דוגמא לחקר התכנסות טור עם פרמטר

תרגיל

קבע עבור אילו ערכי x הטור הבא מתכנס בהחלט/בתנאי/מתבדר:

[math]\displaystyle{ \sum\frac{1}{n}(\frac{2x}{x+4})^n }[/math]

פתרון

דבר ראשון, נוכיח את הטענות הבאות:

• [math]\displaystyle{ \sum\frac{q^n}{n} }[/math] מתכנס בהחלט אם [math]\displaystyle{ |q|\lt 1 }[/math].

הוכחה: [math]\displaystyle{ \sum|\frac{q^n}{n}|\leq \sum|q^n| \lt \infty }[/math]

• [math]\displaystyle{ \sum\frac{q^n}{n} }[/math] מתבדר אם [math]\displaystyle{ |q|\gt 1 }[/math]

הוכחה: נסמן [math]\displaystyle{ |q|=1+\alpha }[/math], כאשר [math]\displaystyle{ \alpha\gt 0 }[/math]. לכן לפי אי שיוויון ברנולי [math]\displaystyle{ |q|^n = (1+\alpha)^n \geq 1+n\alpha }[/math]

לכן [math]\displaystyle{ \frac{|q|^n}{n}\geq \frac{1+n\alpha}{n} \geq \alpha }[/math] ולכן [math]\displaystyle{ \lim \frac{|q|^n}{n} \neq 0 }[/math] ולכן [math]\displaystyle{ \lim\frac{q^n}{n}\neq 0 }[/math] ולכן הטור וודאי מתבדר.

כעת, נסמן [math]\displaystyle{ q=\frac{2x}{x+4} }[/math] נותר לבדוק מתי |q| גדול מאחד, קטן מאחד או שווה ממש לאחד.

נפתור את אי השיוויון [math]\displaystyle{ |\frac{2x}{x+4}| \lt 1 }[/math]. קל לראות ש [math]\displaystyle{ \frac{2x}{x+4}\geq 0 }[/math] כאשר [math]\displaystyle{ x\gt 0 }[/math] או [math]\displaystyle{ x\lt -4 }[/math]. במקרים אלה ניתן להוריד את הערך המוחלט ולפתור את אי השיוויון.

אם [math]\displaystyle{ x\gt 0 }[/math] אזי [math]\displaystyle{ x+4 \gt 0 }[/math], ורוצים לפתור את אי השיוויון [math]\displaystyle{ \frac{2x}{x+4} \gt 1 }[/math] מותר לכפול ב(x+4) ולכן נקבל x>4. לכן סה"כ הטור מתבדר עבור x>4. עבור x<4 יוצא ש [math]\displaystyle{ \frac{2x}{x+4} \lt 1 }[/math] ולכן הטור מתכנס בהחלט עבור [math]\displaystyle{ 0\lt x\lt 4 }[/math]

אם [math]\displaystyle{ x\lt -4 }[/math] אזי [math]\displaystyle{ x+4 \lt 0 }[/math] ולכן נכפול ב(x+4) ונחליף את כיוון אי השיוויון לקבל x<4. ביחד עם x<-4 נקבל שהטור מתבדר עבור x<-4. המקרה x>4 לא רלוונטי לנו במקרה זה.

אם [math]\displaystyle{ -4\lt x\lt 0 }[/math] אזי צריך לפתור את אי השיוויון [math]\displaystyle{ -\frac{2x}{x+4} \gt 1 }[/math], שוב x+4 >0 ולכן מותר לכפול בו על מנת לקבל [math]\displaystyle{ 3x+4\lt 0 }[/math] ולכן [math]\displaystyle{ x\lt -\frac{4}{3} }[/math], ולכן עבור [math]\displaystyle{ -4\lt x\lt \frac{4}{3} }[/math] הטור מתבדר. עבור [math]\displaystyle{ \frac{4}{3}\lt x\lt 0 }[/math] הטור מתכנס בהחלט.

סיכום ביניים:

עבור [math]\displaystyle{ x\lt -4 }[/math] מתבדר

עבור [math]\displaystyle{ -4\lt x\lt -\frac{4}{3} }[/math] מתבדר

עבור [math]\displaystyle{ -\frac{4}{3}\lt x\lt 0 }[/math] מתכנס בהחלט

עבור [math]\displaystyle{ 0\lt x\lt 4 }[/math] מתכנס בהחלט

עבור [math]\displaystyle{ x\gt 4 }[/math] מתבדר

כל שנותר לעשות הוא לבדוק את מקרי הקצה [math]\displaystyle{ x=-4,-\frac{4}{3},0,4 }[/math]

עבור [math]\displaystyle{ x=-4 }[/math] הטור כלל אינו מוגדר.

עבור [math]\displaystyle{ x=-\frac{4}{3} }[/math] מקבלים את הטור [math]\displaystyle{ \sum \frac{(-1)^n}{n} }[/math] שהוא מתכנס בתנאי כידוע

עבור [math]\displaystyle{ x=0 }[/math] מקבלים את הטור של הסדרה הקבועה אפס שהוא בוודאי מתכנס בהחלט

עבור [math]\displaystyle{ x=4 }[/math] מקבלים את הטור ההרמוני [math]\displaystyle{ \sum\frac{1}{n} }[/math] שהוא מתבדר.

סיכום

עבור [math]\displaystyle{ x\lt -4 }[/math] מתבדר

עבור [math]\displaystyle{ x=-4 }[/math] לא מוגדר

עבור [math]\displaystyle{ -4\lt x\lt -\frac{4}{3} }[/math] מתבדר

עבור [math]\displaystyle{ x=-\frac{4}{3} }[/math] מתכנס בתנאי

עבור [math]\displaystyle{ -\frac{4}{3}\lt x\lt 4 }[/math] מתכנס בהחלט

עבור [math]\displaystyle{ x\geq 4 }[/math] מתבדר