מכינה למתמטיקה קיץ תשעב/תרגילים/2

1

מצא לאילו ערכי x מתקיימים אי השיוויונים הבאים:

• [math]\displaystyle{ tan(x) \lt 0 }[/math]

• [math]\displaystyle{ sin(x)\lt cos(x) }[/math]

• [math]\displaystyle{ e^{sin(x)} \lt 1 }[/math]

• [math]\displaystyle{ (sin(x)-cos(x))(sin(x)+(cos(x)) \gt 0 }[/math]

• [math]\displaystyle{ sin \Big(\pi\cdot cos(x)\Big)\gt 0 }[/math]

2

הוכח:

• [math]\displaystyle{ \overline{z_1\cdot z_2}=\overline{z_1}\cdot\overline{z_2} }[/math]

• [math]\displaystyle{ |z_1\cdot z_2| = |z_1|\cdot |z_2| }[/math]

• [math]\displaystyle{ Re(z)= \frac{z+\overline{z}}{2} }[/math]

• [math]\displaystyle{ Im(z)\cdot i= \frac{z-\overline{z}}{2} }[/math]

3

מצא את הצורה הפולרית והקרטזית של המספרים המרוכבים הבאים:

• [math]\displaystyle{ 1+i }[/math]

• [math]\displaystyle{ (1-i)^{-1} }[/math]

• [math]\displaystyle{ \sqrt{2}cis(\frac{\pi}{4})(2-3i) }[/math]

• [math]\displaystyle{ cis(\frac{\pi}{2}) }[/math]

• [math]\displaystyle{ 2cis(2012\cdot \frac{\pi}{2}) }[/math]