אלגוריתם לביצוע אינטגרל על פונקציה רציונאלית
סרטונים
- הורדת דרגת המונה ע"י חילוק פולינומים
- פירוק לשברים חלקיים
- חישוב אינטגרל של כל שבר חלקי
- נסמן
- אזי
- נסמן
כאשר תנאי ההתחלה הוא
אלגוריתם לביצוע אינטגרל על פונקציה רציונאלית
תהי פונקציה מהצורה
עובדה. כל פולינום אפשר לפרק מעל הממשיים לגורמים ממעלה 1 ו-2 (עובדה זו נובעת מכך ששדה המספרים הממשיים הוא שדה סגור ממשית.
איננו מטפלים כאן בבעיה האלגוריתמית של פירוק פולינום לגורמים), האלגוריתם מניח שאנו יודעים את הפירוק של המכנה.
סקירה כללית
האלגוריתם מורכב משלושה שלבים:
- שלב ראשון - אם הפולינום במונה מדרגה גדולה או שווה לפולינום במכנה, נבצע חילוק פולינומים.
- שלב שני - נניח שהפולינום במונה מדרגה קטנה ממש מהפולינום במכנה. נפרק את הפונקציה הרציונאלית לשברים חלקיים.
- שלב שלוש - נחשב את האינטגרל של כל שבר חלקי.
שלב ראשון
לאחר ביצוע חילוק פולינומים נקבל
האינטגרל על
שלב שני
כעת אנו מניחים שהמונה מדרגה קטנה ממש מהמכנה.
נפרק את
כעת, נפרק את הפונקציה הרציונאלית לשברים חלקיים:
נעשה מכנה משותף ונשווה בין הפולינום שנקבל במונה לפולינום
שלב שלישי
נחשב את האינטגרל של כל שבר חלקי.
אינטגרל מהצורה
נבצע הצבה
אינטגרל מהצורה (כאשר המכנה אי-פריק)
נבצע השלמה לריבוע על-מנת לקבל את האינטגרל
כעת, בעזרת הצבה לינארית פשוטה נעבור לאינטגרל מהצורה
נעזר בנוסחא הרקורסיבית הבאה:
אינטגרל מהצורה (כאשר המכנה אי-פריק)
דבר ראשון נצמצם את הבעיה לאינטגרל מהצורה
את החלק
לחלק הנותר נבצע הצבה
דוגמאות
דוגמא 1 - המנעות משימוש באלגוריתם
בדוגמא זו ניתן להפעיל את האלגוריתם אך עדיף לבצע את ההצבה
דוגמא 2 - פירוק לשברים חלקיים
נפרק לשברים חלקיים
לכן