בקצרה:משפט בולצאנו-ויירשטראס אומר שמכל סדרה חסומה אפשר לחלץ תת-סדרה מתכנסת, גם כשהסדרה עצמה אינה מתכנסת: למשל בסדרה [math]\displaystyle{ (-1)^n }[/math] האיברים במקומות הזוגיים שווים כולם ל־1. הדרך לשם עוברת בטענה שנכונה לכל סדרה, גם לא חסומה: תמיד אפשר לבחור ממנה אינסוף איברים, בלי לשנות את הסדר ביניהם, כך שיהיו מסודרים בסדר עולה או בסדר יורד, כמו שמתוך תור אינסופי לקלפי אפשר לבחור אינסוף אנשים שעומדים לפי הגובה. תת-סדרה מונוטונית של סדרה חסומה היא מונוטונית וחסומה, ולכן מתכנסת. המשפט הוא כלי הוכחה מרכזי בהמשך הקורס: בעזרתו, ובעזרת הטענה על תת-סדרה מונוטונית, מוכיחים את המשפטים על הגבול העליון והגבול התחתון ואת משפטי ויירשטראס על פונקציות רציפות בקטע סגור.
▶ ההרצאה: משפט בולצאנו-ויירשטראס
שני המקרים בהוכחה שלכל סדרה יש תת-סדרה מונוטונית (טענה 2.10.5). המקום [math]\displaystyle{ n }[/math] הוא פסגה אם האיבר במקום [math]\displaystyle{ n }[/math] גדול או שווה לכל האיברים שאחריו; הפסגות מסומנות ברקע תכלת, והנקודות המלאות המחוברות בקו הן תת-הסדרה המונוטונית שנבנית בהוכחה. (a) בסדרה [math]\displaystyle{ a_n=(-1)^n\left(1+\frac1n\right) }[/math] כל המקומות הזוגיים הם פסגות (הקו המנוקד: כל האיברים אחרי [math]\displaystyle{ a_2 }[/math] נמוכים ממנו), כלומר יש אינסוף פסגות, ותת-סדרת הפסגות [math]\displaystyle{ a_{2n}=1+\frac1{2n} }[/math] יורדת ושואפת ל־[math]\displaystyle{ 1 }[/math]. (b) בסדרה [math]\displaystyle{ b_n=(-1)^n\left(1-\frac2n\right) }[/math] יש פסגה אחת בלבד, [math]\displaystyle{ b_1=1 }[/math]. אחריה (מימין לקו המנוקד) לכל איבר יש איבר מאוחר יותר שגדול ממנו, וכך נבנית תת-סדרה עולה [math]\displaystyle{ b_2<b_4<b_6<\cdots }[/math] ששואפת ל־[math]\displaystyle{ 1 }[/math]. שתי הסדרות חסומות ואינן מתכנסות, אבל לכל אחת מהן יש תת-סדרה מונוטונית וחסומה, ולכן מתכנסת: זה משפט בולצאנו-ויירשטראס.
תהי [math]\displaystyle{ a_n }[/math] סדרה ממשית חסומה. אזי יש ל־[math]\displaystyle{ a_n }[/math] תת-סדרה מתכנסת, כלומר קיימים תת-סדרה [math]\displaystyle{ a_{k_n} }[/math] של [math]\displaystyle{ a_n }[/math] ו־[math]\displaystyle{ L\in\mathbb R }[/math] כך ש [math]\displaystyle{ a_{k_n}\to L }[/math].
דוגמאות
נסו לפתור לבד, ואז לחצו "הצג פתרון".
דוגמה 1: פסגות ותת-סדרה מונוטונית
נאמר שהמקום [math]\displaystyle{ n }[/math] הוא פסגה של הסדרה [math]\displaystyle{ a_n }[/math] אם [math]\displaystyle{ a_n\ge a_m }[/math] לכל [math]\displaystyle{ m>n }[/math], כלומר האיבר במקום [math]\displaystyle{ n }[/math] גדול או שווה לכל האיברים שאחריו. מצאו את הפסגות של כל אחת מהסדרות הבאות, בנו ממנה תת-סדרה מונוטונית כמו בהוכחה של טענה 2.10.5, ומצאו את הגבול של תת-הסדרה. (א) [math]\displaystyle{ a_n=(-1)^n\left(1+\frac1n\right) }[/math] (ב) [math]\displaystyle{ b_n=(-1)^n\left(1-\frac2n\right) }[/math]
(א) כל מקום זוגי [math]\displaystyle{ n }[/math] הוא פסגה: [math]\displaystyle{ a_n=1+\frac1n }[/math], לכל [math]\displaystyle{ m>n }[/math] זוגי מתקיים [math]\displaystyle{ a_m=1+\frac1m<a_n }[/math], ולכל [math]\displaystyle{ m }[/math] אי־זוגי מתקיים [math]\displaystyle{ a_m<0<a_n }[/math].
מקום אי־זוגי [math]\displaystyle{ n }[/math] אינו פסגה, כי [math]\displaystyle{ a_n<0<a_{n+1} }[/math].
יש אינסוף פסגות, ולכן, כמו בהוכחה, תת-סדרת הפסגות [math]\displaystyle{ a_{2n}=1+\frac1{2n} }[/math] מונוטונית יורדת. היא חסומה ([math]\displaystyle{ 1<a_{2n}\le\frac32 }[/math]), ולכן מתכנסת לפי משפט 2.9.2; כאן [math]\displaystyle{ a_{2n}\to1 }[/math].
(ב) [math]\displaystyle{ b_1=1 }[/math], ולכל [math]\displaystyle{ m\ge2 }[/math] מתקיים [math]\displaystyle{ 0\le1-\frac2m<1 }[/math], כלומר [math]\displaystyle{ |b_m|<1 }[/math]. לכן [math]\displaystyle{ b_1>b_m }[/math] לכל [math]\displaystyle{ m\ge2 }[/math], והמקום [math]\displaystyle{ 1 }[/math] הוא פסגה.
אין פסגות נוספות: לכל [math]\displaystyle{ n\ge2 }[/math] זוגי מתקיים [math]\displaystyle{ b_n<b_{n+2} }[/math] (כי [math]\displaystyle{ \frac2n>\frac2{n+2} }[/math]), ולכל [math]\displaystyle{ n\ge3 }[/math] אי־זוגי מתקיים [math]\displaystyle{ b_n<0<b_{n+1} }[/math]. לכן הפסגה האחרונה היא במקום [math]\displaystyle{ 1 }[/math].
כמו בהוכחה, נבחר מקום אחרי הפסגה האחרונה, [math]\displaystyle{ k_1=2 }[/math], ובכל שלב מקום מאוחר יותר שבו האיבר גדול יותר: [math]\displaystyle{ k_n=2n }[/math] מתאים, כי [math]\displaystyle{ b_2<b_4<b_6<\cdots }[/math]. תת-הסדרה [math]\displaystyle{ b_{2n}=1-\frac1n }[/math] עולה, חסומה מלעיל על ידי [math]\displaystyle{ 1 }[/math], ו־[math]\displaystyle{ b_{2n}\to1 }[/math].
שתי הסדרות חסומות ([math]\displaystyle{ |a_n|\le2 }[/math] ו־[math]\displaystyle{ |b_n|\le1 }[/math]) ואינן מתכנסות: לכל אחת מהן הגבולות החלקיים [math]\displaystyle{ 1 }[/math] (במקומות הזוגיים) ו־[math]\displaystyle{ -1 }[/math], כי [math]\displaystyle{ a_{2n-1}=-1-\frac1{2n-1}\to-1 }[/math] ו־[math]\displaystyle{ b_{2n-1}=-1+\frac2{2n-1}\to-1 }[/math], ולכן לפי מסקנה 2.10.4 אין לה גבול. אבל לכל אחת מהן יש תת-סדרה מתכנסת, כפי שמבטיח משפט בולצאנו-ויירשטראס.
מקור: תמליל 23 (R491ZyCHhBs): הגדרת הפסגה 02:52–03:04 (t=172s, "מקום n נקרא פסגה של הסדרה אם כל האיברים אחריו קטנים או שווים לו"); שני המקרים 03:21–03:41 (t=201s); אינסוף פסגות ⇒ תת-סדרה יורדת 04:27–05:59 (t=267s); מספר סופי ⇒ תת-סדרה עולה אחרי הפסגה האחרונה 06:03–07:17 (t=363s). לוח הרצאה 16.11.20, אינפי 1 מדמ"ח תשפ"א (R1-C23, R1-X37: "אם יש אינסוף פסגות, בונים תת סדרה מכל הפסגות; אם יש מספר סופי של פסגות, בונים תת סדרה מאיברים שהם לא פסגות", עם סדרה מספרית להמחשה); מאגר 2.10-26 (◆, ק' 3). הסדרות a_n, b_n נבחרו לדף כך שאפשר להוכיח בדיוק מי הן הפסגות, והן גם הסדרות שבאיור.
דוגמה 2: הוכיחו או הפריכו: מה המשפט דורש
הוכיחו או הפריכו: (א) לכל סדרה ממשית יש תת-סדרה מונוטונית עולה. (ב) לכל סדרה ממשית חיובית יש תת-סדרה מונוטונית. (ג) לכל סדרה ממשית מונוטונית יש תת-סדרה חסומה. (ד) תהי [math]\displaystyle{ a_n }[/math] סדרה ממשית שיש לה תת-סדרה מתכנסת. אזי [math]\displaystyle{ a_n }[/math] חסומה.
(א) לא נכון. נביט בסדרה [math]\displaystyle{ a_n=-n }[/math], ותהי [math]\displaystyle{ a_{k_n} }[/math] תת-סדרה שלה. מתקיים [math]\displaystyle{ k_1<k_2 }[/math], ולכן [math]\displaystyle{ -k_2<-k_1 }[/math], כלומר [math]\displaystyle{ a_{k_2}<a_{k_1} }[/math], ותת-הסדרה אינה עולה. (לפי טענה 2.10.5 יש ל־[math]\displaystyle{ a_n }[/math] תת-סדרה מונוטונית, אבל זו תת-סדרה יורדת.)
(ב) נכון, לפי טענה 2.10.5: לכל סדרה ממשית, חיובית או לא, חסומה או לא, יש תת-סדרה מונוטונית. ההנחה שהסדרה חיובית מיותרת.
(ג) לא נכון. הסדרה [math]\displaystyle{ a_n=n }[/math] עולה. תהי [math]\displaystyle{ a_{k_n} }[/math] תת-סדרה שלה. אזי [math]\displaystyle{ k_n\ge n }[/math] לכל [math]\displaystyle{ n }[/math] (באינדוקציה: [math]\displaystyle{ k_1\ge1 }[/math], ואם [math]\displaystyle{ k_n\ge n }[/math] אזי [math]\displaystyle{ k_{n+1}>k_n\ge n }[/math], ולכן [math]\displaystyle{ k_{n+1}\ge n+1 }[/math]). לכן [math]\displaystyle{ a_{k_n}=k_n\ge n }[/math], ותת-הסדרה אינה חסומה מלעיל.
מכאן גם שאין ל־[math]\displaystyle{ a_n=n }[/math] אף תת-סדרה מתכנסת, כי סדרה מתכנסת היא חסומה (משפט 2.1.14): במשפט בולצאנו-ויירשטראס החסימות נחוצה.
(ד) לא נכון: זה ההפך של בולצאנו-ויירשטראס. נגדיר [math]\displaystyle{ a_n=n }[/math] עבור [math]\displaystyle{ n }[/math] אי־זוגי ו־[math]\displaystyle{ a_n=0 }[/math] עבור [math]\displaystyle{ n }[/math] זוגי, כלומר [math]\displaystyle{ 1,0,3,0,5,0,\dots }[/math]. תת-הסדרה [math]\displaystyle{ a_{2n}=0 }[/math] מתכנסת ל־[math]\displaystyle{ 0 }[/math], אבל [math]\displaystyle{ a_{2n-1}=2n-1 }[/math], ולכן [math]\displaystyle{ a_n }[/math] אינה חסומה מלעיל.
מקור: מבחן צבאן תשפ"ד מועד א' (5.4.24), חלק נכון/לא נכון, סעיפים ה–ז (ה: לכל סדרה מונוטונית יש תת-סדרה חסומה, לא נכון, n; ו: לכל סדרה יש תת-סדרה עולה, לא נכון, −n; ז: לכל סדרה חיובית יש תת-סדרה מונוטונית, נכון; לפי AI Bank W5a, T84A-II); מאגר 2.10-26 (◆ HW-A 4.8, ההפרכות ½ לבוחן); תמליל 23 (R491ZyCHhBs) 01:48 (t=108s): "אם הסדרה כולה שואפת לאינסוף בוודאי שלא"; הדוגמה 1,0,3,0,5,0,… מההערה לפריט 2.10.9; ההערה לפריט 2.10.6 ("החסימות נחוצה: a_n=n"); k_n≥n כמו הלמה בהוכחת 2.10.3 (לוח 16.11.20, R1-C21).
דוגמה 3: תת-סדרה שההפרשים בה שואפים לאפס (מבחן)
תהי [math]\displaystyle{ a_n }[/math] סדרה ממשית חסומה. הוכיחו שיש ל־[math]\displaystyle{ a_n }[/math] תת-סדרה [math]\displaystyle{ a_{k_n} }[/math] כך ש [math]\displaystyle{ a_{k_{n+1}}-a_{k_n}\to0 }[/math].
הסדרה חסומה, ולכן לפי משפט בולצאנו-ויירשטראס קיימים תת-סדרה [math]\displaystyle{ a_{k_n} }[/math] של [math]\displaystyle{ a_n }[/math] ו־[math]\displaystyle{ L\in\mathbb R }[/math] כך ש [math]\displaystyle{ a_{k_n}\to L }[/math]. נראה שתת-הסדרה הזו מקיימת את הדרוש.
נסמן [math]\displaystyle{ c_n=a_{k_n} }[/math]. אזי [math]\displaystyle{ c_n\to L }[/math], ולכן לפי משפט 2.1.15 גם [math]\displaystyle{ c_{n+1}\to L }[/math], כלומר [math]\displaystyle{ a_{k_{n+1}}\to L }[/math].
לפי אריתמטיקה של גבולות (משפט 2.4.2) מתקיים [math]\displaystyle{ a_{k_{n+1}}-a_{k_n}\to L-L=0 }[/math].
שימו לב שהשאלה מבקשת תת-סדרה: ההפרשים של הסדרה עצמה אינם חייבים לשאוף לאפס. בסדרה [math]\displaystyle{ a_n=(-1)^n }[/math] מתקיים [math]\displaystyle{ |a_{n+1}-a_n|=2 }[/math] לכל [math]\displaystyle{ n }[/math], אבל בתת-הסדרה [math]\displaystyle{ a_{2n}=1 }[/math] כל ההפרשים שווים ל־[math]\displaystyle{ 0 }[/math].
החסימות נחוצה: בסדרה [math]\displaystyle{ a_n=n }[/math], לכל תת-סדרה [math]\displaystyle{ a_{k_n} }[/math] ההפרש [math]\displaystyle{ a_{k_{n+1}}-a_{k_n}=k_{n+1}-k_n }[/math] הוא מספר שלם חיובי (כי [math]\displaystyle{ k_{n+1}>k_n }[/math]), ולכן גדול או שווה ל־[math]\displaystyle{ 1 }[/math] לכל [math]\displaystyle{ n }[/math]. אף איבר של סדרת ההפרשים אינו בסביבה ברדיוס [math]\displaystyle{ 1 }[/math] של [math]\displaystyle{ 0 }[/math], ולכן היא אינה שואפת לאפס.
מקור: מבחן מועד ב' תשס"ג (88-132), שאלה 12, ופתרון בוויקי בדף "פתרון אינפי 1, תשס"ג, מועד ב," ("לפי משפט בולצאנו-ויירשטראס יש ל-x_n תת-סדרה מתכנסת... L−L=0"); מאגר 2.10-27 (SG-B ש12, W5b Q020, ק' 2, בוחן ✓). הצעד c_{n+1}→L מנומק כאן במשפט 2.1.15 (בפתרון בוויקי הוא נאמר בלי נימוק); ההערות על (−1)^n ועל n נוספו לדף.
דוגמה 4: לכל תת-סדרה יש תת-סדרה מתכנסת
תהי [math]\displaystyle{ a_n }[/math] סדרה ממשית, ונניח שלכל תת-סדרה של [math]\displaystyle{ a_n }[/math] יש תת-סדרה מתכנסת (כלומר שואפת לגבול סופי). (א) הוכיחו ש [math]\displaystyle{ a_n }[/math] חסומה. (ב) הוכיחו או הפריכו: [math]\displaystyle{ a_n }[/math] מתכנסת.
(א) נניח בשלילה ש [math]\displaystyle{ a_n }[/math] אינה חסומה. אזי לכל [math]\displaystyle{ M>0 }[/math] יש אינסוף מקומות [math]\displaystyle{ m }[/math] כך ש [math]\displaystyle{ |a_m|>M }[/math]: אילו היו רק מספר סופי של מקומות כאלה, [math]\displaystyle{ m_1,\dots,m_p }[/math], היה מתקיים [math]\displaystyle{ |a_n|\le C }[/math] לכל [math]\displaystyle{ n }[/math], כאשר [math]\displaystyle{ C }[/math] הוא הגדול מבין המספרים [math]\displaystyle{ M,|a_{m_1}|,\dots,|a_{m_p}| }[/math], והסדרה הייתה חסומה.
נבנה תת-סדרה: נבחר [math]\displaystyle{ k_1 }[/math] כך ש [math]\displaystyle{ |a_{k_1}|>1 }[/math], ואחרי שבחרנו את [math]\displaystyle{ k_n }[/math] נבחר [math]\displaystyle{ k_{n+1}>k_n }[/math] כך ש [math]\displaystyle{ |a_{k_{n+1}}|>n+1 }[/math]. יש מקום כזה, כי יש אינסוף מקומות [math]\displaystyle{ m }[/math] שבהם [math]\displaystyle{ |a_m|>n+1 }[/math], ורק מספר סופי מהם קטנים או שווים ל־[math]\displaystyle{ k_n }[/math]. קיבלנו תת-סדרה כך ש [math]\displaystyle{ |a_{k_n}|>n }[/math] לכל [math]\displaystyle{ n }[/math].
לפי ההנחה יש ל־[math]\displaystyle{ a_{k_n} }[/math] תת-סדרה מתכנסת [math]\displaystyle{ a_{k_{m_n}} }[/math]. כמו בדוגמה 2, [math]\displaystyle{ m_n\ge n }[/math] לכל [math]\displaystyle{ n }[/math], ולכן [math]\displaystyle{ |a_{k_{m_n}}|>m_n\ge n }[/math] לכל [math]\displaystyle{ n }[/math]. כלומר [math]\displaystyle{ a_{k_{m_n}} }[/math] אינה חסומה, ולפי משפט 2.1.14 אינה מתכנסת. זו סתירה, ולכן [math]\displaystyle{ a_n }[/math] חסומה.
(ב) לא נכון. נביט בסדרה [math]\displaystyle{ a_n=(-1)^n }[/math]. כל תת-סדרה שלה חסומה ([math]\displaystyle{ |a_{k_n}|\le1 }[/math]), ולכן לפי משפט בולצאנו-ויירשטראס יש לה תת-סדרה מתכנסת. אבל [math]\displaystyle{ a_n }[/math] אינה מתכנסת: [math]\displaystyle{ a_{2n}\to1 }[/math] ו־[math]\displaystyle{ a_{2n-1}\to-1 }[/math], ולפי מסקנה 2.10.4 אין לה גבול.
לסיכום: לפי (א) ולפי משפט בולצאנו-ויירשטראס (כל תת-סדרה של סדרה חסומה חסומה), [math]\displaystyle{ a_n }[/math] חסומה אם ורק אם לכל תת-סדרה שלה יש תת-סדרה מתכנסת. כדי ש [math]\displaystyle{ a_n }[/math] תתכנס צריך יותר: שלכל תת-סדרה תהיה תת-סדרה ששואפת לאותו גבול [math]\displaystyle{ L }[/math] (מועד ב' תשפ"א, מדמ"ח, שאלה 4א).
מקור: לוח קיץ תשפ"א, 5.8.21, שורות 267–275 (R4-X15, X16, "הופריכו"): "נב"ש שהסדרה אינה חסומה מלעיל... לכן קיימת תת סדרה ששואפת לאינסוף. כל תתי הסדרות של תת הסדרה הזו גם שואפות לאינסוף, סתירה", ו"הפרכה: כל סדרה חסומה שאינה מתכנסת תהווה הפרכה... לפי בולצאנו-ויירשטראס"; מבחן מועד א' תשע"א (פרופ' זלצמן), שאלה 1, ופתרון בוויקי (אותה הפרכה עם (−1)^n); בניית תת-הסדרה עם |a_{k_n}|>n לפי תמליל 25 (zF_5NdFJbAg) 04:16–05:59 (t=256s); לוח 17.12.20 (R2-E48); מאגר 2.10-23 (◆, ק' 2–3, בוחן ✓). בלוח המקרה "מלרע" נשאר "דומה"; כאן שני הכיוונים מטופלים יחד בעזרת |a_n|.
טעויות נפוצות
להסיק מבולצאנו-ויירשטראס שהסדרה עצמה מתכנסת: [math]\displaystyle{ (-1)^n }[/math] חסומה ואינה מתכנסת, והמשפט מבטיח רק שיש לה תת-סדרה מתכנסת.
להסיק שכל תת-סדרה של סדרה חסומה מתכנסת, או שתת-סדרה מסוימת שבחרנו היא זו שמתכנסת: המשפט אומר רק שקיימת תת-סדרה מתכנסת, ולא איזו, ול־[math]\displaystyle{ (-1)^n }[/math] עצמה (שהיא תת-סדרה של עצמה, עם [math]\displaystyle{ k_n=n }[/math]) אין גבול.
לשכוח את החסימות או להפוך את המשפט: לסדרה [math]\displaystyle{ a_n=n }[/math] אין אף תת-סדרה מתכנסת (בסרטון, 01:48), ולסדרה [math]\displaystyle{ 1,0,3,0,5,0,\dots }[/math] יש תת-סדרה מתכנסת אף שאינה חסומה.
לחשוב שתת-סדרת הפסגות עולה: כל פסגה גדולה או שווה לכל האיברים שאחריה, ובפרט לפסגות הבאות, ולכן הפסגות יורדות (בסרטון, 07:41: מי שכובש עוד ועוד פסגות, "מצבו הולך ומדרדר"); תת-סדרה עולה בונים רק כשיש מספר סופי של פסגות, מהאיברים שאחרי הפסגה האחרונה.
לטעון שהגבול של תת-הסדרה המתכנסת נמצא באותו תחום שבו נמצאים איברי הסדרה: אם [math]\displaystyle{ 0<a_n<1 }[/math] לכל [math]\displaystyle{ n }[/math], אפשר להסיק רק [math]\displaystyle{ 0\le L\le1 }[/math] (מעבר לגבול באי-שוויון חלש, טענה 2.1.18; למשל [math]\displaystyle{ \frac1{n+1}\to0 }[/math]), ולכן בהוכחת משפטי ויירשטראס חשוב שהקטע סגור.
לתרגול
מועד ב' תשס"ג · שאלה 12: לסדרה חסומה יש תת-סדרה שההפרשים העוקבים בה שואפים לאפס, כמו הדוגמה השלישית בדף (עם פתרון). קושי 2.
מועד א' תשע"א · שאלה 1 (המבחן של פרופ' זלצמן): הוכח/הפרך, [math]\displaystyle{ a_n }[/math] מתכנסת אם ורק אם לכל תת-סדרה שלה יש תת-סדרה מתכנסת; הפרכה בעזרת בולצאנו-ויירשטראס, כמו בדוגמה הרביעית (עם פתרון). קושי 2–3.
מועד א' תשפ"ו (מתמטיקה, בועז צבאן) · שאלה 1א: לכל סדרה [math]\displaystyle{ a_n\to a^+ }[/math] (שואפת ל־[math]\displaystyle{ a }[/math] מלמעלה) יש תת-סדרה יורדת ממש; בנייה ישירה של תת-סדרה מונוטונית (כולל פתרון). קושי 2.
מועד ב' תשפ"א (מדמ"ח) · שאלה 4א: אם לכל תת-סדרה של [math]\displaystyle{ a_n }[/math] יש תת-סדרה ששואפת ל־[math]\displaystyle{ L }[/math], אזי [math]\displaystyle{ a_n\to L }[/math] (הוכחה בשלילה; פתרון). קושי 3.
מערך תרגול · מערך התרגול של הקורס (תשע"ב), פרק הסדרות.
מערך תרגול: תתי-סדרות · תת-סדרה, גבול חלקי ומשפט בולצאנו-ויירשטראס, ותרגיל פתור: כל הגבולות החלקיים של [math]\displaystyle{ (-1)^n\left(5-\frac4{2^n}\right) }[/math].
תרגול 6 (לואי ומני) · עמ' 5: שאלת מבחן על מספר הגבולות החלקיים של סדרה, שבפתרונה משתמשים במשפט בולצאנו-ויירשטראס. קושי 4.
![שני המקרים בהוכחה שלכל סדרה יש תת-סדרה מונוטונית (טענה 2.10.5). המקום [math]\displaystyle{ n }[/math] הוא פסגה אם האיבר במקום [math]\displaystyle{ n }[/math] גדול או שווה לכל האיברים שאחריו; הפסגות מסומנות ברקע תכלת, והנקודות המלאות המחוברות בקו הן תת-הסדרה המונוטונית שנבנית בהוכחה. (a) בסדרה [math]\displaystyle{ a_n=(-1)^n\left(1+\frac1n\right) }[/math] כל המקומות הזוגיים הם פסגות (הקו המנוקד: כל האיברים אחרי [math]\displaystyle{ a_2 }[/math] נמוכים ממנו), כלומר יש אינסוף פסגות, ותת-סדרת הפסגות [math]\displaystyle{ a_{2n}=1+\frac1{2n} }[/math] יורדת ושואפת ל־[math]\displaystyle{ 1 }[/math]. (b) בסדרה [math]\displaystyle{ b_n=(-1)^n\left(1-\frac2n\right) }[/math] יש פסגה אחת בלבד, [math]\displaystyle{ b_1=1 }[/math]. אחריה (מימין לקו המנוקד) לכל איבר יש איבר מאוחר יותר שגדול ממנו, וכך נבנית תת-סדרה עולה [math]\displaystyle{ b_2<b_4<b_6<\cdots }[/math] ששואפת ל־[math]\displaystyle{ 1 }[/math]. שתי הסדרות חסומות ואינן מתכנסות, אבל לכל אחת מהן יש תת-סדרה מונוטונית וחסומה, ולכן מתכנסת: זה משפט בולצאנו-ויירשטראס.](/index.php/%D7%A7%D7%95%D7%91%D7%A5:Infi1-c2-17.png)