בדידה לתיכוניסטים תש"ע - שאלות ותשובות - ארכיון 4

עוצמה

• מה העוצמה של קבוצת החזקה של הטבעיים, בלי הקבוצה הריקה? ואיך אני מוכיחה את זה (אם צריך)?
• לפי משפט קנטור, העוצמה של (p(A גדולה ממש מעוצמתה של A. אם |A|=אלף0 אז יכול להיות שעוצמת (p(A היא לא אלף?

תודה מראש, מקווה לתשובה מהירה!

תשובה

• העוצמה של קבוצת החזקה של הטבעיים היא [math]\displaystyle{ \aleph }[/math]. עבור כל קבוצה אינסופית, מחיקה של מספר סופי של איבר לא משנה את העוצמה. זה נובע מכך שאם [math]\displaystyle{ k \geq \aleph_0 }[/math] ו[math]\displaystyle{ \lambda \leq k }[/math] אז [math]\displaystyle{ k+\lambda=k }[/math].

• אם [math]\displaystyle{ |A|=|B| }[/math] אזי [math]\displaystyle{ |P(A)|=|P(B)| }[/math]. Adam Chapman 22:54, 19 באוגוסט 2010 (IDT)

המשך השאלה - כבר כמה ימים שלא ענו לי, תשובה בבקשה?

תודה!

• האם זה: "עבור כל קבוצה אינסופית, מחיקה של מספר סופי של איבר לא משנה את העוצמה" משפט, או שצריך להוכיח את זה בכל פעם? והאם זה: "אם [math]\displaystyle{ k \geq \aleph_0 }[/math] ו[math]\displaystyle{ \lambda \leq k }[/math] אז [math]\displaystyle{ k+\lambda=k }[/math]" משפט?

• איך זה עונה על השאלה שלי? לפי משפט קנטור אם |A|=א0 אז [math]\displaystyle{ |P(A)| }[/math]>א0 אבל לא בהכרח א, לא?

תרגיל 4

האם קצוות של קטע פתוח שייכים לטבעיים או לממשיים (בתרגיל זה)? - ממשיים

ועוד דבר: הבנתי את הרמז, יצא לי שאם מסמנים b-a=t>=1\n (אורך קטע) ו-m מספר הקטעים שמוכלים בקטע סופי ושייכים לקבוצה אז ה-m המקסימלי הוא m=nt. אבל לא הבנתי איך זה עוזר לי, הרי זה לא אומר כלום! כי n יכול להיות שואף לאינסוף, אז m שואף לאינסוף, אז מה בעצם גיליתי? ולמה מתייחסים דווקא לאורך 1 חלקי n?

תודה מראש!

קבוצה סופית או בת מניה

אם ידוע ש-|A| קטנה או שווה לאלף 0, די ברור שמכך נובע ש-A סופית או בת מניה. האם צריך להוכיח את זה?

אי אפשר להוכיח את זה, זה ההגדרה של בת מניה!

תודה! (אני שאלתי את השאלה) ראיתי אצלי במחברת שהמרצה הגדיר קבוצה בת מניה כקבוצה שקטנה או שווה לאלף 0, וזה מה שבילבל אותי (כי בתרגיל זה אמור לצאת ש-A סופית או בת מניה) אבל המתרגל הגדיר קבוצה בת מניה כקבוצה ששווה לאלף 0. אז חיפשתי קצת בויקיפדיה וכתוב ככה: "קבוצה בת מניה היא קבוצה שעוצמתה שווה לעוצמת המספרים הטבעיים... לעתים כוללים בהגדרה זו גם את הקבוצות הסופיות". אז פשוט ההגדרה של המרצה כללה גם את הקבוצות הסופיות. לכן באמת לפי ההגדרה הזו של בת מניה אפשר להגיד ש-A סופית או בת מניה.

שאלה כללית

האם מותר לי לסמן אורך של קטע אינסופי (האם ניתן בכלל לומר שיש כזה דבר אורך של קטע אינסופי) באות כלשהיא (a for example)?

תשובה

אפשר להגיד: יהי a קרן [math]\displaystyle{ (2,\infin) }[/math]

משפט

בתרגול הזכירו שקיים משפט כלשהוא שבעזרתו ניתן לקבוע שהעוצמה של מכפלה קרטזית N*N שווה לעוצמה של N. מה המשפט?

פשוט |NxN|=א[math]\displaystyle{ _0 }[/math], זה ממש המשפט.

בעיה בפתרון של שאלה 9ב'

אני צריך למצוא פונקציה שהתחום שלה הוא הפונקציות מC לפונקציות מB ל A, והטווח שלה הוא הפונקציות ממכפלה קרטזית של B וC אל A. לשם כך אני צריך להגדיר פונקציה מC לפונקציות מB ל A, נקרא לg. כדי להגדיר את g אני צריך למצוא פונקציה, נקרא לה G, מB לA. כתבתי אותה כך: g(c) = Gc(b) עכשיו צריך להגדיר את Gc(b). הבעיה שלי היא פה- כל פונקציה Gc(b) שאני מגדיר, יוצא שאני לא רשאי להגדיר אותה כך, כי אז אני כאילו מגדיר לי מה יהיה A. (אם לא הבנתם את הניסוח), למשל, אם ניסיתי להגדיר את Gc כך: Gc(b)= (b,c)הבעיה אז היא שאני קובע שהקבוצה A תהיה מכפלה קרטזית של B וC. ונראה לי שכך קורה לכל Gc שאני מגדיר. אפשר עזרה בנוגע לאיך להתגבר על הבעיה הזאת? האם דרך החשיבה שלי נכונה או שאני צריך להיפטר לגמרי מהעניין של Gc? תודה.

תשובה

יהיו [math]\displaystyle{ |A| = k,|B| = \lambda ,|C| = \eta }[/math]. לכן, בצד שמאל: [math]\displaystyle{ \{f:C \to \{g:B \to A\}\} }[/math]. בצד הימין: [math]\displaystyle{ \{ h:B \times C \to A\} }[/math]. צריך להוכיח שקיימת התאמה חח"ע ועל בין f ל- h, כך ש- [math]\displaystyle{ h(b,c)=f(c)(b) }[/math]. (גרישה אושרוביץ')

שאלה1

האם מדובר רק על קבוצות סופיות, (שהרי הפרש קבוצות לא מוגדר בקבוצות אינסופיות)?

תשובה

לא, לא נאמר באילו קבוצות מדובר לכן הטענה נכונה עבור גם קבוצות אינסופיות. והפרש קבוצות אינסופיות כן מוגדר, מה שלא מוגדר בקבוצות אינסופיות הוא הפרש עוצמות

שאלה- אז איך ענו לי (שלוש שאלות למטה) שהפרש קבוצות אינסופיות לא מוגדר.

לא יודע מי ענה לך, אבל זה לא נכון, הפרש הוא פעולה שניתן לעשות על כל הקבוצות, לדוגמה ההפרש של קבוצת המספרים הטבעיים והמספרים הזוגיים יוצא קבוצת המספרים האי-זוגיים, למה שזה לא יהיה מוגדר?

אני חושבת ששם הוא פשוט התכוון שעוד לא למדנו את זה (למטה)..

אני חושבת שאמרו שהפרש עוצמות אין סופיות אינו מוגדר

שאלה בפונקציות

בהוכחת התכונות של חזקות של עוצמות, המרצה כתב [math]\displaystyle{ h(f,g)-\gt f\cup g }[/math] איך מוגדר איחוד של פונקציות?

תשובה

איחוד של התמונות של שתי הפונקציות.

שאלה 7

אפשר לקחת את [math]\displaystyle{ P(\N) }[/math] הפרש קבוצה ריקה ככה שזאת הקבוצה שמכילה את כל הקבוצות של הסדרות העולות?

תשובה כן. אך לצריך להוכיח שקבוצה זו באמת מכילה את כל הסדרות העולות.

שאלה כללית

אם a מוכל בb. אז a/b זה קבוצה ריקה?

כן. אבל שים לב שהפרש קבוצות לא מוגדר בקבוצות אינסופיות.

תשובה

הפרש קבוצות מוגדר הן לקבוצות סופיות, הן לאינסופיות. כמו שכבר כתוב למטה, אין נוסחאות לעומצה של הפשר קבוצות.

שאלה על עוצמות

אם יש לי משוואה כזו: [math]\displaystyle{ \left | A \right |+1=\aleph }[/math] זה גורר ש [math]\displaystyle{ \left | A \right |=\aleph }[/math] ?

תשובה

בוודאי שכן! שהרי ההגדרה של חיבור עוצמות [math]\displaystyle{ |A|+1 }[/math] הוא לקחת קבוצה, [math]\displaystyle{ B }[/math], הזרה ל-[math]\displaystyle{ A }[/math] בעלת עוצמה 1. ואז [math]\displaystyle{ |A|+1 \equiv |A \cup B| }[/math], אם [math]\displaystyle{ |A| \ne \aleph }[/math] אזי שגם העוצמה של הקבוצה [math]\displaystyle{ |A \cup B| \ne \aleph }[/math]. כיוון ש-[math]\displaystyle{ B }[/math] סופית!

שאלה בקשר ל 5 א

האם צריך לפרט את האיחודים והחיתוכים של הקבוצות שבתוך העוצמות? אם כן מותר לי לומר ישירות ש B איחוד עם C משלים שווה ל C משלים או שצריך להסביר למה? אם צריך להסביר אשמח אם מישהו יוכל לעזור לי להסביר בצורה שתתקבל כחלק מהוכחה. תודה

תשובה

כן, צריך לפרט. הטענה שלך אינה טריוויאלית וצריך להוכיח אותה. (גרישה אושרוביץ')

תשובה

זה לא תמיד נכון, למשל לקבוצות סופיות, דוגמה: [math]\displaystyle{ |C|=|\mathbb{Z^-}| }[/math],[math]\displaystyle{ |B|=|\mathbb{N}| }[/math] מתקיים [math]\displaystyle{ |B|=|C|=\aleph_0 }[/math] כמו כן מתקיים גם[math]\displaystyle{ B\cap C=\phi }[/math] אבל במקרה הזה B איחוד C משלים לא חייב ליהיות שווה C משלים, כי זה איחוד לא זר. אבל אני לא בטוח בתשובה שלי... אז אל תסתמך...

התשובה שלך שגוייה

יש טעות בדבריך המשלים של C במקרה זה הוא כל השלמים האי שליליים (או אם אני לוקח את המשלים מתוך R אז כל המספרים שאינם שלמים ושליליים) קבוצה זו בהכרח מכילה את B ולכן האיחוד בניהן יהיה שווה לC משלים... הטענה הזו היא נכונה במאה אחוזים (א זה לא ברור אפשר לראות את זה לפי דאגרמות וון בשביל להבין את הנכונות) השאלה שלי אם אני צריך להסביר את השלב הזה... אשמח לתשובה של מתרגל

שאלה 6א'

האם אפשר להגיד שאם A מוכלת בB וA אינסופית אז יש פונקציה חח"ע מA לB? ואז בהכרח B אינסופית <כלומר B לא סופית>.. הסעיף הזה די טריוויאלי, אז באיזו דרך מצפים שנוכיח אותו?

בערך כמו שאמרת, נראה לי.. (אני לא מתרגל).

תשובה

אפשר להוכיח ע"י הוכחה בשלילה. כלומר, להניח בשלילה כי B סופית ולמצוא סתירה. (גרישה אושרוביץ')

שאלה 6ד'

אפשר להשתמש בסעיף ג' כדי להוכיח? ואם לא- מה אם B קבוצה ריקה-לא נקבל שיש רק פונקציה אחת בקבוצת הפונקציות?

תשובה

כן. צריך להניח כי B קבוצה לא ריקה. (גרישה אושרוביץ')

שאלה על עוצמות

A|+|B|=|D|+|C| נתון העוצמה של B שווה לעוצמה של C. האם העוצמה של D שווה לעוצמה של A?

לא בהכרח למשל א+1=א+2=א אבל 2לא שווה ל-1...

שאלה 3

אפשר להוכיח ע"י דוגמא? כי מבקשים להראות שקיימת, אז אם אני מראה שיש לפחות פונקציה אחת כזו זה מספיק?

תשובה

אתה צריך להוכיח שלכל |A|=|B| יש פונקציה חח"ע שהיא לא על, כלומר אם אתה נותן דוגמה עבור |A|=|B| כלשהם זה לא מספיק(אלא אם כן אתה מתכוון לתת דוגמה עבור כל |A|=|B| שזה כידוע לך בלתי אפשרי...) כלומר אם ברצונך להוכיח את המשפט אתה חייב לעשות את זה באופן כללי, אבל להפריך אתה יכול בעזרת דוגמה...

זאת את, ותודה רבה :)

שאלה כללית

מה העוצמה של חיבור של [math]\displaystyle{ \aleph_0 }[/math] קבוצות כאשר כל קבוצה עוצמתה [math]\displaystyle{ \aleph }[/math]? (כולן זרות)

זה כמו א כפול אלף אפס שווה לאלף

תכונות של חזקת עוצמות

אחד המתרגלים יכול להעלות הוכחה לכל התכונות של חזקת עוצמות?

אומנם שי הוכיח את התכונות בהרצאה אך בצורה מאוד לא מפורטת...תודה!

שאלה 9ב' *עדיין צריך עזרה בבקשה*

האם מותר לי להגדיר פו' g מ-C ל-A בחזקת B (הפו' מB לA) ע"י כך ש(קראו לאט, הניסוח אולי מסובך) g(c) = Gc(b) a (הוספתי את הa כדי לתקן את הבעיות בעברית-אנגלית, הוא לא אמור להיות שם) כאשר Gc היא פו' מB לA ומוגדרת ע"י Gc(b) = b*c ? מותר לי להגדיר ככה את הפונקציות, או שאולי אסור להגדיר אותן ככה כי אז אני מניח שהקבוצה A היא קבוצת המכפלות של איברים מB ומC? תודה.

איפה נמצא תרגיל 10א?

מה לא מספיק לך ב' ג' וד'?

שאלה 3

(האם מדובר בקבוצות אינסופיות), אם אני נותן דוג' נגדית של קבוצה סופית, האם זאת הפרכה או שצריך להראות גם בקבוצות אינסופיות

תשובה

לא הוגדר בשום מקום את גודל הקבוצות, לכן אתה רשאי להניח כל סוגי הקבוצות בדוגמא נגדית. (גרישה אושרוביץ')

שאלה כללית

כמה פונקציות יש מקבוצה ריקה לקבוצה לא ריקה?

1 (זו הפונקציה הריקה).

שאלה 6,7

בשאלה 6 א',ב' אפשר פשוט להגיד שהעוצמה של A קטנה או שווה לעוצמה של B ולכן בB צריכים ליהיות אינסוף איברים?מה זה סדרה עולה?

תשובה

• שאלה 6: לא, צריך להראות זאת במפורש, כלומר להוכיח ש-B לא יכולה להיות קב' סופית.
• שאלה 7: ראה תשובה למטה.

(גרישה אושרוביץ')

שאלה

האם [math]\displaystyle{ |A \setminus B | = |A | - |A \cap B | }[/math] נכון בעבור עוצמות?

מותר לי להשתמש בזה בלי לנמק?

תשובה

לא. זה כלל לא נכון לגבי עוצמות. לא הגדרנו כלל את סימן המינוס בעוצמות (למעט עוצמות סופיות) קח לדוגמא את [math]\displaystyle{ A=\mathbb{Q} }[/math] ו[math]\displaystyle{ B=\mathbb{N} }[/math], אז לכאורה לפי הטענה שלך, [math]\displaystyle{ |A \setminus B|=\aleph_0-\aleph_0=0 }[/math]?Adam Chapman 00:35, 16 באוגוסט 2010 (IDT)

שאלה 5

מה ההגדרה של הפרש עוצמות?

תשובה

לא הגדרנו הפרש עוצמות. בשאלה 5 מופיעה העוצמה של הפרש קבוצות. הפרש קבוצות הגדרנו. ההפרש כשלעצמו הוא קבוצה שיש לה עוצמה. Adam Chapman 11:13, 16 באוגוסט 2010 (IDT)

מה זה הפרש קבוצות-a\b ?

[math]\displaystyle{ A\setminus B=A-B=A\cap \overline B }[/math]

שאלה 8

איך יודעים מה ההבדל בין גדולה "סתם" לגדולה "ממש"?

תשובה: גדולה ממש זה גדולה ולא שווה. [math]\displaystyle{ |A|\lt |B| }[/math] בתרגיל הנ"ל מבקשים קבוצה שעוצמת גדולה מעוצמת הרצף ובנוסף שלא תהיה שווה לה.

צריך להוכיח?

האם צריך להוכיח ש-[math]\displaystyle{ |A\setminus B|\le|A| }[/math] לכל שתי קבוצות A,B, או שזה נחשב טריוויאלי?

תשובה

זה נובע מכך ש[math]\displaystyle{ A \setminus B \subseteq A }[/math] ולכן זה די טריוויאלי. כעיקרון אפשר להעיר בקצרה ואין צורך ממש להוכיח את זה על מנת להשתמש בעובדה הזו אלא אם זה מה שאתם מתבקשים להוכיח. Adam Chapman 20:40, 15 באוגוסט 2010 (IDT)

שאלות 4,6,7,8 ושאלה כללית על שאלות 1,3,5,9,10

• בשאלה 4: לא הבנתי את הרמז, מה זה [math]\displaystyle{ 1/n }[/math]? ומהו הישר הממשי?
• בשאלה 6-ד': מהי הקבוצה B? (אינסופית/סופית? האם היא יכולה להיות קבוצה ריקה?)
• בשאלה 7: מהי קבוצת כל הסדרות העולות של המספרים הטבעיים?
• בשאלה 8: מהי עוצמת הרצף?
• שאלה כללית: העוצמות הכלליות שיש בשאלות שבתרגיל זה הן אינסופיות או סופיות (כמו העוצמות בשאלות 1,3,5,9,10)

תשובה

• שאלה 4: הישר הממשי הוא דימוי הניתן לקבוצה [math]\displaystyle{ \R }[/math] שהיא קבוצת כל המספרים הממשיים. לדוגמא, ציר ה- x: [math]\displaystyle{ (-\infin,\infin) }[/math]
• שאלה 6: אם לא נתון אפיון של B, תבדוק את כל האפשרויות.
• שאלה 7: סדרות של מספרים טבעיים בהן איבר ה-n-י גדול מהאיבר ה- n-1. למשל: {...,1,2,3,4,5} או {...,10,20,40,80}
• שאלה 8: עוצמת הרצף היא העוצמה של המספרים הממשיים. עוצמת הרצף מסומנת באות [math]\displaystyle{ \aleph }[/math].
• שאלה כללית: אם לא נאמר אחרת, עוצמה יכולה להיות כלשהי.

(גרישה אושרוביץ')

תרגיל 4 שאלה 4

מהו הישר הממשי? תודה, גל.

שאלה 5

בסעיף א', מתכוונים ל |a|-|b| = |a| - |c| במקום ל |a-b| = |a-c| לא? כי אין דבר כזה הפרש בין קבוצות (הפרש עם קו אנכי)..?

[math]\displaystyle{ A-B=A\setminus B }[/math] לכל שתי קבוצות A,B. אלה שני סימונים שונים להפרש קבוצות.

תשובה

הכוונה ל- [math]\displaystyle{ |A\setminus B|=|A\setminus C| }[/math] (גרישה אושרוביץ')

חיתוך

אם ידוע לי ש-[math]\displaystyle{ A\setminus B=A\setminus C }[/math] אני יכולה להסיק מזה שB=C?

לא: [math]\displaystyle{ A=\{1,2\}\and B=\{1\}\and C=\{0,1\}\implies A\setminus B=\{1,2\}\setminus\{1\}=\{2\}=\{1,2\}\setminus\{0,1\}=A\setminus C }[/math]

התבלבלתי זה היה אמור להיות שB וC מוכלים בA.. ואז אני חושבת שזה נכון. אבל תודה :)

אם [math]\displaystyle{ B,C\subseteq A }[/math] אז

[math]\displaystyle{ \begin{align}&A\setminus B=A\setminus C\\\implies&A\cap B'=A\cap C'\\\implies&A'\cup(A\cap B')=A'\cup(A\cap C')\\\implies&(A'\cup A)\cap(A'\cup B')=(A'\cup A)\cap(A'\cup C')\\\implies&(A\cap B)'=(A\cap C)'\\\implies&A\cap B=A\cap C\\\implies&B=C\qquad\Big(\text{because }B,C\subseteq A\Big)\\\blacksquare\end{align} }[/math]

תודה!