מכינה למחלקת מתמטיקה/מערכי שיעור/10

אינטרגלים

נלמד שני סוגי אינטגרלים - האינטגרל המסויים והאינטגרל הלא מסויים.

האינטגרל המסויים [math]\displaystyle{ \int_a^bf(x)dx }[/math] מוגדר להיות השטח מתחת לגרף הפונקציה f בקטע [math]\displaystyle{ [a,b] }[/math] כאשר אם הפונקציה מתחת לציר האיקס השטח נספר כשלילי.

האינטגרל הלא מסויים [math]\displaystyle{ \int f(x)dx }[/math] הוא פונקציה קדומה [math]\displaystyle{ F(x) }[/math], כלומר פונקציה המקיימת [math]\displaystyle{ F'(x)=f(x) }[/math].

במקרים שמעניינים אותנו (נלמד בעתיד את התנאי המדוייקים) מתקיים [math]\displaystyle{ \int_a^bf(x)dx=F(b)-F(a) }[/math] כאשר F קדומה ל f.

שיטות לחישוב אינטגרלים

אינטגרציה בחלקים

נזכר בנוסחאת לגזירת מכפלה של פונקציות:

[math]\displaystyle{ (fg)'=f'g+g'f }[/math]

כעת, לפי הגדרת פונקציה קדומה, מתקיים כי

[math]\displaystyle{ fg= \int (fg)' }[/math]

ביחד נקבל:

[math]\displaystyle{ fg=\int f'g +\int g'f }[/math]

ומכן אנו מסיקים את הנוסחא של אינטגרציה בחלקים:

[math]\displaystyle{ \int f'(x) g(x) dx = f(x)\cdot g(x) - \int f(x)g'(x)dx }[/math]

תרגילים:

[math]\displaystyle{ \int cos(x)\cdot x\cdot dx = sin(x)\cdot x - \int sin(x)dx = sin(x)\cdot x +cos(x) +C }[/math]

[math]\displaystyle{ \int ln(x)dx = \int 1\cdot ln(x)dx = x\cdot ln(x) - \int x\cdot\frac{1}{x}dx = x\cdot ln(x) - x + C }[/math]

[math]\displaystyle{ I=\int sin(x)e^xdx=sin(x)e^x - \int cos(x)e^xdx = sin(x)e^x - [cos(x)e^x+\int sin(x)e^xdx] = e^x[sin(x)+cos(x)] - I }[/math]

לכן ביחד [math]\displaystyle{ I=\frac{e^x}{2}[sin(x)+cos(x)]+C }[/math]

[math]\displaystyle{ \int\frac{ln(x)}{x}dx=ln^2(x) -\int \frac{ln(x)}{x}dx }[/math]

ביחד [math]\displaystyle{ \int\frac{ln(x)}{x}dx=\frac{1}{2}ln^2(x)+C }[/math]

אינטגרציה בהצבה (החלפת משתנים)

לעיתים ניתן לפתור את האינטגרל לאחרי שינוי של המשתנה. הנוסחאות להחלפת המשתנים נובעות מכלל הגזירה של פונקציה מורכבת. נלמד על ידי דוגמאות:

[math]\displaystyle{ \int sin\Big(e^x\Big)e^xdx }[/math]

נבצע את החלפת המשתנים

[math]\displaystyle{ t=e^x }[/math]

נגזור את צד שמאל לפי t ואת צד ימין לפי x ונקבל:

[math]\displaystyle{ dt = e^xdx }[/math]

ולכן מתקיים

[math]\displaystyle{ \int sin\Big(e^x\Big)e^xdx= \int sin(t)dt = -cos(t) +C = -cos(e^x) + C }[/math]

[math]\displaystyle{ \int sin(\sqrt{x})dx }[/math]

נבצע את החלפת המשתנים:

[math]\displaystyle{ t=\sqrt{x} }[/math]

נגזור את שני הצדדים לקבל

[math]\displaystyle{ dt=\frac{1}{2\sqrt{x}}dx }[/math]

ולכן

[math]\displaystyle{ 2tdt=dx }[/math]

(שימו לב שניתן היה להגיע לכך גם מההחלפה השקולה [math]\displaystyle{ t^2=x }[/math])

ביחד

[math]\displaystyle{ \int sin(\sqrt{x})dx=\int 2t\cdot sin(t)dt = -2t\cdot cos(t) +\int 2cos(t) = -2t\cdot cos(t) + 2sin(t) +C=-2\sqrt{x}cos(\sqrt{x})+2sin(\sqrt{x}) +C }[/math]

[math]\displaystyle{ \int\sqrt{1-x^2}dx }[/math]

נבצע את החלפת המשתנים

[math]\displaystyle{ x=sin(t) }[/math]

נגזור את שני הצדדים

[math]\displaystyle{ dx=cos(t)dt }[/math]

ביחד

[math]\displaystyle{ \int\sqrt{1-x^2}dx=\int\sqrt{1-sin^2(t)}cos(t)dt=\int cos^2(t)dt = \int \frac{cos(2t)+1}{2}dt=\frac{1}{4}sin(2t)+\frac{1}{2}t + C = }[/math]

[math]\displaystyle{ =\frac{1}{2}sin(t)cos(t)+\frac{1}{2}t + C=\frac{1}{2}x\sqrt{1-x^2}+\frac{1}{2}arcsin{x} + C }[/math]

[math]\displaystyle{ \int\frac{dx}{1+e^x}=\int\frac{e^{-x}}{1+e^{-x}}dx=-ln(1+e^{-x})+C }[/math]

[math]\displaystyle{ \int\frac{1}{xln(x)}dx }[/math]

נבצע החלפת משתנים

[math]\displaystyle{ t=ln(x) }[/math]

נגזור את שני הצדדים לקבל

[math]\displaystyle{ dt=\frac{1}{x}dx }[/math]

וביחד

[math]\displaystyle{ \int\frac{1}{xln(x)}dx=\int\frac{1}{t}dt = ln(t)+C = ln(ln(x)) + C }[/math]

[math]\displaystyle{ \int tan(x)dx = \int \frac{sin(x)}{cos(x)}dx= -ln(cos(x)) + C }[/math]

חישוב שטחים באמצעות אינטגרלים

דוגמה 1

חשבו את השטח הכלוא ע"י הפרבולה [math]\displaystyle{ y^2=4x }[/math] והישר [math]\displaystyle{ y=2x-4 }[/math].

פתרון

נצייר את הגרף (1) של הפונקציות ונמצא את 2 נקודות החיתוך: [math]\displaystyle{ (2x-4)^2=4x\implies x^2-5x+4=0\implies x=1,4 }[/math].

דרך 1: נסובב את מערכת הצירים ב-[math]\displaystyle{ 90^\circ }[/math] ונקבל גרף (2). עתה נחשב את השטח בין

[math]\displaystyle{ y^2=4x\implies x=\frac{y^2}4 }[/math]

וכן

[math]\displaystyle{ y=2x-4\implies x=\frac12y+2 }[/math].

קל לראות שהישר מעל הפרבולה, אבל גם אם לא כך אז הסימן של התוצאה יהא הפוך. לכן ניקח ערך מוחלט. שיעורי ה-y של נקודות החיתוך הם [math]\displaystyle{ -2,4 }[/math] (לפי שיעורי ה-x)

ולכן השטח הוא [math]\displaystyle{ \left|\int\limits_{-2}^4\left(\frac y2+2-\frac{y^2}4\right)\mathrm dy\right|=\left|\left[\frac{y^2}4+2y-\frac{y^3}{12}\right]_{y=-2}^4\right|=9 }[/math].

דרך 2: נפרק לשלושה שטחים: השטח [math]\displaystyle{ S_1 }[/math] בין [math]\displaystyle{ x=1 }[/math] ל-4 ושני שטחים שווים [math]\displaystyle{ S_2=S_3 }[/math] בין 0 ל-1, שטח אחד מעל ציר ה-x והשני מתחת.

לפיכך השטח הכולל הוא [math]\displaystyle{ S_1+2S_2=\left|\int\limits_1^4\left(\sqrt{4x}-2x+4\right)\mathrm dx\right|+2\left|\int\limits_0^1\sqrt{4x}\mathrm dx\right|=9 }[/math]

דוגמה 2

חשבו את השטח הכלוא בין הגרפים של הפונקציות [math]\displaystyle{ y=e^x,\ y=2-\frac1{e^x},\ y=0,\ x=-1 }[/math].

פתרון

נקודות חיתוך:

[math]\displaystyle{ y=e^x,\ y=2-\frac1{e^x}\implies x=0 }[/math]
[math]\displaystyle{ y=2-\frac1{e^x},\ y=0\implies x=-\ln(2) }[/math]
ברור כי ל-[math]\displaystyle{ y=e^x,\ y=0 }[/math] אין נקודת חיתוך.

לכן השטח הוא [math]\displaystyle{ \left|\int\limits_{-1}^{-\ln(2)} e^x\mathrm dx\right|+\left|\int\limits_{-\ln(2)}^0\left(e^x-2+e^{-x}\right)\mathrm dx\right|=2-\ln(4)-\frac1e }[/math].