מדר קיץ תשעב/סיכומים/תרגולים/2.8.12

נרצה לבדוק מתי [math]\displaystyle{ C^2\ni f(x,y)=g(x)h(y) }[/math]. מובן ש־[math]\displaystyle{ f_x'=g'(x)h(y),f_y'=g(x)h'(y),f_{xy}''=g'(x)h'(y) }[/math]. תנאי הכרחי לפרידות: [math]\displaystyle{ f\cdot f_{xy}''=f_x'\cdot f_y' }[/math].

תרגיל ממבחן

מועד א תש״ע, ד״ר ראובן כהן, שאלה 7

נתונה המשוואה [math]\displaystyle{ (2y\sin(y)-3x\sin(y))\mathrm dx+x\sin(y)\mathrm dy=0 }[/math].

1. מצאו פתרונות סינגולריים ורגולרים.
2. מצא כל פתרונות המשוואה עבור תנאי ההתחלה [math]\displaystyle{ y(1)=\pi }[/math].

פתרון

1. נוציא גורם משותף: [math]\displaystyle{ \sin(y)\Big((2y-3x)\mathrm dx+x\mathrm dy\Big)=0 }[/math]. שתי אפשרויות: [math]\displaystyle{ \sin(y)=0\implies\pi|y }[/math] או [math]\displaystyle{ \underbrace{(2y-3x)}_P\mathrm dx+\underbrace{x}_Q\mathrm dy=0 }[/math]. במד״ר השנייה, נבדוק אם מדוייקת: [math]\displaystyle{ P_y'=2\ne Q_x'=1 }[/math], כלומר אינה מדוייקת. [math]\displaystyle{ \frac{Q_x'-P_y'}P=\frac{-1}{2y-3x} }[/math] תלוי בשני המשתנים, בעוד ש־[math]\displaystyle{ \frac{Q_x'-P_y'}Q=-\frac1x }[/math], ולכן נחפש גורם אינטגרציה מהצורה [math]\displaystyle{ \mu(x) }[/math]. נרצה ש־[math]\displaystyle{ \frac\partial{\partial y}\Big(\mu(x)(2y-3x_\Big)=\frac\partial{\partial x}\Big(\mu(x)x\Big) }[/math] ולכן [math]\displaystyle{ 2\mu(x)=\mu'(x)x+\mu(x) }[/math], כלומר [math]\displaystyle{ \int\frac{\mathrm d\mu}\mu=\int\frac{\mathrm dx}x }[/math], אזי [math]\displaystyle{ |\mu(x)|=c|x| }[/math], לבסוף [math]\displaystyle{ \mu(x)=cx }[/math]. נכפול זאת במד״ר ונקבל [math]\displaystyle{ (2xy-3x^2)\mathrm dx+x^2\mathrm dy=0 }[/math]. נחפש פוקנציית פוטנציאל [math]\displaystyle{ U }[/math]: [math]\displaystyle{ \frac{\patrtial U}{\partial x}=2xy-3x^2\\\frac{\partial U}{\partial y}=x^2 }[/math]. נחשב ונמצא [math]\displaystyle{ U=x^2y-x^3+\varphi(y) }[/math], נגזור לפי [math]\displaystyle{ y }[/math] ואז [math]\displaystyle{ \frac{\partial U}{\partial y}=x^2+\varphi'(y)=x^2 }[/math] ולכן [math]\displaystyle{ \varphi(y)=\text{const.} }[/math]. נקח [math]\displaystyle{ \varphi(y)=0 }[/math] ואז [math]\displaystyle{ U=x^2y-x^3 }[/math], עקומת הרמה היא [math]\displaystyle{ U=c }[/math], כלומר [math]\displaystyle{ y=\frac{x+x^3}{x^2} }[/math]. לסיכום, הפתרונות הם [math]\displaystyle{ y=\frac{x+x^3}{x^2} }[/math] רגולרי ו־[math]\displaystyle{ y=\pi k,\quad k\in\mathbb Z }[/math] סינגולרי. [math]\displaystyle{ \blacksquare }[/math]
2. נדרוש תנאי התחלה [math]\displaystyle{ y(1)=\frac{c+1}1=c+1=\pi\implies c=\pi-1 }[/math]. פתרון אחד הוא [math]\displaystyle{ y=\frac{\pi-1+x^3}{x^2} }[/math], וגם הפתרון [math]\displaystyle{ y=\pi }[/math] עונה על הבעיה.

משוואות ריקטי

[math]\displaystyle{ y'=a(x)y^2+b(x)y+c(x) }[/math], פולינום ריבועי ב־[math]\displaystyle{ y }[/math]. אין נוסחה לפתרון כללי, אך אם הזגנו פתרון פרטי [math]\displaystyle{ y_0 }[/math] אזי ההצבה [math]\displaystyle{ y(x)=y_0(x)+z(x) }[/math] תביא אותנו למשוואות ברנולי עבור [math]\displaystyle{ z }[/math].

תרגיל ממבחן

לוזון

פתרו [math]\displaystyle{ y'-1-x^2+2xy-y^2=0 }[/math].

פתרון

נשים לב שזו משוואת ריקטי עם [math]\displaystyle{ a(x)=1,b(x)=2x,c(x)=1+x^2 }[/math]. קל לראות כי [math]\displaystyle{ y_0(x)=x }[/math] פתרון. לכן נפתור [math]\displaystyle{ y=y_0+z }[/math], כלומר [math]\displaystyle{ y'=1+z' }[/math]. נציב במד״ר המקורית ונגלה ש־[math]\displaystyle{ z'=z^2 }[/math]. עתה [math]\displaystyle{ \int\frac{\mathrm dz}{z^2}=\int\mathrm dx }[/math] ונסיק [math]\displaystyle{ -\frac1z=x+c }[/math]. אזי [math]\displaystyle{ z=-\frac1{x+c} }[/math], נחזור ל־[math]\displaystyle{ y }[/math]: [math]\displaystyle{ y=x+z=\frac{x^2+cx-1}{x+c} }[/math]. הערה: קודם הנחנו ש־[math]\displaystyle{ z\ne0 }[/math]. ניתן להגיע אליו ע״י [math]\displaystyle{ c\to\infty }[/math] בפתרון הרגולרי.

מד״ר מסדר גבוה

[math]\displaystyle{ y^{(n)}=f(x,y,y',\dots,y^{(n-1)}) }[/math]. נצפה ל־[math]\displaystyle{ n }[/math] קבועים חופשיים [math]\displaystyle{ c_1,\dots,c_n }[/math].

מקרה: אינטגרציה נשנית/חוזרת: [math]\displaystyle{ y^{(n)}=f(x) }[/math]. תרגיל: [math]\displaystyle{ y^{(3)}=\sin(x) }[/math] אזי [math]\displaystyle{ y''=\cos(x)+c_1 }[/math], לכן [math]\displaystyle{ y'=-\sin(x)+c_1x+c_2 }[/math] ולבסוף [math]\displaystyle{ y=\cos(x)+c_4x^2+c_2x+c_3 }[/math].

מד״ר מסדר 2

[math]\displaystyle{ y''=f(x,y,y') }[/math].

מקרים מיוחדים

חסר [math]\displaystyle{ y }[/math], [math]\displaystyle{ y''=f(x,y') }[/math]. מציבים [math]\displaystyle{ z=y' }[/math] ואז [math]\displaystyle{ y''=z' }[/math], והמד״ר [math]\displaystyle{ z'=f(x,z) }[/math] הוא מסדר ראשון.

תרגיל

פתרו את בעיית קושי [math]\displaystyle{ \begin{cases}xy''+2y'+x=1\\y(1)=2\\y'(1)=1\end{cases} }[/math].

פתרון

[math]\displaystyle{ y }[/math] חסר, לכן נציב [math]\displaystyle{ z=y' }[/math] ונקבל [math]\displaystyle{ xz'+2z+x=1 }[/math]. נעביר לצורה [math]\displaystyle{ xz'+2z=1-x }[/math], נחלק ב־[math]\displaystyle{ x }[/math] ונקבל [math]\displaystyle{ z'+\frac2xz=\frac1x-1 }[/math]. הפתרון הוא [math]\displaystyle{ z=\mathrm e^{-\int\frac2x\mathrm dx}\int\left(\frac1x-1\right)\mathrm e^{\int\frac2x\mathrm dx}\mathrm dx=x^{-2}\int(x-x^2)\mathrm dx=x^{-2}\left[c+\frac{x^2}2-\frac{x^3}3\right]=\frac c{x^2}+\frac12-\frac x3=y' }[/math]. נפעיל אינטגרציה לפי [math]\displaystyle{ x }[/math] ונמצא ש־[math]\displaystyle{ y=-\frac{c_1}x+\frac12x-\frac{x^2}6+c_2 }[/math]. נדרוש את קיום תנאי ההתחלה: [math]\displaystyle{ y(1)=-c_1+\frac12-\frac16+c_2=2\ \and\ y'(1)=c_1+\frac12-\frac13=1\implies c_1=\tfrac56,c_2=\tfrac52 }[/math]. לסיכום, הפתרון הוא [math]\displaystyle{ y=-\frac5{6x}+\frac12x-\frac{x^2}6+\frac56 }[/math]. [math]\displaystyle{ \blacksquare }[/math]

חסר [math]\displaystyle{ x }[/math], [math]\displaystyle{ y''=f(y,y') }[/math]. נציב [math]\displaystyle{ y'=P(y) }[/math] ואז [math]\displaystyle{ y''=\frac{\mathrm dy'}{\mathrm dx}=\frac{\mathrm dP(y)}{\mathrm dx}=\frac{\mathrm dP}{\mathrm dy}\frac{\mathrm dy}{\mathrm dx}=P\frac{\mathrm dP}{\mathrm dy} }[/math]. המד״ר נהיית [math]\displaystyle{ P\frac{\mathrm dP}{\mathrm dy}=f(y,p) }[/math].

תרגיל ממבחן

מועד א תש״ע, ד״ר ראובן כהן, שאלה 4

פתרו [math]\displaystyle{ yy''=3-(y')^2 }[/math].

פתרון

זו מד״ר מסדר 2 ו־[math]\displaystyle{ x }[/math] אינו מופיע בה. נציב [math]\displaystyle{ y'=P(y) }[/math] והמד״ר היא [math]\displaystyle{ yPP'=3-P^2 }[/math]. קיימים הפתרונות [math]\displaystyle{ P=\pm\sqrt 3 }[/math], אחרת [math]\displaystyle{ \frac{P\mathrm dP}{3-P^2}=\frac{\mathrm dy}y }[/math]. מכאן ש־[math]\displaystyle{ \ln|3-P^2|=\ln|y^{-2}|+c }[/math], לכן [math]\displaystyle{ |3-P^2|=cy^{-2} }[/math]. נעביר אגפים ונקבל [math]\displaystyle{ P^2=3-\frac c{y^2}=\frac{3y^2-c}{y^2} }[/math]. לפיכן [math]\displaystyle{ P=\pm\sqrt\frac{3y^2-c}{y^2} }[/math]. נציב בחזרה את [math]\displaystyle{ y }[/math]: [math]\displaystyle{ y'=P=\pm\frac\sqrt{3y^2-c}y }[/math] ואז [math]\displaystyle{ \int\frac y\sqrt{3y^2-c}\mathrm dy=\pm\int\mathrm dx }[/math]. נציב [math]\displaystyle{ 3y^2-c=z }[/math], אזי [math]\displaystyle{ 6y\mathrm dy=\mathrm dz }[/math] ונקבל [math]\displaystyle{ \frac16\int\frac{\mathrm dz}\sqrt z=\pm x+x }[/math]. עתה [math]\displaystyle{ \frac16\frac\sqrt z{1/2}=\pm x+c\implies\sqrt{3y^2-c}=\pm3x+c_1\implies3y^2=9x^2\pm6c_1x+c_2^2+c\implies y=\pm\sqrt{3x^2+c_1x+c_2} }[/math]. [math]\displaystyle{ \blacksquare }[/math]

דרך נוספת: [math]\displaystyle{ (y^2)'=2yy' }[/math]. נשים לב ש־[math]\displaystyle{ \left(\frac12y^2\right)''=(y')^2+yy'' }[/math] והמד״ר היא [math]\displaystyle{ yy''=3-(y')^2 }[/math]. עתה [math]\displaystyle{ yy''+(y')^2=3 }[/math], מאינטגרציה נקבל [math]\displaystyle{ \left(\frac12y^2\right)''=3 }[/math]. אינטגרציה חוזרת: [math]\displaystyle{ \left(\frac12y^2\right)'=3x+c_1 }[/math] ואז [math]\displaystyle{ \frac12y^2=\frac{3x^2}2+c_1x+c_2 }[/math] לכן [math]\displaystyle{ y^2=3x^2+a_1x+a_2 }[/math].

מערכת של מד״ר מסדר ראשון

[math]\displaystyle{ \vec F(x,\vec y,\vec y')=0 }[/math]. עדיין יש משתנה בלתי תלוי אחד [math]\displaystyle{ x }[/math], אך [math]\displaystyle{ \vec y=\begin{pmatrix}y_1(x)\\y_2(x)\\\vdots\\y_n(x)\end{pmatrix} }[/math] מכיל [math]\displaystyle{ n }[/math] משתנים תלויים בו. אלו פונקציות לא ידועות שיש למצוא.

תרגיל

הוכיחו שהפוקנציה הווקטורית [math]\displaystyle{ \vec }[/math] ………

פתרון

נציב במערכת [math]\displaystyle{ y_1(x)=1,y_2(x)=x }[/math] ואז [math]\displaystyle{ 0=1-\frac1xx }[/math] כדרוש וכן [math]\displaystyle{ 1=(1+x)\cdot1-x }[/math], שוב כדרוש.

משפט

כל מד״ר מסדר [math]\displaystyle{ n }[/math] ניתן להביא למערכת של [math]\displaystyle{ n }[/math] מד״ר מסדר ראשון.

תרגיל

הבא את בעיית קושי (מסדר 2) לצורה של מערכת של שתי מד״ר מסדר ראשון. [math]\displaystyle{ \begin{cases}2y''-5y'+y=0\\y(\pi)=1&y(0)=0\\y'(\pi)=\sqrt2&y(1)=0\end{cases} }[/math].

פתרון

נגדיר שני משתנים חדשים [math]\displaystyle{ z_1(x)=y(x) }[/math] ו־[math]\displaystyle{ z_2(x)=y'(x) }[/math]. אזי [math]\displaystyle{ z_1'=z_2 }[/math]. המד״ר היא [math]\displaystyle{ 2z_2'-5z_2+z_1=0 }[/math] ולכן [math]\displaystyle{ z_2'=-\frac12z_1+\frac52z_2 }[/math]. בצורה מטריציונית: [math]\displaystyle{ \begin{pmatrix}z_1\\z_2\end{pmatrix}'=\begin{pmatrix}0&1\\-\frac12&\frac52\end{pmatrix}\begin{pmatrix}z_1\\z_2\end{cases} }[/math]. תנאי ההתחלה: [math]\displaystyle{ \begin{pmatrix}z_1\\z_2\end{cases}(\pi)=\begin{pmatrix}1\\\sqrt2\end{cases} }[/math]. [math]\displaystyle{ \blacksquare }[/math]