גבול פונקציה

חדו"א 1 › פרק 4: פונקציות ורציפות › 4.2 הגדרת הגבול לפי קושי

בקצרה: גבול פונקציה (גבול של פונקציה), שמסמנים [math]\displaystyle{ \lim_{x\to x_0}f(x)=L }[/math], מתאר לאן הולכים ערכי הפונקציה כש [math]\displaystyle{ x }[/math] מתקרב ל־[math]\displaystyle{ x_0 }[/math], ולא מה קורה ב־[math]\displaystyle{ x_0 }[/math] עצמו: הערך בנקודה אינו משפיע על הגבול, והפונקציה אפילו לא חייבת להיות מוגדרת בה. יש לכך שתי הגדרות שקולות: הגדרת הגבול לפי קושי (אפסילון-דלתא), שבה לכל סביבה של [math]\displaystyle{ L }[/math] בציר [math]\displaystyle{ y }[/math] צריך למצוא סביבה מנוקבת של [math]\displaystyle{ x_0 }[/math] בציר [math]\displaystyle{ x }[/math] שכל ערכי הפונקציה עליה נמצאים בסביבה של [math]\displaystyle{ L }[/math], והגדרת הגבול לפי היינה (סטודנטים קוראים לה "משפט היינה"), שבה מציבים בפונקציה כל סדרה ששואפת ל־[math]\displaystyle{ x_0 }[/math] ושונה ממנו, ובודקים שתמיד מתקבלת סדרה ששואפת ל־[math]\displaystyle{ L }[/math]. בזכות הגדרת היינה רוב משפטי הסדרות (חשבון גבולות, סנדוויץ', אפסה כפול חסומה) עוברים לפונקציות, ושתי סדרות שנותנות גבולות שונים מוכיחות שאין גבול. אותן הגדרות מתארות גם גבול חד-צדדי (רק מימין או רק משמאל), גבול אינסופי וגבול כש [math]\displaystyle{ x\to\pm\infty }[/math]; גבול סופי [math]\displaystyle{ a }[/math] כש [math]\displaystyle{ x\to\infty }[/math] פירושו שהישר [math]\displaystyle{ y=a }[/math] הוא אסימפטוטה אופקית (מימין) של הגרף.

כאשר למדנו גבולות של סדרות, היה רק כיוון אחד להתקדמות הסדרה: האינדקס שאף לאינסוף דרך הטבעיים. כאשר מדובר על פונקציה, [math]\displaystyle{ x }[/math] יכול לשאוף לכל מספר ממשי וגם לפלוס ומינוס אינסוף, והוא עשוי לשאוף אליהם דרך מספרים רציונליים, אי-רציונליים או גם וגם. לכן צריך להתאים את הגדרת הגבול: בדף הזה שתי ההגדרות מהקורס, לפי קושי (אפסילון-דלתא) ולפי היינה (בעזרת סדרות), והן שקולות.

▶ ההרצאה: גבול של פונקציה

הגדרת הגבול לפי קושי

▶ ההרצאה: הגדרת הגבול לפי קושי

שתי ההגדרות של [math]\displaystyle{ \lim_{x\to x_0}f(x)=L }[/math] על אותה פונקציה. הערך בנקודה עצמה, [math]\displaystyle{ f(x_0) }[/math] (הנקודה המלאה), שונה מ־[math]\displaystyle{ L }[/math] ואינו משפיע על הגבול (העיגול הריק הוא הנקודה [math]\displaystyle{ (x_0,L) }[/math]). בחלק השמאלי, קושי: לסביבה [math]\displaystyle{ (L-\varepsilon,L+\varepsilon) }[/math] בציר [math]\displaystyle{ y }[/math] (הרצועה הכחולה) מתאימה סביבה [math]\displaystyle{ (x_0-\delta,x_0+\delta) }[/math] בציר [math]\displaystyle{ x }[/math] (הרצועה האפורה), כך שלכל [math]\displaystyle{ x\ne x_0 }[/math] בה הערך [math]\displaystyle{ f(x) }[/math] נמצא ברצועה הכחולה (הקטע המודגש של הגרף). מימין ל־[math]\displaystyle{ x_0 }[/math] הגרף יוצא מהרצועה הכחולה קרוב יותר ל־[math]\displaystyle{ x_0 }[/math] מאשר משמאל, ולכן הצד הימני קובע את [math]\displaystyle{ \delta }[/math]; לרצועה כחולה צרה יותר יידרש [math]\displaystyle{ \delta }[/math] קטן יותר. בחלק הימני, היינה: מציבים בפונקציה סדרה [math]\displaystyle{ a_n\to x_0 }[/math] שאיבריה שונים מ־[math]\displaystyle{ x_0 }[/math] (כאן [math]\displaystyle{ a_n=x_0+(-1)^{n+1}\frac{2.2}{n} }[/math], לסירוגין משני הצדדים), והערכים [math]\displaystyle{ f(a_n) }[/math] בציר [math]\displaystyle{ y }[/math] שואפים ל־[math]\displaystyle{ L }[/math]. לפי ההגדרה זה צריך לקרות לכל סדרה כזו.

הגדרה 4.2.1סביבות▶ סרטון 5:50

• יהיו [math]\displaystyle{ c\in\mathbb R }[/math] ו־[math]\displaystyle{ \varepsilon>0 }[/math]. הקטע [math]\displaystyle{ (c-\varepsilon,c+\varepsilon) }[/math] נקרא סביבה של [math]\displaystyle{ c }[/math].
• יהיו [math]\displaystyle{ c\in\mathbb R }[/math] ו־[math]\displaystyle{ \delta>0 }[/math]. הקבוצה [math]\displaystyle{ \{x\in\mathbb R\mid 0\ne|x-c|<\delta\} }[/math], כלומר הקטע [math]\displaystyle{ (c-\delta,c+\delta) }[/math] בלי הנקודה [math]\displaystyle{ c }[/math], נקראת סביבה מנוקבת של [math]\displaystyle{ c }[/math].
• יהיו [math]\displaystyle{ c\in\mathbb R }[/math] ו־[math]\displaystyle{ \delta>0 }[/math]. הקטע [math]\displaystyle{ (c,c+\delta) }[/math] נקרא סביבה ימנית מנוקבת של [math]\displaystyle{ c }[/math], והקטע [math]\displaystyle{ (c-\delta,c) }[/math] נקרא סביבה שמאלית מנוקבת של [math]\displaystyle{ c }[/math].
• יהי [math]\displaystyle{ M>0 }[/math]. הקרן [math]\displaystyle{ (M,\infty) }[/math] נקראת סביבה של [math]\displaystyle{ \infty }[/math].
• יהי [math]\displaystyle{ M>0 }[/math]. הקרן [math]\displaystyle{ (-\infty,-M) }[/math] נקראת סביבה של [math]\displaystyle{ -\infty }[/math].
• סביבה מנוקבת של [math]\displaystyle{ \infty }[/math] היא סביבה של [math]\displaystyle{ \infty }[/math], וסביבה מנוקבת של [math]\displaystyle{ -\infty }[/math] היא סביבה של [math]\displaystyle{ -\infty }[/math].

במילים: סביבות של הגבול [math]\displaystyle{ L }[/math] לוקחים בציר [math]\displaystyle{ y }[/math], וסביבות מנוקבות של [math]\displaystyle{ x_0 }[/math] לוקחים בציר [math]\displaystyle{ x }[/math]. סביבה של [math]\displaystyle{ \infty }[/math] היא "החל ממספר ממשי מסוים לנצח"; אין צורך לנקב אותה, כי אינסוף אינו נקודה על הציר.

הגדרה 4.2.2גבול של פונקציה לפי קושי (לפי סביבות)▶ סרטון 5:50

יהי [math]\displaystyle{ L\in\mathbb R\cup\{\pm\infty\} }[/math].

• יהי [math]\displaystyle{ x_0\in\mathbb R\cup\{\pm\infty\} }[/math] ותהי [math]\displaystyle{ f }[/math] פונקציה. אומרים ש [math]\displaystyle{ L }[/math] הוא הגבול של [math]\displaystyle{ f }[/math] כאשר [math]\displaystyle{ x }[/math] שואף ל־[math]\displaystyle{ x_0 }[/math], ומסמנים [math]\displaystyle{ \lim_{x\to x_0}f(x)=L }[/math], אם לכל סביבה [math]\displaystyle{ V }[/math] של [math]\displaystyle{ L }[/math] קיימת סביבה מנוקבת [math]\displaystyle{ U }[/math] של [math]\displaystyle{ x_0 }[/math] כך שלכל [math]\displaystyle{ x\in U }[/math] מתקיים [math]\displaystyle{ f(x)\in V }[/math].
• יהי [math]\displaystyle{ x_0\in\mathbb R }[/math] ותהי [math]\displaystyle{ f }[/math] פונקציה. אומרים ש [math]\displaystyle{ L }[/math] הוא הגבול מימין של [math]\displaystyle{ f }[/math] ב־[math]\displaystyle{ x_0 }[/math], ומסמנים [math]\displaystyle{ \lim_{x\to x_0^+}f(x)=L }[/math], אם לכל סביבה [math]\displaystyle{ V }[/math] של [math]\displaystyle{ L }[/math] קיימת סביבה ימנית מנוקבת [math]\displaystyle{ U }[/math] של [math]\displaystyle{ x_0 }[/math] כך שלכל [math]\displaystyle{ x\in U }[/math] מתקיים [math]\displaystyle{ f(x)\in V }[/math].
• יהי [math]\displaystyle{ x_0\in\mathbb R }[/math] ותהי [math]\displaystyle{ f }[/math] פונקציה. אומרים ש [math]\displaystyle{ L }[/math] הוא הגבול משמאל של [math]\displaystyle{ f }[/math] ב־[math]\displaystyle{ x_0 }[/math], ומסמנים [math]\displaystyle{ \lim_{x\to x_0^-}f(x)=L }[/math], אם לכל סביבה [math]\displaystyle{ V }[/math] של [math]\displaystyle{ L }[/math] קיימת סביבה שמאלית מנוקבת [math]\displaystyle{ U }[/math] של [math]\displaystyle{ x_0 }[/math] כך שלכל [math]\displaystyle{ x\in U }[/math] מתקיים [math]\displaystyle{ f(x)\in V }[/math].

הגדרה 4.2.3אסימפטוטה אופקית▶ סרטון 4:22

תהי [math]\displaystyle{ f }[/math] פונקציה ויהי [math]\displaystyle{ a\in\mathbb R }[/math]. אומרים שהישר [math]\displaystyle{ y=a }[/math] הוא אסימפטוטה אופקית מימין של [math]\displaystyle{ f }[/math] אם [math]\displaystyle{ \lim_{x\to\infty}f(x)=a }[/math].

הסבר ההגדרה: לכל מרחק על ציר [math]\displaystyle{ y }[/math] שנבחר (אפסילון) יש מרחק על ציר [math]\displaystyle{ x }[/math] (דלתא), כך שאם הנקודות על ציר [math]\displaystyle{ x }[/math] קרובות מספיק ל־[math]\displaystyle{ a }[/math], אזי ערכי הפונקציה עליהן קרובים מספיק ל־[math]\displaystyle{ L }[/math]. (סביבה מנוקבת של [math]\displaystyle{ a }[/math] היא סביבה של [math]\displaystyle{ a }[/math] שמוציאים ממנה את [math]\displaystyle{ a }[/math] עצמה.)

▶ סרטון נוסף: גבול פונקציה לפי קושי

תרגיל פתור: הוכיחו לפי ההגדרה כי [math]\displaystyle{ \lim\limits_{x\to2}\frac{(x+2)(x+4)}{x+1}=8 }[/math].

יהי [math]\displaystyle{ \varepsilon>0 }[/math]. צריך למצוא [math]\displaystyle{ \delta>0 }[/math] כך שאם [math]\displaystyle{ 0<|x-2|<\delta }[/math], אזי [math]\displaystyle{ \left|\frac{(x+2)(x+4)}{x+1}-8\right|<\varepsilon }[/math].

נפתח את הביטוי:

[math]\displaystyle{ \left|\frac{(x+2)(x+4)}{x+1}-8\right| }[/math]
[math]\displaystyle{ =\left|\frac{x^2+6x+8-8x-8}{x+1}\right| }[/math]
[math]\displaystyle{ =\left|\frac{x(x-2)}{x+1}\right| }[/math]

כאשר [math]\displaystyle{ x\to2 }[/math] המונה שואף ל־[math]\displaystyle{ 0 }[/math] והמכנה ל־[math]\displaystyle{ 3 }[/math]. נחסום את המכנה מלמטה על-ידי קבוע חיובי, וכך נחסום את הביטוי מלמעלה.

אם [math]\displaystyle{ 0<|x-2|<1 }[/math], אזי [math]\displaystyle{ 1<x<3 }[/math], ולכן [math]\displaystyle{ x+1>2 }[/math] ו־[math]\displaystyle{ |x|<3 }[/math]. מכאן

[math]\displaystyle{ \left|\frac{x(x-2)}{x+1}\right|<\frac{3|x-2|}{2} }[/math]

ניקח [math]\displaystyle{ \delta=\min\left\{1,\frac{2}{3}\varepsilon\right\} }[/math]. אז לכל [math]\displaystyle{ x }[/math] המקיים [math]\displaystyle{ 0<|x-2|<\delta }[/math]:

[math]\displaystyle{ \left|\frac{(x+2)(x+4)}{x+1}-8\right|<\frac{3}{2}\delta\le\varepsilon }[/math]

הגדרת הגבול לפי היינה

▶ ההרצאה: הגדרת הגבול לפי היינה

הגדרה 4.3.1גבול של פונקציה לפי היינה▶ סרטון 1:05

יהיו [math]\displaystyle{ x_0,L\in\mathbb R\cup\{\pm\infty\} }[/math] ותהי [math]\displaystyle{ f }[/math] פונקציה. אומרים ש [math]\displaystyle{ \lim_{x\to x_0}f(x)=L }[/math] אם לכל סדרה [math]\displaystyle{ a_n }[/math] המקיימת [math]\displaystyle{ a_n\ne x_0 }[/math] לכל [math]\displaystyle{ n\in\mathbb N }[/math] ו־[math]\displaystyle{ a_n\to x_0 }[/math], מתקיים [math]\displaystyle{ f(a_n)\to L }[/math]:

[math]\displaystyle{ \displaystyle \forall a_n:\ \ \big(\forall n\in\mathbb N:\ a_n\ne x_0\big)\ \wedge\ a_n\to x_0\ \Longrightarrow\ f(a_n)\to L . }[/math]

הגדרה 4.3.2גבולות חד-צדדיים לפי היינה▶ סרטון 2:08

יהיו [math]\displaystyle{ x_0\in\mathbb R }[/math] ו־[math]\displaystyle{ L\in\mathbb R\cup\{\pm\infty\} }[/math], ותהי [math]\displaystyle{ f }[/math] פונקציה.

• גבול מימין: אומרים ש [math]\displaystyle{ \lim_{x\to x_0^+}f(x)=L }[/math] אם לכל סדרה [math]\displaystyle{ a_n }[/math] המקיימת [math]\displaystyle{ a_n>x_0 }[/math] לכל [math]\displaystyle{ n\in\mathbb N }[/math] ו־[math]\displaystyle{ a_n\to x_0 }[/math], מתקיים [math]\displaystyle{ f(a_n)\to L }[/math].
• גבול משמאל: אומרים ש [math]\displaystyle{ \lim_{x\to x_0^-}f(x)=L }[/math] אם לכל סדרה [math]\displaystyle{ a_n }[/math] המקיימת [math]\displaystyle{ a_n<x_0 }[/math] לכל [math]\displaystyle{ n\in\mathbb N }[/math] ו־[math]\displaystyle{ a_n\to x_0 }[/math], מתקיים [math]\displaystyle{ f(a_n)\to L }[/math].

משפט 4.3.3שקילות הגדרות קושי והיינה▶ סרטון 2:27

יהי [math]\displaystyle{ L\in\mathbb R\cup\{\pm\infty\} }[/math] ותהי [math]\displaystyle{ f }[/math] פונקציה.

• יהי [math]\displaystyle{ x_0\in\mathbb R\cup\{\pm\infty\} }[/math]. אזי [math]\displaystyle{ \lim_{x\to x_0}f(x)=L }[/math] לפי קושי אם ורק אם [math]\displaystyle{ \lim_{x\to x_0}f(x)=L }[/math] לפי היינה.
• יהי [math]\displaystyle{ x_0\in\mathbb R }[/math]. אזי [math]\displaystyle{ \lim_{x\to x_0^+}f(x)=L }[/math] לפי קושי אם ורק אם [math]\displaystyle{ \lim_{x\to x_0^+}f(x)=L }[/math] לפי היינה.
• יהי [math]\displaystyle{ x_0\in\mathbb R }[/math]. אזי [math]\displaystyle{ \lim_{x\to x_0^-}f(x)=L }[/math] לפי קושי אם ורק אם [math]\displaystyle{ \lim_{x\to x_0^-}f(x)=L }[/math] לפי היינה.

מסקנה 4.3.4העברת משפטי הסדרות לפונקציות▶ סרטון 3:50

יהי [math]\displaystyle{ x_0\in\mathbb R\cup\{\pm\infty\} }[/math], תהיינה [math]\displaystyle{ f,g,h }[/math] פונקציות, ותהי [math]\displaystyle{ U }[/math] סביבה מנוקבת של [math]\displaystyle{ x_0 }[/math].

• חשבון גבולות: אם [math]\displaystyle{ \lim_{x\to x_0}f(x)=L_1 }[/math] ו־[math]\displaystyle{ \lim_{x\to x_0}g(x)=L_2 }[/math], כאשר [math]\displaystyle{ L_1,L_2\in\mathbb R }[/math], אזי
  • (א) [math]\displaystyle{ \lim_{x\to x_0}\big(f(x)+g(x)\big)=L_1+L_2 }[/math];
  • (ב) [math]\displaystyle{ \lim_{x\to x_0}\big(f(x)\cdot g(x)\big)=L_1\cdot L_2 }[/math];
  • (ג) אם בנוסף [math]\displaystyle{ L_2\ne0 }[/math], אזי [math]\displaystyle{ \lim_{x\to x_0}\frac{f(x)}{g(x)}=\frac{L_1}{L_2} }[/math].
• סנדוויץ': אם [math]\displaystyle{ f(x)\le g(x)\le h(x) }[/math] לכל [math]\displaystyle{ x\in U }[/math], ו־[math]\displaystyle{ \lim_{x\to x_0}f(x)=\lim_{x\to x_0}h(x)=L }[/math] עבור [math]\displaystyle{ L\in\mathbb R }[/math], אזי [math]\displaystyle{ \lim_{x\to x_0}g(x)=L }[/math].
• אפסה כפול חסומה: אם [math]\displaystyle{ \lim_{x\to x_0}f(x)=0 }[/math] וקיים [math]\displaystyle{ M>0 }[/math] כך ש [math]\displaystyle{ |g(x)|\le M }[/math] לכל [math]\displaystyle{ x\in U }[/math], אזי [math]\displaystyle{ \lim_{x\to x_0}\big(f(x)\cdot g(x)\big)=0 }[/math].

במילים: מרבית כללי האריתמטיקה המורחבת נובעים "בחינם" עבור פונקציות: המשפטים על גבולות של סדרות עוברים לגבולות של פונקציות לפי הגדרת היינה (חשבון גבולות, סנדוויץ', חסומה כפול אפיסה).

טענה 4.3.5

יהיו [math]\displaystyle{ x_0\in\mathbb R }[/math] ו־[math]\displaystyle{ L\in\mathbb R\cup\{\pm\infty\} }[/math], ותהי [math]\displaystyle{ f }[/math] פונקציה. אזי

[math]\displaystyle{ \displaystyle \lim_{x\to x_0}f(x)=L\quad\text{אם ורק אם}\quad\lim_{x\to x_0^+}f(x)=\lim_{x\to x_0^-}f(x)=L . }[/math]

בהגדרת קושי הכללנו את הרעיון של גבול של סדרה, אבל לא השתמשנו בו. הגדרת היינה נשענת ישירות על גבולות של סדרות, ולכן היא מאפשרת להעביר לפונקציות את כל משפטי הסדרות (אריתמטיקה של גבולות, סנדוויץ' ועוד).

▶ סרטון נוסף: גבול פונקציה לפי היינה

תרגיל פתור: הוכיחו כי [math]\displaystyle{ \lim\limits_{x\to x_0}ax^k=ax_0^k }[/math] לכל [math]\displaystyle{ a\in\mathbb R }[/math] ו־[math]\displaystyle{ k\in\mathbb N }[/math].

לפי היינה: תהי [math]\displaystyle{ x_n }[/math] סדרה כך ש [math]\displaystyle{ x_n\ne x_0 }[/math] לכל [math]\displaystyle{ n }[/math] ו־[math]\displaystyle{ x_n\to x_0 }[/math]. לפי אריתמטיקה של גבולות של סדרות

[math]\displaystyle{ ax_n^k=a\cdot x_n\cdots x_n }[/math]
[math]\displaystyle{ \to a\cdot x_0\cdots x_0=ax_0^k }[/math]

מסקנה: באותו אופן, לכל פולינום [math]\displaystyle{ p }[/math] מתקיים [math]\displaystyle{ \lim\limits_{x\to x_0}p(x)=p(x_0) }[/math].

תרגיל פתור: הוכיחו שהגבול [math]\displaystyle{ \lim\limits_{x\to0}\sin\left(e^{\frac{1}{x}}\right) }[/math] אינו קיים.

נמצא שתי סדרות [math]\displaystyle{ x_k\ne0 }[/math] ו־[math]\displaystyle{ y_k\ne0 }[/math] השואפות ל־[math]\displaystyle{ 0 }[/math], כך ש [math]\displaystyle{ \lim f(x_k)\ne\lim f(y_k) }[/math]; לפי היינה זה מראה שהגבול אינו קיים.

לכל [math]\displaystyle{ k\in\mathbb N }[/math] מתקיים

[math]\displaystyle{ \sin\left(\frac{\pi}{2}+2\pi k\right)=1 }[/math]

[math]\displaystyle{ \sin\left(\frac{3\pi}{2}+2\pi k\right)=-1 }[/math]

נרצה [math]\displaystyle{ e^{\frac{1}{x_k}}=\frac{\pi}{2}+2\pi k }[/math], ולכן ניקח

[math]\displaystyle{ x_k=\frac{1}{\ln\left(\frac{\pi}{2}+2\pi k\right)} }[/math]

ובאופן דומה

[math]\displaystyle{ y_k=\frac{1}{\ln\left(\frac{3\pi}{2}+2\pi k\right)} }[/math]

שתי הסדרות חיוביות ושואפות ל־[math]\displaystyle{ 0 }[/math], ומתקיים [math]\displaystyle{ f(x_k)=1 }[/math] ו־[math]\displaystyle{ f(y_k)=-1 }[/math] לכל [math]\displaystyle{ k }[/math]. לכן

[math]\displaystyle{ \lim f(x_k)=1\ne-1=\lim f(y_k) }[/math]

גבולות ידועים

[math]\displaystyle{ \lim_{x\to 0}\frac{\sin(x)}{x}=1 }[/math]

[math]\displaystyle{ \lim_{x\to 0}\frac{1-\cos(x)}{x}=0 }[/math]

[math]\displaystyle{ \lim_{x\to 0}\frac{1-\cos(x)}{x^2}=\frac{1}{2} }[/math]

[math]\displaystyle{ \lim_{x\to 0}\frac{\ln(1+x)}{x}=1 }[/math]

את הראשון מוכיחים בדף פונקציות טריגונומטריות.

חישוב גבולות: תרגילים פתורים

תרגיל 1: [math]\displaystyle{ \lim\limits_{x\to 0}\frac{1-\cos(x)}{\sin(x)} }[/math]

[math]\displaystyle{ \frac{1-\cos(x)}{\sin(x)} }[/math]
[math]\displaystyle{ =\frac{1-\cos(x)}{x}\cdot\frac{x}{\sin(x)} }[/math]

ולכן הגבול הוא [math]\displaystyle{ 0\cdot1=0 }[/math].

תרגיל 2: [math]\displaystyle{ \lim\limits_{x\to 0}\frac{5x^2+2x}{3x^3+2x^2+x} }[/math]

[math]\displaystyle{ \frac{5x^2+2x}{3x^3+2x^2+x} }[/math]
[math]\displaystyle{ =\frac{x(5x+2)}{x(3x^2+2x+1)} }[/math]
[math]\displaystyle{ =\frac{5x+2}{3x^2+2x+1}\to2 }[/math]

הערה: כאשר המשתנה שואף לאפס, החזקה המשמעותית היא דווקא הנמוכה, בניגוד למצב שבו המשתנה שואף לאינסוף.

תרגיל 3: [math]\displaystyle{ \lim\limits_{x\to\infty}x\sin\left(\frac{1}{x}\right) }[/math]

נציב [math]\displaystyle{ y=\frac{1}{x} }[/math]. כאשר [math]\displaystyle{ x\to\infty }[/math] מתקיים [math]\displaystyle{ y\to0^+ }[/math], ולכן

[math]\displaystyle{ \lim_{x\to\infty}x\sin\left(\frac{1}{x}\right) }[/math]
[math]\displaystyle{ =\lim_{y\to 0^+}\frac{\sin(y)}{y}=1 }[/math]

תרגיל 4: [math]\displaystyle{ \lim\limits_{x\to 0}x\sin\left(\frac{1}{x}\right) }[/math]

[math]\displaystyle{ x\to0 }[/math] ו־[math]\displaystyle{ \left|\sin\left(\frac{1}{x}\right)\right|\le1 }[/math]: שואפת לאפס כפול חסומה, ולכן הגבול הוא [math]\displaystyle{ 0 }[/math].

תרגיל 5: היכן קיים הגבול של [math]\displaystyle{ f(x)=\begin{cases}x^2 & x\in\mathbb{Q}\\ 0 & x\notin\mathbb{Q}\end{cases} }[/math]?

הגבול קיים רק בנקודה [math]\displaystyle{ 0 }[/math], וערכו שם [math]\displaystyle{ 0 }[/math]. בנקודה [math]\displaystyle{ 0 }[/math]: [math]\displaystyle{ 0\le f(x)\le x^2\to0 }[/math]. בנקודה [math]\displaystyle{ a\ne0 }[/math]: לסדרה של רציונליים השואפת ל־[math]\displaystyle{ a }[/math] ערכי [math]\displaystyle{ f }[/math] שואפים ל־[math]\displaystyle{ a^2\ne0 }[/math], ולסדרה של אי-רציונליים הם [math]\displaystyle{ 0 }[/math]; לפי היינה אין גבול (הוצג בסרטון על הגדרת הגבול לפי היינה).

דוגמאות נוספות

נסו לפתור לבד, ואז לחצו "הצג פתרון".

דוגמה 1: אסימפטוטה אופקית לפי ההגדרה

תהי [math]\displaystyle{ f(x)=\frac{x+5}{2x+3} }[/math].
(א) הוכיחו לפי ההגדרה ש [math]\displaystyle{ \lim_{x\to\infty}f(x)=\frac{1}{2} }[/math], כלומר שהישר [math]\displaystyle{ y=\frac{1}{2} }[/math] הוא אסימפטוטה אופקית מימין של [math]\displaystyle{ f }[/math].
(ב) הוכיחו לפי ההגדרה ש [math]\displaystyle{ \lim_{x\to-\infty}f(x)=\frac{1}{2} }[/math].

טיוטה: [math]\displaystyle{ f(x)-\frac{1}{2}=\frac{2(x+5)-(2x+3)}{2(2x+3)} }[/math]
[math]\displaystyle{ =\frac{7}{2(2x+3)} }[/math]. כש [math]\displaystyle{ x>0 }[/math] המכנה חיובי וגדול מ־[math]\displaystyle{ 4x }[/math], ולכן [math]\displaystyle{ \left|f(x)-\frac{1}{2}\right|<\frac{7}{4x} }[/math], וזה קטן מ־[math]\displaystyle{ \varepsilon }[/math] כש [math]\displaystyle{ x>\frac{7}{4\varepsilon} }[/math].
(א) יהי [math]\displaystyle{ \varepsilon>0 }[/math]. נבחר [math]\displaystyle{ M=\frac{7}{4\varepsilon}>0 }[/math], ויהי [math]\displaystyle{ x>M }[/math]. אזי [math]\displaystyle{ x>0 }[/math], ולכן
[math]\displaystyle{ \left|f(x)-\frac{1}{2}\right|=\frac{7}{2(2x+3)} }[/math]
[math]\displaystyle{ <\frac{7}{4x}<\varepsilon }[/math] (כי [math]\displaystyle{ 4x>4M=\frac{7}{\varepsilon} }[/math]).
מצאנו לכל סביבה של [math]\displaystyle{ \frac{1}{2} }[/math] סביבה [math]\displaystyle{ (M,\infty) }[/math] של [math]\displaystyle{ \infty }[/math] שבה כל ערכי [math]\displaystyle{ f }[/math] נמצאים בסביבה של [math]\displaystyle{ \frac{1}{2} }[/math], ולכן [math]\displaystyle{ \lim_{x\to\infty}f(x)=\frac{1}{2} }[/math].
(ב) סביבה של [math]\displaystyle{ -\infty }[/math] היא קרן [math]\displaystyle{ (-\infty,-M) }[/math], והפעם צריך להיזהר בסימן: כש [math]\displaystyle{ x<-3 }[/math] מתקיים [math]\displaystyle{ -2x-3>-x>0 }[/math], ולכן [math]\displaystyle{ \left|f(x)-\frac{1}{2}\right|=\frac{7}{2(-2x-3)} }[/math]
[math]\displaystyle{ <\frac{7}{-2x} }[/math]. יהי [math]\displaystyle{ \varepsilon>0 }[/math]. נבחר [math]\displaystyle{ M=\max\left\{3,\frac{7}{2\varepsilon}\right\} }[/math], ויהי [math]\displaystyle{ x<-M }[/math]. אזי [math]\displaystyle{ x<-3 }[/math] ו־[math]\displaystyle{ -x>M }[/math], ולכן [math]\displaystyle{ \left|f(x)-\frac{1}{2}\right|<\frac{7}{-2x} }[/math]
[math]\displaystyle{ <\frac{7}{2M}\le\varepsilon }[/math]. ה־[math]\displaystyle{ \max }[/math] דואג לשני דברים: [math]\displaystyle{ M\ge3 }[/math] מבטיח [math]\displaystyle{ x<-3 }[/math], ולכן את סימן המכנה ואת החסם [math]\displaystyle{ -2x-3>-x }[/math], ו־[math]\displaystyle{ M\ge\frac{7}{2\varepsilon} }[/math] נותן את אי־השוויון האחרון. לכן [math]\displaystyle{ \lim_{x\to-\infty}f(x)=\frac{1}{2} }[/math], והישר [math]\displaystyle{ y=\frac{1}{2} }[/math] הוא אסימפטוטה אופקית משני הצדדים.

מקור: ש"ב 8 תש"ף, שאלות 4–7 (דף הסמסטר של בוגרים תש"ף בוויקי, W6a P2, עם פתרון מלא בוויקי; מאגר השאלות משותף לדף מדמ"ח תש"ף של ארז, P3): (x+5)/(2x+3)→1/2 כש x→−∞, כלומר סעיף (ב); אותו תרגיל בתרגול 10 מדמ"ח תש"ף (Tergul10infi1CS2020, 7.1.2020) ובתרגול 9 של לואי ומני, עמ' 1–2; מאגר ת4-006 (ק' 2–3, בוחן ✓). סעיף (א), הגרסה ב־+∞, נוסף כאן כדי להתאים להגדרה 4.2.3 (אסימפטוטה אופקית מימין). ההגדרה בסרטון: תמליל 49 (YTA4sI56t1Y) 03:38–04:22 (https://www.youtube.com/watch?v=YTA4sI56t1Y&t=218s): "מהי סביבה של אינסוף? החל ממספר ממשי מסוים לנצח", ו"בשפה התיכונית ציר x הוא [ה]אסימפטוטה האופקית של הפונקציה מימין" (04:22).

דוגמה 2: אותו גבול פעמיים: [math]\displaystyle{ \frac{1-x}{\sqrt{2-x}} }[/math] לפי קושי ולפי היינה

הוכיחו כי [math]\displaystyle{ \lim_{x\to2^-}\frac{1-x}{\sqrt{2-x}}=-\infty }[/math]:
(א) לפי הגדרת קושי;
(ב) לפי הגדרת היינה.

(א) קושי. צריך להראות שלכל [math]\displaystyle{ M>0 }[/math] קיים [math]\displaystyle{ \delta>0 }[/math] כך שלכל [math]\displaystyle{ x\in(2-\delta,2) }[/math] מתקיים [math]\displaystyle{ \frac{1-x}{\sqrt{2-x}}<-M }[/math], כלומר [math]\displaystyle{ \frac{x-1}{\sqrt{2-x}}>M }[/math].
טיוטה: נחסום את המונה מלמטה ואת המכנה מלמעלה. אם [math]\displaystyle{ \delta\le\frac{1}{2} }[/math], אז [math]\displaystyle{ x>\frac{3}{2} }[/math] ולכן [math]\displaystyle{ x-1>\frac{1}{2} }[/math]; וגם [math]\displaystyle{ \sqrt{2-x}<\sqrt{\delta} }[/math]. לכן מספיק ש [math]\displaystyle{ \sqrt{\delta}\le\frac{1}{2M} }[/math], כלומר [math]\displaystyle{ \delta\le\frac{1}{4M^2} }[/math].
הוכחה. יהי [math]\displaystyle{ M>0 }[/math]. נבחר [math]\displaystyle{ \delta=\min\left\{\frac{1}{2},\frac{1}{4M^2}\right\} }[/math], ויהי [math]\displaystyle{ x }[/math] כך ש [math]\displaystyle{ 2-\delta<x<2 }[/math]. אזי [math]\displaystyle{ x>2-\delta\ge\frac{3}{2} }[/math], ולכן [math]\displaystyle{ x-1>\frac{1}{2} }[/math]; וגם [math]\displaystyle{ 0<2-x<\delta }[/math], ומאחר ש [math]\displaystyle{ \delta\le\frac{1}{4M^2} }[/math] נקבל [math]\displaystyle{ 0<\sqrt{2-x}<\frac{1}{2M} }[/math]. לכן
[math]\displaystyle{ \frac{x-1}{\sqrt{2-x}}>\frac{1}{2\sqrt{2-x}} }[/math]
[math]\displaystyle{ >\frac{1}{2}\cdot2M=M }[/math], כלומר [math]\displaystyle{ \frac{1-x}{\sqrt{2-x}}<-M }[/math].
(ב) היינה. תהי [math]\displaystyle{ a_n }[/math] סדרה ממשית כך ש [math]\displaystyle{ a_n<2 }[/math] לכל [math]\displaystyle{ n\in\mathbb N }[/math] ו־[math]\displaystyle{ a_n\to2 }[/math]. אזי [math]\displaystyle{ 2-a_n>0 }[/math] לכל [math]\displaystyle{ n }[/math] ו־[math]\displaystyle{ 2-a_n\to0 }[/math], ולכן לפי האריתמטיקה המורחבת ([math]\displaystyle{ \frac{1}{0^+}=\infty }[/math]) מתקיים [math]\displaystyle{ \frac{1}{2-a_n}\to\infty }[/math]. מכאן
[math]\displaystyle{ \frac{1}{\sqrt{2-a_n}}=\left(\frac{1}{2-a_n}\right)^{1/2} }[/math]
[math]\displaystyle{ \to\infty }[/math] (אינסוף בחזקת מספר חיובי זה אינסוף). בנוסף [math]\displaystyle{ a_n-1\to1>0 }[/math], ולכן [math]\displaystyle{ \frac{a_n-1}{\sqrt{2-a_n}}\to\infty }[/math] (אינסוף כפול סדרה השואפת למספר חיובי זה אינסוף), כלומר, לפי ההגדרה של שאיפה למינוס אינסוף, [math]\displaystyle{ \frac{1-a_n}{\sqrt{2-a_n}}\to-\infty }[/math]. זה נכון לכל סדרה כזו, ולכן לפי הגדרת היינה לגבול משמאל הגבול הוא [math]\displaystyle{ -\infty }[/math]. ההוכחה קצרה בהרבה, כי היא נשענת על המשפטים על סדרות.

מקור: תמליל 49 (YTA4sI56t1Y) 09:52–14:23 (https://www.youtube.com/watch?v=YTA4sI56t1Y&t=592s): ההוכחה לפי קושי, "אם נבחר בהמשך דלתא שתהיה קטנה מחצי" (11:56), "איך ידענו לבחור דווקא את חצי? אז זה תלוי תרגיל וקצת ניסוי וטעייה" (12:18–12:21), "ניקח דלתא שקטנה יותר מהקטן מבין חצי ו-1 חלקי 4m בריבוע" (14:16–14:19); תמליל 50 (KKFyEBxM9yo) 04:18–05:22 (https://www.youtube.com/watch?v=KKFyEBxM9yo&t=258s): אותו גבול לפי היינה, "יש לי מינוס כפול 1 חלקי סדרה חיובית ששואפת ל-0, סך הכל מינוס אינסוף" (05:14–05:21), ו־03:50–04:16: "איך זה הגיוני שזה כזה קל ומהיר לעומת ההגדרה של קושי"; דף הקורס (rev 90835), סעיף הגדרת הגבול לפי קושי (ניסוח התנאי עם M ו־δ); מאגר ת4-002 (ק' 3).

דוגמה 3: הוכיחו או הפריכו: מ־[math]\displaystyle{ f(n) }[/math] ל־[math]\displaystyle{ f(x) }[/math] ובחזרה

תהי [math]\displaystyle{ f }[/math] פונקציה המוגדרת בקרן [math]\displaystyle{ (0,\infty) }[/math], ויהי [math]\displaystyle{ L\in\mathbb R }[/math]. הוכיחו או הפריכו:
(א) אם [math]\displaystyle{ \lim_{x\to\infty}f(x)=L }[/math], אזי [math]\displaystyle{ \lim_{n\to\infty}f(n)=L }[/math].
(ב) אם [math]\displaystyle{ \lim_{n\to\infty}f(n)=L }[/math], אזי [math]\displaystyle{ \lim_{x\to\infty}f(x)=L }[/math].

(א) נכון. הסדרה [math]\displaystyle{ a_n=n }[/math] מקיימת [math]\displaystyle{ a_n\to\infty }[/math], והתנאי [math]\displaystyle{ a_n\ne x_0 }[/math] שבהגדרה מתקיים מאליו, כי כאן [math]\displaystyle{ x_0=\infty }[/math] אינו מספר ממשי. לפי הגדרת היינה, מאחר ש [math]\displaystyle{ \lim_{x\to\infty}f(x)=L }[/math], מתקיים [math]\displaystyle{ f(a_n)\to L }[/math], כלומר [math]\displaystyle{ f(n)\to L }[/math]. כך מחשבים גבולות של סדרות בעזרת גבולות של פונקציות (למשל, בהמשך, בעזרת כלל לופיטל).
(ב) לא נכון. נבחר [math]\displaystyle{ f(x)=\sin(2\pi x) }[/math] ו־[math]\displaystyle{ L=0 }[/math]. לכל [math]\displaystyle{ n\in\mathbb N }[/math] מתקיים [math]\displaystyle{ f(n)=\sin(2\pi n)=0 }[/math], ולכן [math]\displaystyle{ f(n)\to0 }[/math]. נראה שלפונקציה אין גבול כש [math]\displaystyle{ x\to\infty }[/math].
נגדיר שתי סדרות ששואפות ל־[math]\displaystyle{ \infty }[/math]: [math]\displaystyle{ a_n=n }[/math] ו־[math]\displaystyle{ b_n=n+\frac{1}{4} }[/math]. אזי [math]\displaystyle{ f(a_n)=0\to0 }[/math], ואילו [math]\displaystyle{ f(b_n)=\sin\left(2\pi n+\frac{\pi}{2}\right) }[/math]
[math]\displaystyle{ =1\to1 }[/math].
נב"ש ש [math]\displaystyle{ \lim_{x\to\infty}f(x)=A }[/math] עבור [math]\displaystyle{ A\in\mathbb R\cup\{\pm\infty\} }[/math]. לפי הגדרת היינה [math]\displaystyle{ f(a_n)\to A }[/math] וגם [math]\displaystyle{ f(b_n)\to A }[/math], ומיחידות הגבול של סדרה [math]\displaystyle{ A=0 }[/math] וגם [math]\displaystyle{ A=1 }[/math], סתירה. לכן הגבול אינו קיים, ובפרט אינו שווה ל־[math]\displaystyle{ 0 }[/math].
לכן ל־[math]\displaystyle{ \sin(2\pi x) }[/math] אין אסימפטוטה אופקית מימין, אף שעל המספרים הטבעיים היא קבועה. המוסר: כדי להוכיח גבול לפי היינה צריך לבדוק כל סדרה; כדי להפריך מספיקות שתי סדרות שנותנות גבולות שונים.

מקור: לוח ההרצאה של ארז, מדמ"ח תשפ"א, 19.1.21 שורות 7–15 (R3-X25: ln x/x→0 ⇒ ln n/n→0, ו"הכיוון ההפוך: sin(2πn)=0 אבל lim sin(2πx) לא קיים"); ש"ב 8 תש"ף ש'4–7 (W6a P2, "f(n) מול f(x) ב-∞", עם פתרון בוויקי) ותרגול 10 מדמ"ח תש"ף ("אין גבול: sin 2πx ב-∞"); מאגר ת4-025 (ק' 1–2, בוחן ✓). בסרטון: תמליל 50 (KKFyEBxM9yo) 01:51–02:02 (https://www.youtube.com/watch?v=KKFyEBxM9yo&t=111s): "אם זה נכון לכל סדרת מספרים ששואפת ל-x0 ... תמיד אני מגיע לאל, סימן שזה הגבול של הפונקציה", ו־07:15–07:50 (https://www.youtube.com/watch?v=KKFyEBxM9yo&t=435s): שתי סדרות שנותנות גבולות שונים, "ולכן אין גבול".

טעויות נפוצות

• סדר הכמתים: ההגדרה היא "לכל [math]\displaystyle{ \varepsilon>0 }[/math] קיים [math]\displaystyle{ \delta>0 }[/math]", ו־[math]\displaystyle{ \delta }[/math] נבחר אחרי [math]\displaystyle{ \varepsilon }[/math] ותלוי בו (כמו [math]\displaystyle{ M=\frac{7}{4\varepsilon} }[/math] בדוגמה 1). "קיים [math]\displaystyle{ \delta>0 }[/math] כך שלכל [math]\displaystyle{ \varepsilon>0 }[/math]" היא טענה אחרת, שפירושה ש [math]\displaystyle{ f(x)=L }[/math] לכל [math]\displaystyle{ x }[/math] בסביבה מנוקבת מסוימת של [math]\displaystyle{ x_0 }[/math].
• להשמיט את התנאי [math]\displaystyle{ 0<|x-x_0| }[/math], או את [math]\displaystyle{ a_n\ne x_0 }[/math] בהגדרת היינה: הגבול אינו תלוי בערך [math]\displaystyle{ f(x_0) }[/math]. אם [math]\displaystyle{ f(x)=1 }[/math] לכל [math]\displaystyle{ x\ne0 }[/math] ו־[math]\displaystyle{ f(0)=2 }[/math], אזי [math]\displaystyle{ \lim_{x\to0}f(x)=1 }[/math], אבל בלי הדרישה [math]\displaystyle{ a_n\ne0 }[/math] גם הסדרה הקבועה [math]\displaystyle{ a_n=0 }[/math] הייתה נבדקת, ו־[math]\displaystyle{ f(a_n)=2\to2 }[/math] ("הקאץ' הקטן" בסרטון על היינה, 0:41).
• לכתוב [math]\displaystyle{ |f(x)-L|<\delta }[/math] או [math]\displaystyle{ |x-x_0|<\varepsilon }[/math]: [math]\displaystyle{ \varepsilon }[/math] הוא רדיוס הסביבה של [math]\displaystyle{ L }[/math] בציר [math]\displaystyle{ y }[/math], ו־[math]\displaystyle{ \delta }[/math] הוא רדיוס הסביבה של [math]\displaystyle{ x_0 }[/math] בציר [math]\displaystyle{ x }[/math]. ההנחה היא [math]\displaystyle{ 0<|x-x_0|<\delta }[/math], והמסקנה היא [math]\displaystyle{ |f(x)-L|<\varepsilon }[/math].
• להשתמש ב־[math]\displaystyle{ \varepsilon }[/math] כשהגבול אינסופי ("[math]\displaystyle{ |f(x)-(-\infty)|<\varepsilon }[/math]" חסר משמעות): סביבה של [math]\displaystyle{ -\infty }[/math] היא קרן [math]\displaystyle{ (-\infty,-M) }[/math], ולכן דורשים [math]\displaystyle{ f(x)<-M }[/math] (דוגמה 2). באותו אופן, כש [math]\displaystyle{ x\to\infty }[/math] הסביבה של [math]\displaystyle{ \infty }[/math] בציר [math]\displaystyle{ x }[/math] היא [math]\displaystyle{ x>M }[/math] ולא [math]\displaystyle{ |x-x_0|<\delta }[/math] (דוגמה 1).
• להסתפק בסדרה אחת בהגדרת היינה: כדי להוכיח ש [math]\displaystyle{ \lim_{x\to x_0}f(x)=L }[/math] מתחילים ב"תהי סדרה" ומטפלים בכל סדרה [math]\displaystyle{ x_0\ne a_n\to x_0 }[/math]. הצבה של [math]\displaystyle{ a_n=\frac{1}{n} }[/math] או של [math]\displaystyle{ a_n=n }[/math] לבדה אינה מוכיחה דבר: [math]\displaystyle{ \sin(2\pi n)\to0 }[/math], אבל ל־[math]\displaystyle{ \sin(2\pi x) }[/math] אין גבול באינסוף (דוגמה 3). להפרכת גבול, לעומת זאת, מספיקות שתי סדרות שנותנות גבולות שונים.

לתרגול

• מועד א' תשע"ז (תיכוניסטים) · שאלה 3: [math]\displaystyle{ \lim_{x\to1}\frac{\sqrt{x}-1}{x-1} }[/math] לפי קושי (בקובץ גם הצעת פתרון של לירן ויונתן). קושי 2.
• מועד ב' תשע"ז (תיכוניסטים) · שאלה 4: אין גבול ב־[math]\displaystyle{ 0 }[/math] ל־[math]\displaystyle{ \cos\sqrt{\ln\frac{1}{\lvert x\rvert}} }[/math], בשתי סדרות (השאלות והצעת פתרון של לירן ויונתן). קושי 2–3.
• מועד א' תשע"ט (תיכוניסטים) · שאלה 2: הגדרת היינה עם סדרות חד-חד ערכיות (פתרון). קושי 4.
• מועד ג' תשע"ח (חדו"א 1 להנדסה) · (הנדסה) שאלה 1ג: הגבול [math]\displaystyle{ \frac{e^{n!}}{n!} }[/math] בעזרת היינה, בהצבת [math]\displaystyle{ a_n=n! }[/math] (משתמש גם בסדרי גודל מפרק 6; פתרון). קושי 1–2.
• מערך תרגול · מערך התרגול של הקורס (תשע"ב), פרק הפונקציות
• תרגול 9 (לואי ומני) · עמ' 1–3: הוכחות לפי קושי, גבול ב־[math]\displaystyle{ -\infty }[/math] וגבול אינסופי לפי ההגדרה, ואי־קיום גבול לפי היינה ([math]\displaystyle{ \cos\frac{1}{x} }[/math], [math]\displaystyle{ x^2+\frac{1}{x} }[/math]); עם פתרונות.

כל הנושאים בפרק 4 · פונקציות טריגונומטריות ›