דמיון מטריצות

חזרה לסיכום הקורס: לינארית 2 (סמסטר א תשעג)

הערה: בסיכום זה, גם אם לא יצויין בכל מקום, [math]\displaystyle{ V }[/math] הוא מרחב וקטורי מעל השדה [math]\displaystyle{ \mathbb{F} }[/math], וכן [math]\displaystyle{ dim V=n }[/math]. בנוסף, [math]\displaystyle{ A\in M_n (\mathbb{F}) }[/math].

הגדרה:

אומרים שהמטריצה [math]\displaystyle{ A }[/math] דומה למטריצה [math]\displaystyle{ B }[/math] אם קיימת מטריצה הפיכה [math]\displaystyle{ P }[/math] המקיימת [math]\displaystyle{ B=P^{-1}AP }[/math]. מסמנים [math]\displaystyle{ A~B }[/math].

הערה: אם [math]\displaystyle{ T:V\rightarrow V }[/math] אופרטור לינארי, אם [math]\displaystyle{ B_1 , B_2 }[/math] שני בסיסים של [math]\displaystyle{ V }[/math], אם [math]\displaystyle{ A_1=[T]_{B_1} , A_2=[T]_{B_2} }[/math] המטריצות המייצגות את ההעתקה ואם [math]\displaystyle{ P=[I]_{B_1}^{B_2} }[/math] מטריצת המעבר מ-[math]\displaystyle{ B_2 }[/math] ל-[math]\displaystyle{ B_1 }[/math], אזי [math]\displaystyle{ A_2=P^{-1}A_1P }[/math].

הערה: אם [math]\displaystyle{ A\neq I }[/math], אזי [math]\displaystyle{ A }[/math] אינה דומה ל-[math]\displaystyle{ I }[/math]. אם נכליל יותר, אם [math]\displaystyle{ A }[/math] אינה מטריצה סקלרית אזי [math]\displaystyle{ A }[/math] אינה דומה למטריצה סקלרית.

משפט:

אם [math]\displaystyle{ A_1,A_2 }[/math] מטריצות דומות אזי [math]\displaystyle{ spec(A_1)=spec(A_2) }[/math].

מסקנה:

[math]\displaystyle{ spec(T)=spec(A) }[/math] לכל מטריצה מייצגת [math]\displaystyle{ A }[/math] כלשהי.