אלגברה לינארית 2 - ארז שיינר

חומרי עזר

• מבחנים ובחנים עם פתרונות
• תקציר מפורט של הקורס של פרופ' בועז צבאן. ההרצאות בנושא צורת ג'ורדן מסוכמות בפירוט בחוברת הסיפור המלא.
• 88-113 אלגברה לינארית 2

סרטונים ותקצירי הרצאות

הפלייליסט של כל הסרטונים

פרק 1 - מכפלה פנימית ונורמה

מכפלה סקלרית

$v\cdot w=|v||w|\cos (\theta )$

מכפלה פנימית

יהי $V$ מרחב וקטורי מעל $\mathbb{F}=\mathbb{R}$ או $\mathbb{F}=\mathbb{C}$

מכפלה פנימית היא מכפלה $⟨\cdot ,\cdot ⟩:V\times V\to \mathbb{F}$ המקיימת את ארבע התכונות הבאות:

לכל $x,y\in V$ ולכל $c\in \mathbb{F}$ מתקיים כי:

• אדטיביות $⟨x+y,z⟩=⟨x,z⟩+⟨y,z⟩$
• כפל בסקלר $⟨cx,y⟩=c⟨x,y⟩$
• הרמיטיות $⟨y,x⟩=\overline{⟨x,y⟩}$
• אי שליליות $⟨x,x⟩\ge 0$ וכן $⟨x,x⟩=0$ אם ורק אם $x=0$

$⟨a{v}_1+b{v}_2,c{w}_1+d{w}_2⟩=a\bar{c}⟨v_1,w_1⟩+a\bar{d}⟨v_1,w_2⟩+b\bar{c}⟨v_2,w_1⟩+b\bar{d}⟨v_2,w_2⟩$

נורמה

יהי $V$ מרחב וקטורי מעל $\mathbb{F}=\mathbb{R}$ או $\mathbb{F}=\mathbb{C}$

נורמה היא פונקציה $||\cdot ||:V\to \mathbb{R}$ המקיימת את שלושת התכונות הבאות.

לכל $x,y\in V$ ולכל $c\in \mathbb{F}$ מתקיים כי:

• אי שליליות $||x|\ge 0$ וכן $||x||=0$ אם ורק אם $x=0$
• כפל בסקלר $||cx||=|c|\cdot ||x||$
• אי שיוויון המשולש $||x+y||\le ||x||+||y||$

נורמה מושרית

יהי $V$ מרחב מכפלה פנימית מעל $\mathbb{F}=\mathbb{R}$ או $\mathbb{F}=\mathbb{C}$.

הנורמה המושרית מהמכפלה הפנימית היא הפונקציה $||\cdot ||:V\to \mathbb{R}$ המוגדרת ע"י הנוסחא:

$||v||=\sqrt{⟨v,v⟩}$

שימו לב: הפונקציה מוגדרת היטב -

מתכונת האי-שליליות של המכפלה הפנימית ידוע כי $0\le ⟨v,v⟩\in \mathbb{R}$ ולכן מותר להוציא שורש.

הנורמה המושרית היא אכן נורמה

נוכיח כי הנורמה המושרית היא אכן נורמה.

תכונת האי-שליליות של הנורמה מתקבלת בחינם, כי $||v||=\sqrt{⟨v,v⟩}\ge 0$ ממש לפי הגדרת פונקצית השורש. כמו כן, נקבל כי $||v||=0$ אם ורק אם $⟨v,v⟩=0$ אם ורק אם, לפי תכונת המכפלה הפנימית, $v=0_V$

כעת, יהי סקלר $c\in \mathbb{C}$ אזי

$||cv||=\sqrt{⟨cv,cv⟩}=\sqrt{c\bar{c}⟨v,v⟩}=\sqrt{|c{|}^2⟨v,v⟩}=|c|\cdot ⟨v,v⟩=|c|\cdot ||v||$

לבסוף, עלינו להוכיח את אי שיוויון המשולש, אך זה ידרוש קצת הכנה מקדימה.

צריך להוכיח כי:

$||v+w||\le ||v||+||w||$

כיוון ששני הצדדים אי שליליים, אפשר להעלות בריבוע ולקבל אי שיוויון שקול:

$||v+w|{|}^2\le ||v|{|}^2+2||v||\cdot ||w||+||w|{|}^2$

נפתח את צד שמאל לפי ההגדרה של הנורמה:

$||v+w|{|}^2=⟨v+w,v+w⟩=⟨v,v⟩+⟨v,w⟩+⟨w,v⟩+⟨w,w⟩=$

$=||v|{|}^2+⟨v,w⟩+\overline{⟨v,w⟩}+||w|{|}^2=||v|{|}^2+2Re(⟨v,w⟩)+||w|{|}^2$

כעת נחזור לאי השיוויון שצריך להוכיח, נצמצם את $||v|{|}^2+||w|{|}^2$ משני האגפים ונחלק ב2, ונקבל את אי השיוויון השקול הבא:

$Re(⟨v,w⟩)\le ||v||\cdot ||w||$

נעצור על מנת להוכיח אי שיוויון עזר:

מתכונת האי שליליות, אנו יודעים כי

$⟨v-w,v-w⟩\ge 0$

ובעזרת פיתוח דומה לעיל נקבל כי

$0\le ⟨v-w,v-w⟩=||v|{|}^2-2Re(⟨v,w⟩)+||w|{|}^2$

מכאן נובע כי

$Re(⟨v,w⟩)\le \frac{||v|{|}^2+||w|{|}^2}{2}$

כעת, נחזור להוכחת אי שיוויון המשולש. צ"ל כי $Re(⟨v,w⟩)\le ||v||\cdot ||w||$

אם $v=0_V$ או $w=0_V$ התוצאה מיידית כי שני הצדדים שווים אפס.

אחרת, נציב את הוקטורים המנורמלים $\frac{v}{||v||},\frac{w}{||w||}$ באי שיוויון העזר ונקבל:

$Re(⟨\frac{v}{||v||},\frac{w}{||w||}⟩)\le \frac{||\frac{v}{||v||}|{|}^2+||\frac{w}{||w||}|{|}^2}{2}$

ולכן

$Re(\frac{1}{||v||\cdot ||w||}⟨v,w⟩)\le \frac{1+1}{2}$

$\frac{1}{||v||\cdot ||w||}\cdot Re(⟨v,w⟩)\le \frac{1+1}{2}$

וסה"כ, קיבלנו את מה שצריך:

$Re(⟨v,w⟩)\le ||v||\cdot ||w||$

אי שיוויון קושי-שוורץ

בהנתן מרחב מכפלה פנימית $V$ יחד עם הנורמה המושרית, לכל $v,w\in V$ מתקיים כי

$|⟨v,w⟩|\le ||v||\cdot ||w||$

הוכחה

נציב את הוקטורים $v,⟨v,w⟩w$ באי השיוויון שקיבלנו בהוכחת אי שיוויון המשולש ונקבל:

$Re(⟨v,⟨v,w⟩w⟩)\le ||v||\cdot ||⟨v,w⟩w||$

ולכן

$Re(\overline{⟨v,w⟩}⟨v,w⟩)\le ||v||\cdot |⟨v,w⟩|\cdot ||w||$

כלומר

$|⟨v,w⟩{|}^2\le |⟨v,w⟩|\cdot ||v||\cdot ||w||$

כעת אם $⟨v,w⟩=0$ אי שיוויון קושי-שוורץ מתקיים באופן מיידי, ואחרת מותר לחלק ב$|⟨v,w⟩|$ ולקבל את אי שיוויון קושי-שוורץ.

מכפלה פנימית מושרית

• האם כל נורמה היא נורמה מושרית?

• האם ייתכן שנורמה תהיה הנורמה המושרית של שתי מכפלות פנימיות שונות?

לתשובות ולהוכחות קראו את הערך מכפלה פנימית מושרית.

פרק 2 - המרחב הניצב

• משפט הפירוק הניצב
• בא"נ והיטלים
• אי שיוויון בסל
• משפט פיתגורס
• גרם שמידט