אינטגרלים

תהי [math]\displaystyle{ f }[/math] מוגדרת בקטע [math]\displaystyle{ I }[/math]. הפונקציה [math]\displaystyle{ F }[/math] קדומה ל-[math]\displaystyle{ f }[/math] ב-[math]\displaystyle{ I }[/math] אם [math]\displaystyle{ \forall x\in I:\ F'(x)=f(x) }[/math].

תהי [math]\displaystyle{ f }[/math] מוגדרת וחסומה בקטע [math]\displaystyle{ I }[/math]. אזי:

נסמן את האינפימום של [math]\displaystyle{ f }[/math] כ-[math]\displaystyle{ m:=\inf_{x\in I}f(x) }[/math] ואת הסופרימום כ-[math]\displaystyle{ M:=\sup_{x\in I}f(x) }[/math].
התנודה של [math]\displaystyle{ f }[/math] היא [math]\displaystyle{ \Omega:=M-m }[/math].
חלוקה של קטע [math]\displaystyle{ [a,b] }[/math] היא קבוצה מהצורה [math]\displaystyle{ \{x_0,x_1,\dots,x_n\} }[/math] כאשר [math]\displaystyle{ a=x_0\lt x_1\lt \dots\lt x_n=b }[/math].

עבור חלוקה [math]\displaystyle{ P }[/math] כזו נגדיר:

לכל [math]\displaystyle{ k }[/math] אורך תת הקטע [math]\displaystyle{ k }[/math] הוא [math]\displaystyle{ \Delta x_k:=x_k-x_{k-1} }[/math].
פרמטר החלוקה הוא [math]\displaystyle{ \lambda(P):=\max_{k=1}^n\Delta x_k }[/math].
לכל [math]\displaystyle{ 1\le k\le n }[/math] נגדיר [math]\displaystyle{ M_k:=\sup_{x\in[x_{k-1},x_k]}f(x) }[/math] וכן [math]\displaystyle{ m_k:=\inf_{x\in[x_{k-1},x_k]}f(x) }[/math].
העדנה [math]\displaystyle{ Q }[/math] של [math]\displaystyle{ P }[/math] היא חלוקה של [math]\displaystyle{ [a,b] }[/math] כך ש-[math]\displaystyle{ P\subset Q }[/math].
הסכום העליון הוא [math]\displaystyle{ \overline S(f,P):=\sum_{k=1}^n M_k\Delta x_k }[/math].
הסכום התחתון הוא [math]\displaystyle{ \underline S(f,P):=\sum_{k=1}^n m_k\Delta x_k }[/math].
האינטגרל העליון הוא [math]\displaystyle{ \overline{\int}_a^b f:=\inf_P\overline S(f,P) }[/math].
האינטגרל התחתון הוא [math]\displaystyle{ \underline{\int}_a^b f:=\sup_P\underline S(f,P) }[/math].
[math]\displaystyle{ f }[/math] תקרא אינטגרבילית (לפי דרבו) בקטע אם [math]\displaystyle{ \underline{\int}_a^b f=\overline{\int}_a^b f }[/math].
עבור f אינטגרבילית ב-[math]\displaystyle{ [a,b] }[/math] האינטגרל המסויים של [math]\displaystyle{ f }[/math] בקטע (לפי דרבו) הוא [math]\displaystyle{ \int\limits_a^bf:=\overline{\int}_a^b f=\underline\int_a^b f }[/math].
לכל [math]\displaystyle{ 1\le k\le n }[/math] נבחר [math]\displaystyle{ c_k\in[x_{k-1},x_k] }[/math] כך ש-[math]\displaystyle{ a\le c_1\lt c_2\lt \dots\lt c_n\le b }[/math], ונסמן [math]\displaystyle{ P':=\{a,c_1,c_2,\dots,c_n,b\} }[/math]. סכום רימן מוגדר כ-[math]\displaystyle{ S(f,P,P'):=\sum_{k=1}^n f(c_k)\Delta x_k }[/math].
[math]\displaystyle{ f }[/math] תקרא אינטגרבילית (לפי רימן) בקטע אם כאשר [math]\displaystyle{ \lambda(P)\to0 }[/math] כל סכומי רימן [math]\displaystyle{ S(f,P,P') }[/math] שואפים לאותו גבול.
עבור f אינטגרבילית (לפי רימן) ב-[math]\displaystyle{ [a,b] }[/math] האינטגרל המסויים של [math]\displaystyle{ f }[/math] בקטע (לפי רימן) הוא [math]\displaystyle{ \int\limits_a^b f:=\lim_{\lambda(P)\to0}S(f,P,P') }[/math] לכל החלוקות [math]\displaystyle{ P }[/math] ו-[math]\displaystyle{ P' }[/math].
אם [math]\displaystyle{ f(x)\ge0 }[/math] ורציפה ב-[math]\displaystyle{ [a,b] }[/math] אז נגדיר את השטח שמתחת לגרף כ-[math]\displaystyle{ \int\limits_a^b f }[/math]. בפרט, לכל [math]\displaystyle{ f }[/math] רציפה ב-[math]\displaystyle{ [a,b] }[/math] השטח שבין הגרף לציר ה-[math]\displaystyle{ x }[/math] הוא [math]\displaystyle{ \int\limits_a^b |f| }[/math].

[math]\displaystyle{ \int\limits_a^a f:=0 }[/math].
אם f אינטגרבילית בקטע אז [math]\displaystyle{ \int\limits_b^a f:=-\int\limits_a^b f }[/math].

פונקציה [math]\displaystyle{ f }[/math] תקרא רציפה למקוטעין בקטע אם היא רציפה בו למעט מספר סופי של נקודות אי רציפות ממין ראשון.