מבוא

משוואה דיפרנציאלית היא משוואה המקשרת בין משתנה בלתי תלוי [math]\displaystyle{ x }[/math] לבין משתנה תלוי [math]\displaystyle{ y }[/math]. בניגוד למצב הנפוץ בו הפתרון של משוואה הוא נקודה, במד״ר הפתרון הוא פונקציה.

הצורה הכללית של משוואה דיפרנציאלית רגילה היא [math]\displaystyle{ F\left(x,y(x),y'(x),\dots,y^{(n)}(x)\right)=0 }[/math] ([math]\displaystyle{ F }[/math] פונקציה ב־[math]\displaystyle{ n+2 }[/math] משתנים). הצורה הכללית של משוואה דיפרנציאלית חלקית היא [math]\displaystyle{ F\left(x,y,z(x,y),\frac{\partial z}{\partial x},\frac{\partial z}{\partial y},\frac{\partial^2 z}{\partial x\partial y}\right)=0 }[/math].

הגדרות: הסדר של מד״ר הוא דרגת הנגזרת הגבוהה ביותר במשוואה. המעלה היא החזקה הגבוהה ביותר של הנגזרת הגבוהה ביותר. נדגים:

[math]\displaystyle{ 2xy'-3y=0 }[/math]: הסדר הוא 1 והמעלה – 1.
[math]\displaystyle{ 2x^3y\left(\frac{\mathrm dy}{\mathrm dx}\right)^2-(1+x^3)=0 }[/math]: הסדר הוא 1 והמעלה – 2.
[math]\displaystyle{ 2y''+2x^2y=0 }[/math]: הסדר הוא 2 והמעלה – 1.
[math]\displaystyle{ \frac{\mathrm d^3y}{\mathrm dx^3}+x^2\frac{\mathrm d^2y}{\mathrm dx^2}-x^3\left(\frac{\mathrm dy}{\mathrm dx}\right)^3=0 }[/math]: הסדר הוא 3 והמעלה – 1.

קיימות מד״ר שאנו כבר יודעים לפתור. למשל:

אם [math]\displaystyle{ y'={\mathrm e}^{2x} }[/math] אזי [math]\displaystyle{ y=\int {\mathrm e}^{2x}\mathrm dx=\frac{{\mathrm e}^{2x}}2+c }[/math].
[math]\displaystyle{ \begin{align}&(y')^2+xy'+3=0\\\implies&y'=\frac{-x\pm\sqrt{x^2-12}}2\\\implies&y=\int\frac{-x\pm\sqrt{x^2-12}}2\mathrm dx=\dots\end{align} }[/math]

נשים לב שיש אינסוף פתרונות.

לא תמיד קל לפתור מד״ר: בהינתן [math]\displaystyle{ y'={\mathrm e}^{-x^2} }[/math] נקבל [math]\displaystyle{ y=\int {\mathrm e}^{-x^2}\mathrm dx }[/math], והפתרון אינו אלמנטרי. למרות זאת, זה פתרון מפורט מספיק לצרכינו. נעיר שקיימת פוקנציית השגיאה [math]\displaystyle{ \mbox{erf} }[/math] שעבורה [math]\displaystyle{ y=\frac\sqrt\pi2\mbox{erf}(x)+c }[/math].

הגדרה: צורה נורמלית של מד״ר היא [math]\displaystyle{ y^{(n)}=f\left(x,y,y',\dots,y^{(n-1)}\right) }[/math] כאשר [math]\displaystyle{ n }[/math] סדר המשוואה. לפעמים קשה להגיע לצורה זו: לדוגמה, [math]\displaystyle{ y={\mathrm e}^{y'}+y'-x }[/math].

הערה: [math]\displaystyle{ \equiv }[/math] מסמן שיוויון זהותי, כלומר שיוויון שמתקיים בכל נקודה. אם [math]\displaystyle{ f(x)\equiv g(x) }[/math] אז בפרט [math]\displaystyle{ f(x)=g(x) }[/math], ולכן לא תמיד נקפיד לסמן ב־[math]\displaystyle{ \equiv }[/math] שיוויון זהותי.

תהי [math]\displaystyle{ F(x,z_0,z_1,\dots,z_n) }[/math] פונקציה לינארית במשתנים [math]\displaystyle{ z_0,\dots,z_n }[/math]. אזי המד״ר המתאימה [math]\displaystyle{ F\left(x,y,y',\dots,y^{(n)}\right)=0 }[/math] תקרא לינארית. [math]\displaystyle{ \sin(x)y''+x^2y'+3y-{\mathrm e}^{x^2}=0 }[/math], למשל. מד״ר לינארית מוצגת בצורה נורמלית כך: [math]\displaystyle{ y^{(n)}=\sum_{i=0}^{n-1}a_i(x)y^{(i)}+f(x) }[/math]. אם [math]\displaystyle{ f(x)\equiv0 }[/math] המד״ר נקראת "לינארית־הומוגנית". דוגמה: [math]\displaystyle{ (y')^2+x^2+2=0 }[/math].

הגדרה: פתרון של מד״ר הוא פונקציה [math]\displaystyle{ \varphi(x) }[/math] כך שבהצבת [math]\displaystyle{ y=\varphi(x) }[/math] המד״ר הופכת לזהות [math]\displaystyle{ F\left(x,\varphi(x),\varphi'(x),\dots,\varphi^{(n)}(x)\right)\equiv0 }[/math]. דוגמה: [math]\displaystyle{ \varphi(x)=x^2 }[/math] היא פתרון של [math]\displaystyle{ xy'-2y=0 }[/math] מפני שבהצבה [math]\displaystyle{ y=\varphi(x) }[/math] נקבל [math]\displaystyle{ x(2x)-2x^2=0 }[/math], מה שמתקיים תמיד.

הגדרה: פתרון כללי של מד״ר הוא משפחת פונקציות [math]\displaystyle{ \varphi(x,c_1,\dots,c_n) }[/math] שכל אחת מהן פתרון התלוי ב־[math]\displaystyle{ n }[/math] פרמטרים וגזיר [math]\displaystyle{ n }[/math] פעמים לפי [math]\displaystyle{ x }[/math]. דוגמה:

[math]\displaystyle{ \begin{align}&y''=x+1\\\implies&y'=\frac{x^2}2+x+c_1\\\implies&y=\frac{x^3}6+\frac{x^2}2+c_1x+c_2\end{align} }[/math]

[math]\displaystyle{ \blacksquare }[/math]

מד״ר מסדר ראשון

הגדרה: מד״ר מסדר ראשון היא מד״ר מהצורה [math]\displaystyle{ F(x,y,y')=0 }[/math]. באופן שקול, הצורה הנורמלית שלה היא [math]\displaystyle{ y'=f(x,y) }[/math]. דוגמאות:

[math]\displaystyle{ xy'=x+y }[/math]
[math]\displaystyle{ \begin{align}&y'=\frac yx\end{align} }[/math]
[math]\displaystyle{ y'+x^2y=0 }[/math]

מד״ר 2 שקולה ל־[math]\displaystyle{ \mathrm dy=\frac yx\mathrm dx }[/math] ומד״ר 3 שקולה ל־[math]\displaystyle{ \mathrm dy+x^2y\mathrm dx=0 }[/math]. אלה הצורות הדיפרנציאליות.

בעיית קושי

בכל הנוגע למד״ר מסדר ראשון, הבעיה היא למצוא פתרון למד״ר [math]\displaystyle{ y'=f(x,y) }[/math] המקיים תנאי התחלה [math]\displaystyle{ y|_{x=x_0}=\varphi(x_0)=y_0 }[/math].

פתרון רגולרי וסינגולרי

הגדרות: בהנתן פתרון כללי של מד״ר [math]\displaystyle{ y=\varphi(x,c) }[/math], פתרון המתקבל ע״י הצבת [math]\displaystyle{ c=c_0 }[/math] מסוים נקרא פתרון פרטי, רגולרי או רגיל. פתרון שאינו מתקבל מ־[math]\displaystyle{ c }[/math] מסוים נקרא פתרון סינגולרי או מיוחד. דוגמה: נתונה המד״ר [math]\displaystyle{ (y')^2=4y }[/math]. הפתרון הרגולרי הכללי הוא [math]\displaystyle{ y=(x+c)^2 }[/math] לכל [math]\displaystyle{ c }[/math], כגון [math]\displaystyle{ y=(x+3)^2 }[/math]. [math]\displaystyle{ y=0 }[/math] פתרון סינגולרי.

משפט הקיום והיחידות

נציג גרסה לא כ״כ פורמלית למשפט (את הגרסה המדויקת ואת ההוכחה נציג בהמשך). בהינתן מד״ר בצורה נורמלית [math]\displaystyle{ y'=f(x,y) }[/math]. אם הפונקציה [math]\displaystyle{ f }[/math] מקיימת את תנאי ליפשיץ במשתנה [math]\displaystyle{ y }[/math] בסביבה מסוימת של הנקודה [math]\displaystyle{ (x_0,y_0) }[/math] אזי קיימת סביבה שלה שבה למד״ר פתרון אחד ויחיד העובר ב־[math]\displaystyle{ (x_0,y_0) }[/math] (כלומר מקיים [math]\displaystyle{ y(x_0)=y_0 }[/math]).

תזכורת: [math]\displaystyle{ f }[/math] מקיימת את תנאי ליפשיץ אם [math]\displaystyle{ \exists k:\ |f(x_1)-f(x_2)|\le k|x_1-x_2| }[/math].

מד״ר עם משתנים מופרדים

דוגמה

נתון [math]\displaystyle{ 2xy+y'=0 }[/math]. אזי

נניח [math]\displaystyle{ y\not\equiv0 }[/math]:^[1]	[math]\displaystyle{ }[/math]	[math]\displaystyle{ \frac{y'}y=-2x }[/math]	[math]\displaystyle{ }[/math]	[math]\displaystyle{ }[/math]	[math]\displaystyle{ }[/math]
	[math]\displaystyle{ }[/math]	[math]\displaystyle{ \frac{y'\mathrm dx}y=-2x\mathrm dx }[/math]	[math]\displaystyle{ \implies }[/math]	[math]\displaystyle{ }[/math]	[math]\displaystyle{ }[/math]
	[math]\displaystyle{ }[/math]	[math]\displaystyle{ \int\frac{\mathrm dy}y=-\int2x\mathrm dx }[/math]	[math]\displaystyle{ \implies }[/math]	[math]\displaystyle{ }[/math]	[math]\displaystyle{ }[/math]
	[math]\displaystyle{ }[/math]	[math]\displaystyle{ \ln\vert y\vert=-x^2+c_1 }[/math]	[math]\displaystyle{ \implies }[/math]	[math]\displaystyle{ }[/math]	[math]\displaystyle{ }[/math]
נציב [math]\displaystyle{ c_2:={\mathrm e}^{c_1} }[/math]:	[math]\displaystyle{ }[/math]	[math]\displaystyle{ \vert y\vert=c_2{\mathrm e}^{-x^2},\quad c_2\gt 0 }[/math]	[math]\displaystyle{ \implies }[/math]	[math]\displaystyle{ }[/math]	[math]\displaystyle{ }[/math]
נציב [math]\displaystyle{ c:=c_2\sgn(y) }[/math]:^[2]	[math]\displaystyle{ }[/math]	[math]\displaystyle{ y=c{\mathrm e}^{-x^2},\quad c\ne0 }[/math]	[math]\displaystyle{ \implies }[/math]	[math]\displaystyle{ }[/math]	[math]\displaystyle{ }[/math]

^ הערה 1: הנחנו ש־[math]\displaystyle{ y\not\equiv0 }[/math] וחילקנו ב־[math]\displaystyle{ y }[/math], אבל מה אם יש נקודות בודדות שבהן [math]\displaystyle{ y=0 }[/math]? מקרה כזה אינו משנה לנו כיוון ש־[math]\displaystyle{ y }[/math] גזירה ובפרט רציפה, ולכן קיימים קטעים שבהם [math]\displaystyle{ y\ne0 }[/math]. אנו יכולים לפתור את המד״ר בקטעים אלה ואז, הודות לרציפות, הפתרון ייתן את התוצאה הנכונה גם בקצוות הקטעים.

^ הערה 2: הגדרנו [math]\displaystyle{ c=c_2\sgn(y) }[/math], אך נשים לב ש־[math]\displaystyle{ c }[/math] מוכרח להיות קבוע. במקרה זה הדרישה הזאת מתקיימת: [math]\displaystyle{ \mathrm e^{-x^2}\gt 0 }[/math] לכל [math]\displaystyle{ x }[/math] ומכאן שלא קיימת נקודה שבה [math]\displaystyle{ y=0 }[/math]. לפיכך, מפני ש־[math]\displaystyle{ y }[/math] רציפה, [math]\displaystyle{ y }[/math] אינה מחליפה סימן באף קטע, כלומר [math]\displaystyle{ \sgn(y) }[/math] קבוע. כך נקבל שגם [math]\displaystyle{ c }[/math] קבוע, כדרוש.

עתה נתייחס למקרה שבו [math]\displaystyle{ y\equiv0 }[/math]. הצבה במד״ר תראה שזה פתרון ולבסוף הפתרון הכללי הוא [math]\displaystyle{ y=c{\mathrm e}^{-x^2},\quad c\in\mathbb R }[/math]. [math]\displaystyle{ \blacksquare }[/math]

נוכל להכליל את הדוגמה למקרה כללי: אם [math]\displaystyle{ y'=f(x)g(y) }[/math] אזי [math]\displaystyle{ \int\frac{\mathrm dy}{g(y)}=\int f(x)\mathrm dx }[/math].

צורה כללית

הצורה הכללית של מד״ר מסדר ראשון עם משתנים מופרדים בכתיב דיפרנציאלי: [math]\displaystyle{ M_1(x)N_1(y)\mathrm dx+M_2(x)N_2(y)\mathrm dy=0 }[/math]. אם [math]\displaystyle{ N_1(y_0)=0 }[/math] עבור [math]\displaystyle{ y_0 }[/math] כלשהו אזי [math]\displaystyle{ y(x)\equiv y_0 }[/math] פותר את המד״ר. אם [math]\displaystyle{ M_2(x_0)=0 }[/math] עבור [math]\displaystyle{ x_0 }[/math] כלשהו אזי [math]\displaystyle{ x(y)\equiv x_0 }[/math] פתרון (במובן כלשהו – רגולרי או סינגולרי). אם [math]\displaystyle{ N_1(y)M_2(x)\ne0 }[/math] נחלק בהם ונקבל [math]\displaystyle{ \int\frac{M_1(x)}{M_2(x)}\mathrm dx+\int\frac{N_2(y)}{N_1(y)}\mathrm dy=c }[/math].

דוגמה

[math]\displaystyle{ x^2y^2y'=y-1 }[/math]. נמיר זאת לכתיב דיפרנציאלי ונקבל [math]\displaystyle{ x^2y^2\mathrm dy+(1-y)\mathrm dx=0 }[/math]. הפתרונות הם [math]\displaystyle{ y=1 }[/math] או [math]\displaystyle{ x=0 }[/math] או [math]\displaystyle{ \frac{\mathrm dx}{x^2}+\frac{y^2}{1-y}\mathrm dy=0 }[/math]. במקרה האחרון [math]\displaystyle{ -\frac1x=\int\frac{(y-1)(y+1)+1}{y-1}\mathrm dy=\frac{y^2}2+y+\ln|y-1|+c_1 }[/math]. לא נצליח לחלץ את [math]\displaystyle{ y }[/math], אבל נוכל לחלץ את [math]\displaystyle{ x }[/math]: [math]\displaystyle{ x=\frac1{c-y^2/2-y-\ln|y-1|} }[/math] (כאשר [math]\displaystyle{ c=-c_1 }[/math]). [math]\displaystyle{ \blacksquare }[/math]

מד״ר פתורות ע״י הפרדת משתנים

נתונה מד״ר מהצורה [math]\displaystyle{ y'=f(ax+by) }[/math]. נגדיר [math]\displaystyle{ z=ax+by }[/math], לכן [math]\displaystyle{ z'=a+by' }[/math] ולפיכך

[math]\displaystyle{ \begin{align}&z'=a+bf(z)\\\implies&\frac{z'}{bf(z)+a}=1\\\implies&\underbrace{\int\frac{\mathrm dz}{bf(z)+a}}_{g(z)}=x+c\end{align} }[/math]

לכן [math]\displaystyle{ g(ax+by)=x+c }[/math] ואם [math]\displaystyle{ g }[/math] הפיכה אזי [math]\displaystyle{ y=\frac{g^{-1}(x+c)-ax}b }[/math].

דוגמה

[math]\displaystyle{ y'=\frac{1-x+y}{x-y} }[/math]. אזי עבור [math]\displaystyle{ z=x-y }[/math] נקבל

	[math]\displaystyle{ }[/math]	[math]\displaystyle{ z'=1-y'=\frac{2z-1}z }[/math]	[math]\displaystyle{ }[/math]	[math]\displaystyle{ }[/math]	[math]\displaystyle{ }[/math]
נניח [math]\displaystyle{ z\not\equiv\frac12 }[/math]:	[math]\displaystyle{ }[/math]	[math]\displaystyle{ \frac{zz'}{2z-1}=1 }[/math]	[math]\displaystyle{ \implies }[/math]	[math]\displaystyle{ }[/math]	[math]\displaystyle{ }[/math]
	[math]\displaystyle{ }[/math]	[math]\displaystyle{ \int\frac z{2z-1}\mathrm dz=\int\mathrm dx }[/math]	[math]\displaystyle{ \implies }[/math]	[math]\displaystyle{ }[/math]	[math]\displaystyle{ }[/math]
	[math]\displaystyle{ }[/math]	[math]\displaystyle{ \int\left(\frac12+\frac12\frac1{2z-1}\right)\mathrm dz=x+c }[/math]	[math]\displaystyle{ \implies }[/math]	[math]\displaystyle{ }[/math]	[math]\displaystyle{ }[/math]
	[math]\displaystyle{ }[/math]	[math]\displaystyle{ \frac z2+\frac14\ln\left\vert z-\frac12\right\vert=x+c }[/math]	[math]\displaystyle{ \implies }[/math]	[math]\displaystyle{ }[/math]	[math]\displaystyle{ }[/math]
	[math]\displaystyle{ }[/math]	[math]\displaystyle{ \frac{x-y}2+\frac14\ln\left\vert x-y-\frac12\right\vert=x+c }[/math]	[math]\displaystyle{ \implies }[/math]	[math]\displaystyle{ }[/math]	[math]\displaystyle{ }[/math]

הצבת [math]\displaystyle{ z\equiv\frac12 }[/math] נותנת [math]\displaystyle{ y'=\frac{1-\frac12}{1/2}=1 }[/math] ולכן [math]\displaystyle{ y=x+\frac12 }[/math] פתרון. [math]\displaystyle{ \blacksquare }[/math]

הומוגניות

הגדרה: פונקציה [math]\displaystyle{ f(x,y) }[/math] נקראת הומוגנית מסדר [math]\displaystyle{ k }[/math] אם לכל [math]\displaystyle{ \lambda\gt 0 }[/math] מתקיים [math]\displaystyle{ f(\lambda x,\lambda y)=\lambda^k f(x,y) }[/math]. למשל:

[math]\displaystyle{ f(x,y)=\frac{x-y}{x+y} }[/math] הומוגנית מסדר 0 כי [math]\displaystyle{ f(\lambda x,\lambda y)=\frac{\lambda x-\lambda y}{\lambda x+\lambda y}=\frac{x-y}{x+y}=\lambda^0f(x,y) }[/math].
[math]\displaystyle{ f(x,y)=x^2+3y^2+8xy }[/math] הומוגנית מסדר 2 כי [math]\displaystyle{ f(\lambda x,\lambda y)=\lambda^2x^2+3\lambda^2y^2+8\lambda^2xy=\lambda^2f(x,y) }[/math].

משפט

פונקציה [math]\displaystyle{ f(x,y) }[/math] ניתנת לכתיבה בצורה [math]\displaystyle{ f(x,y)=\varphi\left(\frac yx\right) }[/math] לכל [math]\displaystyle{ x\ne0 }[/math] אם״ם היא הומוגנית מסדר 0.

הוכחה

[math]\displaystyle{ \Longleftarrow }[/math]: [math]\displaystyle{ f(\lambda x,\lambda y)=\varphi\left(\frac{\lambda y}{\lambda x}\right)=\varphi\left(\frac yx\right)=f(x,y) }[/math].

[math]\displaystyle{ \implies }[/math]: נתון [math]\displaystyle{ f(\lambda x,\lambda y)=f(x,y) }[/math]. אם [math]\displaystyle{ x\gt 0 }[/math] נבחר [math]\displaystyle{ \lambda=\frac1x }[/math] ולכן [math]\displaystyle{ f(x,y)=f(\lambda x,\lambda y)=f\left(1,\frac yx\right)=\varphi_1\left(\frac yx\right) }[/math]. במקרה [math]\displaystyle{ x\lt 0 }[/math] נציב [math]\displaystyle{ \lambda=-\frac1x }[/math], ואז [math]\displaystyle{ f(x,y)=f\left(-1,-\frac yx\right)=\varphi_2\left(\frac yx\right) }[/math]. [math]\displaystyle{ \blacksquare }[/math]

מד״ר הומוגנית

הגדרה: אם ניתן לכתוב את המד״ר בצורה [math]\displaystyle{ y'=g\left(\frac yx\right) }[/math] אזי היא נקראת הומוגנית.

ניתן לפתור כל מד״ר הומוגנית באמצאות ההצבה [math]\displaystyle{ z=\frac yx }[/math]: מתקיים [math]\displaystyle{ g(z)=y'=(zx)'=z'x+z }[/math] ולכן אם [math]\displaystyle{ z\not\equiv g(z) }[/math] אז

[math]\displaystyle{ \begin{align}&g(z)-z=xz'\\\implies&\int\frac{\mathrm dz}{g(z)-z}=\int\frac{\mathrm dx}x\end{align} }[/math]

עבור [math]\displaystyle{ h(z) }[/math] המוגדרת כאגף שמאל, [math]\displaystyle{ h(z)=h\left(\frac yx\right)=\ln|x|+c }[/math]. במידה ו־[math]\displaystyle{ h }[/math] הפיכה [math]\displaystyle{ y=xh^{-1}(\ln|x|+c) }[/math].

תרגיל

פתרו [math]\displaystyle{ xy'=x+y }[/math] עם תנאי ההתחלה [math]\displaystyle{ y(3)=8 }[/math].

פתרון

בנקודות [math]\displaystyle{ x\ne0 }[/math] נקבל [math]\displaystyle{ y'=1+\frac yx=1+z }[/math]. בנוסף,

[math]\displaystyle{ \begin{align}&y=zx\\\implies&y'=(zx)'=z'x+z\\\implies&z'x=(1+z)-z=1\\\implies&\int z'\mathrm dx=\int\frac{\mathrm dx}x\\\implies&z=\ln|x|+c_1\\\implies&y=xz=x(\ln|x|+c_1)\end{align} }[/math]

נסמן [math]\displaystyle{ c={\mathrm e}^{c_1} }[/math] ולפיכך [math]\displaystyle{ y=x\ln|cx|,\quad c\gt 0 }[/math]. אם נציב את תנאי ההתחלה נקבל [math]\displaystyle{ 8=y(3)=3\ln|c\cdot3| }[/math] ולפיכן [math]\displaystyle{ c=\frac{\mathrm e^{8/3}}3 }[/math]. לסיכום, [math]\displaystyle{ y=x\ln\left|\frac{\mathrm e^{8/3}}3x\right| }[/math]. [math]\displaystyle{ \blacksquare }[/math]