מכינה למתמטיקה קיץ תשעב/תרגילים/2/פתרון 2

1

מצא לאילו ערכי x מתקיימים אי השיוויונים הבאים:

• [math]\displaystyle{ tan(x) \lt 0 }[/math]

[math]\displaystyle{ tan(x)={sin(x) \over cos(x)} }[/math] לכן אי השוויון מתקיים כאשר למונה ולמכנה יש סימנים הפוכים. לפי הגדרת הפונקציות הטריגונומטריות בעזרת מעגל היחידה, ניתן לראות שזה מתקיים ברביע השני וברביע הרביעי, ולכן התשובה היא: [math]\displaystyle{ -{\pi \over 2} + \pi k \lt x \lt \pi k }[/math]

• [math]\displaystyle{ sin(x)\lt cos(x) }[/math]

מתקיים שוויון כאשר [math]\displaystyle{ x={\pi \over 4} + \pi k }[/math]. עד [math]\displaystyle{ \pi \over 4 }[/math] הקוסינוס יותר גדול, ובנקודה זו זה מתהפך עד [math]\displaystyle{ 5\pi \over 4 }[/math] בה זה מתהפך בחזרה, וכך ממשיך במחזוריות של [math]\displaystyle{ 2\pi }[/math]. לכן אי השוויון מתקיים עבור [math]\displaystyle{ -{3\pi \over 4}+2\pi k \lt x \lt {\pi \over 4} +2\pi k }[/math]

• [math]\displaystyle{ e^{sin(x)} \lt 1 }[/math]

נסמן [math]\displaystyle{ y=sin(x) }[/math] ונבדוק מתי [math]\displaystyle{ e^y\lt 1 }[/math]. יש שוויון עבור y=0 לכן אי השוויון מתקיים עבור [math]\displaystyle{ sin(x)=y\lt 0 }[/math]. מתכונות סינוס, זה מתקיים עבור [math]\displaystyle{ -\pi + 2\pi k \lt x \lt 2\pi k }[/math]

• [math]\displaystyle{ (sin(x)-cos(x))(sin(x)+(cos(x)) \gt 0 }[/math]

נפתח סוגריים ונקבל: [math]\displaystyle{ sin(x)^2-cos(x)^2\gt 0 }[/math]. ניעזר בזהות [math]\displaystyle{ sin(x)^2+cos(x)^2=1 }[/math] ונגיע לאי השוויון: [math]\displaystyle{ 2sin(x)^2-1\gt 0 }[/math]. מכאן נעביר אגפים ונקבל [math]\displaystyle{ sin(x)^2\gt {1 \over 2} }[/math] והפתרון שלו הוא [math]\displaystyle{ sin(x)\gt {\sqrt{2} \over 2} }[/math] או [math]\displaystyle{ sin(x)\lt -{\sqrt{2} \over 2} }[/math]. זה מתקיים עבור: [math]\displaystyle{ {\pi \over 4}+\pi k \lt x \lt {3\pi \over 4} + \pi k }[/math]

• [math]\displaystyle{ sin \Big(\pi\cdot cos(x)\Big)\gt 0 }[/math]

נציב [math]\displaystyle{ y=\pi \cdot cos(x) }[/math] ונקבל שאי השוויון מתקיים עבור [math]\displaystyle{ 2\pi k \lt y \lt \pi + 2\pi k }[/math]. לכן [math]\displaystyle{ 2k\lt cos(x)\lt 1+2k }[/math].

אם [math]\displaystyle{ k\gt 0 }[/math]: נקבל [math]\displaystyle{ 2 \lt cos(x) }[/math] וזה לא יתכן.

[math]\displaystyle{ k\lt 0 }[/math]: נקבל [math]\displaystyle{ cos(x)\lt -1 }[/math] וזה גם לא יתכן.

עבור [math]\displaystyle{ k=0 }[/math]: אי השוויון הוא [math]\displaystyle{ 0\lt cos(x)\lt 1 }[/math] וזה מתקיים לכל [math]\displaystyle{ -{\pi \over 2}+2\pi k \lt x \lt {\pi \over 2} + 2\pi k }[/math]

2

הוכח:

• [math]\displaystyle{ \overline{z_1\cdot z_2}=\overline{z_1}\cdot\overline{z_2} }[/math]

נסמן [math]\displaystyle{ z_1=x_1+y_1 \cdot i , z_2=x_2+y_2 \cdot i }[/math]. נחשב את אגף שמאל:

[math]\displaystyle{ \overline{z_1 \cdot z_2} = \overline{(x_1+y_1 \cdot i) \cdot (x_2+y_2 \cdot i)} = \overline{(x_1 x_2 - y_1 y_2) + (x_1 y_2 + x_2 y_1) \cdot i}=(x_1 x_2 - y_1 y_2) - (x_1 y_2 + x_2 y_1) \cdot i }[/math]

נחשב את אגף ימין: [math]\displaystyle{ \overline{z_1}\cdot\overline{z_2}=(x_1-y_1 \cdot i) \cdot (x_2-y_2 \cdot i) = (x_1 x_2 - y_1 y_2)-(x_1 y_2 + x_2 y_1) \cdot i }[/math]

בשני המקרים קיבלנו את אותו ביטוי לכן מתקיים שוויון.

• [math]\displaystyle{ |z_1\cdot z_2| = |z_1|\cdot |z_2| }[/math]

[math]\displaystyle{ |z_1\cdot z_2|=|(x_1 x_2 -y_1 y_2)+(x_1 y_2 + x_2 y_1) \cdot i| =\sqrt{ (x_1 x_2 - y_1 y_2)^2 + (x_1 y_2 +x_2 y_1)^2}=\sqrt{x_1^2 x_2^2+ y_1^2 y_2^2+x_1^2 y_2^2+x_2^2 y_1^2} }[/math]

אגף ימין: [math]\displaystyle{ |z_1|\cdot |z_2| = \sqrt{x_1^2+y_1^2}\cdot \sqrt{x_2^2+y_2^2}=\sqrt{x_1^2 x_2^2+ y_1^2 y_2^2+x_1^2 y_2^2+x_2^2 y_1^2} }[/math]

שוב קיבלנו בשני המקרים את אותו ביטוי ולכן מתקיים השוויון

• [math]\displaystyle{ Re(z)= \frac{z+\overline{z}}{2} }[/math]

[math]\displaystyle{ \frac{z+\overline{z}}{2} = \frac{x+y \cdot i + x - y \cdot i}{2} = \frac{2x}{2}=x=Re(z) }[/math]

• [math]\displaystyle{ Im(z)= \frac{z-\overline{z}}{2} }[/math]

[math]\displaystyle{ \frac{z-\overline{z}}{2} = \frac{x+y \cdot i - (x - y \cdot i)}{2} = \frac{2y}{2}=y=Im(z) }[/math]

3

מצא את הצורה הפולרית והקרטזית של המספרים המרוכבים הבאים:

• [math]\displaystyle{ 1+i }[/math]

[math]\displaystyle{ r=\sqrt{1^2+1^2}=\sqrt{2} }[/math]

[math]\displaystyle{ \varphi = arctan({1 \over 1}) = arctan(1) = {\pi \over 4} }[/math]

לכן הצורה הפולארית היא [math]\displaystyle{ \sqrt{2} \cdot cis({\pi \over 4}) }[/math]

• [math]\displaystyle{ (1-i)^{-1} }[/math]

[math]\displaystyle{ (1-i)^{-1} = \frac{1}{1-i} = \frac{1+i}{(1-i)(1+i)}= \frac{1}{2} + \frac{1}{2} \cdot i }[/math]

זה שווה בדיוק לחצי מהביטוי בסעיף א' לכן הצורה הפולארית היא: [math]\displaystyle{ \frac{\sqrt{2}}{2} \cdot cis(\frac{\pi}{4}) }[/math]

• [math]\displaystyle{ \sqrt{2}cis(\frac{\pi}{4})(2-3i) }[/math]

ניעזר בסעיף א' ונקבל שהביטוי שווה ל:[math]\displaystyle{ (1+i)(2-3i) }[/math]. נפתח סוגריים ונקבל: [math]\displaystyle{ (2+3)+(-3+2)i }[/math]. סה"כ הצורה הקרטזית היא [math]\displaystyle{ 5-i }[/math]

הצורה הפולארית: [math]\displaystyle{ r=\sqrt{26} }[/math]

[math]\displaystyle{ \varphi = arctan(\frac{-1}{5}) \approx -11^\circ }[/math]

לכן הצורה הפולארית היא [math]\displaystyle{ \sqrt{26}\cdot cis(-11^\circ) }[/math]

• [math]\displaystyle{ cis(\frac{\pi}{2}) }[/math]

נמצא את הצורה הקרטזית: [math]\displaystyle{ x=cos(\frac{\pi}{2})=0 , y=sin(\frac{\pi}{2})=1 }[/math]

לכן המספר שווה לi

• [math]\displaystyle{ 2cis(2012\cdot \frac{\pi}{2}) }[/math]

[math]\displaystyle{ x=2cos(1006\pi)=2cos(0)=2 }[/math]

[math]\displaystyle{ y=2sin(1006\pi)=2sin(0)=0 }[/math]

לכן המספר שווה ל2