מרחבי המטריצה

תהי מטריצה [math]\displaystyle{ A\in\Bbb{F}^{m\times n} }[/math] . מגדירים שלושה מרחבים עיקריים:

• מרחב השורות של [math]\displaystyle{ A }[/math] . זהו המרחב הנפרש על ידי שורות המטריצה. נסמן [math]\displaystyle{ R(A)=\text{span}\{R_1(A),\ldots,R_m(A)\}\sube\Bbb{F}^n }[/math]
• מרחב העמודות של [math]\displaystyle{ A }[/math] . זהו המרחב הנפרש על ידי עמודות המטריצה. נסמן [math]\displaystyle{ C(A)=\text{span}\{C_1(A),\ldots,C_n(A)\}\sube\Bbb{F}^m }[/math]
• מרחב האפס של [math]\displaystyle{ A }[/math] . זהו מרחב הפתרונות של המערכת ההומוגנית [math]\displaystyle{ Ax=0 }[/math] . נסמן [math]\displaystyle{ N(A)=\{x\in\Bbb{F}^n|Ax=0\}\sube\Bbb{F}^n }[/math]

הגדרה: דרגת המטריצה [math]\displaystyle{ A }[/math] שווה למספר השורות בצורה המדורגת שלה השונות מאפס. מסומן [math]\displaystyle{ \text{rank}A }[/math] .

משפט: [math]\displaystyle{ \text{rank}A=\dim R(A)=\dim C(A)=n-\dim N(A) }[/math] . אלה שווים למספר המשתנים התלויים, וממד מרחב האפס שווה למספר המשתנים החופשיים.

דוגמא. מצא בסיס למרחב האפס של המטריצה [math]\displaystyle{ \begin{pmatrix}1&0&1&1\\2&1&1&2\\1&1&0&1\end{pmatrix} }[/math]

ראשית, נדרג קנונית את המטריצה לקבלת

[math]\displaystyle{ \begin{pmatrix}1&0&1&1\\0&1&-1&0\\0&0&0&0\end{pmatrix} }[/math]

לפיכך המשתנה השלישי והרביעי הם חופשיים, נציב במקומם פרמטרים [math]\displaystyle{ t,s }[/math] והפתרון הכללי הוא מהצורה [math]\displaystyle{ (-t-s,t,t,s) }[/math] . תמיד ניתן לפרק את הפתרון הכללי לסכום של וקטורים קבועים כפול הסקלרים שהם הפרמטרים: [math]\displaystyle{ t(-1,1,1,0)+s(-1,0,0,1) }[/math] . וקטורים קבועים אלה תמיד מהווים בסיס למרחב הפתרונות:

• אנו רואים שכל פתרון הוא צירוף לינארי של הוקטורים הללו עם הסקלרים שהם הפרמטרים (במקרה זה [math]\displaystyle{ t,s }[/math])
• וקטורים אלה תמיד בת"ל, שכן אם יש צירוף לינארי שלהם שמתאפס, מכיוון שהפרמטרים תמיד מופיעים לבדם בעמודה של המשתנה שלהם, הם חייבים להיות אפס

לכן הבסיס למרחב האפס הנו [math]\displaystyle{ \bigl\{(-1,0,0,1),(-1,1,1,0)\bigr\} }[/math]

אלגוריתם למציאת שלושת מרחבי המטריצה

1. דרג את המטריצה (ניתן גם לדרג קנונית אך לא חובה)
2. השורות השונות מאפס מהוות בסיס למרחב השורה
3. העמודות במטריצה המקורית המהוות עמודות ציר (כלומר יש אבר פותח בעמודה בצורה הקנונית), מהוות בסיס למרחב העמודה
4. הצב פרמטרים במקום המשתנים החופשיים
5. מצא את הפתרון הכללי
6. פרק את הפתרון הכללי לצירוף לינארי של וקטורים קבועים כפול הפרמטרים
7. הוקטורים הקבועים מהווים בסיס למרחב האפס

שימו לב: בהנתן מרחב כלשהו (פולינומים, מטריצות, פונקציות) ניתן לבצע את החישובים על מרחב הקואורדינטות. כפי שראינו בשיעור שעבר, מציאת בסיס למרחבים רבים שקולה למציאת בסיס למרחב האפס של מטריצה מסוימת.

סיכום בנושא ממדי מרחבים המטריצה והדרגה

תהי [math]\displaystyle{ A }[/math] מטריצה. המספרים הבאים שווים (זה נובע מהחומר שלמדנו עד עכשיו):

• דרגת המטריצה
• ממד מרחב העמודות
• ממד מרחב השורות
• מספר השורות השונות מאפס בצורה הקנונית
• מספר האברים הפותחים
• מספר עמודות הציר
• מספר המשתנים התלויים

המספרים הבאים שווים:

• מספר המשתנים החופשיים
• ממד מרחב הפתרונות של המערכת ההומוגנית

מכיוון שמספר המשתנים החופשיים ועוד מספר המשתנים התלויים שווה לסך כל המשתנים, וזהו מספר העמודות במטריצה, נובע שדרגת המטריצה ועוד ממד מרחב הפתרונות שווים למספר העמודות מ.

תרגיל. הוכח כי לכל מטריצה [math]\displaystyle{ A\in\R^{m\times n} }[/math] מתקיים [math]\displaystyle{ \R^n=R(A)\oplus N(A) }[/math]

פתרון. מכיוון שהרגע ראינו כי סכום הממדים מקיים [math]\displaystyle{ \dim R(A)+\dim N(A)=n }[/math] לפי משפט הממדים מספיק להוכיח שהחיתוך בינהם הנו אפס.

נניח שקיים [math]\displaystyle{ v }[/math] השייך למרחב הפתרונות וגם למרחב השורות. מכיוון שהוא שייך למרחב השורות, ניתן להפעיל פעולות שורה על המטריצה כך שאחת משורותיה תהפוך להיות [math]\displaystyle{ v }[/math] , בלי הגבלת הכלליות תהא זו השורה הראשונה.

מכיוון ש־[math]\displaystyle{ v }[/math] במרחב הפתרונות של [math]\displaystyle{ A }[/math] , הוא גם במרחב הפתרונות של המטריצה לאחרת פעולות השורה [math]\displaystyle{ B }[/math] , ומתקיים [math]\displaystyle{ Bv=0 }[/math] . אבל האבר הראשון במכפלה שווה [math]\displaystyle{ 0=R_1(A)v=v^tv }[/math] וכפי שלמדנו זהו סכום ריבועים שמתאפס ולכן [math]\displaystyle{ v=0 }[/math] כפי שרצינו.