystyle{ D=P^{-1}AP=P^tAP=\begin{pmatrix}\lambda_1 & & \\ & \ddots & \\ & & \lambda_n\end{pmatrix} }[/math]

כאשר [math]\displaystyle{ \lambda_1,\ldots,\lambda_n }[/math] הם הערכים העצמיים (ע"ע) של [math]\displaystyle{ A }[/math].

נסמן קואורדינטות חדשות

[math]\displaystyle{ w=\begin{pmatrix}\alpha_1\\ \vdots\\ \alpha_n\end{pmatrix} }[/math]

המוגדרות ע"י

[math]\displaystyle{ v=Pw,\qquad w=P^tv }[/math]

כיוון ש[math]\displaystyle{ P }[/math] אורתוגונלית, שינוי הקואורדינטות הזה מכיל רק סיבובים ושיקופים: הוא שומר על אורכים ועל זוויות, ולכן הצורה הגאומטרית לא משתנה בקואורדינטות החדשות.

משפט (הצירים הראשיים): בקואורדינטות החדשות [math]\displaystyle{ w=P^tv }[/math] מתקיים

[math]\displaystyle{ p(x_1,\ldots,x_n)=\lambda_1\alpha_1^2+\ldots+\lambda_n\alpha_n^2 }[/math]

הוכחה. נציב [math]\displaystyle{ v=Pw }[/math]:

[math]\displaystyle{ p(x_1,\ldots,x_n)=v^tAv=(Pw)^tA(Pw)= }[/math]

[math]\displaystyle{ =w^tP^tAPw=w^tDw= }[/math]

[math]\displaystyle{ =\begin{pmatrix}\alpha_1 & \cdots & \alpha_n\end{pmatrix}\begin{pmatrix}\lambda_1 & & \\ & \ddots & \\ & & \lambda_n\end{pmatrix}\begin{pmatrix}\alpha_1\\ \vdots\\ \alpha_n\end{pmatrix}= }[/math]

[math]\displaystyle{ =\lambda_1\alpha_1^2+\ldots+\lambda_n\alpha_n^2 }[/math]

כלומר לאחר שינוי קואורדינטות "בלתי מזיק" לגאומטריה, המטריצה המתאימה לתבנית הריבועית היא אלכסונית, וכל המכפלות המעורבות [math]\displaystyle{ x_ix_j }[/math] נעלמו: הפולינום הפך ל"קנוני" בקואורדינטות החדשות, כמו האליפסה והפרבולה הקנוניות מהתיכון. הצירים החדשים, בכיווני העמודות של [math]\displaystyle{ P }[/math] (כלומר הו"ע של [math]\displaystyle{ A }[/math]), נקראים הצירים הראשיים.

הערה: כאן בדיוק משתמשים בכך ש[math]\displaystyle{ P }[/math] אורתוגונלית ולא סתם הפיכה. בתבנית הריבועית מופיעה [math]\displaystyle{ P^t }[/math], ובלכסון מופיעה [math]\displaystyle{ P^{-1} }[/math]; רק משום שהן שוות מתקבלת מטריצה אלכסונית.

הערה: אם נכפול עמודה אחת של [math]\displaystyle{ P }[/math] ב[math]\displaystyle{ -1 }[/math], היא נשארת אורתוגונלית ומלכסנת. לכן תמיד אפשר לבחור [math]\displaystyle{ \det P=1 }[/math], ובמישור [math]\displaystyle{ P }[/math] היא אז מטריצת סיבוב.

▶ בהרצאה מ־19.1.25, החל מהדקה 34:14

סימן התבנית הריבועית ומבחן הנגזרת השנייה

עד כה הדגשנו מאוד את הגאומטריה, אבל שימו לב לרווח אלגברי פשוט.

מסקנה: תהי [math]\displaystyle{ A }[/math] ממשית סימטרית ו[math]\displaystyle{ p(v)=v^tAv }[/math].

• אם כל הע"ע של [math]\displaystyle{ A }[/math] חיוביים, אז [math]\displaystyle{ p(v)>0 }[/math] לכל [math]\displaystyle{ v\neq 0 }[/math] (ובפרט [math]\displaystyle{ p\geq 0 }[/math]).
• אם כל הע"ע של [math]\displaystyle{ A }[/math] שליליים, אז [math]\displaystyle{ p(v)<0 }[/math] לכל [math]\displaystyle{ v\neq 0 }[/math].
• אם ל[math]\displaystyle{ A }[/math] יש ע"ע חיובי וגם ע"ע שלילי, אז [math]\displaystyle{ p }[/math] מקבלת גם ערכים חיוביים וגם ערכים שליליים.

בפרט, [math]\displaystyle{ p(v)>0 }[/math] לכל [math]\displaystyle{ v\neq 0 }[/math] אם ורק אם כל הע"ע של [math]\displaystyle{ A }[/math] חיוביים. מטריצה כזו נקראת חיובית לחלוטין - נחזור אליה בהמשך הפרק.

הוכחה. לפי משפט הצירים הראשיים, [math]\displaystyle{ p(v)=\lambda_1\alpha_1^2+\ldots+\lambda_n\alpha_n^2 }[/math] כאשר [math]\displaystyle{ w=P^tv }[/math]. כיוון ש[math]\displaystyle{ P^t }[/math] הפיכה, [math]\displaystyle{ w\neq 0 }[/math] לכל [math]\displaystyle{ v\neq 0 }[/math], ולכן אם כל ה[math]\displaystyle{ \lambda_i }[/math] חיוביים הסכום חיובי, ואם כולם שליליים הסכום שלילי.

מצד שני, עבור [math]\displaystyle{ v=Pe_i }[/math] (העמודה ה[math]\displaystyle{ i }[/math] של [math]\displaystyle{ P }[/math]) מתקבל [math]\displaystyle{ w=e_i }[/math] ולכן [math]\displaystyle{ p(v)=\lambda_i }[/math]. לכן אם יש ע"ע חיובי וע"ע שלילי, [math]\displaystyle{ p }[/math] מקבלת את שני הסימנים, ואם יש ע"ע [math]\displaystyle{ \lambda_i\leq 0 }[/math] אז [math]\displaystyle{ p(Pe_i)\leq 0 }[/math].

הקשר לאינפי 3: זה בדיוק השימוש באינפי 3. תהי [math]\displaystyle{ f:\mathbb{R}^n\to\mathbb{R} }[/math] בעלת נגזרות חלקיות שניות רציפות, ותהי [math]\displaystyle{ x_0 }[/math] נקודה קריטית ([math]\displaystyle{ \nabla f(x_0)=0 }[/math]). מטריצת הנגזרות השניות (ההסיאן) [math]\displaystyle{ H }[/math] בנקודה היא סימטרית, ולפי טיילור

[math]\displaystyle{ f(x_0+h)=f(x_0)+\frac{1}{2}h^tHh+o(||h||^2) }[/math]

כלומר ליד [math]\displaystyle{ x_0 }[/math] ההפרש [math]\displaystyle{ f(x_0+h)-f(x_0) }[/math] מתנהג כמו התבנית הריבועית של [math]\displaystyle{ H }[/math]. לכן:

• אם כל הע"ע של [math]\displaystyle{ H }[/math] חיוביים - [math]\displaystyle{ x_0 }[/math] נקודת מינימום מקומי.
• אם כל הע"ע של [math]\displaystyle{ H }[/math] שליליים - [math]\displaystyle{ x_0 }[/math] נקודת מקסימום מקומי.
• אם ל[math]\displaystyle{ H }[/math] יש ע"ע חיובי וע"ע שלילי - [math]\displaystyle{ x_0 }[/math] אינה נקודת קיצון (נקודת אוכף).

(אם יש ע"ע אפס ואין ע"ע משני הסימנים, המבחן אינו מכריע.) גם כאן, הסימנים של הע"ע של מטריצה סימטרית קובעים את התשובה.

▶ בהרצאה מ־19.1.25, החל מהדקה 50:25

דוגמה: משטח ממעלה שנייה במרחב

דוגמה: נביט בפולינום

[math]\displaystyle{ p(x,y,z)=3x^2+2xy+3xz+z^2 }[/math]

מהי הצורה של המקום הגאומטרי של פתרונות המשוואה [math]\displaystyle{ p(x,y,z)=1 }[/math]?

נשתמש בטכניקה שלמדנו: נעביר את הפולינום לתבנית ריבועית עם מטריצה מייצגת סימטרית, ונלכסן תוך כדי שינוי הקואורדינטות. המטריצה המייצגת היא

[math]\displaystyle{ A=\begin{pmatrix}3 & 1 & \frac{3}{2}\\ 1 & 0 & 0\\ \frac{3}{2} & 0 & 1\end{pmatrix} }[/math]

(המקדם 2 של [math]\displaystyle{ xy }[/math] מתפצל ל-1 ו-1, והמקדם 3 של [math]\displaystyle{ xz }[/math] מתפצל ל[math]\displaystyle{ \frac{3}{2} }[/math] ו[math]\displaystyle{ \frac{3}{2} }[/math].)

שימו לב: [math]\displaystyle{ A }[/math] אינה אוניטרית, ואינה צריכה להיות אוניטרית. היא סימטרית ממשית, ולכן (פרק 5) לכסינה אורתוגונלית מעל הממשיים; כלומר המלכסנת, שהיא זו שמשנה את הקואורדינטות, היא אורתוגונלית (אוניטרית ממשית).

נחשב את הפולינום האופייני (פיתוח לפי השורה השנייה):

[math]\displaystyle{ p_A(\lambda)=\det\begin{pmatrix}\lambda-3 & -1 & -\frac{3}{2}\\ -1 & \lambda & 0\\ -\frac{3}{2} & 0 & \lambda-1\end{pmatrix}= }[/math]

[math]\displaystyle{ =\lambda(\lambda-1)(\lambda-3)-(\lambda-1)-\frac{9}{4}\lambda= }[/math]

[math]\displaystyle{ =\lambda^3-4\lambda^2-\frac{1}{4}\lambda+1= }[/math]

[math]\displaystyle{ =(\lambda-4)\left(\lambda^2-\frac{1}{4}\right) }[/math]

ולכן הע"ע הם [math]\displaystyle{ -\frac{1}{2},\frac{1}{2},4 }[/math]. לפי משפט הצירים הראשיים, לאחר שינוי הקואורדינטות המשוואה היא

[math]\displaystyle{ -\frac{1}{2}\alpha_1^2+\frac{1}{2}\alpha_2^2+4\alpha_3^2=1 }[/math]

כדי לענות על השאלה אין צורך אפילו למצוא את המלכסנת (היא נדרשת רק אם שואלים מהו הסיבוב). יש שני מקדמים חיוביים ומקדם שלילי אחד, ואגף ימין חיובי: זהו היפרבולואיד חד-יריעתי. מזווית אחת הוא נראה כמו היפרבולה ומזווית אחרת כמו אליפסה. אין צורך לשנן את שמות המשטחים; העיקר הוא שהצורה בקואורדינטות החדשות זהה לצורה המקורית, עד כדי סיבוב ושיקוף. אם משרטטים (למשל בגאוגברה) את שתי המשוואות באותה מערכת צירים, רואים את אותו משטח, מסובב.

▶ בהרצאה מ־19.1.25, החל מהדקה 54:15

מיון עקומים ממעלה שנייה במישור

נביט במשוואה ממעלה שנייה בשני משתנים

[math]\displaystyle{ ax^2+bxy+cy^2+dx+ey=f }[/math]

כאשר [math]\displaystyle{ a,b,c }[/math] אינם כולם אפס. החלק הריבועי [math]\displaystyle{ ax^2+bxy+cy^2 }[/math] הוא התבנית הריבועית של

[math]\displaystyle{ A=\begin{pmatrix}a & \frac{b}{2}\\ \frac{b}{2} & c\end{pmatrix} }[/math]

ונסמן ב[math]\displaystyle{ \lambda_1,\lambda_2 }[/math] את הע"ע (הממשיים) של [math]\displaystyle{ A }[/math].

המקרה ההומוגני. נביט במשוואה [math]\displaystyle{ ax^2+bxy+cy^2=r^2 }[/math] כאשר [math]\displaystyle{ r>0 }[/math]. לאחר שינוי הקואורדינטות נקבל

[math]\displaystyle{ \lambda_1\alpha_1^2+\lambda_2\alpha_2^2=r^2 }[/math]

ומה זה יכול להיות?

• אם [math]\displaystyle{ \lambda_1=\lambda_2>0 }[/math] זה מעגל.
• אם [math]\displaystyle{ \lambda_1\neq\lambda_2 }[/math] אבל שניהם חיוביים זו אליפסה.
• אם [math]\displaystyle{ \lambda_1\cdot\lambda_2<0 }[/math] זו היפרבולה.
• אם שניהם שליליים זו הקבוצה הריקה (צד שמאל אינו חיובי).
• אם אחד מהם אפס, נניח [math]\displaystyle{ \lambda_2=0 }[/math], מקבלים [math]\displaystyle{ \lambda_1\alpha_1^2=r^2 }[/math]. אם [math]\displaystyle{ \lambda_1>0 }[/math] זהו זוג ישרים מקבילים [math]\displaystyle{ \alpha_1=\pm\frac{r}{\sqrt{\lambda_1}} }[/math], ואם [math]\displaystyle{ \lambda_1<0 }[/math] זו הקבוצה הריקה.

ופרבולה הייתה מתקבלת אם היו גם האיברים [math]\displaystyle{ dx+ey }[/math].

המקרה הכללי. נציב

[math]\displaystyle{ \begin{pmatrix}x\\ y\end{pmatrix}=Q\begin{pmatrix}\alpha\\ \beta\end{pmatrix} }[/math]

כאשר [math]\displaystyle{ Q }[/math] אורתוגונלית מלכסנת של [math]\displaystyle{ A }[/math]. החלק הלינארי הופך ל

[math]\displaystyle{ \begin{pmatrix}d & e\end{pmatrix}Q\begin{pmatrix}\alpha\\ \beta\end{pmatrix}=d'\alpha+e'\beta }[/math]

ומקבלים

[math]\displaystyle{ \lambda_1\alpha^2+\lambda_2\beta^2+d'\alpha+e'\beta=f }[/math]

כעת משלימים לריבוע בכל משתנה שהע"ע שלו שונה מאפס. זו הזזה של מערכת הקואורדינטות, וגם היא לא משנה את הצורה.

משפט (מיון עקומים ממעלה שנייה): לאחר סיבוב (או שיקוף) והזזה, המשוואה [math]\displaystyle{ ax^2+bxy+cy^2+dx+ey=f }[/math] מקבלת אחת מהצורות הבאות:

• אם [math]\displaystyle{ \lambda_1\lambda_2>0 }[/math]: [math]\displaystyle{ \lambda_1\alpha'^2+\lambda_2\beta'^2=g }[/math]. אם ל[math]\displaystyle{ g }[/math] אותו סימן כמו ל[math]\displaystyle{ \lambda_1,\lambda_2 }[/math] זו אליפסה (מעגל אם ורק אם [math]\displaystyle{ \lambda_1=\lambda_2 }[/math]); אם [math]\displaystyle{ g=0 }[/math] זו נקודה אחת; אחרת זו הקבוצה הריקה.
• אם [math]\displaystyle{ \lambda_1\lambda_2<0 }[/math]: [math]\displaystyle{ \lambda_1\alpha'^2+\lambda_2\beta'^2=g }[/math]. אם [math]\displaystyle{ g\neq 0 }[/math] זו היפרבולה; אם [math]\displaystyle{ g=0 }[/math] זהו זוג ישרים נחתכים.
• אם [math]\displaystyle{ \lambda_1\lambda_2=0 }[/math], נניח [math]\displaystyle{ \lambda_1\neq 0=\lambda_2 }[/math]: [math]\displaystyle{ \lambda_1\alpha'^2+e'\beta=g }[/math]. אם [math]\displaystyle{ e'\neq 0 }[/math] זו פרבולה. אם [math]\displaystyle{ e'=0 }[/math]: כאשר [math]\displaystyle{ \frac{g}{\lambda_1}>0 }[/math] זהו זוג ישרים מקבילים, כאשר [math]\displaystyle{ g=0 }[/math] זהו ישר אחד, וכאשר [math]\displaystyle{ \frac{g}{\lambda_1}<0 }[/math] זו הקבוצה הריקה.

הוכחה. אם [math]\displaystyle{ \lambda_1\neq 0 }[/math], השלמה לריבוע נותנת

[math]\displaystyle{ \lambda_1\alpha^2+d'\alpha=\lambda_1\left(\alpha+\frac{d'}{2\lambda_1}\right)^2-\frac{d'^2}{4\lambda_1} }[/math]

ונסמן [math]\displaystyle{ \alpha'=\alpha+\frac{d'}{2\lambda_1} }[/math]; באופן דומה עבור [math]\displaystyle{ \beta }[/math] כאשר [math]\displaystyle{ \lambda_2\neq 0 }[/math]. את הקבועים מעבירים לאגף ימין ומסמנים את הקבוע המתקבל ב[math]\displaystyle{ g }[/math].

אם [math]\displaystyle{ \lambda_1\lambda_2>0 }[/math], אפשר להניח ששניהם חיוביים (אחרת נכפול את המשוואה ב[math]\displaystyle{ -1 }[/math]). אז עבור [math]\displaystyle{ g>0 }[/math] זו אליפסה עם חצאי צירים [math]\displaystyle{ \sqrt{g/\lambda_1} }[/math] ו[math]\displaystyle{ \sqrt{g/\lambda_2} }[/math] (מעגל אם ורק אם הם שווים, כלומר [math]\displaystyle{ \lambda_1=\lambda_2 }[/math]); עבור [math]\displaystyle{ g=0 }[/math] רק [math]\displaystyle{ \alpha'=\beta'=0 }[/math]; ועבור [math]\displaystyle{ g<0 }[/math] אין פתרונות.

אם [math]\displaystyle{ \lambda_1>0>\lambda_2 }[/math], אז עבור [math]\displaystyle{ g\neq 0 }[/math] זו היפרבולה, ועבור [math]\displaystyle{ g=0 }[/math] המשוואה מתפרקת:

[math]\displaystyle{ \left(\sqrt{\lambda_1}\alpha'-\sqrt{-\lambda_2}\beta'\right)\left(\sqrt{\lambda_1}\alpha'+\sqrt{-\lambda_2}\beta'\right)=0 }[/math]

וזה זוג ישרים נחתכים.

אם [math]\displaystyle{ \lambda_2=0 }[/math] (ואז [math]\displaystyle{ \lambda_1\neq 0 }[/math], כי [math]\displaystyle{ A\neq 0 }[/math]), משלימים לריבוע רק ב[math]\displaystyle{ \alpha }[/math] ומקבלים [math]\displaystyle{ \lambda_1\alpha'^2+e'\beta=g }[/math]. אם [math]\displaystyle{ e'\neq 0 }[/math] אז [math]\displaystyle{ \beta=\frac{g-\lambda_1\alpha'^2}{e'} }[/math], וזו פרבולה. אם [math]\displaystyle{ e'=0 }[/math] אז [math]\displaystyle{ \alpha'^2=\frac{g}{\lambda_1} }[/math], ומקבלים שני ישרים מקבילים, ישר אחד או קבוצה ריקה לפי הסימן של [math]\displaystyle{ \frac{g}{\lambda_1} }[/math].

הערה: [math]\displaystyle{ \lambda_1\lambda_2=\det A=ac-\frac{b^2}{4} }[/math]. לכן אפשר לדעת את סוג העקום בלי לחשב ע"ע: אם [math]\displaystyle{ b^2-4ac<0 }[/math] זה מהסוג של אליפסה, אם [math]\displaystyle{ b^2-4ac>0 }[/math] מהסוג של היפרבולה, ואם [math]\displaystyle{ b^2-4ac=0 }[/math] מהסוג של פרבולה (כולל המקרים המנוונים בכל סוג).

כלומר, פרט למקרים המנוונים (ישרים, נקודה, קבוצה ריקה), כל עקום ממעלה שנייה הוא מעגל, אליפסה, היפרבולה או פרבולה - מסובבים ומוזזים. זו הסיבה שאלו הן הצורות שלומדים עליהן בתיכון.

תרגיל מפורט בנושא, ופתרונו.

▶ בהרצאה מ־19.1.25, החל מהדקה 1:11:42

מטריצה חיובית לחלוטין

נשים לב כי את הצורה הגאומטרית קובעים בעיקר הסימנים של הערכים העצמיים. גם בדוגמה של אינפי 3, קיצון מקומי, הסימן של הע"ע של המטריצה קובע את התשובה. איך נקבע את הסימנים של הע"ע? הדרך הארוכה היא לחשב את כל הע"ע של המטריצה. השאלה היא אם יש דרך פשוטה יותר, שבין היתר לא עוברת דרך פירוק פולינום לשורשיו (במטריצות גדולות אין נוסחה כללית לשורשים). התשובה תהיה קריטריון סילבסטר.

הגדרה: מטריצה הרמיטית [math]\displaystyle{ A\in\mathbb{C}^{n\times n} }[/math] (כלומר [math]\displaystyle{ A=A^* }[/math]) נקראת חיובית לחלוטין (חל"ט) אם כל הע"ע שלה חיוביים. באופן דומה, המטריצה נקראת שלילית לחלוטין (של"ט) אם כל הע"ע שלה שליליים.

הערה: ההגדרה הגיונית כי מטריצה הרמיטית היא לכסינה (אוניטרית) וכל הע"ע שלה ממשיים, ולכן אפשר להשוות אותם לאפס. מטריצה ממשית סימטרית היא בפרט הרמיטית.

שימו לב! מטריצה חיובית לחלוטין לא צריכה שהמספרים בתוכה יהיו חיוביים. למשל [math]\displaystyle{ \begin{pmatrix}2 & -1\\ -1 & 2\end{pmatrix} }[/math] (ע"ע 1 ו-3) חל"ט, ואילו [math]\displaystyle{ \begin{pmatrix}1 & 2\\ 2 & 1\end{pmatrix} }[/math] (ע"ע 3 ו[math]\displaystyle{ -1 }[/math]) אינה חל"ט.

תרגיל: תהי [math]\displaystyle{ A }[/math] הרמיטית. אז [math]\displaystyle{ A }[/math] חל"ט אם ורק אם [math]\displaystyle{ -A }[/math] של"ט. (הע"ע של [math]\displaystyle{ -A }[/math] הם בדיוק המספרים [math]\displaystyle{ -\lambda }[/math] עבור הע"ע [math]\displaystyle{ \lambda }[/math] של [math]\displaystyle{ A }[/math].)

הערה: מטריצה שיש לה ע"ע אפס אינה חל"ט. מטריצה הרמיטית שכל הע"ע שלה אי-שליליים נקראת חיובית למחצה; לא נעסוק בה בקורס.

בשפה זו, מבחן הנגזרת השנייה מאינפי 3 אומר: אם ההסיאן בנקודה קריטית חל"ט זו נקודת מינימום מקומי, ואם הוא של"ט זו נקודת מקסימום מקומי.

▶ בהרצאה מ־22.1.25, החל מהדקה 2:35

אפיון חיוביות לחלוטין בעזרת התבנית הריבועית

טענה: המטריצה ההרמיטית [math]\displaystyle{ A\in\mathbb{C}^{n\times n} }[/math] חיובית לחלוטין אם ורק אם לכל וקטור [math]\displaystyle{ 0\neq x\in\mathbb{C}^{n\times 1} }[/math] מתקיים

[math]\displaystyle{ x^tA\overline{x}>0 }[/math]

הוכחה. כיוון ש[math]\displaystyle{ A }[/math] הרמיטית היא לכסינה אוניטרית: [math]\displaystyle{ D=P^*AP }[/math] עם [math]\displaystyle{ P }[/math] אוניטרית, כלומר [math]\displaystyle{ A=PDP^* }[/math]. כיוון ש[math]\displaystyle{ P^*\overline{x}=\overline{P^tx} }[/math], מקבלים

[math]\displaystyle{ x^tA\overline{x}=x^tPDP^*\overline{x}=\left(P^tx\right)^tD\,\overline{\left(P^tx\right)} }[/math]

נסמן

[math]\displaystyle{ P^tx=\begin{pmatrix}z_1\\ \vdots\\ z_n\end{pmatrix},\qquad D=\begin{pmatrix}\lambda_1 & & \\ & \ddots & \\ & & \lambda_n\end{pmatrix} }[/math]

ואז

[math]\displaystyle{ x^tA\overline{x}=\begin{pmatrix}z_1 & \cdots & z_n\end{pmatrix}D\begin{pmatrix}\overline{z_1}\\ \vdots\\ \overline{z_n}\end{pmatrix}= }[/math]

[math]\displaystyle{ =\lambda_1|z_1|^2+\ldots+\lambda_n|z_n|^2 }[/math]

אנו בוחרים את [math]\displaystyle{ x }[/math] ולא את [math]\displaystyle{ P^tx }[/math], אבל כיוון ש[math]\displaystyle{ P^t }[/math] הפיכה, לכל וקטור [math]\displaystyle{ z\neq 0 }[/math] שנרצה יש [math]\displaystyle{ x\neq 0 }[/math] כך ש[math]\displaystyle{ P^tx=z }[/math].

אם כל הע"ע חיוביים, הביטוי הוא כמובן ממשי וגדול ממש מאפס לכל [math]\displaystyle{ z\neq 0 }[/math], כלומר לכל [math]\displaystyle{ x\neq 0 }[/math].

להפך, אם למשל [math]\displaystyle{ \lambda_1\leq 0 }[/math], נבחר [math]\displaystyle{ x }[/math] כך ש[math]\displaystyle{ P^tx=e_1 }[/math] ונקבל

[math]\displaystyle{ x^tA\overline{x}=e_1^tDe_1=\lambda_1\leq 0 }[/math]

בסתירה להנחה.

הערות:

• בפרט, כאשר [math]\displaystyle{ A }[/math] הרמיטית, [math]\displaystyle{ x^tA\overline{x} }[/math] ממשי לכל [math]\displaystyle{ x }[/math].
• הצבת [math]\displaystyle{ \overline{x} }[/math] במקום [math]\displaystyle{ x }[/math] מראה שהתנאי שקול לכך ש[math]\displaystyle{ x^*Ax>0 }[/math] לכל [math]\displaystyle{ x\neq 0 }[/math] (כאשר [math]\displaystyle{ x^*=\overline{x}^t }[/math]). יש ספרים שבהם זו ההגדרה של מטריצה חיובית לחלוטין.
• עבור [math]\displaystyle{ A }[/math] ממשית סימטרית, אותה הוכחה עם [math]\displaystyle{ P }[/math] אורתוגונלית נותנת: [math]\displaystyle{ A }[/math] חל"ט אם ורק אם [math]\displaystyle{ v^tAv>0 }[/math] לכל [math]\displaystyle{ 0\neq v\in\mathbb{R}^n }[/math] (כפי שראינו בסעיף על סימן התבנית הריבועית).

תרגיל: תהי [math]\displaystyle{ A\in\mathbb{C}^{n\times n} }[/math] כך שלכל [math]\displaystyle{ v\in\mathbb{C}^{n\times 1} }[/math] מתקיים [math]\displaystyle{ v^tA\overline{v}\in\mathbb{R} }[/math]. הוכיחו או הפריכו: [math]\displaystyle{ A }[/math] הרמיטית.

הטענה נכונה. נסמן [math]\displaystyle{ y=\overline{v} }[/math]; אז [math]\displaystyle{ v^tA\overline{v}=y^*Ay }[/math], והנתון הוא ש[math]\displaystyle{ y^*Ay\in\mathbb{R} }[/math] לכל [math]\displaystyle{ y\in\mathbb{C}^{n\times 1} }[/math]. נכתוב [math]\displaystyle{ A=H+iK }[/math] כאשר

[math]\displaystyle{ H=\frac{A+A^*}{2},\qquad K=\frac{A-A^*}{2i} }[/math]

ושתיהן הרמיטיות, ולכן [math]\displaystyle{ y^*Hy }[/math] ו[math]\displaystyle{ y^*Ky }[/math] ממשיים. כיוון ש[math]\displaystyle{ y^*Ay=y^*Hy+i\,y^*Ky }[/math] ממשי, נובע ש[math]\displaystyle{ y^*Ky=0 }[/math] לכל [math]\displaystyle{ y }[/math]. אם [math]\displaystyle{ y }[/math] ו"ע של [math]\displaystyle{ K }[/math] עם ע"ע [math]\displaystyle{ \mu }[/math], אז [math]\displaystyle{ 0=y^*Ky=\mu||y||^2 }[/math] ולכן [math]\displaystyle{ \mu=0 }[/math]. כלומר כל הע"ע של [math]\displaystyle{ K }[/math] הם אפס, וכיוון ש[math]\displaystyle{ K }[/math] לכסינה (אוניטרית) נובע [math]\displaystyle{ K=0 }[/math]. לכן [math]\displaystyle{ A=H }[/math] הרמיטית.

▶ בהרצאה מ־22.1.25, החל מהדקה 11:53

קריטריון סילבסטר

סימון: תהי [math]\displaystyle{ A\in\mathbb{F}^{n\times n} }[/math] מטריצה ריבועית. לכל [math]\displaystyle{ 1\leq k\leq n }[/math] נסמן ב[math]\displaystyle{ A_{(k)} }[/math] את הבלוק השמאלי העליון של [math]\displaystyle{ A }[/math] בגודל [math]\displaystyle{ k\times k }[/math], כלומר הבלוק המתקבל ממחיקת השורות והעמודות [math]\displaystyle{ k+1,\ldots,n }[/math]. כמו כן נסמן את המינורים הראשיים

[math]\displaystyle{ \Delta_k=\det\left(A_{(k)}\right) }[/math]

למשל [math]\displaystyle{ \Delta_1=a_{11} }[/math] ו[math]\displaystyle{ \Delta_n=\det A }[/math].

משפט (קריטריון סילבסטר): תהי [math]\displaystyle{ A\in\mathbb{C}^{n\times n} }[/math] מטריצה הרמיטית. אזי [math]\displaystyle{ A }[/math] חיובית לחלוטין אם ורק אם [math]\displaystyle{ \Delta_k>0 }[/math] לכל [math]\displaystyle{ 1\leq k\leq n }[/math].

הוכחה. מדובר בהוכחה דו-כיוונית.

כיוון ראשון: נתון כי [math]\displaystyle{ A }[/math] חל"ט, וצריך להוכיח שכל המינורים הראשיים שלה חיוביים. יהי [math]\displaystyle{ 1\leq k\leq n }[/math], ונכתוב את [math]\displaystyle{ A }[/math] בבלוקים

[math]\displaystyle{ A=\begin{pmatrix}A_{(k)} & B\\ \overline{B^t} & C\end{pmatrix} }[/math]

(הבלוק השמאלי התחתון הוא [math]\displaystyle{ \overline{B^t} }[/math] כי [math]\displaystyle{ A }[/math] הרמיטית; מאותה סיבה גם [math]\displaystyle{ A_{(k)} }[/math] הרמיטית.) כעת יהי [math]\displaystyle{ 0\neq x\in\mathbb{C}^{k\times 1} }[/math], ונביט בוקטור המורחב

[math]\displaystyle{ 0\neq u=\begin{pmatrix}x\\ \vec{0}\end{pmatrix}\in\mathbb{C}^{n\times 1} }[/math]

לפי הטענה הקודמת [math]\displaystyle{ u^tA\overline{u}>0 }[/math], ובעזרת כפל לפי בלוקים:

[math]\displaystyle{ u^tA\overline{u}=\begin{pmatrix}x^t & \vec{0}^t\end{pmatrix}\begin{pmatrix}A_{(k)} & B\\ \overline{B^t} & C\end{pmatrix}\begin{pmatrix}\overline{x}\\ \vec{0}\end{pmatrix}= }[/math]

[math]\displaystyle{ =\begin{pmatrix}x^tA_{(k)} & x^tB\end{pmatrix}\begin{pmatrix}\overline{x}\\ \vec{0}\end{pmatrix}= }[/math]

[math]\displaystyle{ =x^tA_{(k)}\overline{x} }[/math]

כלומר [math]\displaystyle{ x^tA_{(k)}\overline{x}>0 }[/math]. כיוון שזה נכון לכל וקטור [math]\displaystyle{ x\neq 0 }[/math], לפי הטענה [math]\displaystyle{ A_{(k)} }[/math] חל"ט. לכן כל הע"ע שלה חיוביים, ולכן גם הדטרמיננטה שלה, שהיא מכפלת הע"ע, חיובית: [math]\displaystyle{ \Delta_k>0 }[/math].

כיוון שני: באינדוקציה על [math]\displaystyle{ n }[/math]. מקרה הבסיס [math]\displaystyle{ n=1 }[/math] טריוויאלי: [math]\displaystyle{ A=(a_{11}) }[/math] והע"ע היחיד שלה הוא [math]\displaystyle{ a_{11}=\Delta_1>0 }[/math]. נניח שהטענה נכונה למטריצות מגודל [math]\displaystyle{ (n-1)\times(n-1) }[/math], ותהי [math]\displaystyle{ A\in\mathbb{C}^{n\times n} }[/math] הרמיטית שכל המינורים הראשיים שלה חיוביים. צריך להוכיח ש[math]\displaystyle{ A }[/math] חל"ט.

המטריצה [math]\displaystyle{ A_{(n-1)} }[/math] הרמיטית והמינורים הראשיים שלה הם [math]\displaystyle{ \Delta_1,\ldots,\Delta_{n-1}>0 }[/math], ולכן לפי הנחת האינדוקציה [math]\displaystyle{ A_{(n-1)} }[/math] חל"ט.

כיוון ש[math]\displaystyle{ \Delta_n=\det(A)>0 }[/math], מכפלת הע"ע (הממשיים) של [math]\displaystyle{ A }[/math] חיובית; בין היתר המטריצה הפיכה ואין לה ע"ע אפס.

נב"ש (נב"ש) ש[math]\displaystyle{ A }[/math] אינה חל"ט. לכן יש לה לפחות ע"ע שלילי אחד, וכיוון שמכפלת הע"ע (עם ריבוי) חיובית, יש לה לפחות שני ע"ע שליליים (לאו דווקא שונים). כיוון ש[math]\displaystyle{ A }[/math] לכסינה אוניטרית, יש בא"נ של ו"ע של [math]\displaystyle{ A }[/math]; נבחר ממנו שני ו"ע מאונכים [math]\displaystyle{ v_1,v_2 }[/math] המתאימים לע"ע [math]\displaystyle{ \lambda_1,\lambda_2<0 }[/math].

נבחר צירוף לינארי

[math]\displaystyle{ u=\alpha v_1+\beta v_2 }[/math]

כך ש[math]\displaystyle{ u\neq 0 }[/math] אבל הרכיב האחרון של [math]\displaystyle{ u }[/math] הוא אפס. זה אפשרי: או שהרכיב האחרון של [math]\displaystyle{ v_1 }[/math] הוא אפס ונבחר [math]\displaystyle{ \beta=0 }[/math], או ש[math]\displaystyle{ v_2 }[/math] כזה, או שהרכיב האחרון של שניהם שונה מאפס ונאפס אותו באמצעות הסקלרים. כיוון ש[math]\displaystyle{ v_1,v_2 }[/math] בלתי תלויים לינארית (בת"ל) ו[math]\displaystyle{ (\alpha,\beta)\neq(0,0) }[/math], אכן [math]\displaystyle{ u\neq 0 }[/math]. לכן

[math]\displaystyle{ u=\begin{pmatrix}x\\ 0\end{pmatrix},\qquad 0\neq x\in\mathbb{C}^{(n-1)\times 1} }[/math]

כעת נחשב את [math]\displaystyle{ u^*Au=\overline{u}^tAu }[/math] בשתי דרכים.

מצד אחד, נכתוב את [math]\displaystyle{ A }[/math] בבלוקים

[math]\displaystyle{ A=\begin{pmatrix}A_{(n-1)} & b\\ \overline{b}^t & d\end{pmatrix} }[/math]

ונקבל

[math]\displaystyle{ u^*Au=\begin{pmatrix}\overline{x}^t & 0\end{pmatrix}\begin{pmatrix}A_{(n-1)} & b\\ \overline{b}^t & d\end{pmatrix}\begin{pmatrix}x\\ 0\end{pmatrix}= }[/math]

[math]\displaystyle{ =\overline{x}^tA_{(n-1)}x>0 }[/math]

כאשר אי השוויון נובע מהטענה הקודמת עבור המטריצה החל"ט [math]\displaystyle{ A_{(n-1)} }[/math] והוקטור [math]\displaystyle{ \overline{x}\neq 0 }[/math].

וקטור אחד לא מספיק כדי להראות ש[math]\displaystyle{ A }[/math] חל"ט; הסתירה תגיע מהבחירה המיוחדת של [math]\displaystyle{ u }[/math].

מצד שני, כיוון ש[math]\displaystyle{ Av_1=\lambda_1v_1 }[/math] ו[math]\displaystyle{ Av_2=\lambda_2v_2 }[/math]:

[math]\displaystyle{ u^*Au=\left(\overline{\alpha}v_1^*+\overline{\beta}v_2^*\right)\left(\alpha\lambda_1v_1+\beta\lambda_2v_2\right)= }[/math]

[math]\displaystyle{ =|\alpha|^2\lambda_1v_1^*v_1+|\beta|^2\lambda_2v_2^*v_2+ }[/math]

[math]\displaystyle{ +\overline{\alpha}\beta\lambda_2v_1^*v_2+\alpha\overline{\beta}\lambda_1v_2^*v_1 }[/math]

במכפלה הפנימית הסטנדרטית [math]\displaystyle{ v^*w=\overline{\langle v,w\rangle} }[/math]. לכן [math]\displaystyle{ v_i^*v_i=||v_i||^2 }[/math], ו[math]\displaystyle{ v_1^*v_2=v_2^*v_1=0 }[/math] כי [math]\displaystyle{ v_1\perp v_2 }[/math]. סה"כ

[math]\displaystyle{ u^*Au=|\alpha|^2\lambda_1||v_1||^2+|\beta|^2\lambda_2||v_2||^2<0 }[/math]

כי [math]\displaystyle{ \lambda_1,\lambda_2<0 }[/math] ו[math]\displaystyle{ (\alpha,\beta)\neq(0,0) }[/math].

קיבלנו כי [math]\displaystyle{ 0<u^*Au<0 }[/math], בסתירה.

מסקנה: מטריצה הרמיטית [math]\displaystyle{ A }[/math] שלילית לחלוטין אם ורק אם [math]\displaystyle{ (-1)^k\Delta_k>0 }[/math] לכל [math]\displaystyle{ k }[/math]. כלומר המינורים מחליפים סימן, והראשון שלילי: [math]\displaystyle{ \Delta_1<0,\ \Delta_2>0,\ \Delta_3<0,\ldots }[/math]

זה נובע מיד: [math]\displaystyle{ A }[/math] של"ט אם ורק אם [math]\displaystyle{ -A }[/math] חל"ט, אם ורק אם [math]\displaystyle{ \det\left(-A_{(k)}\right)=(-1)^k\Delta_k>0 }[/math] לכל [math]\displaystyle{ k }[/math].

הערה: בפרט, במטריצה חל"ט האיבר הראשון [math]\displaystyle{ a_{11}=\Delta_1 }[/math] חיובי, וכך גם [math]\displaystyle{ \det A }[/math]. היתרון הגדול של הקריטריון: צריך לחשב רק [math]\displaystyle{ n }[/math] דטרמיננטות של מספרים, בלי פרמטרים ובלי למצוא שורשים של פולינום.

▶ בהרצאה מ־22.1.25, החל מהדקה 27:09

דוגמאות לקריטריון סילבסטר

דוגמה: האם המטריצה הבאה חל"ט? של"ט?

[math]\displaystyle{ A=\begin{pmatrix}1 & 2 & 1\\ 2 & 3 & 0\\ 1 & 0 & -1\end{pmatrix} }[/math]

[math]\displaystyle{ A_{(1)}=(1),\qquad A_{(2)}=\begin{pmatrix}1 & 2\\ 2 & 3\end{pmatrix} }[/math]

[math]\displaystyle{ A_{(3)}=A }[/math]

לכן המינורים הם

[math]\displaystyle{ \Delta_1=\det\left(A_{(1)}\right)=1 }[/math]

[math]\displaystyle{ \Delta_2=\det\left(A_{(2)}\right)=3-4=-1 }[/math]

כיוון ש[math]\displaystyle{ \Delta_2<0 }[/math], [math]\displaystyle{ A }[/math] אינה חל"ט, וכיוון ש[math]\displaystyle{ \Delta_1>0 }[/math], היא גם אינה של"ט. (אין צורך לחשב את [math]\displaystyle{ \Delta_3 }[/math].)

דוגמה: האם המטריצה הבאה חל"ט? של"ט?

[math]\displaystyle{ A=\begin{pmatrix}1 & 2 & 1\\ 2 & 5 & 0\\ 1 & 0 & -1\end{pmatrix} }[/math]

[math]\displaystyle{ \Delta_1=1,\qquad\Delta_2=\det\begin{pmatrix}1 & 2\\ 2 & 5\end{pmatrix}=1 }[/math]

ונחשב את [math]\displaystyle{ \Delta_3=\det(A) }[/math] בפיתוח לפי השורה האחרונה:

[math]\displaystyle{ \Delta_3=1\cdot\det\begin{pmatrix}2 & 1\\ 5 & 0\end{pmatrix}+ }[/math]

[math]\displaystyle{ +(-1)\cdot\det\begin{pmatrix}1 & 2\\ 2 & 5\end{pmatrix}=-5-1=-6 }[/math]

לכן [math]\displaystyle{ A }[/math] לא חל"ט (כי [math]\displaystyle{ \Delta_3<0 }[/math]) ולא של"ט (כי [math]\displaystyle{ \Delta_1>0 }[/math]).

דוגמה: האם המטריצה הבאה חל"ט?

[math]\displaystyle{ A=\begin{pmatrix}1 & 2 & 1\\ 2 & 5 & 0\\ 1 & 0 & 6\end{pmatrix} }[/math]

כמו בדוגמה הקודמת [math]\displaystyle{ \Delta_1=\Delta_2=1 }[/math], ובפיתוח לפי השורה האחרונה

[math]\displaystyle{ \Delta_3=1\cdot\det\begin{pmatrix}2 & 1\\ 5 & 0\end{pmatrix}+ }[/math]

[math]\displaystyle{ +6\cdot\det\begin{pmatrix}1 & 2\\ 2 & 5\end{pmatrix}=-5+6=1 }[/math]

כלומר [math]\displaystyle{ \Delta_1=\Delta_2=\Delta_3=1 }[/math], והמטריצה חל"ט!

איך נוודא שלא טעינו? נביט בתבנית הריבועית המתאימה ונשווה אותה ל-1:

[math]\displaystyle{ p(x,y,z)=x^2+4xy+5y^2+2xz+6z^2=1 }[/math]

המשטח המתקבל הוא אליפסואיד (אליפסה תלת-ממדית), כצפוי: בצירים הראשיים המשוואה היא [math]\displaystyle{ \lambda_1\alpha_1^2+\lambda_2\alpha_2^2+\lambda_3\alpha_3^2=1 }[/math] וכל המקדמים חיוביים. ואכן, חישוב נומרי נותן את הע"ע [math]\displaystyle{ \lambda_1\approx 0.028 }[/math], [math]\displaystyle{ \lambda_2\approx 5.577 }[/math], [math]\displaystyle{ \lambda_3\approx 6.395 }[/math], כולם חיוביים. שימו לב כמה קצר החישוב בעזרת קריטריון סילבסטר, לעומת מציאת השורשים של פולינום ממעלה שלישית.

▶ בהרצאה מ־22.1.25, החל מהדקה 37:40

תרגיל מסכם: סיבוב והשלמה לריבוע

תרגיל: מיינו את המשוואה הריבועית הבאה (פרבולה, היפרבולה, אליפסה, מעגל, ישרים, נקודה, קבוצה ריקה), כאשר [math]\displaystyle{ r\in\mathbb{R} }[/math] פרמטר. אם הצורה מסובבת או משוקפת, קבעו מהו הסיבוב או השיקוף.

[math]\displaystyle{ 3x^2+2xy+y^2+x+y=r }[/math]

ראשית נרצה לשנות את הקואורדינטות על מנת להיפטר מ[math]\displaystyle{ xy }[/math] - בעזרת לכסון אוניטרי, לא בהשלמה לריבוע כמו בתיכון. מ[math]\displaystyle{ x }[/math] ומ[math]\displaystyle{ y }[/math] הבודדים ניפטר אחר כך בעזרת השלמה לריבוע.

שלב 1: לכסון. נביט בתבנית הריבועית ההומוגנית

[math]\displaystyle{ 3x^2+2xy+y^2=\begin{pmatrix}x & y\end{pmatrix}A\begin{pmatrix}x\\ y\end{pmatrix} }[/math]

[math]\displaystyle{ A=\begin{pmatrix}3 & 1\\ 1 & 1\end{pmatrix} }[/math]

ונלכסן אוניטרית את מטריצת המקדמים [math]\displaystyle{ A }[/math]. התהליך חייב להצליח, כי [math]\displaystyle{ A }[/math] ממשית וסימטרית.

[math]\displaystyle{ p_A(\lambda)=\det\begin{pmatrix}\lambda-3 & -1\\ -1 & \lambda-1\end{pmatrix}= }[/math]

[math]\displaystyle{ =(\lambda-3)(\lambda-1)-1=\lambda^2-4\lambda+2= }[/math]

[math]\displaystyle{ =\left(\lambda-2-\sqrt{2}\right)\left(\lambda-2+\sqrt{2}\right) }[/math]

לכן זוג הע"ע של המטריצה הוא [math]\displaystyle{ \lambda_{1,2}=2\pm\sqrt{2} }[/math].

כעת נמצא בסיסים למרחבים העצמיים [math]\displaystyle{ V_{\lambda}=N\left(\lambda I-A\right) }[/math]. עבור [math]\displaystyle{ \lambda_1=2+\sqrt{2} }[/math]:

[math]\displaystyle{ V_{\lambda_1}=N\begin{pmatrix}\sqrt{2}-1 & -1\\ -1 & 1+\sqrt{2}\end{pmatrix}= }[/math]

[math]\displaystyle{ =N\begin{pmatrix}1 & -1-\sqrt{2}\\ 0 & 0\end{pmatrix} }[/math]

(כפלנו את השורה העליונה ב[math]\displaystyle{ \sqrt{2}+1 }[/math]; השורה השנייה מתאפסת, כי [math]\displaystyle{ \lambda_1 }[/math] ע"ע ולכן הדרגה היא 1.) נציב [math]\displaystyle{ y=t }[/math] ונקבל [math]\displaystyle{ x=\left(1+\sqrt{2}\right)t }[/math], ולכן

[math]\displaystyle{ v_1=\begin{pmatrix}1+\sqrt{2}\\ 1\end{pmatrix} }[/math]

בדיקה:

[math]\displaystyle{ \begin{pmatrix}3 & 1\\ 1 & 1\end{pmatrix}\begin{pmatrix}1+\sqrt{2}\\ 1\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}4+3\sqrt{2}\\ 2+\sqrt{2}\end{pmatrix} }[/math]

ואכן [math]\displaystyle{ \left(2+\sqrt{2}\right)\left(1+\sqrt{2}\right)=4+3\sqrt{2} }[/math].

עבור [math]\displaystyle{ \lambda_2=2-\sqrt{2} }[/math]:

[math]\displaystyle{ V_{\lambda_2}=N\begin{pmatrix}-1-\sqrt{2} & -1\\ -1 & 1-\sqrt{2}\end{pmatrix}= }[/math]

[math]\displaystyle{ =N\begin{pmatrix}1 & \sqrt{2}-1\\ 0 & 0\end{pmatrix} }[/math]

נציב [math]\displaystyle{ y=t }[/math] ונקבל [math]\displaystyle{ x=\left(1-\sqrt{2}\right)t }[/math], ולכן

[math]\displaystyle{ v_2=\begin{pmatrix}1-\sqrt{2}\\ 1\end{pmatrix} }[/math]

המטריצה שעמודותיה [math]\displaystyle{ v_1,v_2 }[/math]

[math]\displaystyle{ P=\begin{pmatrix}1+\sqrt{2} & 1-\sqrt{2}\\ 1 & 1\end{pmatrix} }[/math]

מקיימת

[math]\displaystyle{ P^{-1}AP=\begin{pmatrix}2+\sqrt{2} & 0\\ 0 & 2-\sqrt{2}\end{pmatrix} }[/math]

האם [math]\displaystyle{ P }[/math] אורתוגונלית? לא, כי לא דאגנו שעמודותיה תהיינה בא"נ.

שלב 2: בסיס אורתונורמלי. שימו לב: במהלך ההוכחה שמטריצה נורמלית היא לכסינה אוניטרית, נובע כי המרחבים העצמיים של ע"ע שונים מאונכים זה לזה. לכן לעולם לא צריך לעשות גרם-שמידט בין ו"ע של ע"ע שונים, אלא רק בתוך מרחב עצמי של ע"ע שחוזר על עצמו. בדיקה:

[math]\displaystyle{ v_1\cdot v_2=\left(1+\sqrt{2}\right)\left(1-\sqrt{2}\right)+1=0 }[/math]

מה נותר לעשות? לנרמל:

[math]\displaystyle{ ||v_1||=\sqrt{\left(1+\sqrt{2}\right)^2+1}=\sqrt{4+2\sqrt{2}} }[/math]

[math]\displaystyle{ ||v_2||=\sqrt{\left(1-\sqrt{2}\right)^2+1}=\sqrt{4-2\sqrt{2}} }[/math]

נסמן בקיצור [math]\displaystyle{ s_1=\sqrt{4+2\sqrt{2}} }[/math] ו[math]\displaystyle{ s_2=\sqrt{4-2\sqrt{2}} }[/math]. המטריצה שעמודותיה הן הבא"נ [math]\displaystyle{ w_1=\frac{v_1}{s_1} }[/math], [math]\displaystyle{ w_2=\frac{v_2}{s_2} }[/math] היא

[math]\displaystyle{ Q=\begin{pmatrix}\frac{1+\sqrt{2}}{s_1} & \frac{1-\sqrt{2}}{s_2}\\ \frac{1}{s_1} & \frac{1}{s_2}\end{pmatrix} }[/math]

והיא אורתוגונלית ומקיימת

[math]\displaystyle{ Q^tAQ=D=\begin{pmatrix}2+\sqrt{2} & 0\\ 0 & 2-\sqrt{2}\end{pmatrix} }[/math]

שלב 3: שינוי קואורדינטות. נחליף את הקואורדינטות [math]\displaystyle{ (x,y) }[/math] בקואורדינטות [math]\displaystyle{ (a,b) }[/math]:

[math]\displaystyle{ \begin{pmatrix}a\\ b\end{pmatrix}=Q^t\begin{pmatrix}x\\ y\end{pmatrix} }[/math]

או

[math]\displaystyle{ \begin{pmatrix}x\\ y\end{pmatrix}=Q\begin{pmatrix}a\\ b\end{pmatrix} }[/math]

ונזכר כי אז, כיוון ש[math]\displaystyle{ A=QDQ^t }[/math],

[math]\displaystyle{ 3x^2+2xy+y^2=\begin{pmatrix}x & y\end{pmatrix}QDQ^t\begin{pmatrix}x\\ y\end{pmatrix}= }[/math]

[math]\displaystyle{ =\left(Q^t\begin{pmatrix}x\\ y\end{pmatrix}\right)^tD\left(Q^t\begin{pmatrix}x\\ y\end{pmatrix}\right)= }[/math]

[math]\displaystyle{ =\begin{pmatrix}a & b\end{pmatrix}D\begin{pmatrix}a\\ b\end{pmatrix}= }[/math]

[math]\displaystyle{ =\left(2+\sqrt{2}\right)a^2+\left(2-\sqrt{2}\right)b^2 }[/math]

איך [math]\displaystyle{ Q }[/math] פועלת - סיבוב או שיקוף? באופן כללי צריך לעבור דרך הע"ע והו"ע של המטריצה האוניטרית. במקרה שלנו, העמודות הן וקטורים במישור באורך אחד, ולכן הן על מעגל היחידה. העמודה הראשונה היא בהכרח מהצורה

[math]\displaystyle{ \begin{pmatrix}\cos\theta\\ \sin\theta\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}\frac{1+\sqrt{2}}{s_1}\\ \frac{1}{s_1}\end{pmatrix} }[/math]

ולכן [math]\displaystyle{ \tan\theta=\frac{1}{1+\sqrt{2}}=\sqrt{2}-1 }[/math], כלומר [math]\displaystyle{ \theta=22.5^\circ=\frac{\pi}{8} }[/math]. העמודה השנייה היא הוקטור היחידה המאונך [math]\displaystyle{ \begin{pmatrix}-\sin\theta\\ \cos\theta\end{pmatrix} }[/math] (אפשר לבדוק ש[math]\displaystyle{ \frac{1-\sqrt{2}}{s_2}=-\frac{1}{s_1} }[/math] ו[math]\displaystyle{ \frac{1}{s_2}=\frac{1+\sqrt{2}}{s_1} }[/math]). לכן

[math]\displaystyle{ Q=\begin{pmatrix}\cos\theta & -\sin\theta\\ \sin\theta & \cos\theta\end{pmatrix} }[/math]

זו מטריצת סיבוב בזווית [math]\displaystyle{ \theta=22.5^\circ }[/math] נגד כיוון השעון. שימו לב ש[math]\displaystyle{ \begin{pmatrix}x\\ y\end{pmatrix} }[/math] הוא הכפל ב[math]\displaystyle{ Q }[/math] של [math]\displaystyle{ \begin{pmatrix}a\\ b\end{pmatrix} }[/math]: העקום בקואורדינטות [math]\displaystyle{ (x,y) }[/math] מתקבל מהעקום בקואורדינטות [math]\displaystyle{ (a,b) }[/math] ע"י סיבוב ב-22.5 מעלות נגד כיוון השעון.

בהמחשה (בגאוגברה), אם מתעלמים לרגע מ[math]\displaystyle{ x+y }[/math]: העקום [math]\displaystyle{ 3x^2+2xy+y^2=1 }[/math] הוא בדיוק העקום [math]\displaystyle{ \left(2+\sqrt{2}\right)x^2+\left(2-\sqrt{2}\right)y^2=1 }[/math] לאחר סיבוב - אותה אליפסה, מסובבת.

שלב 4: האיברים הלינאריים. צד שמאל של המשוואה הוא בעצם

[math]\displaystyle{ \begin{pmatrix}x & y\end{pmatrix}A\begin{pmatrix}x\\ y\end{pmatrix}+\begin{pmatrix}1 & 1\end{pmatrix}\begin{pmatrix}x\\ y\end{pmatrix} }[/math]

הצבנו [math]\displaystyle{ \begin{pmatrix}x\\ y\end{pmatrix}=Q\begin{pmatrix}a\\ b\end{pmatrix} }[/math], ו[math]\displaystyle{ \begin{pmatrix}1 & 1\end{pmatrix}Q }[/math] הוא סכום השורות של [math]\displaystyle{ Q }[/math]:

[math]\displaystyle{ \begin{pmatrix}1 & 1\end{pmatrix}Q=\begin{pmatrix}\frac{2+\sqrt{2}}{s_1} & \frac{2-\sqrt{2}}{s_2}\end{pmatrix} }[/math]

ולכן המשוואה בקואורדינטות החדשות היא

[math]\displaystyle{ \left(2+\sqrt{2}\right)a^2+\frac{2+\sqrt{2}}{s_1}a+ }[/math]

[math]\displaystyle{ +\left(2-\sqrt{2}\right)b^2+\frac{2-\sqrt{2}}{s_2}b=r }[/math]

שלב 5: השלמה לריבוע.

[math]\displaystyle{ \left(2+\sqrt{2}\right)a^2+\frac{2+\sqrt{2}}{s_1}a= }[/math]

[math]\displaystyle{ =\left(2+\sqrt{2}\right)\left[a^2+\frac{a}{s_1}\right]= }[/math]

[math]\displaystyle{ =\left(2+\sqrt{2}\right)\left[\left(a+\frac{1}{2s_1}\right)^2-\frac{1}{4s_1^2}\right] }[/math]

ובאופן דומה

[math]\displaystyle{ \left(2-\sqrt{2}\right)b^2+\frac{2-\sqrt{2}}{s_2}b= }[/math]

[math]\displaystyle{ =\left(2-\sqrt{2}\right)\left[\left(b+\frac{1}{2s_2}\right)^2-\frac{1}{4s_2^2}\right] }[/math]

והקבועים יוצאים יפים:

[math]\displaystyle{ \left(2+\sqrt{2}\right)\cdot\frac{1}{4s_1^2}=\frac{2+\sqrt{2}}{4\left(4+2\sqrt{2}\right)}=\frac{1}{8} }[/math]

[math]\displaystyle{ \left(2-\sqrt{2}\right)\cdot\frac{1}{4s_2^2}=\frac{2-\sqrt{2}}{4\left(4-2\sqrt{2}\right)}=\frac{1}{8} }[/math]

לכן המשוואה היא

[math]\displaystyle{ \left(2+\sqrt{2}\right)\left(a+\frac{1}{2s_1}\right)^2+ }[/math]

[math]\displaystyle{ +\left(2-\sqrt{2}\right)\left(b+\frac{1}{2s_2}\right)^2=r+\frac{1}{8}+\frac{1}{8} }[/math]

ובקואורדינטות המוזזות [math]\displaystyle{ a'=a+\frac{1}{2s_1} }[/math], [math]\displaystyle{ b'=b+\frac{1}{2s_2} }[/math] הגענו לצורה הקנונית:

[math]\displaystyle{ \left(2+\sqrt{2}\right)a'^2+\left(2-\sqrt{2}\right)b'^2=r+\frac{1}{4} }[/math]

תשובה. שני המקדמים חיוביים (ושונים זה מזה), ולכן:

• אם [math]\displaystyle{ r>-\frac{1}{4} }[/math] זו אליפסה (לא מעגל), עם חצאי צירים [math]\displaystyle{ \sqrt{\frac{r+1/4}{2+\sqrt{2}}} }[/math] בכיוון [math]\displaystyle{ v_1 }[/math] ו[math]\displaystyle{ \sqrt{\frac{r+1/4}{2-\sqrt{2}}} }[/math] (הארוך) בכיוון [math]\displaystyle{ v_2 }[/math].
• אם [math]\displaystyle{ r=-\frac{1}{4} }[/math] זו נקודה אחת.
• אם [math]\displaystyle{ r<-\frac{1}{4} }[/math] זו הקבוצה הריקה.

העקום הוא העקום הקנוני, מוזז, ומסובב ב-22.5 מעלות נגד כיוון השעון. המרכז שלו (או הנקודה, כאשר [math]\displaystyle{ r=-\frac{1}{4} }[/math]) הוא [math]\displaystyle{ a'=b'=0 }[/math], ובקואורדינטות המקוריות

[math]\displaystyle{ \begin{pmatrix}x\\ y\end{pmatrix}=Q\begin{pmatrix}-\frac{1}{2s_1}\\ -\frac{1}{2s_2}\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}0\\ -\frac{1}{2}\end{pmatrix} }[/math]

(בדיקה: הנגזרות החלקיות של [math]\displaystyle{ 3x^2+2xy+y^2+x+y }[/math] מתאפסות ב[math]\displaystyle{ \left(0,-\frac{1}{2}\right) }[/math], והערך שם הוא [math]\displaystyle{ -\frac{1}{4} }[/math].)

בהמחשה בגאוגברה עבור [math]\displaystyle{ r=1 }[/math]: האדום הוא הצורה המקורית, הכחול הוא הצורה לאחר הסיבוב, והירוק הוא הצורה לאחר הסיבוב ולאחר ההזזה - בצורה הקנונית [math]\displaystyle{ \left(2+\sqrt{2}\right)x^2+\left(2-\sqrt{2}\right)y^2=\frac{5}{4} }[/math].

▶ בהרצאה מ־26.1.25, החל מהדקה 13:05