אנליזה מתקדמת למורים תרגול 3
חזרה ל מערכי תרגול.
הגדרה של סדרה אינסופית - נסתפק בתרגול בהבנה אינטואיטיבית, פשוטו כמשמעו....
גבול של סדרה: נאמר שסדרה [math]\displaystyle{ \{z_n\} }[/math] מתכנסת לגבול [math]\displaystyle{ z }[/math] ונסמן [math]\displaystyle{ z_n\to z }[/math] אם מתקיים [math]\displaystyle{ |z_n-z|\to 0 }[/math], כאשר הדבר האחרון מוגדר כבר באינפי 1 כי זו סדרה של ממשיים.
דוגמאות[עריכה]
1. [math]\displaystyle{ z_n=1+(1+\frac{1}{n})^ni\to 1+ei }[/math]. הוכחה: [math]\displaystyle{ |z_n-z|=|1+(1+\frac{1}{n})^ni-(1+ei)|=|((1+\frac{1}{n})^n-e)i|=|((1+\frac{1}{n})^n-e)|\cdot |i|=|((1+\frac{1}{n})^n-e)|\to 0 }[/math], כאשר השאיפה בסוף נובעת מהידוע לנו מאינפי 1.
2. [math]\displaystyle{ z_n=\frac{n^2+1}{2n^2+3n-2}-2i\to 0.5-2i }[/math] בדומה...
טענות[עריכה]
בדומה לסדרות של ממשיים, מתקיים:
1. [math]\displaystyle{ z_n\to z\Rightarrow \forall c\in \mathbb{C} c\cdot z_n\to c\cdot z }[/math]
2. [math]\displaystyle{ z_n\to z,w_m\to w\Rightarrow z_n+w_n\to z+w }[/math]
3. [math]\displaystyle{ z_n\to z,w_m\to w\Rightarrow z_n\cdot w_n\to z\cdot w }[/math]
הוכחה:
1. [math]\displaystyle{ |cz_n-cz|=|c(z_n-z)|=|c|\cdot |z_n-z|\to 0 }[/math]
2. [math]\displaystyle{ |(z_n+w_n)-(z+w)|=|(z_n-z)+(w_n-w)|\leq |z_n-z|+|w_n-w|\to 0 }[/math]
3. [math]\displaystyle{ |z_n\cdot w_n-zw|=|z_n w_n-z_nw+z_nw-zw|=|z_n(w_n-w)+w(z_n-z)|\leq |z_n(w_n-w)|+|w(z_n-z)|=|Z_n|\cdot |w_n-w_+|w|\cdot |z_n-z| }[/math]
כעת, מהמשפט שאם סדרה מתכנסת אז גם סדרת הנורמות מתכנסת נקבל שהכל שואף לאפס.
עוד ראיתם: בהינתן סדרה מרוכבת [math]\displaystyle{ z_n=a_n+b_ni }[/math] מתקיים שהסדרה [math]\displaystyle{ z_n }[/math] מתכנסת אם ורק אם הסדרות [math]\displaystyle{ a_n,b_n }[/math] מתכנסות.
תרגילים[עריכה]
תרגיל[עריכה]
תהיינה [math]\displaystyle{ r_n,\theta_n }[/math] סדרות ממשיות, ותהי [math]\displaystyle{ z_n=r_n\text{cis}\theta_n }[/math] סדרה מרוכבת. הוכיחו שאם [math]\displaystyle{ r_n\to 0 }[/math] אז [math]\displaystyle{ z_n\to 0 }[/math].
פתרון[עריכה]
נוכיח לפי הגדרה:
[math]\displaystyle{ |z_n-0|=|z_n|=r_n\to 0 }[/math].
דוגמא[עריכה]
נסמן [math]\displaystyle{ z=\frac{2}{5}\text{cis}30 }[/math] ונתבונן בסדרה [math]\displaystyle{ z_n=z^n }[/math]. האם היא מתכנסת?
כן! [math]\displaystyle{ z_n=(\frac{2}{5}\text{cis}30)^n=(\frac{2}{5})^n\text{cis}30n }[/math]. כיון שהסדרה [math]\displaystyle{ r_n=(\frac{2}{5})^n\to 0 }[/math] נקבל שהסדרה כולה מתכנסת לאפס.
תרגיל[עריכה]
מצאו את הגבול של הסדרות הבאות:
א. [math]\displaystyle{ z_n=(2-\frac{1}{n})\text{cis}\frac{\pi}{3} }[/math].
ב. [math]\displaystyle{ z_n=(1+\frac{2}{n})^n-\sqrt[n]{n}i }[/math].
ג. [math]\displaystyle{ z_n=\frac{3n^3+2n^2+n}{4n^3+3n^2+2n+1}+\frac{\sin n}{n}i }[/math].
ד. [math]\displaystyle{ z=\frac{1}{3}+\frac{2}{3}i }[/math], והסדרה היא [math]\displaystyle{ z_n=z^n }[/math].
תרגיל[עריכה]
ראיתם את המשפט שאם סדרה מתכנסת אז גם סדרת הנורמות. מה קורה בכיוון ההפוך? נניח שסדרת הנורמות מתכנסת, האם גם הסדרה המקורית?
פתרון[עריכה]
כמובן שלא, ולא צריך בשביל זה מרוכבים. קחו את הסדרה המתחלפת [math]\displaystyle{ z_n=(-1)^n }[/math].
הערה: במרוכבים יש לנו אפילו קצת יותר מזה. נוכל לקבע את הנורמה ולמצוא סדרה עם אינסוף מספרים שונים שלא מתכנסת. לדוגמא: [math]\displaystyle{ z_n=\text{cis}n }[/math], כאשר מסתכלים על הזוית במעלות. הסדרה לא מתכנסת לאף מספר כי תמיד נעים על מעגל היחידה. לכל [math]\displaystyle{ n_0 }[/math] אפשר למצוא [math]\displaystyle{ n\gt n_0 }[/math] כך ש- [math]\displaystyle{ z_n }[/math] נמצא באיזה רביע שנרצה.