לכסון מטריצה
לכסון מטריצה הוא תהליך מרכזי באלגברה לינארית, המאפשר לפשט חישובים (כגון חזקות של מטריצה) על ידי הצגתה ביחס לבסיס של וקטורים עצמיים. התנאי המדויק ללכסינות נלמד בקורס אלגברה לינארית 2.
הגדרה: תהי A מטריצה ריבועית.
אומרים כי A מטריצה לכסינה אם היא דומה למטריצה אלכסונית
משפט.
תהי [math]\displaystyle{ A\in\mathbb{F}^{n\times n} }[/math] מטריצה ריבועית. A לכסינה אם ורק אם קיים בסיס B למרחב [math]\displaystyle{ \mathbb{F}^n }[/math] כך שכל הוקטורים בבסיס B הינם וקטורים עצמיים של המטריצה A.
הוכחה.
ראשית, נניח כי המטריצה A לכסינה. לכן קיימת מטריצה אלכסונית D וקיימת מטריצה הפיכה P כך שמתקיים:
- [math]\displaystyle{ D=P^{-1}AP }[/math]
נכפול משמאל במטריצה P לקבל
- [math]\displaystyle{ PD=AP }[/math]
נסמן את עמודות המטריצה P ב[math]\displaystyle{ C_1,...,C_n }[/math] ואת איברי האלכסון של D ב[math]\displaystyle{ d_1,...,d_n\in\mathbb{F} }[/math].
לפי שיטת כפל עמודה עמודה אנו שמים לב כי השיוויון
- [math]\displaystyle{ PD=AP }[/math]
שקול לכך שלכל i מתקיים
- [math]\displaystyle{ AC_i=d_iC_i }[/math]
ולכן עמודות P מהוות ו"ע של המטריצה A (כמובן ש [math]\displaystyle{ C_i\neq 0 }[/math] כיוון שP הפיכה).
בנוסף, כיוון שP הפיכה, עמודותיה מהוות בסיס למרחב [math]\displaystyle{ \mathbb{F}^n }[/math].
סה"כ נגיד את B להיות אוסף עמודות P וסיימנו.
בכיוון ההפוך, נניח שיש לנו בסיס כזה B, נשים את איבריו בעמודות מטריצה P. קל לראות כי מתקיים
- [math]\displaystyle{ PD=AP }[/math]
כאשר P הפיכה. לכן נכפול בהופכית לקבל
- [math]\displaystyle{ D=P^{-1}AP }[/math]
כלומר A לכסינה.
דוגמא חשובה לשימוש בלכסינות
באמצעות לכסון ניתן למצוא חזקות גבוהות של מטריצות באופן הבא. נניח A מטריצה לכסינה, לכן קיימת מטריצה אלכסונית D ומטריצה הפיכה P כך שמתקיים:
- [math]\displaystyle{ A=PDP^{-1} }[/math]
ולכן
- [math]\displaystyle{ A^k=\Big(PDP^{-1}\Big)^k = PDP^{-1}\cdot PDP^{-1} \cdots PDP^{-1} }[/math]
אבל
- [math]\displaystyle{ P^{-1}\cdot P=I }[/math]
לכן סה"כ אנחנו מקבלים
- [math]\displaystyle{ A^k=PD^kP^{-1} }[/math]
כאשר להעלות מטריצה אלכסונית בחזקה זה קל מאד.