מכינה למתמטיקה קיץ תשעב/תרגילים/1/פתרון 1
1
- [math]\displaystyle{ x^2+2x+1\le0 }[/math]
נבדוק מתי הביטוי באגף שמאל מתאפס.
לפי נוסחא נקבל פתרון יחיד [math]\displaystyle{ x=-1 }[/math] .
המקדם של [math]\displaystyle{ x^2 }[/math] חיובי (1) לכן הביטוי מתאפס ב- [math]\displaystyle{ x=-1 }[/math] וחיובי מימינו ומשמאלו (ולכן אינו שלילי לאף [math]\displaystyle{ x }[/math]).
פתרון: [math]\displaystyle{ x=-1 }[/math]
- [math]\displaystyle{ (1-x)(x+6)>0 }[/math]
נבדוק מתי מתאפס. הביטוי הוא מכפלה של שני ביטויים ולכן הוא מתאפס כאשר כל אחד מהם מתאפס. לכן אגף שמאל מתאפס ב- [math]\displaystyle{ x=1,-6 }[/math] .
אם נפתח סוגריים נקבל [math]\displaystyle{ -x^2-5x+6 }[/math] והמקדם של [math]\displaystyle{ x^2 }[/math] שלילי לכן הביטוי מקבל ערכים שליליים כאשר [math]\displaystyle{ x<-6 }[/math] או [math]\displaystyle{ x>1 }[/math] , וערכים חיוביים כאשר [math]\displaystyle{ -6<x<1 }[/math] .
פתרון: [math]\displaystyle{ -6<x<1 }[/math]
- [math]\displaystyle{ -3x^2+6x-1\ge0 }[/math]
נבדוק מתי מתאפס. לפי נוסחא נקבל [math]\displaystyle{ x=\dfrac{-6\pm\sqrt{36-12}}{-6}=1\pm\dfrac{\sqrt6}{3} }[/math]
המקדם של [math]\displaystyle{ x^2 }[/math] שלילי לכן הערכים החיוביים מתקבלים בין הפתרונות שמצאנו.
פתרון: [math]\displaystyle{ 1-\dfrac{\sqrt6}{3}\le x\le1+\dfrac{\sqrt6}{3} }[/math]
- [math]\displaystyle{ x^2(x^2-1)(x^2+1)\le0 }[/math]
נפרק לשלושה ביטויים: [math]\displaystyle{ x^2,x^2+1,x^2-1 }[/math] ונבדוק מתי כל אחד מהם חיובי ושלילי.
[math]\displaystyle{ x^2+1 }[/math] : ריבוע של מספר הוא תמיד אי-שלילי, ולכן בתוספת 1 הוא תמיד חיובי (למשוואה [math]\displaystyle{ x^2=-1 }[/math] אין פתרון ממשי)
[math]\displaystyle{ x^2-1 }[/math] : מתאפס ב- [math]\displaystyle{ x=\pm1 }[/math] . הביטוי שלילי ביניהם וחיובי כאשר [math]\displaystyle{ x<-1 }[/math] או [math]\displaystyle{ x>1 }[/math]
[math]\displaystyle{ x^2 }[/math] : מתאפס ב-0 וחיובי אחרת.
קיבלנו מספר תחומים. נבדוק את סימן הביטוי בכל תחום לפי מכפלת הסימנים של הביטויים הקטנים:
[math]\displaystyle{ x<-1 }[/math] : הביטוי הראשון חיובי, השני חיובי והשלישי חיובי. לכן המכפלה גם חיובית
[math]\displaystyle{ -1<x<0 }[/math] : הביטוי הראשון חיובי, השני שלילי והשלישי חיובי. לכן המכפלה שלילית
[math]\displaystyle{ 0<x<1 }[/math] : הביטוי הראשון חיובי, השני שלילי והשלישי חיובי. לכן המכפלה שלילית
[math]\displaystyle{ 1<x }[/math] : הביטוי הראשון חיובי, השני חיובי והשלישי חיובי. לכן המכפלה חיובית
בנקודות [math]\displaystyle{ x=0,\pm1 }[/math] הביטוי מתאפס לכן גם נקודות אלה הן פתרונות לאי-השוויון.
פתרון: [math]\displaystyle{ -1\le x\le1 }[/math]
- [math]\displaystyle{ (x-1)(x-2)(x-3)(x-4)\cdots(x-n)>0 }[/math]
כאשר [math]\displaystyle{ n\in\N }[/math] . שימו לב, רצוי לחלק למקרים אפשריים של [math]\displaystyle{ n }[/math] .
השאלה היא מתי מכפלה של [math]\displaystyle{ n }[/math] גורמים היא חיובית. התשובה היא כאשר מספר הגורמים השליליים הוא זוגי. כאשר [math]\displaystyle{ x }[/math] מספר שלם בין 1 ל-[math]\displaystyle{ n }[/math] , הביטוי מתאפס ולכן זה איננו פתרון.
לכן אנחנו מתעניינים בתחומים [math]\displaystyle{ x<1,1<x<2,\ldots,n<x }[/math] . בתחום האחרון [math]\displaystyle{ n<x }[/math] כל הגורמים חיוביים ולכן תחום זה הוא תמיד פתרון. נחלק למקרים:
[math]\displaystyle{ n }[/math] זוגי: אם [math]\displaystyle{ x<1 }[/math] כל הגורמים שליליים ולכן המכפלה כולה חיובית (כי [math]\displaystyle{ n }[/math] זוגי) ולכן זה פתרון. נשארנו עם התחומים מהצורה [math]\displaystyle{ k<x<k+1 }[/math] עבור [math]\displaystyle{ 1\le k\le n-1 }[/math] . אם [math]\displaystyle{ k }[/math] זוגי אז יש עוד מספר זוגי של תחומים כאלה אחריו (כי [math]\displaystyle{ n }[/math] זוגי) ולכן המכפלה חיובית. אחרת, יש מספר אי-זוגי של גורמים שליליים ולכן המכפלה שלילית.
לכן התשובה עבור [math]\displaystyle{ n }[/math] זוגי היא:
- [math]\displaystyle{ x<1,2<x<3,4<x<6,\ldots,2k<x<2k+1,\ldots,n-2<x<n-1,n<x }[/math]
עבור [math]\displaystyle{ n }[/math] אי-זוגי נפתור בצורה דומה ונקבל:
- [math]\displaystyle{ 1<x<2,3<x<4,\ldots,2k-1<x<2k,\ldots,n-2<x<n-1,n<x }[/math]
- [math]\displaystyle{ |x|\le7 }[/math]
נחלק למקרים: אם [math]\displaystyle{ x\ge0 }[/math] נקבל את אי-השוויון [math]\displaystyle{ |x|\le7 }[/math] ולכן סה"כ הפתרונות של מקרה זה הם [math]\displaystyle{ 0\le x\le7 }[/math]
אם [math]\displaystyle{ x<0 }[/math] נקבל [math]\displaystyle{ x\ge-7 }[/math] וסה"כ הפתרונות הם [math]\displaystyle{ -7\le x<0 }[/math]
נאחד את הפתרונות של שני המקרים ונקבל את הפתרון
- [math]\displaystyle{ -7\le x\le7 }[/math]
- [math]\displaystyle{ |2x-1|<7 }[/math]
נחלק למקרים. הביטוי הערך המוחלט מתאפס ב- [math]\displaystyle{ x=\tfrac12 }[/math] לכן נתבונן במקרים:
[math]\displaystyle{ x\ge\tfrac12 }[/math] : אי-השוויון הוא [math]\displaystyle{ 2x-1<7 }[/math] לכן [math]\displaystyle{ x<4 }[/math] . התשובה היא [math]\displaystyle{ \tfrac12\le x<4 }[/math]
[math]\displaystyle{ x<\tfrac12 }[/math] : אי-השוויון הוא [math]\displaystyle{ -2x+1<7 }[/math] לכן [math]\displaystyle{ x>-3 }[/math] . התשובה היא [math]\displaystyle{ -3<x<\tfrac12 }[/math] . נאחד את הפתרונות ונקבל:
פתרון: [math]\displaystyle{ -3<x<4 }[/math]
- [math]\displaystyle{ (x-1)|x-1|>1 }[/math]
נחלק למקרים:
[math]\displaystyle{ x>1 }[/math] : אי-השוויון הוא [math]\displaystyle{ (x-1)(x-1)>1 }[/math] . נפשט ונקבל [math]\displaystyle{ x(x-2)>0 }[/math] . ביטוי זה חיובי כאשר [math]\displaystyle{ x<0 }[/math] או [math]\displaystyle{ x>2 }[/math] (בדקו!). לכן הפתרון הוא [math]\displaystyle{ x>2 }[/math]
[math]\displaystyle{ x<1 }[/math] : אי-השוויון הוא [math]\displaystyle{ -(x-1)(x-1)>1 }[/math] . נפשט ונקבל [math]\displaystyle{ (x-1)^2<-1 }[/math] . הביטוי משמאל תמיד חיובי (בדקו!), לכן במקרה זה אין פתרון.
פתרון: [math]\displaystyle{ x>2 }[/math]
- [math]\displaystyle{ \frac{|x|}{x}>1 }[/math]
נשים לב שלביטוי אין ערך ב- [math]\displaystyle{ x=0 }[/math] . אם [math]\displaystyle{ x>0 }[/math] נקבל [math]\displaystyle{ \dfrac{x}{x}>1 }[/math] וזה לא יתכן. אם [math]\displaystyle{ x<0 }[/math] נקבל [math]\displaystyle{ \dfrac{-x}{x}>1 }[/math] וגם זה לא יתכן.
פתרון: אף [math]\displaystyle{ x }[/math] לא מקיים את אי-השוויון
- [math]\displaystyle{ |x-1|>|x^2-1| }[/math]
הביטוי בערך המוחלט הימני חיובי עבור [math]\displaystyle{ x<-1 }[/math] או [math]\displaystyle{ x>1 }[/math] .
[math]\displaystyle{ x\le-1 }[/math] : נקבל אי-שוויון [math]\displaystyle{ -(x-1)>x^2-1 }[/math] . נפשט ונקבל [math]\displaystyle{ x^2+x-2<0 }[/math] והפתרון של זה הוא [math]\displaystyle{ -2<x<1 }[/math] . סה"כ: [math]\displaystyle{ -2<x\le-1 }[/math]
[math]\displaystyle{ -1<x\le1 }[/math] : נקבל אי-שוויון [math]\displaystyle{ -(x-1)>-(x^2-1) }[/math] ואחרי פישוט: [math]\displaystyle{ x^2-x>0 }[/math] . הפתרון הוא [math]\displaystyle{ x<0 }[/math] או [math]\displaystyle{ x>1 }[/math] לכן סה"כ: [math]\displaystyle{ -1<x<0 }[/math] .
[math]\displaystyle{ x>1 }[/math] : נקבל [math]\displaystyle{ x-1>x^2-1 }[/math] . נפשט ונקבל [math]\displaystyle{ x(x-1)<0 }[/math] והפתרון הוא [math]\displaystyle{ 0<x<1 }[/math] . לכן במקרה זה אין פתרון.
פתרון: [math]\displaystyle{ -2<x<0 }[/math]
- [math]\displaystyle{ |x^2-4x-3|+|x-1|+|x-2|>2x }[/math]
הביטוי הריבועי מתאפס ב- [math]\displaystyle{ x=2\pm\sqrt7 }[/math] . נחלק למקרים:
[math]\displaystyle{ x\le2-\sqrt7 }[/math] : [math]\displaystyle{ x<0 }[/math] או [math]\displaystyle{ x>8 }[/math] לכן סה"כ [math]\displaystyle{ x\le2-\sqrt7 }[/math]
[math]\displaystyle{ 2-\sqrt7<x\le1 }[/math]: [math]\displaystyle{ -\sqrt6<x<\sqrt6 }[/math] . לכן סה"כ: [math]\displaystyle{ 2-\sqrt7<x\le1 }[/math]
[math]\displaystyle{ 1<x\le2 }[/math] : [math]\displaystyle{ 1-\sqrt5<x<1+\sqrt5 }[/math] . לכן סה"כ: [math]\displaystyle{ 1<x\le2 }[/math]
[math]\displaystyle{ 2<x\le2+\sqrt7 }[/math] : [math]\displaystyle{ 0<x<4 }[/math] . לכן סה"כ: [math]\displaystyle{ 2<x<4 }[/math]
[math]\displaystyle{ x>2+\sqrt7 }[/math] : [math]\displaystyle{ x<2-\sqrt{10} }[/math] או [math]\displaystyle{ x>2+\sqrt{10} }[/math] . לכן סה"כ: [math]\displaystyle{ x>2+\sqrt{10} }[/math]
פתרון: [math]\displaystyle{ x<4 }[/math] או [math]\displaystyle{ x>2+\sqrt{10} }[/math]
2
נגדיר שתי פונקציות
- [math]\displaystyle{ \begin{aligned} f(x)&=\begin{cases}x^2&x>0\\0&x=0\\-x^2&x<0\end{cases}\\\\g(x)&=\begin{cases}x-1&x>1\\|x|+x&x\le1\end{cases} \end{aligned} }[/math]
מצא עבור אילו ערכי [math]\displaystyle{ x }[/math] מתקיימים אי-השוויונות הבאים:
- [math]\displaystyle{ g(x)\le0 }[/math]
נפריד למקרים:
[math]\displaystyle{ x<0 }[/math] : במקרה זה אי-השוויון הוא [math]\displaystyle{ -x + x\le0 }[/math] והוא תמיד מתקיים
[math]\displaystyle{ 0\le x\le1 }[/math] : אי-השוויון הוא [math]\displaystyle{ x+x\le0 }[/math] והוא מתקיים עבור [math]\displaystyle{ x\le0 }[/math] לכן הפתרון הוא [math]\displaystyle{ x=0 }[/math]
[math]\displaystyle{ x>1 }[/math] : אי-השוויון הוא [math]\displaystyle{ x-1\le0 }[/math] לכן הפתרון הוא [math]\displaystyle{ x\le1 }[/math] ולכן אין פתרון
פתרון: [math]\displaystyle{ x\le0 }[/math]
- [math]\displaystyle{ f(x+1)>0 }[/math]
[math]\displaystyle{ f(x+1)=\begin{cases}(x+1)^2&x>-1\\0&x=-1\\-(x+1)^2&x<-1\end{cases} }[/math]
נפריד למקרים:
[math]\displaystyle{ x>-1 }[/math] : אי-השוויון הוא [math]\displaystyle{ (x+1)^2>0 }[/math] וריבוע של מספר הוא תמיד אי שלילי לכן זה מתקיים לכל [math]\displaystyle{ x>-1 }[/math]
[math]\displaystyle{ x=-1 }[/math] : ערך הפונקציה הוא 0 ולכן זה לא פתרון
[math]\displaystyle{ x<-1 }[/math] : אי-השוויון הוא [math]\displaystyle{ -(x+1)^2>0 }[/math] וזה לא מתקיים לאף ערך בתחום
פתרון: [math]\displaystyle{ x>-1 }[/math]
- [math]\displaystyle{ g\big(f(x)\big)\ge0 }[/math]
נשים לב שמתקיים: [math]\displaystyle{ g(x)\ge0 }[/math] לכל [math]\displaystyle{ x }[/math] :
[math]\displaystyle{ x<0 }[/math] : [math]\displaystyle{ g(x)=0 }[/math]
[math]\displaystyle{ 0\le x\le1 }[/math] : [math]\displaystyle{ g(x)=2x\ge0 }[/math]
[math]\displaystyle{ x>1 }[/math] : [math]\displaystyle{ g(x)=x-1\ge0 }[/math]
לכן גם מתקיים [math]\displaystyle{ g\big(f(x)\big)\ge0 }[/math] לכל [math]\displaystyle{ x }[/math]
- [math]\displaystyle{ f(x+1)+g(x-1)>x }[/math]
- [math]\displaystyle{ f(x+1)=\begin{cases}(x+1)^2&x>-1\\0&x=-1\\-(x+1)^2&x<-1\end{cases} }[/math]
- [math]\displaystyle{ g(x-1)=\begin{cases}x-2&x>2\\2x-2&1\le x\le2\\0&x<1\end{cases} }[/math]
[math]\displaystyle{ x<-1 }[/math] : [math]\displaystyle{ f(x+1)+g(x-1)=-(x+1)^2>x }[/math] . הפתרון הוא [math]\displaystyle{ -\dfrac{3+\sqrt5}{2}<x<-1 }[/math]
[math]\displaystyle{ x=-1 }[/math] : [math]\displaystyle{ f(x+1)+g(x-1)=0>-1 }[/math] לכן זה פתרון.
[math]\displaystyle{ -1<x<1 }[/math] : [math]\displaystyle{ f(x+1)+g(x-1)=(x+1)^2>x }[/math] . נכון לכל [math]\displaystyle{ x }[/math] .
[math]\displaystyle{ 1\le x\le2 }[/math] : [math]\displaystyle{ f(x+1)+g(x-1)=(x+1)^2+2x-2>x }[/math] . כל התחום הוא פתרון
[math]\displaystyle{ x>2 }[/math] : [math]\displaystyle{ f(x+1)+g(x-1)=(x+1)^2+x-2>x }[/math] . גם כאן כל התחום הוא פתרון
פתרון: [math]\displaystyle{ x>-\dfrac{3+\sqrt5}{2} }[/math]
- [math]\displaystyle{ |g(x^2)-f(x)|<x }[/math]
- [math]\displaystyle{ g(x^2)=\begin{cases}x^2-1&x<-1\or1<x\\2x^2&-1\le x\le1\end{cases} }[/math]
[math]\displaystyle{ x<-1 }[/math] : [math]\displaystyle{ |g(x^2)-f(x)|=|x^2-1+x^2|=|2x^2-1|<x }[/math] .
כיון שאנחנו בתחום [math]\displaystyle{ x<-1 }[/math] נקבל שהביטוי תמיד חיובי ולכן ניתן להשמיט את הערך המוחלט ולקבל: [math]\displaystyle{ 2x^2-1<x }[/math] .
לאי-שוויון זה אין פתרון בתחום [math]\displaystyle{ -1\le x<0 }[/math] . נקבל [math]\displaystyle{ |2x^2+x^2|=|3x^2|=3x^2<x }[/math] ואין לזה פתרון בתחום [math]\displaystyle{ x=0 }[/math] . נציב ונקבל שזה לא פתרון
[math]\displaystyle{ 0<x\le1 }[/math] : נקבל [math]\displaystyle{ |2x^2-x^2|=x^2<x }[/math] והפתרון הוא [math]\displaystyle{ 0<x<1 }[/math]
[math]\displaystyle{ x>1 }[/math] : נקבל [math]\displaystyle{ |x^2-1-x^2|=1<x }[/math] והפתרון הוא כל התחום
פתרון: [math]\displaystyle{ 0<x<1 }[/math] או [math]\displaystyle{ x>1 }[/math]