אלגברה מופשטת 1- מועד א' קיץ תשע"ג

המרצים:מיכאל מגרל, רוני ביתן

המתרגלים: תומר באואר, לואי פולב, עופר בוסאני

משך המבחן: שעתיים וחצי

חומרי עזר: רק מחשבון רגיל

כולם מוזמנים לתרום ולכתוב את הפתרון של 5ג

שאלה 1

סעיף א'

הוכיחו את משפט לגרנז'

פתרון

היה בהרצאה

סעיף ב'

תהיינה 2 חבורות [math]\displaystyle{ G_1,G_2 }[/math] כך ש- [math]\displaystyle{ (|G_1|,|G_2|)=1 }[/math]. כמה הומומורפיזמים שונים [math]\displaystyle{ G_1\to G_2 }[/math] קיימים?

פתרון

יהי f הומומורפיזם מתאים. אזי לפי משפט איזו' 1 מתקיים ש- [math]\displaystyle{ G_1/\operatorname{ker}f \simeq \operatorname{im}f }[/math] ולכן [math]\displaystyle{ \frac{|G_1|}{|\operatorname{ker}f|}=|\operatorname{im}f| }[/math]. מכאן נובע ש- [math]\displaystyle{ |\operatorname{im}f| }[/math] מחלק את [math]\displaystyle{ |G_1| }[/math]. אך [math]\displaystyle{ \operatorname{im}f }[/math] תת חבורה של [math]\displaystyle{ G_2 }[/math] ולפי לגרנז', [math]\displaystyle{ |\operatorname{im}f| }[/math] מחלק את [math]\displaystyle{ |G_2| }[/math]. קיבלנו שב- [math]\displaystyle{ |\operatorname{im}f| }[/math] מחלק את [math]\displaystyle{ |G_1| }[/math] ואת [math]\displaystyle{ |G_2| }[/math], ומתוך הנתון בהכרח מתקיים [math]\displaystyle{ |\operatorname{im}f|=1 }[/math]. ידוע ש- [math]\displaystyle{ e_{G_2} \in \operatorname{im}f }[/math] ולכן f מקיימת [math]\displaystyle{ f(g)=e_{G_2} }[/math] לכל g ב- [math]\displaystyle{ G_1 }[/math]. מכאן שקיים רק הומומורפיזם יחיד, הטריוויאלי.

סעיף ג'

נתונות 6 חבורות מסדר 40. זהו אילו חבורות איזומורפיות זו לזו:

[math]\displaystyle{ \mathbb{Z}_{40},\mathbb{Z}_5\times\mathbb{Z}_8,\mathbb{Z}_4\times\mathbb{Z}_{10},\mathbb{Z}_5\times\mathbb{Z}_2\times\mathbb{Z}_4,\mathbb{Z}_2\times\mathbb{Z}_2\times\mathbb{Z}_2\times\mathbb{Z}_5,U_{10}\times\mathbb{Z}_{10} }[/math]

פתרון

נשתמש במשפט 8 מתוך המשפטים שצריך לדעת להוכיח ונגיע למבוקש במהירות. (מי שרוצה יכול להרחיב פה)

קודם כל נוכיח כי [math]\displaystyle{ { U }_{ 10 }\cong { Z }_{ 4 } }[/math]. ואכן, מתקיים לפי אוילר 1 [math]\displaystyle{ { U }_{ 10 }=\{ 1,3,7,9\} }[/math], נבדוק את הסדר של 3 - [math]\displaystyle{ { 3 }^{ 1 }=1;{ 3 }^{ 2 }=9;{ 3 }^{ 3 }=27=7;3^{ 4 }=81=1\quad \Rightarrow \quad O(3)=4 }[/math]. לכן החבורה צילקית, ולכן [math]\displaystyle{ { U }_{ 10 }\cong { Z }_{ 4 } }[/math].

כעת, לפי המשפט - [math]\displaystyle{ { Z }_{ mn }\cong Z_{ m }\bigoplus { Z }_{ n } \leftrightarrow (m,n)=1 }[/math], נובע כי:

[math]\displaystyle{ { Z }_{ 40 }\cong Z_{ 8 }\bigoplus { Z }_{ 5 } }[/math]

[math]\displaystyle{ { Z }_{ 5 }\bigoplus { Z }_{ 2 }\cong { Z }_{ 10 }\quad \rightarrow \quad { U }_{ 10 }\bigoplus { Z }_{ 10 }\cong Z_{ 4 }\bigoplus { Z }_{ 10 }\cong Z_{ 4 }\bigoplus { Z }_{ 5 }\bigoplus { Z }_{ 2 } }[/math]

ונשארנו עם [math]\displaystyle{ Z_{ 2 }\bigoplus { Z }_{ 5 }\bigoplus { Z }_{ 2 }\bigoplus { Z }_{ 2 } }[/math] שלא איזומורפית לאף אחד מן האחרות.

שאלה 2

סעיף א'

הוכח את משפט אוילר על החזקות ופתור את המשוואה [math]\displaystyle{ 16x\equiv 29!\cdot 25^{92} \operatorname{mod}31 }[/math]

פתרון

משפט אוילר על החזקות אומר שאם [math]\displaystyle{ (a,n)=1 }[/math] אז [math]\displaystyle{ a^{\varphi(n)}\equiv 1 \operatorname{mod} n }[/math]. אבל אם [math]\displaystyle{ (a,n)=1 }[/math] אז לפי משפט, [math]\displaystyle{ a \in U_n }[/math]. אחת התוצאות של משפט לגרנז' אומרת שאם מעלים איבר בחזקת סדר של החבורה, נקבל את הנטרלי של החבורה. במקרה הזה, הנטרלי הוא 1 והסדר של החבורה הוא [math]\displaystyle{ |U_n| }[/math]. נזכור שההגדרה של [math]\displaystyle{ \varphi(n) }[/math] היא בעצם [math]\displaystyle{ |U_n| }[/math] ולכן קיבלנו [math]\displaystyle{ a^{\varphi(n)}\equiv 1\operatorname{mod} n }[/math].

כעת נפתור את המשוואה. כיוון ש- 31 ראשוני, אז לפי משפט וילסון, [math]\displaystyle{ 30!\equiv 30 \operatorname{mod}31 }[/math] וכיוון ש-30 הפיך ב- [math]\displaystyle{ \mathbb{Z}_{31} }[/math] אפשר להסיק ש- [math]\displaystyle{ 29!\equiv 1 \operatorname{mod} 31 }[/math]. קיבלנו: [math]\displaystyle{ 16x\equiv 1\cdot 25^{92} \operatorname{mod}31 }[/math].

נזכור ש- [math]\displaystyle{ \varphi(31)=30 }[/math] (אם p ראשוני אז [math]\displaystyle{ \varphi(p)=p-1 }[/math]) ולכן לפי המשפט שהוכחנו, [math]\displaystyle{ 25^{30}\equiv 1 \operatorname{mod}31 }[/math] ומכאן [math]\displaystyle{ 25^{92}=25^{30}\cdot 25^{30}\cdot 25^{30}\cdot 25^2 \equiv 1\cdot 1\cdot 1\cdot 25^2 \operatorname{mod}31 }[/math]. קל לחשב ש- [math]\displaystyle{ 25^2\equiv 5 \operatorname{mod}31 }[/math] ולכן קיבלנו את המשוואה: [math]\displaystyle{ 16x\equiv 5 \operatorname{mod}31 }[/math]. עוד נראה ש- [math]\displaystyle{ 2\cdot 16 \equiv 1 \operatorname{mod} 31 }[/math] ולכן [math]\displaystyle{ 2\cdot 16x \equiv 2\cdot 5 \operatorname{mod}31 }[/math] ומכאן ש- [math]\displaystyle{ x\equiv 10 \operatorname{mod}31 }[/math]

סעיף ב'

האם קיים מונומורפיזם [math]\displaystyle{ U_9 \to S_7 }[/math]?

אינטואיציה ראשונית לפתרון

נשים לב ש- [math]\displaystyle{ |U_9|=\varphi(9)=9\cdot(1-\frac13)=6 }[/math]. לכן, לפי משפט מהתרגול, יש 2 אפשרויות: [math]\displaystyle{ U_9 \simeq \mathbb{Z}_6 }[/math] או [math]\displaystyle{ U_9 \simeq D_3 }[/math]. כיוון ש- [math]\displaystyle{ U_9 }[/math] אבלית ו- [math]\displaystyle{ D_3 }[/math] לא, נקבל כי [math]\displaystyle{ U_9 }[/math] ציקלית. לכן, צריך להתקיים שאם יש מונו' מ- [math]\displaystyle{ U_9 }[/math] ל- [math]\displaystyle{ S_7 }[/math], אזי [math]\displaystyle{ \operatorname{im}f }[/math] ציקלית והסדר שלה הוא 6 (כיוון ש- f היא חח"ע, התמונה תהיה איזומורפית למקור). לכן, מטרתנו היא למצוא איבר מסדר 6 ב- [math]\displaystyle{ S_7 }[/math] ולשלוח את אחד מהיוצרים של [math]\displaystyle{ U_9 }[/math] לאותו איבר וזה יתן לנו את הפתרון.

פתרון

נשלח את 2 (קל לראות שהוא אחד מהיוצרים של [math]\displaystyle{ U_9 }[/math]) לתמורה [math]\displaystyle{ (1 2)(3 4 5) }[/math]. זוהי תמורה מסדר 6 ולכן סיימנו.

סעיך ג'

הוכיחו: בחבורת מנה [math]\displaystyle{ \mathbb{Q}/\mathbb{Z} }[/math] הסדר של כל איבר הוא סופי, אבל החבורה אינה נוצרת סופית.

פתרון

כל איבר בחבורת המנה הוא מהצורה [math]\displaystyle{ \frac{m}{n}+\mathbb{Z} }[/math] ולכן נראה כי [math]\displaystyle{ n(\frac{m}{n}+\mathbb{Z})=m+\mathbb{Z}=\mathbb{Z} }[/math] ולכן הסדר של האיבר קטן מ-n, בפרט סופי.

קל לראות ש- [math]\displaystyle{ \mathbb{Q}/\mathbb{Z} }[/math] איזומורפית לקבוצת הרציונאלים בין 0 ל-1 (לא כולל 1). הוכחנו בתרגול ובבוחן ש-[math]\displaystyle{ \mathbb{Q} }[/math] לא נוצרת סופית, נשתמש באותה הוכחה להוכיח שקבוצת הרציונאלים בין 0 ל-1 לא נוצרת סופית

שאלה 3

סעיף א'

הוכיחו את המשפט: כל חבורת-p היא פתירה. תנו לפחות 4 דוגמאות של חבורות לא איזומורפיות בעלות 27 איברים.

פתרון

ההוכחה של המשפט הזה היא מההרצאה.

4 חבורות לא איזו' בעלות 27 איברים: [math]\displaystyle{ \mathbb{Z}_{27},\mathbb{Z}_9\times\mathbb{Z}_3,\mathbb{Z}_3^3 }[/math] וחבורת הייזנברג מעל [math]\displaystyle{ \mathbb{Z}_3 }[/math]

סעיף ב'

הוכיחו או הפריכו: לכל מספר ראשוני p ולכל [math]\displaystyle{ n\geq3 }[/math] טבעי קיימת חבורה לא אבלית בעלת [math]\displaystyle{ p^n }[/math] איברים.

פתרון

הוכחה: ניקח את [math]\displaystyle{ H_p \times \mathbb{Z}_{p^{n-3}} }[/math] כאשר [math]\displaystyle{ H_p }[/math] זוהי חבורת הייזנברג מעל [math]\displaystyle{ \mathbb{Z}_p }[/math]

סעיף ג'

תארו תמונות אפימורפיות של החבורה [math]\displaystyle{ G:= U_{10}\times \Omega_5 }[/math]. כמה אוטומורפיזמים יש על G?

פתרון

קודם כל נשים לב ש- [math]\displaystyle{ U_{10}\simeq \mathbb{Z}_4 }[/math] וידוע ש- [math]\displaystyle{ \Omega_5 \simeq \mathbb{Z}_5 }[/math] ומכאן שלפי משפט 8 ברשימת המשפטים שצריך היה לדעת להוכיח, [math]\displaystyle{ G\simeq \mathbb{Z}_{20} }[/math].

ראינו כי קבוצת האוטו' מעל [math]\displaystyle{ \mathbb{Z}_n }[/math] הוא [math]\displaystyle{ \varphi(n) }[/math] ולכן יש [math]\displaystyle{ \varphi(20)=20\cdot(1-\frac15)(1-\frac12)=8 }[/math] אוטו' מעל G. (הסבר: כיוון ש-G ציקלית, אחרי שנקבע לאן לשלוח את אחד היוצרים של G, כל הפונקציה תתקבע כיוון שהיא הומומורפיזם. כיוון שזה איזומורפיזם, יוצר חייב להישלח ליוצר ויש [math]\displaystyle{ \varphi(n) }[/math] יוצרים, ולכן זה מספר האוטו' מעל [math]\displaystyle{ \mathbb{Z}_n }[/math])

ראינו כי תמונות אפימורפיות הן בעצם איזומורפיות לחבורות מנה של G, ולכן נחפש את כל חבורות המנה של G. לשם כך, קודם כל נמצא את כל תתי החבורות הנורמליות של G. כיוון ש-G ציקלית, בפרט היא אבלית, ולכן כל ת"ח היא תת חבורה נורמלית. כמו כן, לפי משפט, לכל m שמחלק את n קיימת ת"ח (והיא יחידה!) מסדר m ב- [math]\displaystyle{ \mathbb{Z}_n }[/math]. לכן כל התח"נ של G הן: [math]\displaystyle{ \left\{0\right\},10\mathbb{Z}_{20},5\mathbb{Z}_{20},4\mathbb{Z}_{20},2\mathbb{Z}_{20},\mathbb{Z}_{20} }[/math] ומכאן נחשב ונראה שחבורות המנה איזו' לקבוצות הבאות: [math]\displaystyle{ \mathbb{Z}_{20},\mathbb{Z}_{10},\mathbb{Z}_5,\mathbb{Z}_4,\mathbb{Z}_2,\left\{0\right\} }[/math].

שאלה 4

סעיף א'

האם קיימת חבורה אבלית G כך ש- [math]\displaystyle{ \operatorname{exp}(G)=4,|G|=32,[G:2G]=4 }[/math]? (הערה: 2G מוגדרת להיות [math]\displaystyle{ \left\{ g^2 | g \in G \right\} }[/math])

פתרון

ראה תרגיל בית 5 שאלה 3 (שימוש במשפט הפיצול של חבורות אבליות)

סעיף ב'

תהא G חבורה לא אבלית מסדר [math]\displaystyle{ p^3 }[/math] (p ראשוני). נניח [math]\displaystyle{ a\notin Z(G) }[/math] הוכיחו: [math]\displaystyle{ |Z(G)|=p,|C_a|=p^2,|conj(a)|=p }[/math]

פתרון

ראה תרגול מתאים.

סעיף ג'

הראו כי [math]\displaystyle{ H:= \lt (1 2 3... n)\gt }[/math] היא לא תח"נ של [math]\displaystyle{ S_n }[/math] לכל [math]\displaystyle{ n\gt 3 }[/math]

פתרון

נניח בשלילה ש-H כן תח"נ. אזי H איחוד של מסלולים זרים (תחת פעולת ההצמדה), בפרט של [math]\displaystyle{ (1 2 3... n) }[/math]. ידוע ששתי תמורות צמודות אם ורק אם הן מאותו "טיפוס" בסדר מחזורים שלהן. לכן גודל מחלקת הצמידות של [math]\displaystyle{ (1 2 3... n) }[/math] הוא מספר המחזורים מאורך n שזה [math]\displaystyle{ (n-1)! }[/math], אבל [math]\displaystyle{ (n-1)! \gt n }[/math] לכל n>3. כיוון שהסדר של H הוא n (הסדר של היוצר), נקבל ש-H מכילה קבוצה עם עוצמה יותר גדולה משל H עצמה. סתירה.

שאלה 5

סעיף א'

תהא G חבורה מסדר [math]\displaystyle{ p^2q }[/math] עבור p,q ראשוניים. הוכיחו ש-G אינה פשוטה.

פתרון

ראה שאלה 5 בתרגיל הבית האחרון.

סעיף ב'

הוכיחו שהמרכז של החבורה הסימטרית [math]\displaystyle{ S_n }[/math] עבור [math]\displaystyle{ n\geq 3 }[/math] הוא טריוויאלי.

פתרון

ראה תרגול 9

סעיף ג'

מצאו את מספר הריבועים השונים (כלומר, עד כדי סיבוב או שיקוף) אשר מתקבלים מריבוע נתון, אם מותר לצבוע קודקודים ב-2 צבעים נתונים.

פתרון

נשתמש בלמה של ברנסייד...

(יש להשלים חלק זה)

שאלת בונוס

תנו דוגמה של חבורה G בעלת 125 איברים כך שקיימים עבור G בדיוק 25 אוטומורפיזמיים פנימיים (לנמק).

פתרון

ראינו בתרגול 8 (וקל מאוד להוכיח לפי משפט איזו' 1) ש- [math]\displaystyle{ G/Z(G) \simeq Inn(G) }[/math] וכיוון ש- [math]\displaystyle{ |Inn(G)|=25 }[/math], נקבל לפי לגרנז' שצריך להתקיים [math]\displaystyle{ |Z(G)|=5 }[/math]. לפי שאלה 4ב, אם ניקח חבורה מסדר [math]\displaystyle{ 5^3 }[/math] לא אבלית, סיימנו. ניקח את הייזנברג מעל [math]\displaystyle{ \mathbb{Z}_5 }[/math]