בקצרה: משפט ערך הביניים אומר שפונקציה רציפה בקטע סגור אינה יכולה "לדלג" מעל הציר האופקי: אם בקצה אחד של הקטע ערכה שלילי ובקצה השני חיובי, יש בקטע נקודה שבה היא מתאפסת. מכאן שפונקציה רציפה מקבלת כל ערך ביניים: כל מספר שבין שני ערכים שהיא מקבלת בקטע הוא גם ערך שלה. זה הכלי הבסיסי להוכחת קיום פתרון למשוואה: מעבירים אגף, בונים את פונקציית ההפרש [math]\displaystyle{ h }[/math] ומראים שהיא שלילית בנקודה אחת וחיובית בנקודה אחרת, כמו בחידה מהסרטון על הזקן שעלה להר ביום אחד, ירד ממנו למחרת, ובשעה מסוימת היה באותו גובה בשני הימים. המשפט מבטיח שקיים פתרון, אבל לא כמה פתרונות יש ולא היכן בדיוק הם; את המקום אפשר לקרב בשיטת החצייה, שהיא גם רעיון ההוכחה.
▶ ההרצאה: משפט ערך הביניים
▶ ההרצאה: הוכחת משפט ערך הביניים
משמאל: פונקציה [math]\displaystyle{ f }[/math] רציפה בקטע [math]\displaystyle{ [a,b] }[/math] שמקיימת [math]\displaystyle{ f(a)<0<f(b) }[/math] חייבת לחתוך את ציר ה־[math]\displaystyle{ x }[/math]. כאן היא חותכת אותו שלוש פעמים, ב־[math]\displaystyle{ c_1 }[/math], [math]\displaystyle{ c_2 }[/math] ו־[math]\displaystyle{ c_3 }[/math]: המשפט מבטיח לפחות נקודה אחת כזו, לא נקודה יחידה. מימין: הפונקציה [math]\displaystyle{ g }[/math] בקטע [math]\displaystyle{ [0,1] }[/math] שמוגדרת על ידי [math]\displaystyle{ g(0)=-1 }[/math] ו־[math]\displaystyle{ g(x)=1 }[/math] לכל [math]\displaystyle{ x\in(0,1] }[/math] מקיימת [math]\displaystyle{ g(0)<0<g(1) }[/math], ובכל זאת אינה מתאפסת באף נקודה: היא אינה רציפה ב־[math]\displaystyle{ 0 }[/math], והגרף שלה "קופץ" מעל הציר (הסימן האדום). לכן הנחת הרציפות במשפט הכרחית.
יהיו [math]\displaystyle{ a<b }[/math] מספרים ממשיים, ותהי [math]\displaystyle{ f }[/math] פונקציה רציפה בקטע הסגור [math]\displaystyle{ [a,b] }[/math].
עוד נניח כי [math]\displaystyle{ f(a)\le0 }[/math] וכן [math]\displaystyle{ f(b)\ge0 }[/math].
אזי קיימת נקודה [math]\displaystyle{ c\in[a,b] }[/math] כך ש [math]\displaystyle{ f(c)=0 }[/math].
הניסוח הכללי: תהי [math]\displaystyle{ f }[/math] רציפה בקטע [math]\displaystyle{ [a,b] }[/math]. אזי לכל [math]\displaystyle{ y }[/math] בין [math]\displaystyle{ f(a) }[/math] ל־[math]\displaystyle{ f(b) }[/math] קיימת [math]\displaystyle{ c\in[a,b] }[/math] כך ש [math]\displaystyle{ f(c)=y }[/math]. כלומר, גרף של פונקציה רציפה אינו יכול "לדלג" מעל ערך.
הוכחה כתובה (מהדף הקודם, בשיטת חציית הקטעים):
ראשית נוכיח את המקרה [math]\displaystyle{ f(a)\cdot f(b)<0 }[/math]: אז קיימת [math]\displaystyle{ c\in[a,b] }[/math] כך ש [math]\displaystyle{ f(c)=0 }[/math]. כלומר, פונקציה רציפה חייבת להתאפס בין נקודה שבה ערכה שלילי לנקודה שבה ערכה חיובי.
בלי הגבלת הכלליות [math]\displaystyle{ f(a)<0<f(b) }[/math]. נגדיר [math]\displaystyle{ I_1=[a,b] }[/math]. אם [math]\displaystyle{ f\left(\frac{a+b}{2}\right)=0 }[/math], סיימנו. אחרת נחלק את הקטע לשניים, וניקח את [math]\displaystyle{ I_2=\left[a,\frac{a+b}{2}\right] }[/math] או את [math]\displaystyle{ I_2=\left[\frac{a+b}{2},b\right] }[/math], כך שבקצה השמאלי של [math]\displaystyle{ I_2 }[/math] ערך הפונקציה שלילי ובקצה הימני חיובי.
נמשיך כך: או שנגיע לנקודה שבה הפונקציה מתאפסת, או שנקבל סדרה של קטעים [math]\displaystyle{ I_n=[a_n,b_n] }[/math] המוכלים זה בזה, שאורכם שואף לאפס (בכל שלב האורך מתחלק בשתיים). לפי הלמה של קנטור יש להם נקודה משותפת [math]\displaystyle{ c\in[a,b] }[/math], ומתקיים
לכל [math]\displaystyle{ n }[/math] מתקיים [math]\displaystyle{ f(a_n)<0<f(b_n) }[/math], ולכן במעבר לגבול [math]\displaystyle{ f(c)\le0 }[/math] וגם [math]\displaystyle{ f(c)\ge0 }[/math], כלומר [math]\displaystyle{ f(c)=0 }[/math].
כעת המקרה הכללי. בלי הגבלת הכלליות [math]\displaystyle{ f(a)<y<f(b) }[/math] (אם [math]\displaystyle{ y }[/math] שווה לאחד הערכים בקצוות, סיימנו). נגדיר [math]\displaystyle{ g(x)=f(x)-y }[/math]. אז [math]\displaystyle{ g }[/math] רציפה ו־[math]\displaystyle{ g(a)\cdot g(b)<0 }[/math], ולפי המקרה הראשון קיימת [math]\displaystyle{ c\in[a,b] }[/math] כך ש [math]\displaystyle{ g(c)=0 }[/math], כלומר [math]\displaystyle{ f(c)=y }[/math]. [math]\displaystyle{ \blacksquare }[/math]
▶ סרטון נוסף: משפט ערך הביניים
דוגמאות
נסו לפתור לבד, ואז לחצו "הצג פתרון".
דוגמה 1: קיום [math]\displaystyle{ \sqrt{2} }[/math] ושיטת החצייה
(א) הוכיחו שקיים מספר ממשי [math]\displaystyle{ c\in[0,2] }[/math] כך ש [math]\displaystyle{ c^2=2 }[/math]. (ב) בצעו שלושה צעדים של שיטת החצייה, החל מהקטע [math]\displaystyle{ [0,2] }[/math], ומצאו קטע באורך [math]\displaystyle{ \frac{1}{4} }[/math] שיש בו מספר [math]\displaystyle{ c }[/math] כזה.
(א) נעביר אגף ונגדיר [math]\displaystyle{ h(x)=x^2-2 }[/math]. זהו פולינום, ולכן [math]\displaystyle{ h }[/math] רציפה בקטע הסגור [math]\displaystyle{ [0,2] }[/math].
[math]\displaystyle{ h(0)=-2\le0 }[/math] וגם [math]\displaystyle{ h(2)=2\ge0 }[/math]. לפי משפט ערך הביניים קיימת [math]\displaystyle{ c\in[0,2] }[/math] כך ש [math]\displaystyle{ h(c)=0 }[/math], כלומר [math]\displaystyle{ c^2=2 }[/math]. מספר רציונלי כזה אין; המשפט מראה שיש מספר ממשי כזה, ולכן אפשר לדבר על [math]\displaystyle{ \sqrt{2} }[/math].
(ב) בכל צעד מציבים את אמצע הקטע, וממשיכים לחצי שבקצותיו [math]\displaystyle{ h }[/math] מחליפה סימן:
[math]\displaystyle{ h(1)=-1<0 }[/math], ולכן ממשיכים לקטע [math]\displaystyle{ [1,2] }[/math];
[math]\displaystyle{ h(1.5)=0.25>0 }[/math], ולכן ממשיכים לקטע [math]\displaystyle{ [1,1.5] }[/math];
[math]\displaystyle{ h(1.25)=-0.4375<0 }[/math], ולכן ממשיכים לקטע [math]\displaystyle{ [1.25,1.5] }[/math].
בקצות הקטע [math]\displaystyle{ [1.25,1.5] }[/math] מתקיים [math]\displaystyle{ h(1.25)<0<h(1.5) }[/math], ולכן לפי משפט ערך הביניים יש בו [math]\displaystyle{ c }[/math] כך ש [math]\displaystyle{ c^2=2 }[/math]. אורכו [math]\displaystyle{ \frac{1}{4} }[/math] (ואכן [math]\displaystyle{ \sqrt{2}\approx1.414 }[/math]).
אחרי [math]\displaystyle{ n }[/math] צעדים אורך הקטע הוא [math]\displaystyle{ \frac{2}{2^n} }[/math]; אחרי [math]\displaystyle{ 30 }[/math] צעדים הוא כבר קטן מ־[math]\displaystyle{ 2\cdot10^{-9} }[/math]. הוכחת המשפט בדף זה מבצעת את אותו תהליך אינסוף פעמים, ומראה שהקטעים מצטמצמים לנקודה שבה הפונקציה מתאפסת.
מקור: תמליל 68 (WdKVN6R0NfU) 03:51–05:55 (t=231s): "האם קיים מספר ממשי שבריבוע שווה לשתיים", ו־04:08 "זו ההוכחה שאפשר לומר שורש 2"; תמליל 69 (pZXEn6KWtMY) 00:56–02:23 (t=56s): החצייה [0,2]→[1,2]→[1,1.5] והמשפט "וכך אנחנו יכולים לחשב את הספרות של שורש 2" (הצעד השלישי, [1.25,1.5], נוסף כאן); מאגר ת6-001 (סרטון/הרצאה, ק' 1, בוחן ✓ 3 דק'; "30 צעדים ≈ 9 ספרות", R5 ל16 ע99–100)
דוגמה 2: נקודת שבת
יהיו [math]\displaystyle{ a<b }[/math] מספרים ממשיים, ותהי [math]\displaystyle{ f }[/math] פונקציה רציפה בקטע הסגור [math]\displaystyle{ [a,b] }[/math] כך ש [math]\displaystyle{ a\le f(x)\le b }[/math] לכל [math]\displaystyle{ x\in[a,b] }[/math], כלומר [math]\displaystyle{ f:[a,b]\to[a,b] }[/math]. (א) הוכיחו שקיימת [math]\displaystyle{ c\in[a,b] }[/math] כך ש [math]\displaystyle{ f(c)=c }[/math]. נקודה כזו נקראת נקודת שבת של [math]\displaystyle{ f }[/math]. (ב) הוכיחו או הפריכו: לכל פונקציה רציפה [math]\displaystyle{ f:(0,1]\to(0,1] }[/math] יש נקודת שבת.
(א) נעביר אגף ונגדיר [math]\displaystyle{ h(x)=x-f(x) }[/math]. [math]\displaystyle{ h }[/math] רציפה בקטע הסגור [math]\displaystyle{ [a,b] }[/math] כהפרש של פונקציות רציפות.
[math]\displaystyle{ h(a)=a-f(a)\le0 }[/math], כי [math]\displaystyle{ f(a)\ge a }[/math]; וגם [math]\displaystyle{ h(b)=b-f(b)\ge0 }[/math], כי [math]\displaystyle{ f(b)\le b }[/math].
לפי משפט ערך הביניים קיימת [math]\displaystyle{ c\in[a,b] }[/math] כך ש [math]\displaystyle{ h(c)=0 }[/math], כלומר [math]\displaystyle{ f(c)=c }[/math].
בציור: הגרף של [math]\displaystyle{ f }[/math] נמצא בריבוע [math]\displaystyle{ [a,b]\times[a,b] }[/math], מתחיל על הצלע השמאלית שלו ומסתיים על הצלע הימנית, ולכן חייב לפגוש את האלכסון [math]\displaystyle{ y=x }[/math].
(ב) הטענה אינה נכונה. נגדיר [math]\displaystyle{ f(x)=\frac{x}{2} }[/math]. זו פונקציה רציפה, ולכל [math]\displaystyle{ x\in(0,1] }[/math] מתקיים [math]\displaystyle{ 0<\frac{x}{2}\le\frac{1}{2} }[/math], ולכן [math]\displaystyle{ f:(0,1]\to(0,1] }[/math]. אבל [math]\displaystyle{ \frac{x}{2}=x }[/math] רק עבור [math]\displaystyle{ x=0 }[/math], ו־[math]\displaystyle{ 0\notin(0,1] }[/math]; לכן אין ל־[math]\displaystyle{ f }[/math] נקודת שבת.
מה נכשל בהוכחה של (א): כאן [math]\displaystyle{ h(x)=\frac{x}{2} }[/math], ולכן [math]\displaystyle{ h(x)>0 }[/math] לכל [math]\displaystyle{ x\in(0,1] }[/math]; אין בתחום נקודה שבה [math]\displaystyle{ h\le0 }[/math]. בקטע סגור את הנקודה הזו מספק הקצה [math]\displaystyle{ a }[/math], ולכן חשוב שהקטע יהיה סגור.
מקור: מאגר ת6-006 (אוסף / מבחן, ק' 1–2, בוחן ✓ 4 דק'): ראשי W3 #9 (אוסף התרגילים של ארז) = מערך התרגול תשע"ב, ערך הביניים, תרגיל 1 (שם בתוספת ההנחה המיותרת ש־f על) = לוח 19.05.22 (R6b) = החממה 4.1.21; סעיף (ב), הדוגמה 0.5x, מאותה משפחה במאגר; במבחנים: מועד ב' קיץ תשפ"א מדמ"ח ש4 (E3-Q4), מועד ג' תשע"ז מדמ"ח ש5א, מועד א' תשע"ו מתמטיקה ש5. הניסוח עם h(a)≤0≤h(b) נבחר כדי להפעיל את 6.1.1 כפי שהוא מנוסח (בכיוון ההפוך: תמליל 68, 07:41 "גם אם משמאל היא מעל הציר ומימין מתחת עדיין היא חייבת לחתוך את הציר")
דוגמה 3: שאלת מבחן: [math]\displaystyle{ f(c)=f(c+1) }[/math]
תהי [math]\displaystyle{ f }[/math] פונקציה רציפה בכל [math]\displaystyle{ \mathbb R }[/math] כך ש [math]\displaystyle{ f(-1)=f(1) }[/math]. הוכיחו שקיימת נקודה [math]\displaystyle{ c\in[-1,0] }[/math] כך ש [math]\displaystyle{ f(c)=f(c+1) }[/math].
נעביר אגף ונגדיר [math]\displaystyle{ h(x)=f(x)-f(x+1) }[/math]. הפונקציה [math]\displaystyle{ f(x+1) }[/math] רציפה בכל [math]\displaystyle{ \mathbb R }[/math] כהרכבה של פונקציות רציפות, ולכן [math]\displaystyle{ h }[/math] רציפה בכל [math]\displaystyle{ \mathbb R }[/math] כהפרש של רציפות.
נציב את קצות הקטע [math]\displaystyle{ [-1,0] }[/math]: [math]\displaystyle{ h(-1)=f(-1)-f(0) }[/math] [math]\displaystyle{ =f(1)-f(0) }[/math], ואילו [math]\displaystyle{ h(0)=f(0)-f(1) }[/math]. כלומר [math]\displaystyle{ h(-1)=-h(0) }[/math].
אם [math]\displaystyle{ h(0)>0 }[/math], אזי [math]\displaystyle{ h(-1)<0<h(0) }[/math], ולפי משפט ערך הביניים קיימת [math]\displaystyle{ c\in[-1,0] }[/math] כך ש [math]\displaystyle{ h(c)=0 }[/math].
אם [math]\displaystyle{ h(0)<0 }[/math], אזי [math]\displaystyle{ h(-1)>0 }[/math]. נפעיל את המשפט על הפונקציה הרציפה [math]\displaystyle{ -h }[/math], שמקיימת [math]\displaystyle{ -h(-1)<0<-h(0) }[/math], ונקבל [math]\displaystyle{ c\in[-1,0] }[/math] כך ש [math]\displaystyle{ -h(c)=0 }[/math].
בכל המקרים [math]\displaystyle{ h(c)=0 }[/math], כלומר [math]\displaystyle{ f(c)=f(c+1) }[/math]: לגרף של [math]\displaystyle{ f }[/math] יש מיתר אופקי באורך [math]\displaystyle{ 1 }[/math].
בלשון הסרטון: הגבהים [math]\displaystyle{ f(x) }[/math] ו־[math]\displaystyle{ f(x+1) }[/math] הם "הזקן בשני הימים", ו־[math]\displaystyle{ h }[/math] היא פונקציית ההפרש, שמעבירה את שניהם לאותו יום.
מקור: מבחן מועד א' תשע"ו, חדו"א 1 להנדסה (83-112, 10.2.2016), שאלה 4א (E76-A; בנוסח המבחן "קיימת c", בלי הקטע), עם פתרון ארז: "ראשית נעביר אגף ונביט בפונקציה h(x)=f(x)-f(x+1)" ... "לפי משפט ערך הביניים בקטע [-1,0]" (R6a-S2, "מצוין לבוחן"); מאגר ת6-009 (משפחת "מיתר אופקי", ק' 2, בוחן ✓); קרוב לתרגיל 3 במערך התרגול תשע"ב, ערך הביניים (פונקציה מחזורית ומיתר באורך חצי מחזור); "שיטת הזקן" ופונקציית ההפרש: תמליל 68 (WdKVN6R0NfU) 04:16–05:15 (t=256s), "נעביר את הזקן משני הימים לאותו היום" (04:45)
דוגמה 4: כשאי אפשר להציב, מחשבים גבול: [math]\displaystyle{ f(c)=\frac{1}{c} }[/math]
תהי [math]\displaystyle{ f }[/math] פונקציה רציפה בקטע הסגור [math]\displaystyle{ [0,1] }[/math] כך ש [math]\displaystyle{ f(1)=2 }[/math]. הוכיחו או הפריכו: קיימת נקודה [math]\displaystyle{ c\in(0,1) }[/math] כך ש [math]\displaystyle{ f(c)=\frac{1}{c} }[/math].
הטענה נכונה, אף שהערך היחיד של [math]\displaystyle{ f }[/math] שנתון לנו הוא ערכה ב־[math]\displaystyle{ 1 }[/math]. נעביר אגף ונגדיר [math]\displaystyle{ h(x)=f(x)-\frac{1}{x} }[/math] עבור [math]\displaystyle{ x\in(0,1] }[/math]; צריך למצוא [math]\displaystyle{ c }[/math] שבה [math]\displaystyle{ h(c)=0 }[/math].
נקודה מעל הציר: [math]\displaystyle{ h(1)=f(1)-1=1 }[/math], ולכן [math]\displaystyle{ h(1)>0 }[/math].
את [math]\displaystyle{ 0 }[/math] אי אפשר להציב, כי [math]\displaystyle{ \frac{1}{x} }[/math] אינה מוגדרת שם. כשאי אפשר להציב, מחשבים גבול: [math]\displaystyle{ f }[/math] רציפה בקטע הסגור, ולכן [math]\displaystyle{ \lim_{x\to0^+}f(x)=f(0) }[/math]; וכן [math]\displaystyle{ \lim_{x\to0^+}\frac{1}{x}=\infty }[/math]. לכן [math]\displaystyle{ \lim_{x\to0^+}h(x)=-\infty }[/math].
[math]\displaystyle{ h }[/math] אינה מוגדרת ב־[math]\displaystyle{ 0 }[/math], ו־[math]\displaystyle{ -\infty }[/math] אינו מספר ממשי, ולכן אי אפשר להפעיל את המשפט בקטע [math]\displaystyle{ [0,1] }[/math]. אבל לפי הגדרת הגבול, עבור הסביבה [math]\displaystyle{ (-\infty,-1) }[/math] של [math]\displaystyle{ -\infty }[/math] קיים [math]\displaystyle{ \delta>0 }[/math] כך שלכל [math]\displaystyle{ x\in(0,\delta) }[/math] מתקיים [math]\displaystyle{ h(x)<-1 }[/math]. נבחר [math]\displaystyle{ d=\min\{\frac{\delta}{2},\frac{1}{2}\} }[/math]. אזי [math]\displaystyle{ 0<d<1 }[/math] ו־[math]\displaystyle{ h(d)<0 }[/math]: נקודה מתחת לציר.
[math]\displaystyle{ h }[/math] רציפה בקטע הסגור [math]\displaystyle{ [d,1] }[/math]: [math]\displaystyle{ f }[/math] רציפה בו כי [math]\displaystyle{ [d,1]\subseteq[0,1] }[/math], ו־[math]\displaystyle{ \frac{1}{x} }[/math] רציפה בכל [math]\displaystyle{ x\ne0 }[/math].
[math]\displaystyle{ h(d)<0<h(1) }[/math], ולכן לפי משפט ערך הביניים קיימת [math]\displaystyle{ c\in[d,1] }[/math] כך ש [math]\displaystyle{ h(c)=0 }[/math]. מתקיים [math]\displaystyle{ c\ne d }[/math] ו־[math]\displaystyle{ c\ne1 }[/math], כי שם [math]\displaystyle{ h\ne0 }[/math]; לכן [math]\displaystyle{ c\in(0,1) }[/math] ו־[math]\displaystyle{ f(c)=\frac{1}{c} }[/math].
דרך קצרה יותר: [math]\displaystyle{ g(x)=xf(x)-1 }[/math] רציפה בכל [math]\displaystyle{ [0,1] }[/math], ומתקיים [math]\displaystyle{ g(0)=-1<0 }[/math] ו־[math]\displaystyle{ g(1)=1>0 }[/math]. ערך הביניים נותן [math]\displaystyle{ c\in[0,1] }[/math] כך ש [math]\displaystyle{ g(c)=0 }[/math]; [math]\displaystyle{ c\ne0 }[/math] ו־[math]\displaystyle{ c\ne1 }[/math] כי שם [math]\displaystyle{ g\ne0 }[/math], ולכן [math]\displaystyle{ c\in(0,1) }[/math], [math]\displaystyle{ cf(c)=1 }[/math] ו־[math]\displaystyle{ f(c)=\frac{1}{c} }[/math].
מקור: תמליל 68 (WdKVN6R0NfU) 05:59–10:27 (t=359s): "הוכיחו או הפריכו ... קיימת נקודה c כך שf של c היא בדיוק 1 חלקי c"; 08:27 (t=507s) "מה עושים בחדווה כשאי אפשר להציב? מחשבים גבול"; 09:19 (t=559s) "מינוס אינסוף הוא לא מספר ממשי"; דף הקורס rev 90835 §משפט ערך הביניים (אותו פתרון בקצרה); לוח ההנדסה L-p48 (R6a, "מצוין לבוחן": "מעבירים אגף, קוראים לזה פונקציה ומוכיחים שהיא מתאפסת"); מאגר ת6-002 (ק' 2–3, בוחן ✓ 6 דק'; ⚠ c∈(d,1) ולא (0,1] - תוקן כאן); הדרך עם xf(x): הווריאנטים f(2)=1 (מבחן תש"נ ש2) ו־f(2)=3 (תרגול 11 של לואי ומני, עמ' 5)
טעויות נפוצות
להפעיל את המשפט על פונקציה שאינה רציפה בכל הקטע הסגור: לפונקציה המוגדרת על ידי [math]\displaystyle{ f(0)=-1 }[/math] ו־[math]\displaystyle{ f(x)=1 }[/math] לכל [math]\displaystyle{ x\in(0,1] }[/math] מתקיים [math]\displaystyle{ f(0)<0<f(1) }[/math], ובכל זאת היא אינה מתאפסת, כי היא "קופצת" מעל הציר ב־[math]\displaystyle{ 0 }[/math] (בסרטון, 3:10: "לקפוץ בזינגה ולהיות מעל הציר").
"להציב" נקודה שאינה בתחום, למשל לכתוב [math]\displaystyle{ h(0)=f(0)-\infty }[/math] כאשר [math]\displaystyle{ h(x)=f(x)-\frac{1}{x} }[/math]: [math]\displaystyle{ -\infty }[/math] אינו מספר ממשי, ו־[math]\displaystyle{ h }[/math] אינה רציפה ב־[math]\displaystyle{ [0,1] }[/math]. מחשבים גבול, מוצאים לפי הגדרת הגבול נקודה [math]\displaystyle{ d }[/math] שבה [math]\displaystyle{ h(d)<0 }[/math], ומפעילים את המשפט בקטע [math]\displaystyle{ [d,1] }[/math].
להסיק מהמשפט שיש פתרון יחיד: המשפט מבטיח לפחות נקודה אחת. למשל [math]\displaystyle{ x^3-x }[/math] בקטע [math]\displaystyle{ [-2,2] }[/math] שלילית ב־[math]\displaystyle{ -2 }[/math], חיובית ב־[math]\displaystyle{ 2 }[/math] ומתאפסת בשלוש נקודות, [math]\displaystyle{ -1 }[/math], [math]\displaystyle{ 0 }[/math] ו־[math]\displaystyle{ 1 }[/math]; ליחידות צריך כלי נוסף, כמו מונוטוניות ממש או משפט רול.
לצטט [math]\displaystyle{ c\in(a,b) }[/math] בניסוח שבו [math]\displaystyle{ f(a)\le0\le f(b) }[/math]: אם [math]\displaystyle{ f(a)=0 }[/math] ייתכן שזו נקודת האפס היחידה, למשל [math]\displaystyle{ f(x)=x }[/math] בקטע [math]\displaystyle{ [0,1] }[/math], ולכן במשפט [math]\displaystyle{ c\in[a,b] }[/math].
לחשוב שהמשפט קובע את קבוצת הערכים: מ־[math]\displaystyle{ f(0)<f(2) }[/math] לא נובע שקבוצת הערכים של [math]\displaystyle{ f }[/math] בקטע [math]\displaystyle{ [0,2] }[/math] היא בדיוק [math]\displaystyle{ [f(0),f(2)] }[/math]; למשל [math]\displaystyle{ f(x)=x(x-1) }[/math] מקבלת גם את [math]\displaystyle{ -\frac{1}{4} }[/math], שקטן מ־[math]\displaystyle{ f(0)=0 }[/math]. המשפט אומר רק שכל ערך שבין [math]\displaystyle{ f(0) }[/math] ל־[math]\displaystyle{ f(2) }[/math] מתקבל.
לתרגול
מועד א' תש"ף (מדמ"ח) · שאלה 2ב: לכל [math]\displaystyle{ f }[/math] רציפה ב־[math]\displaystyle{ [-1,1] }[/math] יש פתרון ל־[math]\displaystyle{ f(c)=\frac{c}{1-c^2} }[/math], גבולות בשני הקצוות, כמו הדוגמה הרביעית (פתרון). קושי 3.
מועד ב' קיץ תשפ"א (מדמ"ח) · שאלה 4: נקודת שבת כש [math]\displaystyle{ f(1)>1 }[/math], הוכיחו או הפריכו בשני סעיפים (פתרון). קושי 1.
מועד ב' תשפ"א (מדמ"ח) · שאלה 2א: ל־[math]\displaystyle{ f(x)=x }[/math] יש פתרון אם ורק אם ל־[math]\displaystyle{ f(f(x))=x }[/math] יש פתרון (פתרון). קושי 2–3.
מועד ב' תשע"ב (מתמטיקה) · שאלה 5: למשוואה [math]\displaystyle{ \tan x=x }[/math] אינסוף פתרונות (כולל פתרון). קושי 2–3.
מערך תרגול · מערך התרגול של הקורס (תשע"ב), פרק הפונקציות.
מערך תרגול: ערך הביניים · ארבעה תרגילים בלי פתרונות: נקודת שבת (הדוגמה השנייה בדף), [math]\displaystyle{ f(f(x))=x }[/math], מיתר באורך חצי מחזור (קרוב לדוגמה השלישית) ומיתר באורך [math]\displaystyle{ \frac{1}{n} }[/math].
תרגול 11 של לואי ומני · עמ' 4–5: משפט ערך הביניים ושני תרגילים ממבחן עם פתרון, ביניהם [math]\displaystyle{ f(x_0)=\frac{1}{x_0} }[/math] כש [math]\displaystyle{ f(2)=3 }[/math] (בעזרת [math]\displaystyle{ xf(x) }[/math]).
![משמאל: פונקציה [math]\displaystyle{ f }[/math] רציפה בקטע [math]\displaystyle{ [a,b] }[/math] שמקיימת [math]\displaystyle{ f(a)<0<f(b) }[/math] חייבת לחתוך את ציר ה־[math]\displaystyle{ x }[/math]. כאן היא חותכת אותו שלוש פעמים, ב־[math]\displaystyle{ c_1 }[/math], [math]\displaystyle{ c_2 }[/math] ו־[math]\displaystyle{ c_3 }[/math]: המשפט מבטיח לפחות נקודה אחת כזו, לא נקודה יחידה. מימין: הפונקציה [math]\displaystyle{ g }[/math] בקטע [math]\displaystyle{ [0,1] }[/math] שמוגדרת על ידי [math]\displaystyle{ g(0)=-1 }[/math] ו־[math]\displaystyle{ g(x)=1 }[/math] לכל [math]\displaystyle{ x\in(0,1] }[/math] מקיימת [math]\displaystyle{ g(0)<0<g(1) }[/math], ובכל זאת אינה מתאפסת באף נקודה: היא אינה רציפה ב־[math]\displaystyle{ 0 }[/math], והגרף שלה "קופץ" מעל הציר (הסימן האדום). לכן הנחת הרציפות במשפט הכרחית.](/index.php/%D7%A7%D7%95%D7%91%D7%A5:Infi1-c6-01.png)
