משפט המימדים

חזרה למשפטים בלינארית

משפט הממדים

יהי [math]\displaystyle{ V }[/math] מ"ו נוצר סופית ויהיו [math]\displaystyle{ U,W }[/math] תת־מרחבים של [math]\displaystyle{ V }[/math] . אזי:

[math]\displaystyle{ \dim(U+W)=\dim(U)+\dim(W)-\dim(U\cap W) }[/math]

הוכחה

נסמן את הבסיס ל־[math]\displaystyle{ U\cap W }[/math] ב־[math]\displaystyle{ \{v_1,\ldots,v_k\} }[/math] .

כיון ש־[math]\displaystyle{ U\cap W\sube U,W }[/math] , ניתן להשלים את בסיס החיתוך לבסיס ל־[math]\displaystyle{ U }[/math] ובאופן דומה לבסיס ל־[math]\displaystyle{ W }[/math] .

נסמן את הבסיסים [math]\displaystyle{ \{v_1,\ldots,v_k,u_1,\ldots,u_p\},\{v_1,\ldots,v_k,w_1,\ldots,w_m\} }[/math] .

נסמן את איחוד הבסיסים [math]\displaystyle{ B=\{v_1,\ldots,v_k,u_1,\ldots,u_p,w_1,\ldots,w_m\} }[/math] , ונוכיח כי [math]\displaystyle{ B }[/math] הנו בסיס ל־[math]\displaystyle{ U+W }[/math] .

B פורש את U+W

יהי [math]\displaystyle{ u+w\in U+W }[/math] . אזי נציג את הוקטורים כצירוף לינארי של הבסיסים

[math]\displaystyle{ u+w=a_1v_1+\cdots+a_kv_k+b_1u_1+\cdots+b_pu_p+c_1v_1+\cdots+c_kv_k+d_1w_1+\cdots+d_mw_m }[/math]

ברור אם כך כי [math]\displaystyle{ u+w\in\text{span}(B) }[/math]

B בת"ל

ניקח צירוף לינארי מתאפס כלשהו של אברי [math]\displaystyle{ B }[/math] :

[math]\displaystyle{ a_1v_1+\cdots+a_kv_k+b_1u_1+\cdots+b_pu_p+c_1w_1+\cdots+c_mw_m=0 }[/math]

נסמן [math]\displaystyle{ v=a_1v_1+\cdots+a_kv_k+b_1u_1+\cdots+b_pu_p=-c_1w_1-\cdots-c_mw_m }[/math]

ברור משני אגפי המשוואה כי [math]\displaystyle{ v\in U\and v\in W }[/math] ולכן [math]\displaystyle{ v\in U\cap W }[/math]

לכן ל־[math]\displaystyle{ v }[/math] יש הצגה כצירוף לינארי של אברי הבסיס לחיתוך, [math]\displaystyle{ v=d_1v_1+\cdots+d_kv_k }[/math] .

כמו כן, ל־[math]\displaystyle{ v }[/math] יש הצגה יחידה כצירוף לינארי של אברי הבסיס של [math]\displaystyle{ U }[/math] ולכן מתקיים:

[math]\displaystyle{ v=d_1v_1+\cdots+d_kv_k+0\cdot u_1+\cdots+0\cdot u_p=a_1v_1+\cdots+a_kv_k+b_1u_1+\cdots+b_pu_p }[/math]

ולכן [math]\displaystyle{ b_1=\cdots=b_p=0 }[/math] .

כעת קיבלנו כי [math]\displaystyle{ a_1v_1+\cdots+a_kv_k+c_1w_1+\cdots+c_mu_m=0 }[/math] ,

אבל זה צירוף לינארי של אברי הבסיס של [math]\displaystyle{ W }[/math] ולכן הוא טריוויאלי.

מכאן שהצירוף הלינארי היחיד המתאפס של אברי [math]\displaystyle{ B }[/math] הנו הטריוויאלי ולכן [math]\displaystyle{ B }[/math] בת"ל.

ספירת ממדים וסיכום

מצאנו אפוא, בסיסים לכל תת־המרחבים המוזכרים במשפט, נותר רק לוודא שאכן הנוסחא עובדת:

[math]\displaystyle{ \dim(U+W)=k+p+m=k+p+k+m-k=\dim(U)+\dim(W)-\dim(U\cap W) }[/math]