בקצרה: מבחני השורש והמנה משווים טור לטור הנדסי. במבחן המנה בודקים פי כמה גדל או קטן האיבר (בערך מוחלט) בכל צעד, ובמבחן השורש בודקים את [math]\displaystyle{ \sqrt[n]{|a_n|} }[/math], שהוא מעין קצב ממוצע של הדעיכה: אם הקצב נשאר, החל ממקום מסוים, מתחת למספר קבוע הקטן מאחד, האיברים קטנים מאיברי טור הנדסי מתכנס והטור מתכנס בהחלט; ואם הקצב גדול מאחד, האיברים אינם שואפים לאפס והטור מתבדר. המבחנים נוחים במיוחד כשבאיבר הכללי יש עצרת או חזקה שהמעריך שלה הוא המקום בסדרה, אבל כשהגבול יוצא בדיוק אחד הם אינם מכריעים, וצריך כלי אחר. ההבדל ביניהם (במבחן השורש גבול עליון בשני הסעיפים, ובמבחן המנה גבול עליון בסעיף אחד ותחתון בשני) אינו טעות: מנה גדולה מאחד בצעד בודד אינה מבטיחה שהאיבר עצמו גדול.
▶ ההרצאה: מבחן השורש ומבחן המנה לטורים
הטור מההערה למבחן המנה: [math]\displaystyle{ a_{2k-1}=4^{-k} }[/math] ו־[math]\displaystyle{ a_{2k}=2\cdot4^{-k} }[/math] לכל [math]\displaystyle{ k\in\mathbb N }[/math], כלומר [math]\displaystyle{ \frac{1}{4},\frac{1}{2},\frac{1}{16},\frac{1}{8},\frac{1}{64},\dots }[/math]. משמאל: האיברים, בציר אנכי לוגריתמי (שבו סדרה הנדסית נראית כקו ישר). ממקום אי־זוגי למקום שאחריו האיבר גדל פי [math]\displaystyle{ 2 }[/math], וממקום זוגי למקום שאחריו הוא קטן פי [math]\displaystyle{ 8 }[/math], אבל כל האיברים נמצאים ברצועה שבין שתי הסדרות ההנדסיות [math]\displaystyle{ 2^{-1-n} }[/math] ו־[math]\displaystyle{ 2^{1-n} }[/math], שהמנה שלהן [math]\displaystyle{ \frac{1}{2} }[/math]. לכן [math]\displaystyle{ a_n\le2\cdot\left(\frac{1}{2}\right)^n }[/math] לכל [math]\displaystyle{ n\in\mathbb N }[/math], והטור מתכנס (סכומו [math]\displaystyle{ 1 }[/math]). מימין: המנות [math]\displaystyle{ \frac{a_{n+1}}{a_n} }[/math] (עיגולים חלולים) מתחלפות בין [math]\displaystyle{ 2 }[/math] ל־[math]\displaystyle{ \frac{1}{8} }[/math], ולכן [math]\displaystyle{ \overline{\lim}\frac{a_{n+1}}{a_n}=2>1 }[/math] ו־[math]\displaystyle{ \underline{\lim}\frac{a_{n+1}}{a_n}=\frac{1}{8}<1 }[/math]: מבחן המנה אינו מכריע, ומי שמסיק מ־[math]\displaystyle{ \overline{\lim}>1 }[/math] שהטור מתבדר טועה. השורשים [math]\displaystyle{ \sqrt[n]{a_n} }[/math] (נקודות מלאות) שואפים ל־[math]\displaystyle{ \frac{1}{2} }[/math], ולכן [math]\displaystyle{ \overline{\lim}\sqrt[n]{a_n}=\frac{1}{2}<1 }[/math] ומבחן השורש מכריע: הטור מתכנס בהחלט. הקו האדום הוא הסף [math]\displaystyle{ 1 }[/math] של שני המבחנים.
(ב) אם [math]\displaystyle{ \overline{\lim}\sqrt[n]{|a_n|}>1 }[/math] (כולל [math]\displaystyle{ \infty }[/math]), אזי [math]\displaystyle{ a_n\not\to0 }[/math], ולכן הטור [math]\displaystyle{ \sum_{k=1}^\infty a_k }[/math]מתבדר.
הוכחה כתובה של מבחן השורש (מהדף הקודם "מבחן השורש של קושי", לטור חיובי; לטור כללי מפעילים אותה על [math]\displaystyle{ |a_n| }[/math]):
נניח כי [math]\displaystyle{ \limsup\limits_{n\to\infty}\sqrt[n]{a_n}=d>1 }[/math]. נבחר [math]\displaystyle{ q }[/math] כך ש [math]\displaystyle{ 1<q<d }[/math] (למשל [math]\displaystyle{ q=\frac{d+1}{2} }[/math] כאשר [math]\displaystyle{ d }[/math] סופי), ונבחר תת-סדרה המתכנסת לגבול העליון:
כלומר [math]\displaystyle{ a_n<\left(\frac{1+d}{2}\right)^n }[/math]. אבל [math]\displaystyle{ \sum_{n=1}^\infty\left(\frac{1+d}{2}\right)^n }[/math] הוא טור הנדסי מתכנס, ולכן לפי מבחן ההשוואה הראשון לטורים חיוביים הטור שלנו מתכנס.
הטורים [math]\displaystyle{ \sum_{n=1}^\infty\frac{1}{n} }[/math] ו־[math]\displaystyle{ \sum_{n=1}^\infty\frac{1}{n^2} }[/math] מראים שכאשר הגבול העליון שווה בדיוק ל־[math]\displaystyle{ 1 }[/math] המבחן אינו מכריע: בשניהם [math]\displaystyle{ \sqrt[n]{a_n}\to1 }[/math], הראשון מתבדר והשני מתכנס.
דוגמאות
נסו לפתור לבד, ואז לחצו "הצג פתרון".
דוגמה 1: הדוגמה מהסרטון למבחן השורש: [math]\displaystyle{ \sum\frac{(-1)^k}{\left(\ln(\ln k)\right)^k} }[/math]
קבעו האם הטור [math]\displaystyle{ \sum_{k=2}^\infty\frac{(-1)^k}{\left(\ln(\ln k)\right)^k} }[/math] מתכנס בהחלט, מתכנס בתנאי או מתבדר. (הטור מתחיל ב־[math]\displaystyle{ k=2 }[/math], כי [math]\displaystyle{ \ln(\ln1)=\ln0 }[/math] אינו מוגדר.)
הטור אינו חיובי, אבל מבחן השורש מתאים גם לטור כזה: מפעילים אותו על הערכים המוחלטים. נסמן [math]\displaystyle{ a_n=\frac{(-1)^n}{\left(\ln(\ln n)\right)^n} }[/math] לכל [math]\displaystyle{ n\ge2 }[/math] (המכנה אינו מתאפס, כי [math]\displaystyle{ \ln n=1 }[/math] רק עבור [math]\displaystyle{ n=e }[/math], ו־[math]\displaystyle{ e\notin\mathbb N }[/math]). אזי [math]\displaystyle{ \sqrt[n]{|a_n|}=\frac{1}{|\ln(\ln n)|} }[/math]. כאשר [math]\displaystyle{ n\to\infty }[/math] מתקיים [math]\displaystyle{ \ln(\ln n)\to\infty }[/math]: יהי [math]\displaystyle{ M>0 }[/math]. לפי תכונת ארכימדס קיים [math]\displaystyle{ K\in\mathbb N }[/math] כך ש [math]\displaystyle{ K>e^{e^M} }[/math], ולכל [math]\displaystyle{ n>K }[/math] מתקיים [math]\displaystyle{ \ln n>e^M }[/math], ולכן [math]\displaystyle{ \ln(\ln n)>M }[/math] (כי [math]\displaystyle{ \ln }[/math] עולה). לכן [math]\displaystyle{ |\ln(\ln n)|\to\infty }[/math], ולפי משפט 2.1.9 [math]\displaystyle{ \sqrt[n]{|a_n|}\to0 }[/math]. לסדרה [math]\displaystyle{ \sqrt[n]{|a_n|} }[/math] יש גבול, ולכן הגבול העליון שלה שווה לגבול: [math]\displaystyle{ \overline{\lim}\sqrt[n]{|a_n|}=0<1 }[/math]. לפי מבחן השורש הטור מתכנס בהחלט, ובפרט מתכנס (משפט 3.2.1); הוא אינו מתכנס בתנאי, כי טור שמתכנס בתנאי אינו מתכנס בהחלט. ההיגיון של ההוכחה ניכר כאן: החל ממקום מסוים [math]\displaystyle{ \sqrt[n]{|a_n|}<\frac{1}{2} }[/math], כלומר [math]\displaystyle{ |a_n|<\left(\frac{1}{2}\right)^n }[/math], והטור ההנדסי [math]\displaystyle{ \sum\left(\frac{1}{2}\right)^n }[/math] מתכנס. במקרה הזה המקום מאוחר מאוד ([math]\displaystyle{ \ln(\ln n)>2 }[/math] רק עבור [math]\displaystyle{ n>e^{e^2}\approx1618.2 }[/math]), אבל מספר סופי של איברים אינו משפיע על התכנסות הטור.
מקור: תמליל 39 (Y7k-a29_03g) 07:00–08:49 (https://www.youtube.com/watch?v=Y7k-a29_03g&t=420s): "ניקח לדוגמה ראשונה את הטור של מינוס 1 ב-K חלקי ln בחזקת K של ln K", "יישאר לנו 1 חלקי ערך מוחלט של ln של ln N" (07:50), "כיוון שזה גבול כל הסדרה, בפרט זה הגבול העליון" (08:14), וההיגיון "החל משלב מסוים הוא יהיה קטן יותר מחצי" והשוואה לטור ההנדסי "חצי בחזקת K" (08:29–08:46); "התור לא חייב להיות חיובי כי אנחנו הולכים לשים ערך מוחלט" (00:20); "מספר סופי של עברים לא משפיע" (06:50); מאגר 3.3-38 (◆, הטור [math]\displaystyle{ \sum\frac{1}{(\ln\ln n)^n} }[/math], ק' 1–2, בוחן ✓). בסרטון לא נאמר מאיזה מקום הטור מתחיל; כאן מ־[math]\displaystyle{ k=2 }[/math] (במאגר רשומה טעות ידועה של טורים עם [math]\displaystyle{ \ln1=0 }[/math] שמתחילים ב־[math]\displaystyle{ n=1 }[/math]).
דוגמה 2: הדוגמה מהסרטון למבחן המנה: [math]\displaystyle{ \sum\frac{k!\cdot3^k}{k^k} }[/math]
קבעו האם הטור [math]\displaystyle{ \sum_{k=1}^\infty\frac{k!\cdot3^k}{k^k} }[/math] מתכנס.
במונה ובמכנה יש מספרים גדולים מאוד, וקשה אפילו לנחש את גבול האיבר הכללי. עצרת וחזקות מצטמצמות היטב במנה של שני איברים סמוכים, ולכן נפעיל את מבחן המנה. נסמן [math]\displaystyle{ a_n=\frac{n!\cdot3^n}{n^n} }[/math]; לכל [math]\displaystyle{ n\in\mathbb N }[/math] מתקיים [math]\displaystyle{ a_n>0 }[/math], ובפרט [math]\displaystyle{ a_n\ne0 }[/math]. במקום לחלק נכפול בהופכי: [math]\displaystyle{ \frac{a_{n+1}}{a_n}=\frac{(n+1)!\cdot3^{n+1}}{(n+1)^{n+1}} }[/math] [math]\displaystyle{ \cdot\frac{n^n}{n!\cdot3^n}=\frac{3(n+1)\cdot n^n}{(n+1)^{n+1}} }[/math] [math]\displaystyle{ =\frac{3n^n}{(n+1)^n} }[/math] [math]\displaystyle{ =\frac{3}{\left(1+\frac{1}{n}\right)^n} }[/math]. (צמצמנו [math]\displaystyle{ \frac{3^{n+1}}{3^n}=3 }[/math] ו־[math]\displaystyle{ \frac{(n+1)!}{n!}=n+1 }[/math], ואת [math]\displaystyle{ n+1 }[/math] עם אחד הגורמים של [math]\displaystyle{ (n+1)^{n+1} }[/math]; בסוף חילקנו את המונה ואת המכנה ב־[math]\displaystyle{ n^n }[/math].) לפי משפט 2.9.5 [math]\displaystyle{ \left(1+\frac{1}{n}\right)^n\to e }[/math], ולכן לפי אריתמטיקה של גבולות [math]\displaystyle{ \frac{a_{n+1}}{a_n}\to\frac{3}{e} }[/math]. לסדרת המנות יש גבול, ולכן גם הגבול התחתון שלה הוא [math]\displaystyle{ \frac{3}{e} }[/math]. מתקיים [math]\displaystyle{ e<3 }[/math]: הסדרה [math]\displaystyle{ \left(1+\frac{1}{n}\right)^{n+1} }[/math] יורדת ושואפת ל־[math]\displaystyle{ e }[/math] (ראינו זאת בהוכחת משפט 2.9.5), ולכן [math]\displaystyle{ e\le\left(1+\frac{1}{5}\right)^6\approx2.986 }[/math]. לכן [math]\displaystyle{ \underline{\lim}\frac{a_{n+1}}{a_n}=\frac{3}{e}>1 }[/math], ולפי מבחן המנה (ב) [math]\displaystyle{ a_n\not\to0 }[/math], והטור מתבדר. ההיגיון: החל ממקום מסוים כל איבר גדול מקודמו פי מספר קבוע הגדול מ־[math]\displaystyle{ 1 }[/math] (למשל [math]\displaystyle{ \frac{1+\frac{3}{e}}{2} }[/math]), ולכן האיברים גדלים לפחות כמו סדרה הנדסית שהמנה שלה גדולה מ־[math]\displaystyle{ 1 }[/math].
מקור: תמליל 39 (Y7k-a29_03g) 16:51–18:51 (https://www.youtube.com/watch?v=Y7k-a29_03g&t=1011s): "נביט בתור K עצרת כפול 3 בחזקת K חלקי K בחזקת K", "אפילו את גבול הסדרה קשה לנו לקבוע" (17:07), "במקום לחלק בהן נכפול בהופכי" (17:21), "3 חלקי 1 ועוד 1 חלקי N בחזקת N" (18:29), "כיוון ש-E מספר קטן מ-3 ... זה אומר לנו שהטור מתבדר" (18:41–18:49); XI X58 (גיליון 6, המופע הקבוע [math]\displaystyle{ \sum\frac{3^nn!}{n^n} }[/math]: [math]\displaystyle{ \frac{3}{e}>1 }[/math], מתבדר; רמה 1, 4 דק'); מאגר 3.3-37 (V39 16:53, T3-E27). הנימוק ל־[math]\displaystyle{ e<3 }[/math] (דרך הסדרה היורדת [math]\displaystyle{ \left(1+\frac{1}{n}\right)^{n+1} }[/math] מההוכחה של 2.9.5) נוסף כאן; בסרטון רק נאמר ש־e קטן מ־3.
דוגמה 3: שאלת מבחן: [math]\displaystyle{ \sum\frac{3^n+n\cdot4^n}{2^n+5^n} }[/math]
(מועד מיוחד תשע"ב, מתמטיקה, שאלה 3ב) קבעו האם הטור [math]\displaystyle{ \sum_{n=1}^\infty\frac{3^n+n\cdot4^n}{2^n+5^n} }[/math] מתכנס.
נסמן [math]\displaystyle{ a_n=\frac{3^n+n\cdot4^n}{2^n+5^n} }[/math]; זה טור חיובי. באיבר יש חזקות שהמעריך שלהן הוא [math]\displaystyle{ n }[/math], ולכן מבחן השורש מתאים. נוציא מהמונה ומהמכנה את המחובר הדומיננטי (הגדול ביותר): [math]\displaystyle{ a_n=\frac{n\cdot4^n}{5^n}\cdot c_n }[/math], כאשר [math]\displaystyle{ c_n=\frac{\frac{1}{n}\left(\frac{3}{4}\right)^n+1}{\left(\frac{2}{5}\right)^n+1} }[/math]. לפי מסקנה 2.6.2 [math]\displaystyle{ \left(\frac{3}{4}\right)^n\to0 }[/math] ו־[math]\displaystyle{ \left(\frac{2}{5}\right)^n\to0 }[/math], וגם [math]\displaystyle{ \frac{1}{n}\to0 }[/math], ולכן לפי אריתמטיקה של גבולות [math]\displaystyle{ c_n\to\frac{0+1}{0+1}=1 }[/math]. נוציא שורש מסדר [math]\displaystyle{ n }[/math] (כל הגורמים חיוביים): [math]\displaystyle{ \sqrt[n]{a_n}=\sqrt[n]n\cdot\frac{4}{5}\cdot\sqrt[n]{c_n} }[/math]. מתקיים [math]\displaystyle{ \sqrt[n]n\to1 }[/math] (כלל המנה, משפט 2.7.1(ג), כי [math]\displaystyle{ \frac{n+1}{n}\to1 }[/math]), וגם [math]\displaystyle{ \sqrt[n]{c_n}=c_n^{\frac{1}{n}}\to1 }[/math] לפי טענה 2.8.1(ג), כי [math]\displaystyle{ c_n\to1 }[/math] ו־[math]\displaystyle{ \frac{1}{n}\to0 }[/math]. לכן לפי אריתמטיקה של גבולות [math]\displaystyle{ \sqrt[n]{a_n}\to1\cdot\frac{4}{5}\cdot1=\frac{4}{5} }[/math]. לסדרה [math]\displaystyle{ \sqrt[n]{a_n} }[/math] יש גבול, ולכן [math]\displaystyle{ \overline{\lim}\sqrt[n]{a_n}=\frac{4}{5}<1 }[/math], ולפי מבחן השורש הטור מתכנס בהחלט (והוא חיובי, כך שפשוט מתכנס). שימו לב: האיברים הראשונים דווקא גדלים ([math]\displaystyle{ a_1=1 }[/math], [math]\displaystyle{ a_4\approx1.72 }[/math]), אבל המבחן תלוי רק בגבול העליון, ומספר סופי של איברים אינו משפיע על ההתכנסות. המחוברים [math]\displaystyle{ 3^n }[/math] ו־[math]\displaystyle{ 2^n }[/math] אינם משפיעים על הגבול, והגורם [math]\displaystyle{ n }[/math] "נבלע" כי [math]\displaystyle{ \sqrt[n]n\to1 }[/math].
מקור: מועד מיוחד תשע"ב (88-132, מתמטיקה; מרצים ד"ר מ. שיין וד"ר ש. הורוביץ), שאלה 3ב (Infi1Exams1.pdf); הפתרון של ארז (Tashabspecialtestsol.pdf עמ' 3) עושה בדיוק את הפירוק [math]\displaystyle{ \sqrt[n]n\cdot\frac{4}{5}\cdot\sqrt[n]{c_n}\to\frac{4}{5}<1 }[/math], "והטור מתכנס (בהחלט)"; כאן נוספו הנימוקים (2.6.2, 2.7.1(ג), 2.8.1(ג)). מאגר 3.3-38 (B-S ש3ב, W5b Q043, פתרון ארז; ק' 1–2, בוחן ✓).
דוגמה 4: שאלת בוחן (מלכודת): כשגבול המנה יוצא [math]\displaystyle{ 1 }[/math]
קבעו האם הטור [math]\displaystyle{ \sum_{n=1}^\infty\frac{e^n\cdot n!}{n^n} }[/math] מתכנס.
נסמן [math]\displaystyle{ a_n=\frac{e^n\cdot n!}{n^n}>0 }[/math]. מראה הטור רומז למבחן המנה, וחישוב כמו בדוגמה 2 (עם [math]\displaystyle{ e }[/math] במקום [math]\displaystyle{ 3 }[/math]) נותן [math]\displaystyle{ \frac{a_{n+1}}{a_n}=\frac{e}{\left(1+\frac{1}{n}\right)^n} }[/math] [math]\displaystyle{ \to\frac{e}{e}=1 }[/math]. הגבול הוא [math]\displaystyle{ 1 }[/math], ולכן מבחן המנה אינו מכריע (ולפי משפט 2.7.1(ג) גם [math]\displaystyle{ \sqrt[n]{a_n}\to1 }[/math], כך שגם מבחן השורש אינו מכריע). נשתמש ברעיון שבהוכחת סעיף (ב): נראה שכל איבר גדול או שווה לקודמו. נסמן [math]\displaystyle{ d_n=\left(1+\frac{1}{n}\right)^n }[/math]. לפי משפט 2.9.5 הסדרה [math]\displaystyle{ d_n }[/math] מונוטונית עולה ושואפת ל־[math]\displaystyle{ e }[/math]. לכן [math]\displaystyle{ d_m\le e }[/math] לכל [math]\displaystyle{ m\in\mathbb N }[/math]: לכל [math]\displaystyle{ n\ge m }[/math] מתקיים [math]\displaystyle{ d_n\ge d_m }[/math], ובמעבר לגבול באי־השוויון [math]\displaystyle{ e\ge d_m }[/math]. לכן לכל [math]\displaystyle{ n\in\mathbb N }[/math] מתקיים [math]\displaystyle{ \frac{a_{n+1}}{a_n}=\frac{e}{d_n}\ge1 }[/math], כלומר [math]\displaystyle{ a_{n+1}\ge a_n }[/math]. הסדרה [math]\displaystyle{ a_n }[/math] מונוטונית עולה, ולכן [math]\displaystyle{ a_n\ge a_1=e }[/math] לכל [math]\displaystyle{ n\in\mathbb N }[/math], ובפרט [math]\displaystyle{ a_n\not\to0 }[/math]. לפי מסקנה 3.1.4 הטור מתבדר. סיכום: יהי [math]\displaystyle{ a>0 }[/math]. אזי הטור [math]\displaystyle{ \sum_{n=1}^\infty\frac{a^n\cdot n!}{n^n} }[/math] מתכנס אם ורק אם [math]\displaystyle{ a<e }[/math]: המנה שואפת ל־[math]\displaystyle{ \frac{a}{e} }[/math], ולכן לפי מבחן המנה עבור [math]\displaystyle{ a<e }[/math] הטור מתכנס ועבור [math]\displaystyle{ a>e }[/math] הוא מתבדר, ועבור [math]\displaystyle{ a=e }[/math] הוא מתבדר לפי הדוגמה הזו.
מקור: XI X47 (גיליון 6, "טורים חיוביים - חלק חישובי", משוב מלא של ארז: "מראה הטור רומז לנו באופן עבה במיוחד להשתמש במבחן המנה. אך כמה מר הוא גורלנו", ובפתרון "לכל n מתקיים כי (1+1/n)^n<e ולכן סה"כ a_{n+1}/a_n>1 והסדרה a_n אינה שואפת לאפס"; התאמה לבוחן: רמה 1, 5 דק', שאלת "מלכודת" טובה); מאגר 3.3-12 (ש"ב◆/תרגול◆, ק' 3, בוחן ✓ 5 דק'); מערך תרגול תשע"ב, טורים/מבחנים לחיוביים ("אם המנה לעיל גדולה מ-1, סימן שהסדרה מונוטונית עולה ולכן לא שואפת ל-0"); הסיכום [math]\displaystyle{ a<e }[/math]: מאגר 3.3-37 ([math]\displaystyle{ \sum\frac{k!a^k}{k^k} }[/math] ⟺ [math]\displaystyle{ a<e }[/math]) ו־XI X58. כאן מספיק [math]\displaystyle{ d_n\le e }[/math] (אי־שוויון חלש), שנובע ישירות מהמונוטוניות במשפט 2.9.5.
טעויות נפוצות
[math]\displaystyle{ \overline{\lim}\left|\frac{a_{n+1}}{a_n}\right|>1 }[/math] אינו מספיק להתבדרות: בטור שבו [math]\displaystyle{ a_{2k-1}=4^{-k} }[/math] ו־[math]\displaystyle{ a_{2k}=2\cdot4^{-k} }[/math] המנות הן [math]\displaystyle{ 2 }[/math] ו־[math]\displaystyle{ \frac{1}{8} }[/math] לסירוגין, כך ש [math]\displaystyle{ \overline{\lim}\frac{a_{n+1}}{a_n}=2 }[/math], ובכל זאת הטור מתכנס (ראו האיור): מנה גדולה מאחד אומרת רק שהאיבר הבא גדול מקודמו, וייתכן שהקודם קטן מאוד. בסעיף (ב) של מבחן המנה דרוש [math]\displaystyle{ \underline{\lim}>1 }[/math], ובמבחן השורש מספיק [math]\displaystyle{ \overline{\lim}\sqrt[n]{|a_n|}>1 }[/math] (בסרטון, 09:14–10:17: "שימו לב זה לא טעות").
מנה קטנה מ־[math]\displaystyle{ 1 }[/math] לכל [math]\displaystyle{ n }[/math] אינה מספיקה: בטור ההרמוני [math]\displaystyle{ \frac{a_{n+1}}{a_n}=\frac{n}{n+1}<1 }[/math] לכל [math]\displaystyle{ n\in\mathbb N }[/math], והוא מתבדר. המבחן דורש [math]\displaystyle{ \overline{\lim}<1 }[/math], כלומר שהחל ממקום מסוים המנות קטנות ממספר קבוע הקטן מאחד. כשהגבול הוא בדיוק [math]\displaystyle{ 1 }[/math] המבחנים אינם מכריעים: גם ל־[math]\displaystyle{ \sum\frac{1}{n^2} }[/math] המתכנס וגם ל־[math]\displaystyle{ \sum\frac{1}{n} }[/math] המתבדר גבול המנה וגבול השורש הם [math]\displaystyle{ 1 }[/math] (בסרטון, 01:16).
כשהגבול גדול מ־[math]\displaystyle{ 1 }[/math] אין מה לחפש התכנסות בתנאי: המבחן נותן [math]\displaystyle{ a_n\not\to0 }[/math], ולכן הטור מתבדר לפי התנאי ההכרחי, ולא רק "אינו מתכנס בהחלט" (בסרטון, 00:56: "אפילו לא מתכנס על תנאי"). למשל בטור [math]\displaystyle{ \sum(-1)^n\frac{n!\cdot3^n}{n^n} }[/math] אין טעם לנסות את מבחן לייבניץ.
לשכוח את הערך המוחלט: בטור [math]\displaystyle{ \sum(-2)^n }[/math] מתקיים [math]\displaystyle{ \frac{a_{n+1}}{a_n}=-2<1 }[/math] לכל [math]\displaystyle{ n }[/math], ובכל זאת הטור מתבדר. המבחנים עוסקים ב־[math]\displaystyle{ \left|\frac{a_{n+1}}{a_n}\right| }[/math] וב־[math]\displaystyle{ \sqrt[n]{|a_n|} }[/math], וכאן [math]\displaystyle{ \left|\frac{a_{n+1}}{a_n}\right|=2>1 }[/math].
להפעיל את מבחן המנה כשיש איברים ששווים לאפס: המבחן דורש [math]\displaystyle{ a_n\ne0 }[/math] לכל [math]\displaystyle{ n }[/math], אחרת המנה אינה מוגדרת (בסרטון, 12:15). בטור [math]\displaystyle{ \sum\frac{\cos^2\left(\frac{n\pi}{2}\right)}{n} }[/math] (מועד א' תשע"ב, מדמ"ח, שאלה 5ג) כל האיברים במקומות האי־זוגיים הם [math]\displaystyle{ 0 }[/math]; שם מסתכלים על האיברים במקומות הזוגיים, [math]\displaystyle{ \frac{1}{2k} }[/math], והטור מתבדר כמו חצי הטור ההרמוני.
לתרגול
מועד ב' תשנ"ט (מתמטיקה) · שאלה 2ב: [math]\displaystyle{ \sum\binom{2n}n\frac{1}{2^{3n}} }[/math], מבחן המנה (המנה שואפת ל־[math]\displaystyle{ \frac{1}{2} }[/math]), עם פתרון. קושי 2.
מועד ב' תשס"ג (מתמטיקה) · שאלה 8: אם [math]\displaystyle{ a_n>0 }[/math] ו־[math]\displaystyle{ \lim\sqrt[n]{a_n}>1 }[/math] אזי [math]\displaystyle{ \sum\frac{1}{a_n} }[/math] מתכנס; שאלה 10: טור שאפשר לכתוב כ־[math]\displaystyle{ \sum\left(-\frac{3+\frac{1}{n}}{\left(1+\frac{1}{n}\right)^n}\right)^n }[/math] מתבדר (השורש של הערך המוחלט שואף ל־[math]\displaystyle{ \frac{3}{e}>1 }[/math]). עם פתרונות. קושי 2.
מועד א' תשע"ג (מדמ"ח) · שאלה 4ב, חלק א': [math]\displaystyle{ \sum_{n=2}^\infty\left(\frac{n-1}{n+1}\right)^{n(n-1)} }[/math], מבחן השורש וכלל ה־[math]\displaystyle{ e }[/math] (השורש שואף ל־[math]\displaystyle{ e^{-2} }[/math]); בחלק ב' שם: מבחן העיבוי ואחריו מבחן השורש. פתרונות בלבד, בלי נוסח השאלות. קושי 2–3.
מערך תרגול · מערך התרגול של הקורס (תשע"ב), פרק הטורים.
מערך תרגול: מבחן המנה ומבחן השורש · ניסוח שני המבחנים, הדוגמאות [math]\displaystyle{ \sum\frac{1}{n} }[/math] ו־[math]\displaystyle{ \sum\frac{1}{n^2} }[/math] למקרה שבו הגבול הוא [math]\displaystyle{ 1 }[/math], וההערה שמנה גדולה מ־[math]\displaystyle{ 1 }[/math] לכל [math]\displaystyle{ n }[/math] גוררת התבדרות (כמו בדוגמה 4).
מערך תרגול: תרגיל 7 ופתרונו · [math]\displaystyle{ \sum\frac{(\alpha n)^n}{n!} }[/math] לפי מבחן המנה (המנה שואפת ל־[math]\displaystyle{ \alpha e }[/math]), כולל המקרה הגבולי [math]\displaystyle{ \alpha=\frac{1}{e} }[/math], שבו המבחן אינו מכריע וההתבדרות מתקבלת מהשוואת מנות עם הטור ההרמוני ("בן הזוג" של דוגמה 4).
תרגול 7 (לואי ומני) · עמ' 4–5: מבחן ד'אלמבר ומבחן קושי, והדוגמאות [math]\displaystyle{ \sum\frac{n^3}{(\ln3)^n} }[/math] (מבחן השורש, הגבול [math]\displaystyle{ \frac{1}{\ln3}<1 }[/math]) ו־[math]\displaystyle{ \sum\frac{(n+1)2^n}{n!} }[/math] (מבחן המנה, הגבול [math]\displaystyle{ 0 }[/math]), עם פתרונות.
![הטור מההערה למבחן המנה: [math]\displaystyle{ a_{2k-1}=4^{-k} }[/math] ו־[math]\displaystyle{ a_{2k}=2\cdot4^{-k} }[/math] לכל [math]\displaystyle{ k\in\mathbb N }[/math], כלומר [math]\displaystyle{ \frac{1}{4},\frac{1}{2},\frac{1}{16},\frac{1}{8},\frac{1}{64},\dots }[/math]. משמאל: האיברים, בציר אנכי לוגריתמי (שבו סדרה הנדסית נראית כקו ישר). ממקום אי־זוגי למקום שאחריו האיבר גדל פי [math]\displaystyle{ 2 }[/math], וממקום זוגי למקום שאחריו הוא קטן פי [math]\displaystyle{ 8 }[/math], אבל כל האיברים נמצאים ברצועה שבין שתי הסדרות ההנדסיות [math]\displaystyle{ 2^{-1-n} }[/math] ו־[math]\displaystyle{ 2^{1-n} }[/math], שהמנה שלהן [math]\displaystyle{ \frac{1}{2} }[/math]. לכן [math]\displaystyle{ a_n\le2\cdot\left(\frac{1}{2}\right)^n }[/math] לכל [math]\displaystyle{ n\in\mathbb N }[/math], והטור מתכנס (סכומו [math]\displaystyle{ 1 }[/math]). מימין: המנות [math]\displaystyle{ \frac{a_{n+1}}{a_n} }[/math] (עיגולים חלולים) מתחלפות בין [math]\displaystyle{ 2 }[/math] ל־[math]\displaystyle{ \frac{1}{8} }[/math], ולכן [math]\displaystyle{ \overline{\lim}\frac{a_{n+1}}{a_n}=2>1 }[/math] ו־[math]\displaystyle{ \underline{\lim}\frac{a_{n+1}}{a_n}=\frac{1}{8}<1 }[/math]: מבחן המנה אינו מכריע, ומי שמסיק מ־[math]\displaystyle{ \overline{\lim}>1 }[/math] שהטור מתבדר טועה. השורשים [math]\displaystyle{ \sqrt[n]{a_n} }[/math] (נקודות מלאות) שואפים ל־[math]\displaystyle{ \frac{1}{2} }[/math], ולכן [math]\displaystyle{ \overline{\lim}\sqrt[n]{a_n}=\frac{1}{2}<1 }[/math] ומבחן השורש מכריע: הטור מתכנס בהחלט. הקו האדום הוא הסף [math]\displaystyle{ 1 }[/math] של שני המבחנים.](/index.php/%D7%A7%D7%95%D7%91%D7%A5:Infi1-c3-06.png)