מכינה למחלקת מתמטיקה/מערכי שיעור/1

על מספרים ומה שביניהם

הפעם הראשונה שאנו לומדים לספור היא בעזרת האצבעות- אצבע אחת, שתי אצבעות וכן הלאה. במתמטיקה אנו קוראים למספרים האלה טבעיים ומסמנים:

[math]\displaystyle{ \mathbb{N}=\{1,2,3,...\} }[/math]

לעומת פעולת החיבור הטבעית, פעולת החיסור הידועה לא בדיוק קיימת. מה שאנו מכנים חיסור, הוא למעשה חיבור במספר נגדי. המספרים הטבעיים ביחד עם אפס והמספרים הנגדיים נקראים שלמים ומסומנים:

[math]\displaystyle{ \mathbb{Z}=\{0,\pm 1,\pm 2, ...\} }[/math]

באופן דומה, אנו רוצים לכפול במספר הופכי (חצי, שליש, וכדומה) על מנת לבצע פעולת חילוק. אנו מגדירים את המספרים הראציונאליים בתור כל השברים של שני מספרים שלמים ומסמנים:

[math]\displaystyle{ \mathbb{Q}=\{\frac{p}{q}|p\in \mathbb{Z}, q \in \mathbb{N}\} }[/math] (שימו לב לסימון [math]\displaystyle{ \in }[/math] האומר שייך לקבוצה. כמובן שבכיתה ובהמשך נבהיר את הרישום המתמטי)

שאלה: האם כעת תיארנו את כל המספרים שאנו מכירים?

תשובה: לא. נוכיח כעת כי המספר 'שורש 2', כלומר הפתרון למשוואה [math]\displaystyle{ x^2=2 }[/math] אינו מספר רציונאלי. לו שורש 2 היה מספר רציונאלי, היה ניתן להציג אותו כשבר מצומצם:

[math]\displaystyle{ \sqrt{2}=\frac{p}{q} }[/math]

נעלה את שני האגפים בריבוע, ונקבל:

[math]\displaystyle{ 2=\frac{p^2}{q^2} }[/math]

ולכן

[math]\displaystyle{ 2q^2=p^2 }[/math]

כלומר p הינו מספר זוגי. נסמן אם כך [math]\displaystyle{ p=2a }[/math]. ולכן:

[math]\displaystyle{ 2q^2=4a^2 }[/math]

נחלק ב2 את שני האגפים ונקבל

[math]\displaystyle{ q^2=2a^2 }[/math]

כלומר גם q הינו מספר זוגי. אבל זה לא ייתכן, כיוון שהצגנו את שורש 2 כשבר מצומצם. לכן הגענו לסתירה המצביעה על העובדה שההנחה שלנו היא לא נכונה. ההנחה שלנו כמובן היא ששורש 2 הוא מספר רציונאלי.

אם כך, קיים לפחות מספר אחד שאנו מכירים שאינו רציונאלי. אבל לא הכל אבוד! אם נבחר לקרב את שורש 2 על ידי 10 הספרות הראשונות שלו, נקבל מספר רציונאלי:

[math]\displaystyle{ 1.4142135623=\frac{14142135623}{10000000000} }[/math]

לכן ניתן להתקרב ככל שנרצה (כלומר לרמת הדיוק הרצוייה) על ידי מספרים רציונאליים לכל מספר שאנו מכירים. למעשה, בעתיד המתמטי שלכם תראו שאנו מגדירים את קבוצת המספרים העשרוניים על ידי גבול של קירובים רציונאליים. לקבוצת המספרים העשרוניים אנו קוראים מספרים ממשיים ומסמנים אותם ב[math]\displaystyle{ \mathbb{R} }[/math].

חזקות

הפעולה הבאה שנגדיר היא חזקה. ניקח מספר ממשי [math]\displaystyle{ x\in \mathbb{R} }[/math] כלשהו, וניקח חזקה טבעית [math]\displaystyle{ n\in\mathbb{N} }[/math]. נגדיר את x בחזקת n להיות המכפלה של x בעצמו n פעמים:

[math]\displaystyle{ x^n=x\cdot x \cdots x }[/math]

כעת, ניקח מספר ממשי חיובי [math]\displaystyle{ 0\lt x\in \mathbb{R} }[/math] וניקח חזקה שהיא הופכית למספר טבעי [math]\displaystyle{ \frac{1}{n} }[/math]. נגדיר את x בחזקת אחד חלקי n להיות השורש הn-י של x. כלומר, מספר שכאשר נעלה אותו בחזקת n נקבל את x:

[math]\displaystyle{ y=x^{\frac{1}{n}}=\sqrt[n]{x} }[/math] הוא פתרון המשוואה [math]\displaystyle{ x=y^n }[/math]

באופן כללי, נגדיר חזקה רציונאלית באופן הבא:

[math]\displaystyle{ x^{p/q}=(\sqrt[q]{x})^p }[/math]

שאלה: מה נעשה אם החזקה הינה מספר ממשי שאינו רציונאלי?

תשובה: בדומה להגדרתנו למספרים הממשיים, נקרב את החזקה על ידי מספרים רציונאליים, כאשר חזקה רציונאלית אנו יודעים לחשב.

חוקי חזקות

נסכם (אבל לא נוכיח) מספר חוקים לגבי חזקות:

לכל [math]\displaystyle{ x }[/math] מתקיים [math]\displaystyle{ 1^x=1 }[/math]

לכל [math]\displaystyle{ x }[/math] מתקיים [math]\displaystyle{ x^0=1 }[/math] ובפרט [math]\displaystyle{ 0^0=1 }[/math]

לכל [math]\displaystyle{ x\gt 0 }[/math] מתקיים [math]\displaystyle{ 0^x=0 }[/math]

לכל x כך ששני הצדדים מוגדרים מתקיים [math]\displaystyle{ x^a\cdot x^b = x^{a+b} }[/math]

לכל [math]\displaystyle{ x,y\gt 0 }[/math] מתקיים [math]\displaystyle{ x^a\cdot y^a=(xy)^a }[/math]

לכל [math]\displaystyle{ x\gt 0 }[/math] מתקיים [math]\displaystyle{ \big(x^a\big)^b = x^{ab} }[/math]

[math]\displaystyle{ x^{-a} = \frac{1}{x^a} }[/math]

[math]\displaystyle{ \frac{x^a}{x^b}=x^{a-b} }[/math] (תרגיל: הסק כלל זה מהכללים הקודמים)

תרגילים

תרגיל מצא את הפתרונות של המשוואה [math]\displaystyle{ 2\Big(\frac{4^x+1}{2^x}\Big)^2 -7\Big(\frac{4^{-x}+1}{2^{-x}}\Big)+5=0 }[/math]

פתרון. ראשית נשים לב לכך ש

[math]\displaystyle{ \frac{4^x+1}{2^x}=\frac{4^{-x}+1}{2^{-x}}=2^x+\frac{1}{2^x} }[/math]

ולכן נסמן [math]\displaystyle{ t=2^x+\frac{1}{2^x} }[/math] ונקבל את המשוואה הריבועית

[math]\displaystyle{ 2t^2-7t+5=0 }[/math] עם הפתרונות [math]\displaystyle{ t_{1,2}=1,\frac{5}{2} }[/math]

לכן עלינו לפתור את המשוואות [math]\displaystyle{ 2^x+\frac{1}{2^x}=1 }[/math], [math]\displaystyle{ 2^x+\frac{1}{2^x}=\frac{5}{2} }[/math]

ראשית, נביט במשוואה [math]\displaystyle{ 2^x+\frac{1}{2^x}=1 }[/math]. נכפול בשני האגפים ב[math]\displaystyle{ 2^x }[/math] ונקבל

[math]\displaystyle{ (2^x)^2-2^x+1=0 }[/math]. נסמן [math]\displaystyle{ s=2^x }[/math] ונקבל את המשוואה הריבועית [math]\displaystyle{ s^2-s+1=0 }[/math] שאין לה פתרונות.

שנית, נביט במשוואה [math]\displaystyle{ 2^x+\frac{1}{2^x}=\frac{5}{2} }[/math], נכפול בשני האגפים ב[math]\displaystyle{ 2\cdot 2^x }[/math] ונקבל

[math]\displaystyle{ 2(2^x)^2 -5(2^x)+2=0 }[/math]. נציב [math]\displaystyle{ s=2^x }[/math] ונקבל את המשוואה הריבועית [math]\displaystyle{ 2s^2-5s+2=0 }[/math] עם הפתרונות [math]\displaystyle{ s_{1,2}=2,\frac{1}{2} }[/math].

לכן נותר לנו לפתור את שתי המשוואות [math]\displaystyle{ 2^x=2 }[/math], [math]\displaystyle{ 2^x=\frac{1}{2} }[/math]

ולכן הפתרונות הסופיים הם [math]\displaystyle{ x=\pm 1 }[/math]

תרגיל מצא את הפתרונות של המשוואה [math]\displaystyle{ \Big(\sqrt{2+\sqrt{3}}\Big)^x + \Big(\sqrt{2-\sqrt{3}}\Big)^x=4 }[/math]

פתרון נכפול את שני אגפי המשוואה בביטוי [math]\displaystyle{ \Big(\sqrt{2+\sqrt{3}}\Big)^x }[/math] ונקבל

[math]\displaystyle{ \Big(\sqrt{2+\sqrt{3}}\Big)^{2x} + \Big(\sqrt{(2-\sqrt{3})(2+\sqrt{3})}\Big)^x=4\Big(\sqrt{2+\sqrt{3}}\Big)^x }[/math]

שימו לב, לפי הנוסחא [math]\displaystyle{ (a-b)(a+b)=a^2-b^2 }[/math] לכפל מקוצר, מתקיים כי [math]\displaystyle{ (2-\sqrt{3})(2+\sqrt{3})=4-3=1 }[/math] והרי [math]\displaystyle{ \sqrt{1}^x=1 }[/math]. לכן קיבלנו

[math]\displaystyle{ \Big(\sqrt{2+\sqrt{3}}\Big)^{2x} -4\Big(\sqrt{2+\sqrt{3}}\Big)^x+ 1=0 }[/math]

נציב [math]\displaystyle{ t=\Big(\sqrt{2+\sqrt{3}}\Big)^x }[/math] ונקבל את המשוואה הריבועית [math]\displaystyle{ t^2-4x+1=0 }[/math] עם הפתרונות [math]\displaystyle{ t_{1,2}=2\pm \sqrt{3} }[/math].

לכן נותר לנו לפתור את שתי המשוואות [math]\displaystyle{ \Big(\sqrt{2+\sqrt{3}}\Big)^x=2\pm \sqrt{3} }[/math]

המשוואה [math]\displaystyle{ \Big(\sqrt{2+\sqrt{3}}\Big)^x=2+ \sqrt{3} }[/math] שקולה למשוואה [math]\displaystyle{ \Big(2+\sqrt{3}\Big)^{\frac{x}{2}}=2+ \sqrt{3} }[/math]

ולכן [math]\displaystyle{ \frac{x}{2}=1 }[/math] ומכאן [math]\displaystyle{ x=2 }[/math].

את המשוואה [math]\displaystyle{ \Big(\sqrt{2+\sqrt{3}}\Big)^x=2- \sqrt{3} }[/math] נכפול בשני האגפים ב[math]\displaystyle{ 2+\sqrt{3} }[/math] ונקבל

[math]\displaystyle{ (2+\sqrt{3})\Big(\sqrt{2+\sqrt{3}}\Big)^x=1 }[/math]

ולכן

[math]\displaystyle{ (\sqrt{2+\sqrt{3}})^2\Big(\sqrt{2+\sqrt{3}}\Big)^x=1 }[/math]

[math]\displaystyle{ \Big(\sqrt{2+\sqrt{3}}\Big)^{x+2}=1 }[/math]

ולכן [math]\displaystyle{ x+2=0 }[/math] כלומר [math]\displaystyle{ x=-2 }[/math].

סה"כ הפתרונות הסופיים הינם [math]\displaystyle{ x=\pm 2 }[/math]

לוגריתמים

נגדיר את הפעולה ההפוכה מחזקה בתור לוגריתם:

[math]\displaystyle{ \log_a(b)=x }[/math] אם ורק אם [math]\displaystyle{ a^x=b }[/math]

לדוגמא:

[math]\displaystyle{ \log_2(8)=3 }[/math]

[math]\displaystyle{ \log_{10}(1,000,000)=6 }[/math]

הלוגריתם השימושי ביותר עבורנו הוא הלוגריתם לפי בסיס e אשר אנחנו מסמנים

[math]\displaystyle{ \log_e = \ln }[/math]

לדוגמא:

[math]\displaystyle{ ln(e)=1 }[/math]

חוקי לוגריתמים

[math]\displaystyle{ \log_a(x) }[/math] מוגדר רק עבור [math]\displaystyle{ 1\neq a\gt 0 }[/math] (כי הגדרנו חזקות כאשר הבסיס חיובי ואם a=1 אז a בחזקת [math]\displaystyle{ \log_a b }[/math] הוא מצד אחד b לפי הגדרת הלוגריתם ומצד שני 1 כי 1 בחזקת כל דבר זה 1) וכמו כן מוגדר רק עבור [math]\displaystyle{ x\gt 0 }[/math] (כיוון שחזקה תמיד נותנת תוצאה חיובית).

[math]\displaystyle{ a^{\log_a(x)}=x }[/math]

[math]\displaystyle{ \log_a(1)=0 }[/math]

[math]\displaystyle{ \log_a(a)=1 }[/math]

[math]\displaystyle{ \log_a(x\cdot y) = \log_a(x) + \log_a(y) }[/math]

[math]\displaystyle{ \log_a(x^y) = y\log_a(x) }[/math]

[math]\displaystyle{ \log_a(\frac{x}{y})=\log_a(x)-\log_a(y) }[/math] (תרגיל)

[math]\displaystyle{ \log_a (b) = \frac{log_c(b)}{log_c(a)} }[/math] (שינוי בסיס הלוגריתם, תרגיל)

תרגילים

תרגיל פתור את המשוואה [math]\displaystyle{ \ln (x+1) + \ln (1-x) = 0 }[/math] (שים לב לתחום ההגדרה!)

תרגיל חשב את [math]\displaystyle{ \log_3 (15)-2\log_9(5) }[/math]

תרגיל הוכח [math]\displaystyle{ \log_{10} (2)\cdot\log_{10} (40)+\log_{10} (5)\cdot\log_{10} (4) = \log_{10} (8) }[/math]