מכינה למתמטיקה קיץ תשעב/תרגילים/1

דוגמא

מצא עבור אלו ערכי [math]\displaystyle{ x }[/math] מתקיים אי-השוויון הבא:

• [math]\displaystyle{ |x^2-1|+|x-2|\gt 4x+5 }[/math]

פתרון

1

מצא עבור אלו ערכי [math]\displaystyle{ x }[/math] מתקיימים אי-השוויונות הבאים

• [math]\displaystyle{ x^2+2x+1\le0 }[/math]

• [math]\displaystyle{ (1-x)(x+6)\gt 0 }[/math]

• [math]\displaystyle{ -3x^2+6x-1\ge0 }[/math]

• [math]\displaystyle{ (x^2+1)(x^2-1)x^2\le0 }[/math]

• [math]\displaystyle{ (x-1)(x-2)(x-3)(x-4)\cdots (x-n)\gt 0 }[/math]

כאשר [math]\displaystyle{ n\in\N }[/math] . שימו לב, רצוי לחלק למקרים אפשריים של [math]\displaystyle{ n }[/math] .

• [math]\displaystyle{ |x|\le7 }[/math]

• [math]\displaystyle{ |2x-1|\lt 7 }[/math]

• [math]\displaystyle{ (x-1)|x-1|\gt 1 }[/math]

• [math]\displaystyle{ \frac{|x|}{x}\gt 1 }[/math]

• [math]\displaystyle{ |x-1|\gt |x^2-1| }[/math]

• [math]\displaystyle{ |x^2-4x-3|+|x-1|+|x-2|\gt 2x }[/math]

2

נגדיר שתי פונקציות

[math]\displaystyle{ f(x)=\begin{cases}x^2 & x\gt 0\\0&x=0\\-x^2&x\lt 0\end{cases} }[/math]

[math]\displaystyle{ g(x)=\begin{cases}x-1&x\gt 1\\|x|+x&x\le1\end{cases} }[/math]

מצא עבור אלו ערכי [math]\displaystyle{ x }[/math] מתקיימים אי-השוויונות הבאים:

• [math]\displaystyle{ g(x)\le0 }[/math]

• [math]\displaystyle{ f(x+1)\gt 0 }[/math]

• [math]\displaystyle{ g\big(f(x)\big)\ge 0 }[/math]

• [math]\displaystyle{ f(x+1)+g(x-1)\gt x }[/math]

• [math]\displaystyle{ |g(x^2)-f(x)|\lt x }[/math]