חבורה

חבורה היא קבוצה עם פעולה בינארית אסוציאטיבית שיש לה איבר יחידה, וכל איבר בה הוא הפיך.

חבורות הן מבנה אלגברי נפוץ ביותר, עם דוגמאות רבות ומגוונות. החבורות שפוגשים בטבע הן בדרך כלל אלו הפועלות על משהו: חבורות סימטריה, חבורות אוטומורפיזמים או חבורות של מטריצות. לפני שלומדים על הסוגים האלה, כדאי להבין מהן החבורות הציקליות, ולהכיר דוגמאות קלות יחסית כמו חבורות אוילר וחבורות דיהדרליות.

כל חבורה היא בפרט מונויד ולכן גם חבורה למחצה.

ההגדרה

חבורה היא מערכת מתמטית [math]\displaystyle{ \ (G,\cdot,e) }[/math] כאשר [math]\displaystyle{ \ \cdot : G \times G \rightarrow G }[/math] פעולה בינארית ו-[math]\displaystyle{ \ e\in G }[/math], המקיימת את האקסיומות הבאות:

• [math]\displaystyle{ \ \forall x,y,z: (x\cdot y)\cdot z = x \cdot (y \cdot z) }[/math] ("אסוציאטיביות"),
• [math]\displaystyle{ \ \forall x: x \cdot e = e \cdot x = x }[/math] (e הוא איבר יחידה),
• [math]\displaystyle{ \ \forall x \exists y : xy = yx = e }[/math].

את איבר היחידה e מסמנים לפעמים גם בסימן המוכר 1, או [math]\displaystyle{ \ 1_G }[/math]. בהתאם לאופי הפעולה (אם היא דומה יותר לחיבור מספרים מאשר לכפל), גם 0 עשוי להיות איבר היחידה. בכל מקרה זהותו של איבר היחידה צריכה להיות מובנת מההקשר.

כמו בחבורות למחצה, היחידה יחידה. כלומר, אין איבר של החבורה שעבורו מתקיימת האקסיומה השניה, פרט לאיבר היחידה עצמו.