מטריצה אוניטרית

הגדרה

מטריצה [math]\displaystyle{ A\in\mathbb{C}^{n\times n} }[/math] נקראת אוניטרית אם [math]\displaystyle{ AA^*=I }[/math] כאשר [math]\displaystyle{ A^*:=\overline{A^t} }[/math]

משפט

א. [math]\displaystyle{ A }[/math] אוניטרית אם"ם [math]\displaystyle{ A^t }[/math] אוניטרית.

ב. A אוניטרית אם"ם שורותיה מהוות בסיס אורתונורמלי לפי המכפלה הפנימית הסטנדרטית אם"ם עמודותיה מהוות בסיס אורתונורמלי לפי המכפלה הפנימית הסטנדרטית

תרגילים

1

יהי V מרחב מכפלה פנימית מעל המרוכבים, יהי B בסיס אורתונורמלי ל V ויהי C בסיס נוסף ל-V.

הוכיחו כי C אורתונורמלי אם"ם מטריצת המעבר בין B ל C אוניטרית.

הוכחה

ראשית, C אורתונורמלי אם"ם [math]\displaystyle{ G_C=I }[/math].

כעת, לפי נוסחאת המעבר בין מטריצות גראם מתקיים

[math]\displaystyle{ G_C=\Big([I]^B_C\Big)^tG_B\overline{[I]^B_C} }[/math]

אבל B אורתונורמלי ולכן [math]\displaystyle{ G_B=I }[/math]

וסה"כ קיבלנו [math]\displaystyle{ (G_C)^t=\Big([I]^B_C\Big)^*[I]^B_C }[/math]

והרי [math]\displaystyle{ [I]^B_C }[/math] אורתונורמלית אם"ם [math]\displaystyle{ I=\Big([I]^B_C\Big)^*[I]^B_C=(G_C)^t }[/math]

אם"ם [math]\displaystyle{ G_C=I }[/math] אם"ם C אורתונורמלי

2

תהי A מטריצה אוניטרית. הוכיחו כי כל הערכים העצמיים של A הם מאורך 1.

פתרון: יהי z ע"ע של A. אזי קיים וקטור [math]\displaystyle{ v\neq 0 }[/math] כך ש [math]\displaystyle{ Av=zv }[/math].

לכן

[math]\displaystyle{ z\overline{z}\lt v,v\gt =\lt zv,zv\gt =\lt Av,Av\gt =(Av)^t\overline{Av}=v^tA^t\overline{Av}=v^t\overline{\overline{A^t}A}\overline{v}=v^t\overline{A^*A}\overline{v} }[/math]

כעת, כיוון ש A אוניטרית מתקיים [math]\displaystyle{ A^*A=I }[/math] ולכן ביחד אנו מקבלים:

[math]\displaystyle{ z\overline{z}\lt v,v\gt =v^t\overline{v}=\lt v,v\gt }[/math]

כיוון שהוקטור שונה מאפס, ניתן לחלק ב[math]\displaystyle{ \lt v,v\gt }[/math] על מנת לקבל

[math]\displaystyle{ |z|^2=z\overline{z}=1 }[/math]