טור מתכנס בהחלט
משפט
טור המתכנס בהחלט - מתכנס
הוכחה
יהי טור [math]\displaystyle{ \sum a_n }[/math] המתכנס בהחלט. נסמן:
- [math]\displaystyle{ p_n=\frac{|a_n|+a_n}{2} }[/math]
- [math]\displaystyle{ q_n=\frac{|a_n|-a_n}{2} }[/math]
קל לראות כי:
- [math]\displaystyle{ p_n+q_n=|a_n| }[/math]
- [math]\displaystyle{ p_n-q_n=a_n }[/math]
- [math]\displaystyle{ 0\leq p_n,q_n }[/math]
כיון שהטור [math]\displaystyle{ \sum |a_n| }[/math] מתכנס לפי הנתון, וכיון ש- [math]\displaystyle{ p_n,q_n\le |a_n| }[/math] ,
לפי מבחן ההשוואה הטורים החיוביים [math]\displaystyle{ \sum p_n,\sum q_n }[/math] מתכנסים.
הפרש טורים מתכנסים הוא מתכנס, ולכן גם [math]\displaystyle{ \sum p_n-q_n=\sum a_n }[/math] מתכנס.