מכינה למתמטיקה קיץ תשעב/תרגילים/3

1

• חשב את הסכום [math]\displaystyle{ 1+\frac{sin(1)}{2} + \frac{sin(2)}{4}+\frac{sin(3)}{8}+...+\frac{sin(n)}{2^n} }[/math]

[רמז: סכום סדרה הנדסית [math]\displaystyle{ 1+q+...+q^{n} = \frac{1-q^{n+1}}{1-q} }[/math], ומשפט דה-מואבר]

• מצא את כל הפתרונות של המשוואה [math]\displaystyle{ z^5=1-i }[/math]

2

• מצא את ההיטל של הוקטור [math]\displaystyle{ (1,2) }[/math] על הישר הנפרש על ידי הוקטור [math]\displaystyle{ (2,2) }[/math]

• מצא וקטור המתחיל בראשית בצירים ומאונך לישר שמשוואתו [math]\displaystyle{ 3x-1=y }[/math]

• מצא וקטור מאונך למישור הנפרש על ידי שני הוקטורים [math]\displaystyle{ (1,2,3),(1,4,5) }[/math]

• מצא וקטור מאורך אחד, בכיוון הוקטור [math]\displaystyle{ (1,2,2) }[/math]

• מצא נוסחא כללית לוקטור מאורך אחד בכיוון הוקטור [math]\displaystyle{ u }[/math]

• מצא את משוואת המישור המאונך לוקטור [math]\displaystyle{ (1,-1,5) }[/math] ועובר בנקודה [math]\displaystyle{ (1,1,1) }[/math]

• מצא את כל הוקטורים מאורך אחד אשר הזוית בינם לבין הוקטור [math]\displaystyle{ (1,4) }[/math] הינה [math]\displaystyle{ \frac{\pi}{3} }[/math]. כמה כאלה יש?

• הוכח עבור וקטורים במישור כי מתקיים אי השיוויון [math]\displaystyle{ u\cdot v \leq |u||v| }[/math] (ישירות לפי ההגדרה של מכפלה סקלרית ואורך וקטור).

[רמז: השתמש בזהות הידועה [math]\displaystyle{ (a-b)^2 = a^2+b^2-2ab }[/math]]