מדר קיץ תשעב/סיכומים/הרצאות/6.8.12

משפט הקיום והיחידות

נתון [math]\displaystyle{ y'=f(x,y) }[/math] עם תנאי התחלה [math]\displaystyle{ y(x_0)=y_0 }[/math]

שיטת פיקארד

מתחילים עם [math]\displaystyle{ \phi_0(x)=y_0 }[/math] וממשיכים עם [math]\displaystyle{ \phi_n(x)=y_0+\int\limits_{x_0}^x f\left(t,\phi_{n-1}(t)\right)\mathrm dt }[/math]. אזי [math]\displaystyle{ \phi(x)=\lim_{n\to\infty}\phi_{n+1}(x)=y_0+\lim_{n\to\infty}+\int\limits_{x_0}^x f\left(t,\phi_n(t)\right)\mathrm dt }[/math].

משפט הקיום והיחידות למערכת מד״ר מסדר ראשון בצורה נורמלית

תהי [math]\displaystyle{ \vec f(x,\vec y) }[/math] פונקציה וקטורית רציפה ומקיימת תנאי ליפשיץ ב־[math]\displaystyle{ \vec y }[/math] בתיבה [math]\displaystyle{ B=[x_0-a,x_0+a]\times\prod_{k=1}^n[y_k-b_k,y_k+b_k] }[/math]. אזי למערכת המד״ר [math]\displaystyle{ \vec y'=\vec f(x,\vec y) }[/math] יש פתרון אחד ויחיד ב־[math]\displaystyle{ |x-x_0|\lt a' }[/math] כאשר [math]\displaystyle{ \vec y(x_0)=\vec y_0 }[/math] ו־[math]\displaystyle{ a'=\min\left\{a,\frac{b_1}{M_1},\dots,\frac{b_n}{M_n}\right\} }[/math]. עתה [math]\displaystyle{ M_k=\max_{(x,y)\in B}|f_k(x,y)| }[/math].

הוכחה

נגדיר סדרת פונציות [math]\displaystyle{ \{\vec\phi_m\}_{m=0}^\infty }[/math] כך ש־[math]\displaystyle{ \vec\phi_0=\vec y_0 }[/math] ו־[math]\displaystyle{ \vec\phi_{m+1}(x)=\vec y_0+\int\limits_{x_0}^x f\left(t,\phi_m(t)\right)\mathrm dt }[/math]. לכל [math]\displaystyle{ |x-x_0|\lt a' }[/math] מתקיים

• הפונקציות [math]\displaystyle{ \vec\phi_m }[/math] מוגדרות היטב, כלומר [math]\displaystyle{ |\phi_{m,k}(x)-y_{0,k}|\le b_k }[/math]. נוכיח באינדוקציה על [math]\displaystyle{ m }[/math]:
  עבור [math]\displaystyle{ m=0 }[/math] הטענה טריוויאלית שכן [math]\displaystyle{ \vec\phi_0(x)=\vec y_0 }[/math]. עתה נניח נכונות עבור [math]\displaystyle{ m }[/math]: [math]\displaystyle{ |\phi_{m+1,k}-y_{0,k}|=\left|\int\limits_{x_0}^x f_k\left(t,\phi_m(t)\right)\mathrm dt\right|\le|x-x_0|\cdot M_k\le a'M_k\le b_k }[/math]. לכן [math]\displaystyle{ \vec\phi_m }[/math] מוגדרת היטב בתיבה וכן רציפה עבור [math]\displaystyle{ |x-x_0|\le a' }[/math] עפ״י ההגדרה.
• סדרת הפונקציות [math]\displaystyle{ \{\vec\phi_m\}_{m=0}^\infty }[/math] מתכנסת במ״ש ב־[math]\displaystyle{ |x-x_0|\lt a' }[/math]. ניתן לכתוב [math]\displaystyle{ \phi_{m,k}=\sum_{m=1}^\infty (\phi_{m,k-\phi_{m-1,k})+\phi_{0,k} }[/math]. הפונקציה [math]\displaystyle{ \phi_{0,k} }[/math] קבועה ולכן הטור מתכנס במ״ש אם הסכום מתכנס במ״ש. מתקיים [math]\displaystyle{ |\phi_{m+1,k}(x)-\phi_{m,k}(x)|=\left|\int\limits_{x_0}^x\Big(f_k(t,\phi_m(t))-f_k(t,\phi_{m-1}(t))\Big)\mathrm dt\right|\le\int\limits_{x_0}^x\Big|f_k(t,\phi_m(t))-f_k(t,\phi_{m-1}(t))\Big|\mathrm dt }[/math]. נניח [math]\displaystyle{ x\gt x_0 }[/math] ונסמן [math]\displaystyle{ S_m(x)=\sum_{k=1}^n |\phi_{m,k}(x)-\phi_{m-1,k}(x)| }[/math]. אזי לפי תנאי ליפשיץ [math]\displaystyle{ |\phi_{m+1,k}(x)-\phi_{m,k}(x)|\le K\int\limits_{x_0}^x S_m(t)\mathrm dt }[/math]. נסכום על [math]\displaystyle{ k }[/math] ואז [math]\displaystyle{ S_{m+1}(x)\le nK\int\limits_{x_0}^x S_m(t)\mathrm dt }[/math]. נסמן [math]\displaystyle{ K_0=nK }[/math], [math]\displaystyle{ H=\max_{k=1}^n M_i, H_0=nH }[/math]. נוכיח באינדוקציה נוספת שלכל [math]\displaystyle{ m }[/math] מתקיים [math]\displaystyle{ S_m(x)\le H_0K_0^{m-1}\frac{(x-x_0)^m}{m!} }[/math]. עבור [math]\displaystyle{ m=1 }[/math] נקבל [math]\displaystyle{ |\phi_{1,k}(x)-\phi_{0,k}(x)|=\left|\int\limits_{x_0}^x f_k(t,\vec y_0)\mathrm dt\right\le H(x-x_0) }[/math] ולכן [math]\displaystyle{ S_1(x)=\sum_{k=1}^n |\phi_{1,k}(x)-\phi_{0,k}(x)|\le nH(x-x_0)=H_0(x-x_0) }[/math]. נניח נכונות עבור [math]\displaystyle{ m }[/math] ואז [math]\displaystyle{ S_{m+1}(x)\le K_0\int\limits_{x_0}^x S_m(t)\mathrm dt\le K_0\int\limits_{x_0}^x H_0K_0^{m-1}\frac{(t-x_0)^m}{m!}\mathrm dt=H_0K_0^m\frac{(x-x_0)^{n+1}}{(m+1)!} }[/math]. כלומר [math]\displaystyle{ S_m(x)=\sum_{k=1}^n|\phi_{m,k}(x)-\phi_{m-1,k}(x)|\le\frac{H_0(K_0a')^m}{K_0m!} }[/math]. הטור [math]\displaystyle{ \sum_{m=1}^\infty \frac{K_0a')^m}{m!} }[/math] מתכנס ל־[math]\displaystyle{ \mathrm e^{K_0a'}-1 }[/math] ולכן סדרת הפונקציות [math]\displaystyle{ \{\vec\phi_m\}_{m=0}^\infty }[/math] מתכנס במ״ש עבור [math]\displaystyle{ |x-x_0|\le a' }[/math] לפונקציה [math]\displaystyle{ \vec\phi }[/math].
• [math]\displaystyle{ \vec\phi }[/math] פתרון של המד״ר: לפי ההגדרה [math]\displaystyle{ \vec\phi_m(x)=\vec y_0+\int\limits_{x_0}^x f(t,t\vec\phi_{m-1}(t))\mathrm dt }[/math]. נשאיף [math]\displaystyle{ m\to\infty }[/math] ואז [math]\displaystyle{ \vec\phi(x)=\vec y_0+\int\limits_{x_0}^x \vec f(t,\vec\phi(t))\mathrm dt }[/math]. אזי [math]\displaystyle{ \vec\phi'(x)=\vec f(x,\vec\phi(x)) }[/math] ולכן [math]\displaystyle{ \vec y=\vec\phi(x) }[/math] פתרון של המד״ר.

……… הערה: [math]\displaystyle{ \phi_{m+1}-\phi_m=\int f(t,\vec\phi_m(t))\mathrm dt-\int f(t,\vec\phi_{m-1}(t))\mathrm dt }[/math] וכן [math]\displaystyle{ f(t,\vec\phi_m(t))-f(t,\vec\phi_{m-1}(t))\le }[/math]………

………