את משפט 10 לא סיימנו בשיעור הקודם ולכן השלמנו זאת ב־1.5.11. חלק זה מופיע בסיכום השיעור הקודם ולא בדף הנוכחי.

אינטגרל לא אמיתי, סוג I (המשך)

תזכורת: עד כאן דיברנו רק על אינטגרלים מהסוג [math]\displaystyle{ \int\limits_a^\infty f }[/math]. כמובן שיש מקבילה גמורה לאינטגרלים האלה: [math]\displaystyle{ \int\limits_{-\infty}^b f }[/math], ושאפשר לתרגם את כל המשפטים שלנו למקרה זה.

הגדרה: תהי f מוגדרת בכל [math]\displaystyle{ \mathbb R }[/math]. נאמר שהיא אינטגרבילית מקומית אם היא אינטגרבילית בכל קטע סופי [math]\displaystyle{ [a,b] }[/math]. למשל, אם f רציפה למקוטעין ב-[math]\displaystyle{ \mathbb R }[/math] אז היא אינטגרבילית מקומית.

תזכורת: תהי f מוגדרת ואינטגרבילית מקומית. הגדרנו [math]\displaystyle{ \int\limits_{-\infty}^\infty f }[/math] להיות [math]\displaystyle{ \int\limits_{-\infty}^a f+\int\limits_a^\infty f }[/math] בתנאי ששני האינטגרלים התכנסים. אם אפילו אחד מהם מתבדר נאמר ש-[math]\displaystyle{ \int\limits_{-\infty}^\infty f }[/math] מתבדר. נבדוק שההגדרה בלתי תלוייה ב-a. ובכן בה"כ נבחר [math]\displaystyle{ b\gt a }[/math] ונבדוק את שתי הטענות הבאות:

שני האינטגרלים [math]\displaystyle{ \int\limits_{-\infty}^a f,\int\limits_a^\infty f }[/math] מתכנסים אם"ם שני האינטגרלים [math]\displaystyle{ \int\limits_{-\infty}^b f,\int\limits_b^\infty f }[/math] מתכנסים.
עפ"י משפט 2, [math]\displaystyle{ \int\limits_a^\infty f }[/math] מתכנס אם"ם [math]\displaystyle{ \int\limits_b^\infty f }[/math] מתכנס. באותו אופן [math]\displaystyle{ \int\limits_{-\infty}^b f }[/math] מתכנס אם"ם [math]\displaystyle{ \int\limits_{-\infty}^a f }[/math] מתכנס, לכן הטענה מתקיימת.
נוכיח שבמקרה שהאינטגרלים [math]\displaystyle{ \int\limits_{-\infty}^a f+\int\limits_a^\infty f }[/math] מתכנסים אז הם שווים ל-[math]\displaystyle{ \int\limits_{-\infty}^b f+\int\limits_{-\infty}^b f }[/math].
ובכן עפ"י משפט 2, [math]\displaystyle{ \int\limits_{-\infty}^b f=\int\limits_{-\infty}^a f+\int\limits_a^b f }[/math] וגם [math]\displaystyle{ \int\limits_b^\infty f=\int\limits_a^\infty f-\int\limits_a^b f }[/math]. נחבר את התוצאות ונקבל את הטענה.

אינטגרל לא אמיתי, סוג II

מדובר באינטגרל על קטע סגור של פונקציה לא חסומה.

הגדרה: תהי f מוגדרת בקטע [math]\displaystyle{ (a,b] }[/math]. נאמר ש-f אינטגרבילית מקומית בקטע זה אם לכל c כך ש-[math]\displaystyle{ a\lt c\lt b }[/math] f אינטגרבילית בקטע [math]\displaystyle{ [c,b] }[/math] (למשל, אם f רציפה למקוטעין ב-[math]\displaystyle{ (a,b] }[/math]). לכן נגדיר [math]\displaystyle{ \int\limits_a^b f=\lim_{R\to a^+}\int\limits_R^b f }[/math] אם הגבול קיים. אם כן אומרים שהאינטגרל [math]\displaystyle{ \int\limits_a^b f }[/math] מתכנס או ש-f אינטגרבילית בקטע [math]\displaystyle{ (a,b] }[/math]. אם אין גבול אומרים ש-[math]\displaystyle{ \int\limits_a^b f }[/math] מתבדר.

דוגמאות

נקח [math]\displaystyle{ p\gt 0 }[/math] ונתבונן באינטגרל הלא אמיתי [math]\displaystyle{ \int\limits_0^1\frac{\mathrm dx}{x^p} }[/math]. עבור [math]\displaystyle{ p=1 }[/math] נקבל [math]\displaystyle{ \lim_{R\to0^+}\int\limits_R^1\frac{\mathrm dx}x=\lim_{R\to0^+}[\ln|x|]_{x=R}^1=\lim_{R\to0^+}-\ln(R)=\infty }[/math] והאינטגרל מתבדר. עבור [math]\displaystyle{ p\ne1 }[/math] נקבל [math]\displaystyle{ \lim_{R\to0^+}\int\limits_R^1\frac{\mathrm dx}{x^p}=\lim_{R\to0^+}\left[\frac{x^{-p+1}}{-p+1}\right]_{x=R}^1=\lim_{R\to0^+}\frac1{1-p}-\frac{R^{-p+1}}{-p+1}=\begin{cases}\frac1{1-p}&p\lt 1\\\infty&\text{else}\end{cases} }[/math].
[math]\displaystyle{ \int\limits_0^\frac12\frac{\mathrm dx}{x(\ln(x))^2} }[/math]. נציב [math]\displaystyle{ y=\ln(x) }[/math] וכן [math]\displaystyle{ \mathrm dy=\frac{\mathrm dx}x }[/math] לקבל [math]\displaystyle{ \lim_{R\to0^+}\int\limits_{\ln(R)}^{\ln\left(\frac12\right)}\frac{\mathrm dy}{y^2}=\lim_{R\to0^+}-\frac1{\ln(1/2)}+\frac1{\ln(R)}=-\frac1{\ln(1/2)} }[/math], ובפרט מתכנס.
דרך כתיבה מקוצרת: [math]\displaystyle{ \int\limits_0^1\frac{\mathrm dx}{\sqrt x}=\int\limits_0^1 x^{-\frac12}\mathrm dx=\left[\frac{x^{1/2}}{1/2}\right]_{x=0}^1=2 }[/math].

לגבי משפטי התכנסות יש אנלוגיות למשפטים שהוכחנו עבור אינטגרל לא אמיתי מסוג ראשון. נרשום אותם ללא הוכחה.

הנחה קבועה: למעט במשפטים 1,3 הפונקציות f,g אינטגרביליות מקומית ב-[math]\displaystyle{ (a,b] }[/math].

משפט 1

אם f ו-g אינטגרביליות ב-[math]\displaystyle{ (a,b] }[/math] ואם c קבוע אז [math]\displaystyle{ f+cg }[/math] אינטגרבילית בקטע [math]\displaystyle{ (a,b] }[/math] ומתקיים [math]\displaystyle{ \int\limits_a^bf+cg=\int\limits_a^b f+c\int\limits_a^b g }[/math].

משפט 2

עבור [math]\displaystyle{ a\lt c\lt b }[/math] f אינטגרבילית בקטע [math]\displaystyle{ (a,b] }[/math] אם"ם היא אינטגרבילית בקטע [math]\displaystyle{ (a,c] }[/math] ואם כן [math]\displaystyle{ \int\limits_a^b f=\int\limits_a^c f+\int\limits_c^b f }[/math].

משפט 3

תהי f מוגדרת ומונוטונית בקטע [math]\displaystyle{ (a,b] }[/math]. אזי [math]\displaystyle{ \lim_{x\to a^+} f(x) }[/math] קיים אם"ם f חסומה בקטע [math]\displaystyle{ (a,b] }[/math].

משפט 4

אם [math]\displaystyle{ f(x)\ge0 }[/math] אז האינטגרל [math]\displaystyle{ \int\limits_a^b f }[/math] מתכנס אם"ם האינטגרלים החלקיים [math]\displaystyle{ \int\limits_c^b f }[/math] חסומים כאשר [math]\displaystyle{ c\to a^+ }[/math].

משפט 5 (מבחן ההשוואה)

נניח שב-[math]\displaystyle{ (a,b] }[/math] מתקיים [math]\displaystyle{ 0\le f(x)\le g(x) }[/math].

אם [math]\displaystyle{ \int\limits_a^b g }[/math] מתכנס אז [math]\displaystyle{ \int\limits_a^b f }[/math] מתכנס.
אם [math]\displaystyle{ \int\limits_a^b f }[/math] מתבדר אז [math]\displaystyle{ \int\limits_a^b g }[/math] מתבדר.

את ההמשך עשינו בשיעור שאחריו:

משפט 6 (מבחן ההשוואה הגבולי)

נניח ש-[math]\displaystyle{ f(x),g(x)\ge0 }[/math] ונניח שקיים ממש [math]\displaystyle{ \lim_{x\to a^+}\frac{f(x)}{g(x)} }[/math]. אם [math]\displaystyle{ \int\limits_a^b g }[/math] מתכנס אז [math]\displaystyle{ \int\limits_a^b f }[/math] מתכנס.

מסקנה

אם בפרט [math]\displaystyle{ \lim_{x\to a^+}\frac{f(x)}{g(x)}\gt 0 }[/math] אז [math]\displaystyle{ \int\limits_a^b g,\int\limits_a^b f }[/math] מתכנסים ומתבדרים יחדיו.

משפט 7

האינטגרל [math]\displaystyle{ \int\limits_a^b f }[/math] מתכנס אם"ם הוא מקיים את תנאי קושי: [math]\displaystyle{ \forall\varepsilon\gt 0:\ \exists x_0\in(a,b):\ \forall a\lt x_1\lt x_2\lt x_0:\ \left|\int\limits_{x_1}^{x_2} f\right|\lt \varepsilon }[/math]

משפט 8

אם [math]\displaystyle{ \int\limits_a^b f }[/math] מתכנס בהחלט אז [math]\displaystyle{ \int\limits_a^b f }[/math] מתכנס.

באופן דומה יש אנלוגיות לכל המשפטים האלה עבור קטעים מהצורה [math]\displaystyle{ [a,b) }[/math] (ז"א הפונקציה לא חסומה בסביבת b במקום בסביבת a. במקרה כזה מגדירים [math]\displaystyle{ \int\limits_a^b f:=\lim_{R\to b^-}\int\limits_a^R f }[/math]). כמו כן, אם f מוגדרת ב-[math]\displaystyle{ (a,b) }[/math] ולא חסומה בסביבת שני הקצוות מגדירים [math]\displaystyle{ \int\limits_a^b f:=\int\limits_a^c f+\int\limits_c^b f }[/math] עבור [math]\displaystyle{ c\in(a,b) }[/math] כלשהו ונאמר ש-[math]\displaystyle{ \int\limits_a^b f }[/math] מתכנס אם"ם שני האינטגרלים [math]\displaystyle{ \int\limits_a^c f,\int\limits_c^b f }[/math] מתכנסים.

אם f מוגדרת ב-[math]\displaystyle{ [a,b] }[/math] למעט איזו נקודת בייניים [math]\displaystyle{ c\in(a,b) }[/math] שסביבה f אינה חסומה, אז נגדיר [math]\displaystyle{ \int\limits_a^b f:=\int\limits_a^c f+\int\limits_c^b f }[/math] כך ששני האינטגרלים באגף ימין מתכנסים.