גבול פונקציה

חזרה לפונקציות

כאשר למדנו גבולות של סדרות, היה רק כיוון אחד להתקדמות הסדרה - האינדקס שאף לאינסוף דרך הטבעיים. כאשר מדובר על פונקציה, [math]\displaystyle{ x }[/math] יכול לשאוף לכל מספר ממשי וגם לפלוס ומינוס אינסוף. בנוסף הוא עשוי לשאוף אליהם דרך מספרים רציונאליים, אי רציונאליים או גם וגם. עלינו להתאים את הגדרת הגבול של פונקציה בהתאם.

גבול פונקציה לפי קושי

הגדרה.

[math]\displaystyle{ L }[/math] נקרא הגבול של [math]\displaystyle{ f }[/math] בנקודה [math]\displaystyle{ a }[/math] אם [math]\displaystyle{ f }[/math] מוגדרת בסביבה מנוקבת של [math]\displaystyle{ a }[/math] וגם לכל [math]\displaystyle{ \varepsilon\gt 0 }[/math] קיים [math]\displaystyle{ \delta\gt 0 }[/math] כך שלכל [math]\displaystyle{ 0\lt |x-a|\lt \delta }[/math] מתקיים [math]\displaystyle{ \Big|f(x)-L\Big|\lt \varepsilon }[/math] .

(הערה: סביבה מנוקבת של [math]\displaystyle{ a }[/math] הנה סביבה של [math]\displaystyle{ a }[/math] שמוציאים ממנה את [math]\displaystyle{ a }[/math] .)

הסבר ההגדרה: לכל מרחק על ציר [math]\displaystyle{ y }[/math] שנבחר (אפסילון) יש מרחק על ציר [math]\displaystyle{ x }[/math] (דלתא) כך שאם הנקודות על ציר [math]\displaystyle{ x }[/math] קרובות מספיק ל-[math]\displaystyle{ a }[/math] אזי הפונקציה עליהן קרובה מספיק ל-[math]\displaystyle{ L }[/math] .

תרגיל.

הוכח לפי ההגדרה כי [math]\displaystyle{ \lim\limits_{x\to2}\dfrac{(x+2)(x+4)}{x+1}=8 }[/math]

פתרון

יהי [math]\displaystyle{ \varepsilon\gt 0 }[/math] . צריך להוכיח כי קיים [math]\displaystyle{ \delta\gt 0 }[/math] , כך שאם [math]\displaystyle{ 0\lt |x-2|\lt \delta }[/math] אזי מתקיים [math]\displaystyle{ \left|\dfrac{(x+2)(x+4)}{x+1}-8\right|\lt \varepsilon }[/math]

נפתח את הביטוי:

[math]\displaystyle{ \left|\frac{(x+2)(x+4)}{x+1}-8\right|=\left|\frac{x^2+6x+8-8x-8}{x+1}\right|=\left|\frac{x^2-2x}{x+1}\right|=\left|\frac{x(x-2)}{x+1}\right| }[/math]

אנו רואים כי כאשר [math]\displaystyle{ x\to2 }[/math] המונה שואף ל-0 והמכנה ל-3. נרצה, אם כך, לחסום את המכנה מלמטה על-ידי קבוע גדול מ-0, כך נוכל להקטין את המכנה, ולהגדיל את הביטוי.

כאשר [math]\displaystyle{ \delta\lt 1 }[/math] , עבור [math]\displaystyle{ 0\lt |x-2|\lt \delta\lt 1 }[/math] מתקיים [math]\displaystyle{ 2\lt x+1 }[/math] ולכן:

[math]\displaystyle{ \left|\dfrac{x(x-2)}{x+1}\right|\lt \dfrac{|x(x-2)|}{2} }[/math]

כמו כן, מתקיים [math]\displaystyle{ x\lt 3 }[/math] ולכן:

[math]\displaystyle{ \left|\dfrac{x(x-2)}{x+1}\right|\lt \dfrac{3|x-2|}{2}\lt \dfrac32\delta }[/math]

לסיכום, קיים דלתא כך ש- [math]\displaystyle{ \delta\lt 1 }[/math] וגם [math]\displaystyle{ \delta\lt \dfrac23\varepsilon }[/math] עבורו מתקיים:

[math]\displaystyle{ \left|\dfrac{(x+2)(x+4)}{x+1}-8\right|\lt \dfrac32\delta=\varepsilon }[/math]

גבול פונקציה לפי היינה

בהגדרת קושי לגבול פונקציה הכללנו את הרעיון של גבול של סדרה, אך לא השתמשנו בו. בהגדרת הגבול לפי היינה נסתמך על הגדרת הגבול של סדרה.

הגדרה. [math]\displaystyle{ L }[/math] נקרא הגבול של [math]\displaystyle{ f }[/math] בנקודה [math]\displaystyle{ a }[/math] אם [math]\displaystyle{ f }[/math] מוגדרת בסביבה מנוקבת של [math]\displaystyle{ a }[/math] וגם לכל סדרה [math]\displaystyle{ x_n }[/math] המקיימת את שני התנאים הבאים:

• [math]\displaystyle{ \forall n:x_n\ne a }[/math]
• [math]\displaystyle{ \lim_{n\to\infty}x_n=a }[/math] (כאשר זהו גבול של סדרות)

מתקיים כי הסדרה [math]\displaystyle{ f(x_n) }[/math] שואפת ל- [math]\displaystyle{ L }[/math] (שוב, גבול של סדרות).

תרגיל.

הוכח כי [math]\displaystyle{ \lim\limits_{x\to x_0}ax^k=ax_0^k }[/math]

פתרון. לכל סדרה [math]\displaystyle{ x_0\ne x_n\to x_0 }[/math] מתקיים לפי אריתמטיקת גבולות של סדרות כי

[math]\displaystyle{ ax^k=a\cdot x\cdots x\to a\cdot x_0\cdots x_0=ax_0^k }[/math]

מסקנה. קל להראות כי לכל פולינום p מתקיים [math]\displaystyle{ \lim\limits_{x\to x_0}p(x)=p(x_0) }[/math]

תרגיל.

הוכח כי לא קיים הגבול [math]\displaystyle{ \lim\limits_{x\to 0}\sin(e^{\frac{1}{x}}) }[/math]

הוכחה. נראה כי קיימות סדרות

[math]\displaystyle{ 0\ne x_k,y_k\to 0 }[/math]

כך ש-

[math]\displaystyle{ \lim f(x_k)\ne\lim f(y_k) }[/math]

נזכר בעובדה שלכל מספר שלם k מתקיים:

[math]\displaystyle{ \sin\left(\frac{\pi}{2}+2\pi k\right)=1 }[/math]

[math]\displaystyle{ \sin\left(\frac{3\pi}{2}+2\pi k\right)=-1 }[/math]

נרצה סדרה המקיימת

[math]\displaystyle{ e^\frac{1}{x_k}=\frac{\pi}{2}+2\pi k }[/math]

ולכן ניקח

[math]\displaystyle{ x_k=\frac{1}{\ln\Big(\frac{\pi}{2}+2\pi k\Big)} }[/math]

באופן דומה ניקח

[math]\displaystyle{ y_k=\frac{1}{\ln\Big(\frac{3\pi}{2}+2\pi k\Big)} }[/math]

ואז נקבל

[math]\displaystyle{ \lim f(x_k)=1\ne -1=\lim f(y_k) }[/math]

גבולות ידועים

[math]\displaystyle{ \lim_{x\to 0}\frac{\sin(x)}{x}=1 }[/math]

[math]\displaystyle{ \lim_{x\to 0}\frac{1-\cos(x)}{x}=0 }[/math]

[math]\displaystyle{ \lim_{x\to 0}\frac{1-\cos(x)}{x^2}=\frac{1}{2} }[/math]

[math]\displaystyle{ \lim_{x\to 0}\frac{\ln(1+x)}{x}=1 }[/math]

דוגמאות

חשב את הגבולות הבאים:

• [math]\displaystyle{ \lim_{x\to 0}\frac{1-\cos(x)}{\sin(x)} }[/math]

פתרון:

[math]\displaystyle{ \lim_{x\to 0}\frac{1-\cos(x)}{\sin(x)}=\lim_{x\to 0}\frac{1-\cos(x)}{\sin(x)}\cdot\frac{x}{x}=\lim_{x\to 0}\frac{1-\cos(x)}{x}\frac{x}{\sin(x)}=0\cdot 1=0 }[/math]

• [math]\displaystyle{ \lim_{x\to 0}\frac{5x^2+2x}{3x^3+2x^2+x} }[/math]

פתרון:

[math]\displaystyle{ \lim_{x\to 0}\frac{5x^2+2x}{3x^3+2x^2+x}=\lim_{x\to 0}\frac{x(5x+2)}{x(3x^2+2x+1)}=\lim_{x\to 0}\frac{5x+2}{3x^2+2x+1}=2 }[/math]

הערה: שימו לב שכאשר המשתנה שואף לאפס, החזקה המשמעותית היא דווקא הנמוכה בניגוד לכאשר המשתנה שואף לאינסוף.

• [math]\displaystyle{ \lim_{x\to\infty}x\sin\left(\tfrac{1}{x}\right) }[/math]

פתרון: נבצע הצבה [math]\displaystyle{ y=\frac{1}{x} }[/math] ולכן זה בעצם שווה לגבול

[math]\displaystyle{ \lim_{x\to\infty}x\sin\left(\tfrac{1}{x}\right)=\lim_{y\to 0^+}\frac{\sin(y)}{y}=1 }[/math]

• [math]\displaystyle{ \lim_{x\to 0}x\sin\left(\tfrac{1}{x}\right) }[/math]

פתרון: שואפת לאפס כפול חסומה, לכן הגבול הנו [math]\displaystyle{ 0 }[/math] .

• [math]\displaystyle{ f(x)=\begin{cases}x^2 & x\in\Q \\ 0 & x\notin\Q\end{cases} }[/math]

הראנו בסרטון על הגדרת הגבול לפי סדרות (לעיל) כי גבול פונקציה זו קיים אך ורק בנקודה [math]\displaystyle{ 0 }[/math] וערכו שם הוא [math]\displaystyle{ 0 }[/math] .