מבחן השורש של קושי

מבחן השורש של קושי לטורים חיוביים

יהי [math]\displaystyle{ \displaystyle\sum_{n=1}^\infty a_n }[/math] טור חיובי. אזי:

אם [math]\displaystyle{ \limsup\limits_{n\to\infty}\sqrt[n]{a_n}\gt 1 }[/math] הטור מתבדר

אם [math]\displaystyle{ \limsup\limits_{n\to\infty}\sqrt[n]{a_n}\lt 1 }[/math] הטור מתכנס

אם [math]\displaystyle{ \limsup\limits_{n\to\infty}\sqrt[n]{a_n}=1 }[/math] לא ניתן לקבוע על פי מבחן זה.

הוכחה

נניח כי [math]\displaystyle{ \limsup\limits_{n\to\infty}\sqrt[n]{a_n}=d\gt 1 }[/math] . נבחר את תת הסדרה המתכנסת לגבול העליון:

[math]\displaystyle{ \lim\limits_{k\to\infty}\sqrt[n_k]{a_{n_k}}=d }[/math]

לכן החל ממקום מסוים בסדרה, [math]\displaystyle{ \sqrt[n_k]{a_{n_k}}\gt \dfrac{d+1}{2}\gt 1 }[/math] .

לכן [math]\displaystyle{ a_{n_k}\gt \left(\dfrac{d+1}{2}\right)^{n_k} }[/math]

לכן [math]\displaystyle{ \lim\limits_{k\to\infty}a_{n_k}=\infty }[/math]

לכן בפרט [math]\displaystyle{ a_n\not\to0 }[/math]

ולכן הטור מתבדר.

כעת, נניח כי [math]\displaystyle{ \limsup\limits_{n\to\infty}\sqrt[n]{a_n}=d\lt 1 }[/math] .

לכן החל ממקום מסוים בסדרה, [math]\displaystyle{ \sqrt[n]{a_n}\lt \dfrac{1+d}{2}\lt 1 }[/math]

לכן [math]\displaystyle{ a_n\lt \left(\dfrac{1+d}{2}\right)^n }[/math]

אבל [math]\displaystyle{ \displaystyle\sum_{n=1}^\infty\left(\frac{1+d}{2}\right)^n }[/math] הוא טור הנדסי מתכנס

לכן לפי מבחן ההשוואה הראשון לטורים חיוביים, הטור שלנו מתכנס.

הטורים [math]\displaystyle{ \displaystyle\sum_{n=1}^\infty\frac1n,\sum_{n=1}^\infty\frac1{n^2} }[/math] הם דוגמאות להתכנסות והתבדרות כאשר הגבול שווה ממש ל-1.