בקצרה: מבחן לייבניץ עוסק בטורים שסימני איבריהם מתחלפים, כמו [math]\displaystyle{ 1-\frac{1}{2}+\frac{1}{3}-\frac{1}{4}+\cdots }[/math]: אם גודלי האיברים יורדים באופן מונוטוני לאפס, הטור מתכנס (טור כזה נקרא "טור לייבניץ"). האינטואיציה: הסכומים החלקיים קופצים פעם למעלה ופעם למטה, וכל קפיצה קטנה מקודמתה, ולכן הם מתכנסים "בזיגזג" אל סכום הטור. מעבר להתכנסות, המבחן אומר גם משהו על הסכום עצמו: ערכו המוחלט אינו עולה על האיבר הראשון, ולכן כשעוצרים את הסכימה באמצע, השגיאה אינה עולה על האיבר הראשון שלא נסכם. זהו הכלי הנפוץ ביותר לבדיקת התכנסות בתנאי, אחרי שמתברר שטור הערכים המוחלטים מתבדר.
▶ ההרצאה: טורי לייבניץ
הסכומים החלקיים [math]\displaystyle{ S_n }[/math] של הטור ההרמוני המתחלף [math]\displaystyle{ 1-\frac{1}{2}+\frac{1}{3}-\cdots }[/math], עבור [math]\displaystyle{ n=1,\dots,16 }[/math]. הסכומים במקומות האי־זוגיים (נקודות מלאות) יורדים, הסכומים במקומות הזוגיים (נקודות חלולות) עולים, ושתי תתי־הסדרות מתכנסות לסכום הטור [math]\displaystyle{ S }[/math] (הקו הירוק המקווקו). כל קטע של הזיגזג חוצה את הקו של [math]\displaystyle{ S }[/math]: הסכום נמצא בין כל שני סכומים חלקיים עוקבים, ולכן [math]\displaystyle{ |S-S_n|\le a_{n+1} }[/math] (החץ משמאל: [math]\displaystyle{ S }[/math] נמצא בין [math]\displaystyle{ S_2=\frac{1}{2} }[/math] ל־[math]\displaystyle{ S_1=1 }[/math], פער של [math]\displaystyle{ a_2=\frac{1}{2} }[/math], כמו בדוגמה 1). כל הסכומים החלקיים, ולכן גם [math]\displaystyle{ S }[/math], נמצאים ברצועה הכחולה שבין [math]\displaystyle{ 0 }[/math] ל־[math]\displaystyle{ a_1 }[/math]: בהוכחה מראים ש [math]\displaystyle{ S_{2n}\ge0 }[/math] ו־[math]\displaystyle{ S_{2n-1}\le a_1 }[/math].
כלומר, כשסוכמים [math]\displaystyle{ k }[/math] איברים, השגיאה קטנה או שווה לאיבר הראשון שלא נסכם.
נוכיח שסדרת הסכומים החלקיים [math]\displaystyle{ S_n=\sum_{k=1}^n(-1)^{k+1}a_k }[/math] היא סדרת קושי, ועל כן הטור מתכנס. לכל [math]\displaystyle{ m>n }[/math]:
נקבץ את האיברים בזוגות. כיוון שהסדרה יורדת, כל זוג [math]\displaystyle{ a_{j}-a_{j+1} }[/math] אי-שלילי, ואם נשאר איבר בודד בסוף הוא חיובי; לכן הביטוי בתוך הערך המוחלט אי-שלילי. מצד שני, אם נקבץ החל מהאיבר השני,
ולכן [math]\displaystyle{ |S_m-S_n|\le a_{n+1} }[/math] לכל [math]\displaystyle{ m>n }[/math].
יהי [math]\displaystyle{ \varepsilon>0 }[/math]. כיוון ש [math]\displaystyle{ a_n\to0 }[/math], קיים [math]\displaystyle{ K }[/math] כך שלכל [math]\displaystyle{ n>K }[/math] מתקיים [math]\displaystyle{ a_{n+1}<\varepsilon }[/math], ולכן [math]\displaystyle{ |S_m-S_n|<\varepsilon }[/math] לכל [math]\displaystyle{ m>n>K }[/math]. זו בדיוק סדרת קושי.
לבסוף, לכל [math]\displaystyle{ k }[/math] ולכל [math]\displaystyle{ m>k }[/math] מתקיים [math]\displaystyle{ |S_m-S_k|\le a_{k+1} }[/math], ובמעבר לגבול כאשר [math]\displaystyle{ m\to\infty }[/math]:
נתבונן בטור ההרמוני המתחלף [math]\displaystyle{ 1-\frac{1}{2}+\frac{1}{3}-\frac{1}{4}+\cdots }[/math], כלומר [math]\displaystyle{ \sum_{k=1}^\infty\frac{(-1)^{k+1}}{k} }[/math], ונסמן את סכומו ב־[math]\displaystyle{ S }[/math]. (א) הוכיחו שהטור מתכנס בתנאי. (ב) הוכיחו כי [math]\displaystyle{ \frac{1}{2}\le S\le1 }[/math].
(א) הסדרה [math]\displaystyle{ a_k=\frac{1}{k} }[/math] מונוטונית יורדת (לכל [math]\displaystyle{ k\in\mathbb N }[/math] מתקיים [math]\displaystyle{ \frac{1}{k+1}<\frac{1}{k} }[/math]) ושואפת ל־[math]\displaystyle{ 0 }[/math]. לכן לפי מבחן לייבניץ הטור מתכנס, ו־[math]\displaystyle{ |S|\le a_1=1 }[/math].
טור הערכים המוחלטים הוא הטור ההרמוני [math]\displaystyle{ \sum_{k=1}^\infty\frac{1}{k} }[/math] (כי [math]\displaystyle{ \left|\frac{(-1)^{k+1}}{k}\right|=\frac{1}{k} }[/math]), והוא מתבדר (משפט 3.3.3). לכן הטור אינו מתכנס בהחלט, כלומר הוא מתכנס בתנאי.
(ב) החסם העליון כבר התקבל: [math]\displaystyle{ S\le|S|\le1 }[/math].
לחסם התחתון נפריד את האיבר הראשון (טענה 3.1.5) ונציב [math]\displaystyle{ k=j+1 }[/math]: [math]\displaystyle{ S=1+\sum_{k=2}^\infty\frac{(-1)^{k+1}}{k} }[/math] [math]\displaystyle{ =1-T }[/math], כאשר [math]\displaystyle{ T=\sum_{j=1}^\infty\frac{(-1)^{j+1}}{j+1} }[/math] [math]\displaystyle{ =\frac{1}{2}-\frac{1}{3}+\frac{1}{4}-\cdots }[/math] (כי [math]\displaystyle{ (-1)^{j+2}=-(-1)^{j+1} }[/math], ולפי טענה 3.1.7 מותר להוציא את [math]\displaystyle{ -1 }[/math] מהטור).
גם [math]\displaystyle{ T }[/math] הוא טור לייבניץ: הסדרה [math]\displaystyle{ \frac{1}{j+1} }[/math] מונוטונית יורדת ושואפת ל־[math]\displaystyle{ 0 }[/math], והאיבר הראשון שלה הוא [math]\displaystyle{ \frac{1}{2} }[/math]. לכן [math]\displaystyle{ |T|\le\frac{1}{2} }[/math], ומכאן [math]\displaystyle{ S=1-T\ge1-\frac{1}{2}=\frac{1}{2} }[/math].
בסרטון (4:57) נאמר שהסכום "איפשהו בין 0 ל־1", ושאת ערכו המדויק אפשר לחשב רק בכלים מתקדמים יותר, בהמשך הלימודים ([math]\displaystyle{ S=\ln2\approx0.693 }[/math]). הרעיון של (ב), להפעיל את המבחן על הזנב של הטור, מוכלל בדוגמה 3.
מקור: תמליל 43 (nJU3b5zvURQ) 04:42–05:24 (https://www.youtube.com/watch?v=nJU3b5zvURQ&t=282s): הטור ההרמוני "עם סימנים מתחלפים הוא מתכנס" (04:42), "הוא איפשהו בין 0 ל-1" (04:57), "לחשב אותו במדויק ... רק באמצעות כלים מתקדמים יותר בהמשך" (05:03), "אם נשים עליו ערך מוחלט נקבל את הטור ההרמוני ... הוא מתכנס בתנאי" (05:18–05:24); לוח 15.12.20 (R2-E41: S_6≥0, S_7≤1 לטור הזה); לוח תשפ"ד ל10 ע62 (R5: Σ(−1)^n/n מתכנס בתנאי); מחברת ההרצאות תשע"ז עמ' 54 (G1 E57; E58: |ln2−(1−½+⅓−¼)|<⅕); מאגר 3.4-01 (◆, ק' 1–2, בוחן ✓). סעיף (ב) הוא הפעלה של המבחן על הזנב, כמו "חסם לשארית" במחברת עמ' 55 (G1-107).
דוגמה 2: בוחן: מונוטוניות בלי נגזרת
קבעו אם הטור [math]\displaystyle{ \sum_{n=1}^\infty(-1)^n\frac{\sqrt{n+1}}{n+2} }[/math] מתכנס בהחלט, מתכנס בתנאי או מתבדר.
התכנסות בהחלט: לכל [math]\displaystyle{ n\in\mathbb N }[/math] מתקיים [math]\displaystyle{ \sqrt{n+1}\ge\sqrt{n} }[/math] ו־[math]\displaystyle{ n+2\le3n }[/math], ולכן [math]\displaystyle{ a_n\ge\frac{\sqrt{n}}{3n}=\frac{1}{3\sqrt{n}} }[/math] [math]\displaystyle{ \ge\frac{1}{3n} }[/math] (כי [math]\displaystyle{ \sqrt{n}\le n }[/math]). הטור [math]\displaystyle{ \sum_{n=1}^\infty\frac{1}{3n} }[/math] מתבדר (משפט 3.3.3 וטענה 3.1.7), ולכן לפי מסקנה 3.3.5 גם [math]\displaystyle{ \sum_{n=1}^\infty a_n }[/math] מתבדר: הטור אינו מתכנס בהחלט.
שאיפה לאפס: [math]\displaystyle{ 0<a_n\le\frac{\sqrt{n+1}}{n+1} }[/math] [math]\displaystyle{ =\frac{1}{\sqrt{n+1}}\to0 }[/math], ולכן לפי משפט הסנדביץ' [math]\displaystyle{ a_n\to0 }[/math].
מונוטוניות: שני האגפים חיוביים, ולכן [math]\displaystyle{ a_{n+1}\le a_n }[/math] אם ורק אם [math]\displaystyle{ a_{n+1}^2\le a_n^2 }[/math], כלומר [math]\displaystyle{ \frac{n+2}{(n+3)^2}\le\frac{n+1}{(n+2)^2} }[/math], כלומר [math]\displaystyle{ (n+2)^3\le(n+1)(n+3)^2 }[/math]. נפתח סוגריים: [math]\displaystyle{ n^3+6n^2+12n+8 }[/math] [math]\displaystyle{ \le n^3+7n^2+15n+9 }[/math], כלומר [math]\displaystyle{ 0\le n^2+3n+1 }[/math], וזה נכון לכל [math]\displaystyle{ n\in\mathbb N }[/math].
לפי מבחן לייבניץ הטור [math]\displaystyle{ \sum_{n=1}^\infty(-1)^{n+1}a_n }[/math] מתכנס, ולכן גם הטור שלנו מתכנס: [math]\displaystyle{ (-1)^na_n=-(-1)^{n+1}a_n }[/math], וכפל בקבוע שומר על התכנסות (טענה 3.1.7).
תשובה: הטור מתכנס בתנאי.
מקור: הבוחן הראשון בחדו"א 2 לאודיסאה 86-148 של ארז, 4.5.23, שאלה 1 (הטור השני), עם פתרון מלא של ארז (ארכיון\תשפג\סמסטר ב\אודיסאה\פתרון בוחן ראשון.docx; R8b C23-Q); מאגר 3.4-02 (◆, ק' 1–2, בוחן ✓, 3 דק'). שני שינויים מפתרון הבוחן: שם [math]\displaystyle{ a_n\ge\frac{\sqrt{n}}{n+n}=\frac{1}{2\sqrt{n}} }[/math], שנכון רק החל מ־[math]\displaystyle{ n=2 }[/math] (עבור [math]\displaystyle{ n=1 }[/math]: [math]\displaystyle{ \frac{\sqrt{2}}{3}<\frac{1}{2} }[/math]), וכאן [math]\displaystyle{ n+2\le3n }[/math], שנכון לכל [math]\displaystyle{ n }[/math]; ושם המונוטוניות הוכחה בנגזרת של [math]\displaystyle{ \frac{\sqrt{x+1}}{x+2} }[/math] (חומר מפרק 5), וכאן בהעלאה בריבוע.
דוגמה 3: כמה איברים צריך לסכום? חסם לשגיאה
תהי [math]\displaystyle{ a_n }[/math] סדרה ממשית מונוטונית יורדת כך ש [math]\displaystyle{ a_n\to0 }[/math], יהי [math]\displaystyle{ S=\sum_{k=1}^\infty(-1)^{k+1}a_k }[/math], ולכל [math]\displaystyle{ n\in\mathbb N }[/math] נסמן [math]\displaystyle{ S_n=\sum_{k=1}^n(-1)^{k+1}a_k }[/math]. (א) הוכיחו שלכל [math]\displaystyle{ n\in\mathbb N }[/math] מתקיים [math]\displaystyle{ |S-S_n|\le a_{n+1} }[/math]. (ב) מצאו [math]\displaystyle{ n }[/math] כך ש [math]\displaystyle{ S_n }[/math] מקרב את סכום הטור [math]\displaystyle{ \sum_{k=1}^\infty(-1)^{k+1}\frac{k}{3^k} }[/math] עד כדי [math]\displaystyle{ \frac{1}{100} }[/math], וחשבו את [math]\displaystyle{ S_n }[/math].
(א) יהי [math]\displaystyle{ n\in\mathbb N }[/math]. לפי מסקנה 3.1.6 (השמטת [math]\displaystyle{ n }[/math] האיברים הראשונים) הזנב [math]\displaystyle{ \sum_{k=n+1}^\infty(-1)^{k+1}a_k }[/math] מתכנס, ו־[math]\displaystyle{ S-S_n=\sum_{k=n+1}^\infty(-1)^{k+1}a_k }[/math].
נציב [math]\displaystyle{ k=n+j }[/math] ונסמן [math]\displaystyle{ d_j=a_{n+j} }[/math]. כיוון ש [math]\displaystyle{ (-1)^{n+j+1}=(-1)^n\cdot(-1)^{j+1} }[/math], מתקיים [math]\displaystyle{ S-S_n=(-1)^n\sum_{j=1}^\infty(-1)^{j+1}d_j }[/math] (טענה 3.1.7).
הסדרה [math]\displaystyle{ d_j }[/math] מונוטונית יורדת ושואפת ל־[math]\displaystyle{ 0 }[/math], והאיבר הראשון שלה הוא [math]\displaystyle{ d_1=a_{n+1} }[/math]. לפי מבחן לייבניץ [math]\displaystyle{ \left|\sum_{j=1}^\infty(-1)^{j+1}d_j\right|\le a_{n+1} }[/math], ולכן [math]\displaystyle{ |S-S_n|\le a_{n+1} }[/math]. דוגמה 1(ב) היא המקרה [math]\displaystyle{ n=1 }[/math].
(ב) כאן [math]\displaystyle{ a_k=\frac{k}{3^k}>0 }[/math]. הסדרה מונוטונית יורדת: [math]\displaystyle{ a_{k+1}\le a_k }[/math] אם ורק אם [math]\displaystyle{ \frac{k+1}{3^{k+1}}\le\frac{k}{3^k} }[/math], כלומר [math]\displaystyle{ k+1\le3k }[/math], וזה נכון לכל [math]\displaystyle{ k\in\mathbb N }[/math]. היא שואפת ל־[math]\displaystyle{ 0 }[/math] לפי כלל המנה (2.7.1), כי [math]\displaystyle{ \frac{a_{k+1}}{a_k}=\frac{k+1}{3k} }[/math] [math]\displaystyle{ \to\frac{1}{3}<1 }[/math].
לפי (א) מספיק ש [math]\displaystyle{ a_{n+1}\le\frac{1}{100} }[/math]. [math]\displaystyle{ a_5=\frac{5}{243}>\frac{1}{100} }[/math], אבל [math]\displaystyle{ a_6=\frac{6}{729}=\frac{2}{243} }[/math] [math]\displaystyle{ <\frac{1}{100} }[/math]. לכן [math]\displaystyle{ n=5 }[/math] מתאים: [math]\displaystyle{ S_5=\frac{1}{3}-\frac{2}{9}+\frac{3}{27}-\frac{4}{81}+\frac{5}{243} }[/math] [math]\displaystyle{ =\frac{47}{243}\approx0.193 }[/math], ו־[math]\displaystyle{ |S-S_5|\le\frac{2}{243}<\frac{1}{100} }[/math].
הטור הזה מתכנס גם בהחלט (למשל לפי מבחן המנה), ובכל זאת כדאי לשים לב שזהו טור לייבניץ, כי כך מקבלים חסם לשגיאה (בסרטון, 5:34–5:48). להשוואה, בטור ההרמוני המתחלף התנאי [math]\displaystyle{ \frac{1}{n+1}\le\frac{1}{100} }[/math] דורש [math]\displaystyle{ n\ge99 }[/math]: שם ההתכנסות איטית בהרבה.
מקור: תמליל 43 (nJU3b5zvURQ) 05:28–05:48 (https://www.youtube.com/watch?v=nJU3b5zvURQ&t=328s): "לא כל טור לייבניץ בהכרח מתכנס בתנאי", ועדיין "יהיה שימושי עבורנו לשים לב שמדובר בטור לייבניץ כי זה יעזור לנו לתת איזשהו תחום לסכום האינסופי" (05:39); גרסת הזנב של המשפט בלוחות של ארז: לוח תשפ"ד ל10 ע61–62 (R5-3.18: "|Σ_{n=K}^∞(−1)^n a_n| ≤ |a_K|"), לוח קיץ תשפ"א 15.8.21 (R4-T31, "אומדן הזנב"), מחברת ההרצאות תשע"ז עמ' 55 (G1-107: "זה גם טור לייבניץ רק שלא ידוע אם הסימנים מתחילים ב-(+) או (−)"); דף "משפט לייבניץ" בוויקי (|R_k| ≤ a_{k+1}). סעיף (ב): מאגר 3.4-06 (◆; ש"ב 8 תשפ"א ש'3, P1, W6a: Σ(−1)^n n/3^n בדיוק 0.01; ובאותה משפחה "ln 2 דרך 1−½+⅓−⋯ (100 איברים)").
דוגמה 4: בלי מונוטוניות: טור מתחלף שמתבדר
הוכיחו שהטור [math]\displaystyle{ \sum_{n=2}^\infty\frac{(-1)^n}{\sqrt{n}+(-1)^n} }[/math] מתבדר, אף שסימני איבריו מתחלפים והסדרה [math]\displaystyle{ \frac{1}{\sqrt{n}+(-1)^n} }[/math] חיובית ושואפת ל־[math]\displaystyle{ 0 }[/math]. מדוע אין כאן סתירה למבחן לייבניץ?
למה אין סתירה: לכל [math]\displaystyle{ n\ge2 }[/math] מתקיים [math]\displaystyle{ \sqrt{n}+(-1)^n\ge\sqrt{2}-1>0 }[/math], ולכן [math]\displaystyle{ c_n=\frac{1}{\sqrt{n}+(-1)^n} }[/math] חיובית, ו־[math]\displaystyle{ c_n\le\frac{1}{\sqrt{n}-1}\to0 }[/math]. אבל [math]\displaystyle{ c_n }[/math] אינה מונוטונית, ואפילו אינה יורדת החל ממקום כלשהו: לכל [math]\displaystyle{ n\ge2 }[/math] זוגי, כיוון ש [math]\displaystyle{ \sqrt{n+1}-1<\sqrt{n}+1 }[/math] ושני המכנים חיוביים, מתקיים [math]\displaystyle{ c_n=\frac{1}{\sqrt{n}+1} }[/math] [math]\displaystyle{ <\frac{1}{\sqrt{n+1}-1}=c_{n+1} }[/math] (למשל [math]\displaystyle{ c_2=\frac{1}{\sqrt{2}+1}<1 }[/math] ו־[math]\displaystyle{ c_3=\frac{1}{\sqrt{3}-1}>1 }[/math]). תנאי המבחן אינם מתקיימים, גם לא לאף זנב של הטור, ולכן הוא אינו אומר דבר על הטור.
כפל בצמוד: לכל [math]\displaystyle{ n\ge2 }[/math] גם [math]\displaystyle{ \sqrt{n}-(-1)^n\ge\sqrt{2}-1>0 }[/math], ולכן מותר לכפול בו את המונה ואת המכנה; כיוון ש [math]\displaystyle{ \left((-1)^n\right)^2=1 }[/math], מתקיים [math]\displaystyle{ \frac{(-1)^n}{\sqrt{n}+(-1)^n} }[/math] [math]\displaystyle{ =\frac{(-1)^n\left(\sqrt{n}-(-1)^n\right)}{n-1} }[/math] [math]\displaystyle{ =\frac{(-1)^n\sqrt{n}}{n-1}-\frac{1}{n-1} }[/math].
הסדרה [math]\displaystyle{ b_n=\frac{\sqrt{n}}{n-1} }[/math] ([math]\displaystyle{ n\ge2 }[/math]) מונוטונית יורדת: מהעלאה בריבוע של מספרים חיוביים, [math]\displaystyle{ b_{n+1}\le b_n }[/math] אם ורק אם [math]\displaystyle{ \frac{n+1}{n^2}\le\frac{n}{(n-1)^2} }[/math], כלומר [math]\displaystyle{ (n+1)(n-1)^2\le n^3 }[/math], כלומר [math]\displaystyle{ n^3-n^2-n+1\le n^3 }[/math], כלומר [math]\displaystyle{ 1\le n^2+n }[/math], וזה נכון. בנוסף [math]\displaystyle{ n-1\ge\frac{n}{2} }[/math] לכל [math]\displaystyle{ n\ge2 }[/math], ולכן [math]\displaystyle{ 0<b_n\le\frac{2}{\sqrt{n}}\to0 }[/math].
לפי מבחן לייבניץ (אחרי הזזת האינדקס [math]\displaystyle{ n=k+1 }[/math]) הטור [math]\displaystyle{ \sum_{n=2}^\infty(-1)^nb_n }[/math] מתכנס, ואילו הטור [math]\displaystyle{ \sum_{n=2}^\infty\frac{1}{n-1}=\sum_{m=1}^\infty\frac{1}{m} }[/math] מתבדר (משפט 3.3.3).
נב"ש שהטור הנתון מתכנס. אזי לפי טענה 3.1.7 גם הטור [math]\displaystyle{ \sum_{n=2}^\infty\frac{1}{n-1} }[/math], שהוא ההפרש בין הטור [math]\displaystyle{ \sum_{n=2}^\infty(-1)^nb_n }[/math] לטור הנתון, מתכנס, וזו סתירה. לכן הטור הנתון מתבדר.
המסקנה: סימנים מתחלפים ואיברים ששואפים לאפס אינם מספיקים. המונוטוניות היא הנחה הכרחית של המבחן, ובלעדיה צריך כלי אחר (כאן: פיצול לשני טורים).
מקור: חוברת התרגילים של צבאן, שאלה 5.12 (עמ' 22; G7 TB 5.12, עם הפירוק (−1)^n√n/(n−1) − 1/(n−1)); מאגר 3.4-05 (משפחת "לייבניץ נכשל": פיצול לטור לייבניץ ועוד טור אחר; ◆ "הטריק המרושע" של ארז במועד א' תשע"ו (מתמטיקה) שאלה 2ג, ראו קישורי התרגול); פתרון מבחן מדמ"ח תשע"ג מועד א' שאלה 4א בוויקי (E12-Q4א ב־W4b: "משפט לייבניץ לא עובד כאן. כי לייבניץ דורש (בין השאר) ש-a_n היא סדרה מונוטונית יורדת").
טעויות נפוצות
לשכוח את המונוטוניות: סימנים מתחלפים ו־[math]\displaystyle{ a_n\to0 }[/math] אינם מספיקים, למשל הטור [math]\displaystyle{ \sum_{n=2}^\infty\frac{(-1)^n}{\sqrt{n}+(-1)^n} }[/math] מתבדר (דוגמה 4); את המונוטוניות בודקים על [math]\displaystyle{ a_n }[/math] עצמה, בלי הסימן [math]\displaystyle{ (-1)^n }[/math].
להסיק "מתכנס בתנאי" ממבחן לייבניץ: המבחן נותן רק התכנסות, ו־[math]\displaystyle{ \sum_{k=1}^\infty\frac{(-1)^{k+1}}{k^2} }[/math] הוא טור לייבניץ שמתכנס בהחלט (בסרטון, 5:28: "לא כל טור לייבניץ בהכרח מתכנס בתנאי"), ולכן כדי לקבוע "בתנאי" צריך להראות גם שטור הערכים המוחלטים מתבדר.
להסיק "מתבדר" כשתנאי המבחן אינם מתקיימים: מבחן לייבניץ הוא תנאי מספיק בלבד, ועבור [math]\displaystyle{ a_n=\frac{2+(-1)^n}{n^2} }[/math], שאינה מונוטונית אף החל ממקום כלשהו ([math]\displaystyle{ a_n<a_{n+1} }[/math] לכל [math]\displaystyle{ n\ge3 }[/math] אי־זוגי, למשל [math]\displaystyle{ a_3=\frac{1}{9}<\frac{3}{16}=a_4 }[/math]), הטור [math]\displaystyle{ \sum_{n=1}^\infty(-1)^na_n }[/math] מתכנס בהחלט, כי [math]\displaystyle{ \left|(-1)^na_n\right|\le\frac{3}{n^2} }[/math].
לכתוב אי־שוויונות חזקים, [math]\displaystyle{ 0<S<a_1 }[/math]: המבחן דורש סדרה מונוטונית יורדת, לא בהכרח ממש, ואז ייתכן שוויון; עבור [math]\displaystyle{ 1,\frac{1}{2},\frac{1}{2},\frac{1}{3},\frac{1}{3},\dots }[/math] כל הסכומים החלקיים במקומות האי־זוגיים שווים ל־[math]\displaystyle{ 1 }[/math], ולכן [math]\displaystyle{ S=1=a_1 }[/math].
להפעיל את החסם בלי לשים לב איך הטור כתוב: עבור [math]\displaystyle{ \sum_{k=1}^\infty(-1)^ka_k }[/math], שמתחיל במינוס, הסכום בין [math]\displaystyle{ -a_1 }[/math] ל־[math]\displaystyle{ 0 }[/math] ולא בין [math]\displaystyle{ 0 }[/math] ל־[math]\displaystyle{ a_1 }[/math], ואם [math]\displaystyle{ a_n }[/math] יורדת רק החל ממקום [math]\displaystyle{ N }[/math], הטור עדיין מתכנס (מסקנה 3.1.6) אבל החסם הוא לזנב, [math]\displaystyle{ \left|\sum_{k=N}^\infty(-1)^{k+1}a_k\right|\le a_N }[/math], ולא בהכרח [math]\displaystyle{ |S|\le a_1 }[/math].
לתרגול
מועד ב' תשע"א · שאלה 2א: [math]\displaystyle{ \sum(-1)^n\tan\frac{1}{n} }[/math], מתכנס בתנאי (כולל פתרון)
מבחן דמה תשע"ז (מתמטיקה) · שאלה 2ב: [math]\displaystyle{ \sum(-1)^n\frac{\ln n}{n} }[/math], מונוטוניות דרך נגזרת (פתרון)
מועד א' תשע"ז (מתמטיקה) · שאלה 2ב: [math]\displaystyle{ \sum\arctan\frac{(-1)^n}{n} }[/math], אי־זוגיות ולייבניץ (פתרון)
מועד א' תשע"ו (מתמטיקה) · שאלה 2ג: [math]\displaystyle{ \sum\frac{(-1)^n}{10n+9\sin n} }[/math], פיצול לטור לייבניץ ועוד טור שמתכנס בהחלט (פתרון של ארז)
מערך תרגול · מערך התרגול של הקורס (תשע"ב), פרק הטורים
טורים כלליים: מבחן לייבניץ · ארבעה טורי לייבניץ: [math]\displaystyle{ \sum\frac{(-1)^n}{n} }[/math], [math]\displaystyle{ \sum\frac{(-1)^n}{\sqrt{n}} }[/math], [math]\displaystyle{ \sum\frac{(-1)^n}{\ln n} }[/math], [math]\displaystyle{ \sum(-1)^n\sin\frac{1}{n} }[/math] (בלי פתרון מפורט)
תרגול 8 (לואי ומני) · עמ' 1–2: משפט לייבניץ, והטור [math]\displaystyle{ \sum_{n=2}^\infty\frac{(-1)^n}{(\log n)^2} }[/math] מתכנס בתנאי (עם פתרון, בעזרת מבחן העיבוי). שם החסם כתוב [math]\displaystyle{ 0<S<a_1 }[/math]; בירידה לא ממש נכון רק [math]\displaystyle{ \le }[/math] (ראו טעויות נפוצות)
![הסכומים החלקיים [math]\displaystyle{ S_n }[/math] של הטור ההרמוני המתחלף [math]\displaystyle{ 1-\frac{1}{2}+\frac{1}{3}-\cdots }[/math], עבור [math]\displaystyle{ n=1,\dots,16 }[/math]. הסכומים במקומות האי־זוגיים (נקודות מלאות) יורדים, הסכומים במקומות הזוגיים (נקודות חלולות) עולים, ושתי תתי־הסדרות מתכנסות לסכום הטור [math]\displaystyle{ S }[/math] (הקו הירוק המקווקו). כל קטע של הזיגזג חוצה את הקו של [math]\displaystyle{ S }[/math]: הסכום נמצא בין כל שני סכומים חלקיים עוקבים, ולכן [math]\displaystyle{ |S-S_n|\le a_{n+1} }[/math] (החץ משמאל: [math]\displaystyle{ S }[/math] נמצא בין [math]\displaystyle{ S_2=\frac{1}{2} }[/math] ל־[math]\displaystyle{ S_1=1 }[/math], פער של [math]\displaystyle{ a_2=\frac{1}{2} }[/math], כמו בדוגמה 1). כל הסכומים החלקיים, ולכן גם [math]\displaystyle{ S }[/math], נמצאים ברצועה הכחולה שבין [math]\displaystyle{ 0 }[/math] ל־[math]\displaystyle{ a_1 }[/math]: בהוכחה מראים ש [math]\displaystyle{ S_{2n}\ge0 }[/math] ו־[math]\displaystyle{ S_{2n-1}\le a_1 }[/math].](/index.php/%D7%A7%D7%95%D7%91%D7%A5:Infi1-c3-09.png)