מבחני התכנסות לאינטגרלים לא אמיתיים
אינטגרלים לא-אמיתיים מסוג ראשון[עריכה]
מבחן ההשוואה הראשון[עריכה]
יהי [math]\displaystyle{ a\in\R }[/math] , ותהי נקודה [math]\displaystyle{ c\ge a }[/math] כך שמתקיים [math]\displaystyle{ \forall\ x\ge c:g(x)\ge f(x)\ge0 }[/math] .
אזי מתקיים:
[math]\displaystyle{ \int\limits_a^\infty g(x)dx }[/math] מתכנס [math]\displaystyle{ \displaystyle\int\limits_a^\infty f(x)dx\quad\Leftarrow\quad }[/math] מתכנס
[math]\displaystyle{ \int\limits_a^\infty f(x)dx }[/math] מתבדר [math]\displaystyle{ \displaystyle\int\limits_a^\infty g(x)dx\quad\Leftarrow\quad }[/math] מתבדר
דוגמא
קבע האם [math]\displaystyle{ \displaystyle\int\limits_1^\infty\frac{\arctan(x)}{x}dx }[/math] מתכנס או מתבדר
- פתרון
נשים לב כי [math]\displaystyle{ \arctan(x) }[/math] היא פונקציה מונוטונית עולה ולכן בתחום האינטגרציה:
[math]\displaystyle{ \forall\ x\gt 1:\arctan(x)\gt \arctan(1)=\frac{\pi}{4}\gt 0 }[/math] ולכן [math]\displaystyle{ \forall\ x\gt 1:\frac{\arctan(x)}{x}\gt \frac{\pi}{4x}\gt 0 }[/math]
[math]\displaystyle{ \int\limits_1^\infty\frac{\pi}{4x}dx=\frac{\pi}{4}\int\limits_1^\infty\frac{dx}{x} }[/math] מתבדר, ולכן, עפ"י מבחן ההשוואה הראשון, האינטגרל שלנו גם כן מתבדר.
מבחן ההשוואה הגבולי[עריכה]
יהי [math]\displaystyle{ a\in\R }[/math] , ותהיינה שתי פונקציות [math]\displaystyle{ f(x),g(x) }[/math] כך ש: [math]\displaystyle{ \forall\ x\ge a:f(x),g(x)\gt 0 }[/math]
יהי הגבול [math]\displaystyle{ \lim\limits_{x\to\infty}\frac{f(x)}{g(x)}=L }[/math]
אזי:
אם [math]\displaystyle{ L\gt 0,L\in\R }[/math] אז [math]\displaystyle{ \displaystyle\int\limits_a^\infty f(x)dx }[/math] ו- [math]\displaystyle{ \displaystyle\int\limits_a^\infty g(x)dx }[/math] מתכנסים או מתבדרים יחדיו ("חברים").
אם [math]\displaystyle{ L=0 }[/math] אז [math]\displaystyle{ \displaystyle\int\limits_a^\infty g(x)dx }[/math] מתכנס [math]\displaystyle{ \displaystyle\int\limits_a^\infty f(x)dx\quad \Leftarrow\quad }[/math] מתכנס.
אם [math]\displaystyle{ L=\infty }[/math] אז [math]\displaystyle{ \displaystyle\int\limits_a^\infty f(x)dx }[/math] מתכנס [math]\displaystyle{ \displaystyle\int\limits_a^\infty g(x)dx\quad \Leftarrow\quad }[/math] מתכנס.