מכינה למחלקת מתמטיקה/מערכי שיעור/7

חזרה למערכי השיעור

אינדוקציה מתמטית

בהנתן סדרת טענות [math]\displaystyle{ P(n) }[/math], אנו מוכיחים לפי אינדוקציה כי כל הטענות נכונות אם מתקיימים שני התנאים הבאים:

• הטענה הראשונה נכונה (כלומר, עבור n=1)

• כל טענה גוררת את הבאה אחריה. כלומר, לכל n אם נניח כי [math]\displaystyle{ P(n) }[/math] נכון, נוכל להוכיח כי [math]\displaystyle{ P(n+1) }[/math] נכון גם הוא

דוגמאות:

כמות הזוגות בקבוצה מגודל n

טבלאת שוקולד עם n קוביות

תרגילים - שיוויונים

• [math]\displaystyle{ 1+2+...+n=\frac{n(n+1)}{2} }[/math]

• [math]\displaystyle{ 1^2+2^2+3^2+...+n^2=\frac{n(n+1)(2n+1)}{6} }[/math]

• [math]\displaystyle{ 1^3+2^3+...+n^3=(1+2+...+n)^2 }[/math]

• [math]\displaystyle{ (n+1)^2+(n+2)^2+...+(2n)^2=\frac{n(2n+1)(7n+1)}{6} }[/math]

• [math]\displaystyle{ 1-\frac{1}{2}+\frac{1}{3}-\frac{1}{4}+...-\frac{1}{2n}=\frac{1}{n+1}+\frac{1}{n+2}+...+\frac{1}{2n} }[/math]

• [math]\displaystyle{ \frac{1}{3!}+\frac{5}{4!}+\frac{11}{5!}+...+\frac{n^2+n-1}{(n+2)!}=\frac{1}{2}-\frac{n+1}{(n+2)!} }[/math]

• נתבונן בסדרת פיבונאצ'י בה כל איבר שווה לסכום שני קודמיו [math]\displaystyle{ F_{n+2}=F_{n+1}+F_n }[/math]. הוכח כי [math]\displaystyle{ F_n=\frac{1}{\sqrt{5}}\Big((\frac{1+\sqrt{5}}{2})^n-(\frac{1-\sqrt{5}}{2})^n\Big) }[/math]

• [math]\displaystyle{ 1-4+7-10+...+(-1)^{n+1}(3n-2)=\frac{1}{4}\Big((-1)^{n+1}(6n-1)-1\Big) }[/math]

• [math]\displaystyle{ \frac{1^2}{1\cdot 3}+\frac{2^2}{3\cdot 5}+...+\frac{n^2}{(2n-1)(2n+1)}=\frac{n(n+1)}{2(2n+1)} }[/math]

• [math]\displaystyle{ \Big(1-\frac{1}{(n+1)^2}\Big)\Big(1-\frac{1}{(n+2)^2}\Big)\cdots \Big(1-\frac{1}{(2n)^2}\Big)=\frac{2n+1}{2n+2} }[/math]

תרגילים - אי שיוויונים

• [math]\displaystyle{ 3^n+4^n\lt 5^n }[/math] לכל [math]\displaystyle{ n\geq 3 }[/math]

• [math]\displaystyle{ (1+x)^n\geq 1+nx }[/math] לכל [math]\displaystyle{ -1\lt x\in\mathbb{R} }[/math]

• [math]\displaystyle{ \frac{1}{1\cdot 6}+\frac{1}{6\cdot 11} +...+\frac{1}{(5n-4)(5n+1)}\lt \frac{2n}{5n+1} }[/math]

• [math]\displaystyle{ \frac{1}{2^2}+\frac{1}{3^2}+...+\frac{1}{n^2}\lt \frac{n-1}{n} }[/math]

• נניח [math]\displaystyle{ a_1=2 }[/math] וגם [math]\displaystyle{ a_{n+1}=\sqrt{6+a_n} }[/math]. הוכח כי [math]\displaystyle{ a_n\lt 3 }[/math]

• [math]\displaystyle{ 1^2+2^2+...+n^2\lt \frac{(n+1)^3}{3} }[/math]

• [math]\displaystyle{ \frac{1}{n+1}+\frac{1}{n+2}+...+\frac{1}{2n}\gt \frac{13}{24} }[/math]

• [math]\displaystyle{ \frac{1}{n+1}+\frac{1}{n+2}+...+\frac{1}{3n+1}\gt 1 }[/math]