אלגוריתם ללכסון מטריצה

מתוך Math-Wiki

תהי נתונה מטריצה [math]\displaystyle{ A }[/math]. נרצה לבדוק האם היא לכסינה, ואם כן - למצוא מטריצה שמלכסנת אותה.

מציאת פולינום אופייני

[math]\displaystyle{ p_A(x):=\left|xI-A\right| }[/math].

מציאת הערכים העצמיים של המטריצה וריבויים האלגברי

[math]\displaystyle{ \lambda }[/math] ערך עצמי של [math]\displaystyle{ A }[/math] אם ורק אם [math]\displaystyle{ p_A(\lambda)=0 }[/math].

לכל שורש [math]\displaystyle{ \lambda }[/math] של [math]\displaystyle{ p_A(x) }[/math], נוציא מהפולינום גורם [math]\displaystyle{ (x-\lambda) }[/math], עד שנגיע למצב [math]\displaystyle{ p_A(x)=(x-\lambda_1)^{r_1}\cdots(x-\lambda_k)^{r_k} }[/math].

אם נותר בפולינום גורם שאינו מתפרק לגורמים לינאריים כאלה, אז המטריצה אינה לכסינה ואפשר לעצור כאן.

[math]\displaystyle{ \lambda_1,\dots,\lambda_k }[/math] הם הערכים העצמיים השונים של [math]\displaystyle{ A }[/math], ו [math]\displaystyle{ r_1,\dots,r_k }[/math] הם הריבויים האלגבריים שלהם, בהתאמה.

מציאת בסיסים למרחבים העצמיים

לכל ערך עצמי [math]\displaystyle{ \lambda }[/math] של [math]\displaystyle{ A }[/math], מחשבים את המרחב העצמי [math]\displaystyle{ V_\lambda:=\left\{v\in \mathbb{F}^n : Av=\lambda v\right\}=N(A-\lambda I) }[/math], אוסף הפתרונות של המערכת ההומוגנית המתאימה למטריצה [math]\displaystyle{ A-\lambda I }[/math].

מוצאים בסיס עבור מרחב זה. אם בבסיס יש פחות איברים מהריבוי האלגברי של [math]\displaystyle{ \lambda }[/math], אז המטריצה אינה לכסינה ולא צריך להמשיך.

כל עוד יש מספיק וקטורים כמו בריבוי האלגברי, ממשיכים הלאה לערכים העצמיים הבאים.

בדיקה האם המטריצה לכסינה, ואם כן מציאת המטריצה המלכסנת

אם הגענו עד שלב זה, מובטח שהמטריצה לכסינה, והמטריצה המלכסנת [math]\displaystyle{ P }[/math] היא המטריצה שעמודותיה הם הוקטורים העצמיים בבסיסים שמצאנו. כלומר, המטריצה [math]\displaystyle{ D:=P^{-1}AP }[/math] היא מטריצה אלכסונית.

בעמודה [math]\displaystyle{ i }[/math] של המטריצה [math]\displaystyle{ D }[/math] יופיע הערך העצמי המתאים לוקטור העצמי ששמנו בעמודה [math]\displaystyle{ i }[/math] של [math]\displaystyle{ P }[/math].


דוגמאות