בקצרה:חסם מלעיל של קבוצת מספרים הוא מספר שאף איבר של הקבוצה אינו גדול ממנו, וחסם מלרע הוא מספר שאף איבר של הקבוצה אינו קטן ממנו. לקבוצה חסומה מלעיל יש אינסוף חסמי מלעיל, והחשוב שבהם הוא הקטן ביותר, החסם העליון: זהו "הקצה העליון" של הקבוצה, והקבוצה אולי מגיעה אליו (ואז הוא המקסימום שלה) ואולי לא; באותו אופן החסם התחתון הוא הגדול ביותר מבין חסמי המלרע. הדוגמה מהסרטון: מי שמקפיד על תאריך תפוגה מוכן לאכול מאכל בכל רגע שלפני רגע התפוגה, ואין רגע אחרון כזה, כי בין כל רגע כזה לרגע התפוגה יש עוד רגעים; רגע התפוגה הוא החסם העליון של זמני האכילה אבל אינו המקסימום שלהם, בדיוק כמו המספר 1 עבור הקטע [math]\displaystyle{ (0,1) }[/math]. קצוות כאלה, שאולי אינם מושגים, הם הרעיון שעליו בנוי החשבון האינפיניטיסימלי כולו.
▶ ההרצאה: חסמי מלעיל ומלרע, חסם עליון וחסם תחתון
הקבוצה [math]\displaystyle{ A=[-2,-1]\cup(0,1) }[/math] (בכחול) על ציר המספרים: נקודה מלאה שייכת ל־[math]\displaystyle{ A }[/math], ונקודה חלולה אינה שייכת. הקרן הירוקה מימין, [math]\displaystyle{ [1,\infty) }[/math], היא קבוצת כל חסמי המלעיל של [math]\displaystyle{ A }[/math], והאיבר הקטן ביותר בה הוא [math]\displaystyle{ \sup A=1 }[/math]; כיוון ש [math]\displaystyle{ 1\notin A }[/math], אין ל־[math]\displaystyle{ A }[/math] מקסימום. הקרן משמאל, [math]\displaystyle{ (-\infty,-2] }[/math], היא קבוצת כל חסמי המלרע, והאיבר הגדול ביותר בה הוא [math]\displaystyle{ \inf A=-2 }[/math]; כאן [math]\displaystyle{ -2\in A }[/math], ולכן [math]\displaystyle{ -2 }[/math] הוא גם המינימום של [math]\displaystyle{ A }[/math].
הגדרה 1.1.1חסם מלעיל, חסם מלרע, קבוצה חסומה▶ סרטון 6:08
תהי [math]\displaystyle{ A\subseteq\mathbb R }[/math].
[math]\displaystyle{ M\in\mathbb R }[/math] נקרא חסם מלעיל של [math]\displaystyle{ A }[/math] אם לכל [math]\displaystyle{ a\in A }[/math] מתקיים כי [math]\displaystyle{ a\le M }[/math].
[math]\displaystyle{ m\in\mathbb R }[/math] נקרא חסם מלרע של [math]\displaystyle{ A }[/math] אם לכל [math]\displaystyle{ a\in A }[/math] מתקיים כי [math]\displaystyle{ a\ge m }[/math].
[math]\displaystyle{ A }[/math] נקראת חסומה מלעיל אם יש לה חסם מלעיל.
[math]\displaystyle{ A }[/math] נקראת חסומה מלרע אם יש לה חסם מלרע.
[math]\displaystyle{ A }[/math] נקראת חסומה אם היא חסומה מלעיל וחסומה מלרע.
תהי [math]\displaystyle{ A\subseteq\mathbb R }[/math].
[math]\displaystyle{ M\in A }[/math] נקרא המקסימום של [math]\displaystyle{ A }[/math] או האיבר הגדול ביותר של [math]\displaystyle{ A }[/math] אם לכל [math]\displaystyle{ a\in A }[/math] מתקיים כי [math]\displaystyle{ a\le M }[/math]. במקרה זה מסמנים [math]\displaystyle{ M=\max A }[/math].
[math]\displaystyle{ m\in A }[/math] נקרא המינימום של [math]\displaystyle{ A }[/math] או האיבר הקטן ביותר של [math]\displaystyle{ A }[/math] אם לכל [math]\displaystyle{ a\in A }[/math] מתקיים כי [math]\displaystyle{ a\ge m }[/math]. במקרה זה מסמנים [math]\displaystyle{ m=\min A }[/math].
תהי [math]\displaystyle{ A\subseteq\mathbb R }[/math].
אם יש איבר קטן ביותר בקבוצת חסמי המלעיל של [math]\displaystyle{ A }[/math], הוא נקרא החסם העליון של [math]\displaystyle{ A }[/math], או הסופרמום של [math]\displaystyle{ A }[/math], ומסומן [math]\displaystyle{ \sup(A) }[/math].
אם יש איבר גדול ביותר בקבוצת חסמי המלרע של [math]\displaystyle{ A }[/math], הוא נקרא החסם התחתון של [math]\displaystyle{ A }[/math], או האינפימום של [math]\displaystyle{ A }[/math], ומסומן [math]\displaystyle{ \inf(A) }[/math].
אם [math]\displaystyle{ A }[/math] אינה חסומה מלעיל, מסמנים [math]\displaystyle{ \sup A=\infty }[/math]. אם [math]\displaystyle{ A }[/math] אינה חסומה מלרע, מסמנים [math]\displaystyle{ \inf A=-\infty }[/math].
דוגמה 1: ארבעת הקטעים מהסרטון: חסם עליון עם מקסימום ובלעדיו
לכל אחת מהקבוצות [math]\displaystyle{ [0,1] }[/math], [math]\displaystyle{ (0,1] }[/math], [math]\displaystyle{ [0,1) }[/math] ו־[math]\displaystyle{ (0,1) }[/math] מצאו את קבוצת חסמי המלעיל ואת קבוצת חסמי המלרע, את החסם העליון ואת החסם התחתון, וקבעו אם יש לה מקסימום ואם יש לה מינימום. הוכיחו את התשובה עבור הקטע הפתוח [math]\displaystyle{ (0,1) }[/math].
התשובה (כמו בסרטון): בכל ארבע הקבוצות קבוצת חסמי המלעיל היא [math]\displaystyle{ [1,\infty) }[/math] וקבוצת חסמי המלרע היא [math]\displaystyle{ (-\infty,0] }[/math], ולכן בכולן החסם העליון הוא [math]\displaystyle{ 1 }[/math] והחסם התחתון הוא [math]\displaystyle{ 0 }[/math]. מקסימום יש רק לקבוצות שמכילות את [math]\displaystyle{ 1 }[/math] ([math]\displaystyle{ [0,1] }[/math] ו־[math]\displaystyle{ (0,1] }[/math]), ומינימום יש רק לקבוצות שמכילות את [math]\displaystyle{ 0 }[/math] ([math]\displaystyle{ [0,1] }[/math] ו־[math]\displaystyle{ [0,1) }[/math]).
הוכחה עבור [math]\displaystyle{ A=(0,1) }[/math].
חסמי המלעיל. יהי [math]\displaystyle{ M\in\mathbb R }[/math]. אם [math]\displaystyle{ M\ge1 }[/math], אזי לכל [math]\displaystyle{ a\in A }[/math] מתקיים [math]\displaystyle{ a<1\le M }[/math], ולכן [math]\displaystyle{ M }[/math] חסם מלעיל של [math]\displaystyle{ A }[/math]. אם [math]\displaystyle{ M<1 }[/math], נמצא איבר של [math]\displaystyle{ A }[/math] שגדול ממנו: אם [math]\displaystyle{ M\le0 }[/math] ניקח [math]\displaystyle{ a=\frac12>M }[/math], ואם [math]\displaystyle{ 0<M<1 }[/math] ניקח [math]\displaystyle{ a=\frac{M+1}2 }[/math], שמקיים [math]\displaystyle{ 0<M<a<1 }[/math]. לכן [math]\displaystyle{ M }[/math] אינו חסם מלעיל.
קבוצת חסמי המלעיל היא אפוא [math]\displaystyle{ [1,\infty) }[/math], והאיבר הקטן ביותר בה הוא [math]\displaystyle{ 1 }[/math]. לכן לפי הגדרה 1.1.4 [math]\displaystyle{ \sup A=1 }[/math].
אין מקסימום. אילו היה ל־[math]\displaystyle{ A }[/math] מקסימום [math]\displaystyle{ M }[/math], אזי לפי טענה 1.1.5 היה מתקיים [math]\displaystyle{ M=\sup A=1 }[/math]. אבל המקסימום הוא איבר של הקבוצה, ו־[math]\displaystyle{ 1\notin A }[/math]: סתירה.
חסמי המלרע. יהי [math]\displaystyle{ m\in\mathbb R }[/math]. אם [math]\displaystyle{ m\le0 }[/math], אזי [math]\displaystyle{ m\le0<a }[/math] לכל [math]\displaystyle{ a\in A }[/math]. אם [math]\displaystyle{ m>0 }[/math], נמצא איבר של [math]\displaystyle{ A }[/math] שקטן ממנו: אם [math]\displaystyle{ m\ge1 }[/math] ניקח [math]\displaystyle{ a=\frac12<m }[/math], ואם [math]\displaystyle{ 0<m<1 }[/math] ניקח [math]\displaystyle{ a=\frac m2 }[/math], שמקיים [math]\displaystyle{ 0<a<m<1 }[/math] ("חצי המספר החיובי", כמו בסרטון). לכן קבוצת חסמי המלרע היא [math]\displaystyle{ (-\infty,0] }[/math], והאיבר הגדול ביותר בה הוא [math]\displaystyle{ 0 }[/math], כלומר [math]\displaystyle{ \inf A=0 }[/math]. כיוון ש [math]\displaystyle{ 0\notin A }[/math], אין ל־[math]\displaystyle{ A }[/math] מינימום (שוב לפי טענה 1.1.5).
בשלושת הקטעים האחרים ההוכחה זהה: גם בהם כל איבר [math]\displaystyle{ a }[/math] מקיים [math]\displaystyle{ 0\le a\le1 }[/math], והאיברים [math]\displaystyle{ \frac12 }[/math], [math]\displaystyle{ \frac{M+1}2 }[/math] ו־[math]\displaystyle{ \frac m2 }[/math] שייכים גם להם; לכן קבוצות החסמים זהות. למשל ב־[math]\displaystyle{ (0,1] }[/math] המספר [math]\displaystyle{ 1 }[/math] הוא חסם מלעיל השייך לקבוצה, ולכן לפי הגדרה 1.1.2 הוא המקסימום שלה.
מקור: תמליל 04 (WdKqIf8xGeY) 09:41–13:36 (t=581s): "בואו נראה כמה דוגמאות בסיסיות ... נסביר מי הם החסמים שלהם, אך לא נוכיח" (09:48, ולכן ההוכחה עבור (0,1) נוספה כאן); חסמי מלעיל "2, 3, Pi, E" (11:20); "כל מספר בקבוצה, אפשר לקחת מספר אחר בקבוצה שקרוב יותר לאחד" (12:05); "בין כל מספר חיובי לאפס יש מספר נוסף, חצי המספר החיובי למשל" (13:32–13:36). מאגר 1.3-01 ו־1.3-02 (◆, ק' 1, בוחן ✓; גם מחברת ההרצאות תשע"ז עמ' 6–7, G1 E08–E09). ההערה של 1.1.2 ("ל־(0,1] יש מקסימום ואין מינימום") וההערה של 1.1.4 ("ל־(0,1) מתקיים sup=1 ואין מקסימום").
דוגמה 2: שאלת בוחן: מקסימום ומינימום בלי אפסילון
(שיעורי הבית של הקורס ב־XI, גיליון "חסמים", שאלה 2; שאלה ברמת בוחן) נתונה הקבוצה [math]\displaystyle{ B=\left\{(-1)^{n-1}\left(3+\frac8n\right)\mid n\in\mathbb N\right\} }[/math]. מצאו את החסם העליון ואת החסם התחתון של [math]\displaystyle{ B }[/math], וקבעו אם הם מקסימום ומינימום. אם כן, רשמו את ה־[math]\displaystyle{ n }[/math] שעבורו הם מתקבלים.
נכתוב כמה איברים: עבור [math]\displaystyle{ n=1,2,3,4 }[/math] מתקבלים [math]\displaystyle{ 11 }[/math], [math]\displaystyle{ -7 }[/math], [math]\displaystyle{ \frac{17}3 }[/math], [math]\displaystyle{ -5 }[/math]. עבור [math]\displaystyle{ n }[/math] אי־זוגי האיבר הוא [math]\displaystyle{ 3+\frac8n>0 }[/math], ועבור [math]\displaystyle{ n }[/math] זוגי האיבר הוא [math]\displaystyle{ -\left(3+\frac8n\right)<0 }[/math].
מקסימום. יהי [math]\displaystyle{ n\in\mathbb N }[/math]. אם [math]\displaystyle{ n }[/math] אי־זוגי, אזי [math]\displaystyle{ n\ge1 }[/math], ולכן [math]\displaystyle{ 3+\frac8n\le3+8=11 }[/math]. אם [math]\displaystyle{ n }[/math] זוגי, האיבר שלילי ולכן קטן מ־[math]\displaystyle{ 11 }[/math]. לכן [math]\displaystyle{ 11 }[/math] חסם מלעיל של [math]\displaystyle{ B }[/math], והוא שייך ל־[math]\displaystyle{ B }[/math] (עבור [math]\displaystyle{ n=1 }[/math]). לפי הגדרה 1.1.2 [math]\displaystyle{ \max B=11 }[/math], ולפי טענה 1.1.5 גם [math]\displaystyle{ \sup B=11 }[/math].
מינימום. יהי [math]\displaystyle{ n\in\mathbb N }[/math]. אם [math]\displaystyle{ n }[/math] זוגי, אזי [math]\displaystyle{ n\ge2 }[/math], ולכן [math]\displaystyle{ \frac8n\le4 }[/math] ו־[math]\displaystyle{ -\left(3+\frac8n\right)\ge-7 }[/math]. אם [math]\displaystyle{ n }[/math] אי־זוגי, האיבר חיובי ולכן גדול מ־[math]\displaystyle{ -7 }[/math]. לכן [math]\displaystyle{ -7 }[/math] חסם מלרע של [math]\displaystyle{ B }[/math] השייך ל־[math]\displaystyle{ B }[/math] (עבור [math]\displaystyle{ n=2 }[/math]). לפי הגדרה 1.1.2 [math]\displaystyle{ \min B=-7 }[/math], ולפי טענה 1.1.5 גם [math]\displaystyle{ \inf B=-7 }[/math].
התשובה:[math]\displaystyle{ \sup B=\max B=11 }[/math], מתקבל עבור [math]\displaystyle{ n=1 }[/math]; [math]\displaystyle{ \inf B=\min B=-7 }[/math], מתקבל עבור [math]\displaystyle{ n=2 }[/math].
שימו לב: לא היה צורך באפסילון. כשהמועמד לחסם העליון שייך לקבוצה, מספיק להראות שהוא חסם מלעיל, וטענה 1.1.5 משלימה את השאר.
מקור: תוכנית שיעורי הבית של ארז ב־XI (88-132), גיליון 1 "תרגיל 1 - חסמים", שאלה X2 ("שאלה 2 - מציאת חסמים"), המופע הקבוע a=3, b=8 של B={(-1)^(n-1)(a+b/n)}; פתרון ארז במשוב: "עבור n זוגי נקבל איבר שלילי ועבור n אי זוגי נקבל איבר חיובי ... לכן a+b מקסימום ובפרט חסם עליון", בלי אפסילון; התאמה לבוחן: רמה 1, 5 דק' (G3). מאגר 1.3-05 (◆, ק' 2, בוחן ✓); וריאנטים: ש"ב1 תיכוניסטים תש"ף (P4) עם (-1)^(n-5)(3+4/n), בוחן תשע"ד (Q3b/c ש1א) עם (-1)^(n-1)(2+3/n).
דוגמה 3: קבוצה שאינה חסומה מלעיל, ומינימום מאי־שוויון
תהי [math]\displaystyle{ A=\left\{x+\frac9x\mid x\in\mathbb R,\ x>0\right\} }[/math]. הוכיחו ש [math]\displaystyle{ A }[/math] אינה חסומה מלעיל, ומצאו את [math]\displaystyle{ \inf A }[/math]. האם הוא מינימום? מהו [math]\displaystyle{ \sup A }[/math]?
[math]\displaystyle{ A }[/math] אינה חסומה מלעיל. לפי השלילה של הגדרה 1.1.1, צריך להראות שלכל [math]\displaystyle{ M\in\mathbb R }[/math] קיים [math]\displaystyle{ a\in A }[/math] כך ש [math]\displaystyle{ a>M }[/math]. יהי [math]\displaystyle{ M\in\mathbb R }[/math], ונבחר [math]\displaystyle{ x=|M|+1 }[/math]. אזי [math]\displaystyle{ x>0 }[/math], ולכן [math]\displaystyle{ x+\frac9x\in A }[/math], ומתקיים (כי [math]\displaystyle{ \frac9x>0 }[/math]) [math]\displaystyle{ x+\frac9x>x }[/math] [math]\displaystyle{ =|M|+1>M }[/math].
לכן לפי הסימון שבהגדרה 1.1.4 [math]\displaystyle{ \sup A=\infty }[/math], ואין ל־[math]\displaystyle{ A }[/math] מקסימום, כי מקסימום הוא בפרט חסם מלעיל.
מועמד לחסם התחתון. כש [math]\displaystyle{ x }[/math] גדל, המחובר [math]\displaystyle{ x }[/math] גדל והמחובר [math]\displaystyle{ \frac9x }[/math] קטן, ולהפך. ננחש שהערך הקטן ביותר מתקבל כששני המחוברים שווים: [math]\displaystyle{ x=\frac9x }[/math], כלומר [math]\displaystyle{ x=3 }[/math], ואז [math]\displaystyle{ 3+\frac93=6 }[/math].
[math]\displaystyle{ 6 }[/math] חסם מלרע של [math]\displaystyle{ A }[/math]. יהי [math]\displaystyle{ x>0 }[/math]. נכפול ב־[math]\displaystyle{ x }[/math] (כפל במספר חיובי שומר על אי־שוויון) ונעביר אגף: [math]\displaystyle{ x+\frac9x\ge6 }[/math] [math]\displaystyle{ \iff x^2+9\ge6x }[/math] [math]\displaystyle{ \iff(x-3)^2\ge0 }[/math], והאי־שוויון האחרון נכון לכל [math]\displaystyle{ x\in\mathbb R }[/math]. לכן [math]\displaystyle{ x+\frac9x\ge6 }[/math] לכל [math]\displaystyle{ x>0 }[/math].
[math]\displaystyle{ 6\in A }[/math] (עבור [math]\displaystyle{ x=3 }[/math]). לכן לפי הגדרה 1.1.2 [math]\displaystyle{ \min A=6 }[/math], ולפי טענה 1.1.5 [math]\displaystyle{ \inf A=6 }[/math].
התשובה:[math]\displaystyle{ \inf A=\min A=6 }[/math], מתקבל עבור [math]\displaystyle{ x=3 }[/math]; [math]\displaystyle{ A }[/math] אינה חסומה מלעיל, ו־[math]\displaystyle{ \sup A=\infty }[/math] הוא סימון בלבד: [math]\displaystyle{ \infty }[/math] אינו מספר ממשי ואינו חסם מלעיל של [math]\displaystyle{ A }[/math].
מקור: וריאנט של תוכנית שיעורי הבית של ארז ב־XI, גיליון 1, שאלה X5 ("מציאת חסמים של q+1/q"): במקור A={q+n²/q | 0<q∈ℚ}, והמופע הקבוע n=3, כלומר q+9/q: אין חסם עליון, inf=min=6 ב־q=3; פתרון ארז במשוב: אי־חסימות מלעיל, "האינטואיציה במקרה זה שהחסם התחתון יתקבל עבור q שיקיים q=n²/q", ו־(q−n)²≥0 (G3). מאגר 1.3-12 (◆, ק' 3; סעיף 1 מתאים לבוחן, 7 דק'). בדף x ממשי במקום q רציונלי, כדי שהוכחת אי־החסימות לא תזדקק לתכונת ארכימדס (טענה 1.1.10, בדף שלמות הממשיים). השלילה של "חסומה מלעיל" לקוחה מההערה לפריט 1.1.1.
דוגמה 4: שאלה ממבחן: הכלה של קבוצות וחסם עליון
(מועד א' תש"ף, מדמ"ח, שאלה 2א, בתוספת סעיפים (ב) ו־(ג)) תהיינה [math]\displaystyle{ \emptyset\ne S\subseteq T\subseteq\mathbb R }[/math] קבוצות שיש לשתיהן חסם עליון (במבחן נתון רק שהן חסומות מלעיל; ראו את ההערה בסוף הפתרון). (א) הוכיחו כי [math]\displaystyle{ \sup S\le\sup T }[/math]. (ב) נניח שבנוסף יש ל־[math]\displaystyle{ S }[/math] ול־[math]\displaystyle{ T }[/math] חסם תחתון. הוכיחו כי [math]\displaystyle{ \inf T\le\inf S }[/math]. (ג) האם ייתכן ש [math]\displaystyle{ \sup S=\sup T }[/math] אף ש [math]\displaystyle{ S\ne T }[/math]?
(א) נראה ש [math]\displaystyle{ \sup T }[/math] חסם מלעיל של [math]\displaystyle{ S }[/math]. יהי [math]\displaystyle{ s\in S }[/math]. אזי [math]\displaystyle{ s\in T }[/math], כי [math]\displaystyle{ S\subseteq T }[/math], ו־[math]\displaystyle{ \sup T }[/math] חסם מלעיל של [math]\displaystyle{ T }[/math], ולכן [math]\displaystyle{ s\le\sup T }[/math].
[math]\displaystyle{ \sup S }[/math] הוא האיבר הקטן ביותר בקבוצת חסמי המלעיל של [math]\displaystyle{ S }[/math], ו־[math]\displaystyle{ \sup T }[/math] שייך לקבוצה הזו. לכן [math]\displaystyle{ \sup S\le\sup T }[/math].
(ב) יהי [math]\displaystyle{ s\in S }[/math]. אזי [math]\displaystyle{ s\in T }[/math], ו־[math]\displaystyle{ \inf T }[/math] חסם מלרע של [math]\displaystyle{ T }[/math], ולכן [math]\displaystyle{ \inf T\le s }[/math]. כלומר [math]\displaystyle{ \inf T }[/math] חסם מלרע של [math]\displaystyle{ S }[/math], ו־[math]\displaystyle{ \inf S }[/math] הוא האיבר הגדול ביותר בקבוצת חסמי המלרע של [math]\displaystyle{ S }[/math], ולכן [math]\displaystyle{ \inf T\le\inf S }[/math].
(ג) כן. למשל [math]\displaystyle{ S=(0,1) }[/math] ו־[math]\displaystyle{ T=[0,1] }[/math]: מתקיים [math]\displaystyle{ S\subseteq T }[/math] ו־[math]\displaystyle{ S\ne T }[/math], אבל [math]\displaystyle{ \sup S=\sup T=1 }[/math] (הדוגמה הראשונה בדף). הכלה ממש אינה גוררת אי־שוויון ממש.
על הנתון. במבחן לא נתון שהחסמים קיימים, אלא ש־[math]\displaystyle{ S }[/math] ו־[math]\displaystyle{ T }[/math] לא ריקות וחסומות מלעיל; הקיום נובע ממשפט שלמות הממשיים (1.1.7, בדף "שלמות הממשיים"). באותו אופן בסעיף (ב) מספיק לדעת ש־[math]\displaystyle{ T }[/math] חסומה מלרע: כל חסם מלרע של [math]\displaystyle{ T }[/math] הוא גם חסם מלרע של [math]\displaystyle{ S }[/math], ולפי מסקנה 1.1.8 יש לשתיהן חסם תחתון.
שימו לב: ההוכחה לא השתמשה באפסילון, אלא רק בהגדרה: החסם העליון קטן או שווה לכל חסם מלעיל של הקבוצה.
מקור: מבחן מועד א' תש"ף, 89-132 מדמ"ח (אלעד עטייא וארז שיינר, 23.2.20), שאלה 2א (19CSInfi1A.pdf); הפתרון הרשמי (19CSInfi1ASol.pdf עמ' 2): "sup(T) הוא חסם מלעיל של הקבוצה S. כיוון ש־sup(S) הוא חסם המלעיל הקטן ביותר של S, נובע כי sup(S)≤sup(T)" (לפי הערות W4b, E9-Q2א). מאגר 1.3-37 (◆, ק' 1–2, בוחן ✓ 3 דק'), שם גם החלק על inf (סעיף ב); אותה שאלה גם בתרגול 2 של לואי ומני עמ' 2 ובלוח קיץ תשפ"א 5.8 (R4-X1). סעיף (ג) הוא תוספת, עם הקבוצות מהדוגמה הראשונה. בדף: קיום החסמים הוא נתון בשאלה (הקשר לנוסח המבחן ול־1.1.7, 1.1.8 בהערה בסוף הפתרון), כדי שההוכחה לא תסתמך על משפט מהדף הבא.
טעויות נפוצות
לשכוח בהגדרת המקסימום את הדרישה [math]\displaystyle{ M\in A }[/math]: בלעדיה זו ההגדרה של חסם מלעיל. למשל [math]\displaystyle{ 2 }[/math] הוא חסם מלעיל של [math]\displaystyle{ (0,1] }[/math] אבל אינו המקסימום שלה; המקסימום הוא [math]\displaystyle{ 1 }[/math] (ולקבוצה הזו אין מינימום).
לדרוש ש [math]\displaystyle{ \sup A\in A }[/math], או לזהות את החסם העליון עם המקסימום: לקטע [math]\displaystyle{ (0,1) }[/math] אין מקסימום, ובכל זאת החסם העליון שלו הוא [math]\displaystyle{ 1 }[/math]. רק הכיוון ההפוך נכון: אם יש מקסימום, הוא החסם העליון (טענה 1.1.5).
להפוך את הכיוון בהגדרת החסם העליון: הוא חסם המלעיל הקטן ביותר (לקבוצת חסמי המלעיל של [math]\displaystyle{ (0,1) }[/math], הקרן [math]\displaystyle{ [1,\infty) }[/math], אין איבר גדול ביותר), והחסם התחתון הוא חסם המלרע הגדול ביותר (בסרטון, 7:37: "זה נשמע קצת מוזר ... למה אנחנו לוקחים קטן ביותר?").
להחליף את סדר הכמתים בשלילה של "חסומה מלעיל": הניסוח הנכון הוא "לכל [math]\displaystyle{ M\in\mathbb R }[/math] קיים [math]\displaystyle{ a\in A }[/math] כך ש [math]\displaystyle{ a>M }[/math]", ואילו "לכל [math]\displaystyle{ a\in A }[/math] קיים [math]\displaystyle{ M\in\mathbb R }[/math] כך ש [math]\displaystyle{ a>M }[/math]" מתקיים בכל קבוצה (ניקח [math]\displaystyle{ M=a-1 }[/math]), ולכן אינו אומר דבר.
לחפש בקטע פתוח "איבר קרוב ביותר לקצה", למשל מספר חיובי קטן ביותר: אין כזה, כי בין כל מספר חיובי [math]\displaystyle{ a }[/math] לבין [math]\displaystyle{ 0 }[/math] נמצא [math]\displaystyle{ \frac a2 }[/math] (בסרטון, 13:28). לכן לקטע [math]\displaystyle{ (0,1) }[/math] אין מינימום ואין מקסימום, והקצוות [math]\displaystyle{ 0 }[/math] ו־[math]\displaystyle{ 1 }[/math] הם רק החסם התחתון והחסם העליון שלו.
לתרגול
מועד א' תש"ף (מדמ"ח) · שאלה 2א: הכלה של קבוצות וחסם עליון, כמו הדוגמה הרביעית בדף (פתרון). קושי 1–2.
מבחן דמה תשע"ג (מדמ"ח) · שאלה 1: חסם עליון של איחוד (1a) ושל מכפלה (1b) של קבוצות, הוכיחו או הפריכו (פתרון). קושי 1–3.
מועד ב' תשפ"ה (מתמטיקה, בועז צבאן) · חלק נכון/לא נכון, סעיף ג: אם [math]\displaystyle{ \sup A=7 }[/math], האם יש ב־[math]\displaystyle{ A }[/math] סדרה עולה ממש ששואפת ל־[math]\displaystyle{ 7 }[/math]? (דורש סדרות מפרק 2) (פתרון). קושי 2.
מועד א' תשפ"א (מדמ"ח) · שאלה מיטיבה 8: החסם העליון של קבוצת האיברים [math]\displaystyle{ \left(1+\frac{(-1)^{n+1}}n\right)^n }[/math] (דורש את המספר [math]\displaystyle{ e }[/math] מפרק 2) (פתרון). קושי 2.
מערך תרגול · מערך התרגול של הקורס (תשע"ב), דף החסמים: ההגדרות ושלילותיהן, ותרגיל מלא על החסמים של [math]\displaystyle{ \left\{\frac1{n^2}+2(-1)^n\right\} }[/math].
תרגול 2 (לואי ומני) · עמ' 1–4: הגדרות החסמים ושלילותיהן, מקסימום ומינימום של [math]\displaystyle{ \{x\in\mathbb R\mid x^2+3x-4\le0\} }[/math], [math]\displaystyle{ \sup S\le\sup T }[/math] כש [math]\displaystyle{ S\subseteq T }[/math], ותרגיל מלא על [math]\displaystyle{ \left\{\frac1{n^2}+2(-1)^n\right\} }[/math]; עם פתרונות (מתוך חשבון אינפיניטיסימלי 1 - מערך תרגול).
![הקבוצה [math]\displaystyle{ A=[-2,-1]\cup(0,1) }[/math] (בכחול) על ציר המספרים: נקודה מלאה שייכת ל־[math]\displaystyle{ A }[/math], ונקודה חלולה אינה שייכת. הקרן הירוקה מימין, [math]\displaystyle{ [1,\infty) }[/math], היא קבוצת כל חסמי המלעיל של [math]\displaystyle{ A }[/math], והאיבר הקטן ביותר בה הוא [math]\displaystyle{ \sup A=1 }[/math]; כיוון ש [math]\displaystyle{ 1\notin A }[/math], אין ל־[math]\displaystyle{ A }[/math] מקסימום. הקרן משמאל, [math]\displaystyle{ (-\infty,-2] }[/math], היא קבוצת כל חסמי המלרע, והאיבר הגדול ביותר בה הוא [math]\displaystyle{ \inf A=-2 }[/math]; כאן [math]\displaystyle{ -2\in A }[/math], ולכן [math]\displaystyle{ -2 }[/math] הוא גם המינימום של [math]\displaystyle{ A }[/math].](/index.php/%D7%A7%D7%95%D7%91%D7%A5:Infi1-c1-01.png)