נושא ראשון:
אינטגרביליות

מטרה: לחשב שטח (דו-מימדי במקרה שלנו, כי אינפי מדבר על [math]\displaystyle{ \mathbb R }[/math]).

גרף (1)

נציג שתי שיטות עיקריות לחישוב שטחים:

אינטגרבליות לפי דרבו
אינטגרבליות לפי רימן

היום נדבר על הראשונה.

אינטגרבליות לפי דרבו

נסמן [math]\displaystyle{ M_i:=\sup_{x\in[x_{i-1},x_i]} f(x) }[/math] ו-[math]\displaystyle{ m_i:=\inf_{x\in[x_{i-1},x_i]} f(x) }[/math]. לכל חלוקה T נגדיר [math]\displaystyle{ \overline S(T):=\sum_{i=1}^n M_i \Delta x_i }[/math] ו-[math]\displaystyle{ \underline S(T):=\sum_{i=1}^n m_i \Delta x_i }[/math].

כמו כן נגדיר

[math]\displaystyle{ \overline I:=\inf\{\overline S(T):\ }[/math] חלוקה [math]\displaystyle{ T\} }[/math]

[math]\displaystyle{ \underline I:=\sup\{\underline S(T):\ }[/math] חלוקה [math]\displaystyle{ T\} }[/math]

אם [math]\displaystyle{ \overline I=\underline I }[/math] אז f אינטגרבילית לפי דרבו וערך האינטגרל הוא ערך זה.

דוגמה 1

הוכח עפ"י הגדרת האינטגרל שהפונקציה [math]\displaystyle{ f(x)=x }[/math] אינטגרבילית בקטע [math]\displaystyle{ [0,1] }[/math] ומצא עפ"י ההגדרה את ערך האינטגרל.

פתרון

דרך 1: חישוב ע"י משולש.

דרך 2: נבחר חלוקה מספיק קטנה השואפת ל-0 (דרוש כי רוצים שסכום דרבו העליון יהא שווה לסכום דרבו התחתון). לדוגמה [math]\displaystyle{ \Delta x=\frac1n }[/math].

במקרה זה נחלק את הקטע לפי הנקודות [math]\displaystyle{ 0,\tfrac1n,\tfrac2n,\dots,\tfrac{n-1}n,1 }[/math], ז"א [math]\displaystyle{ \overline I=\lim_{n\to\infty} \underbrace{\frac1n}_{(1)}\underbrace{\sum_{i=1}^n \frac i n}_{(2)} }[/math].

רוחב המלבן
אורך המלבן

(נשים לב כי [math]\displaystyle{ f(x)=x }[/math] פונקציה עולה ולכן, בגלל שלקחנו נקודת קצה ימנית, קיבלנו סכום עליון)

באופן דומה נמצא סכום דרבו תחתון (עם נקודות קצה שמאליות):

[math]\displaystyle{ \underline I=\lim_{n\to\infty} \frac1n \sum_{i=0}^{n-1} \frac i n }[/math]

אם נראה כי [math]\displaystyle{ \overline I=\underline I }[/math] נקבל כי f אינטגרבילית לפי דרבו (ואפילו נקבל את השטח).

נחשב:

[math]\displaystyle{ \overline I=\lim_{n\to\infty}\frac1{n^2}\sum_{i=1}^n i=\lim_{n\to\infty} \frac1{n^2}\cdot\frac{n(n+1)}2=\frac12 }[/math]

[math]\displaystyle{ \underline I=\lim_{n\to\infty}\frac1{n^2}\sum_{i=0}^{n-1} i=\lim_{n\to\infty} \frac1{n^2}\cdot\frac{(n-1)n}{2}=\frac12 }[/math]

לכן f אינטגרבילית לפי דרבו והשטח מתחת לגרף הוא [math]\displaystyle{ \tfrac12 }[/math]. [math]\displaystyle{ \blacksquare }[/math]

הערה: נשים לב שכדי להוכיח אינטגרביליות היינו יכולים להראות שלכל חלוקה כך ש-[math]\displaystyle{ \Delta x\to0 }[/math] מתקיים [math]\displaystyle{ \overline I=\underline I }[/math].

דוגמה 2

חשב את השטח שמתחת לעקומה [math]\displaystyle{ y=9-x^2 }[/math] בקטע [math]\displaystyle{ [0,3] }[/math]. קבע בפרוט אם f אינטגרבילית.

פתרון

באופן כללי צריך לבחור חלוקה [math]\displaystyle{ T_n }[/math] שעבורה [math]\displaystyle{ \lambda(T_n)\to0 }[/math], למשל [math]\displaystyle{ x_i=\frac{3i}n }[/math] כאשר [math]\displaystyle{ n\to\infty }[/math] (ולכן [math]\displaystyle{ \Delta x_i=\frac3n\to0 }[/math]). נבנה סכום דרבו מתאים:

ברור ש-[math]\displaystyle{ m_i=\inf_{x\in[x_{i-1},x_i]} f(x)=9-x_i^2 }[/math] ולכן:	[math]\displaystyle{ }[/math]	[math]\displaystyle{ \lim_{n\to\infty}\sum_{i=0}^n\frac3n f\left(\frac{3i}n\right) }[/math]	[math]\displaystyle{ = }[/math]	[math]\displaystyle{ \underline S }[/math]	[math]\displaystyle{ }[/math]
	[math]\displaystyle{ }[/math]	[math]\displaystyle{ \lim_{n\to\infty}\frac3n\sum_{i=0}^n\left(9-\frac{3^2i^2}{n^2}\right) }[/math]	[math]\displaystyle{ = }[/math]	[math]\displaystyle{ }[/math]	[math]\displaystyle{ }[/math]
	[math]\displaystyle{ }[/math]	[math]\displaystyle{ \lim_{n\to\infty}\frac3n\cdot9n-\frac3n\cdot\frac9{n^2}\sum_{i=0}^n i^2 }[/math]	[math]\displaystyle{ = }[/math]	[math]\displaystyle{ }[/math]	[math]\displaystyle{ }[/math]
	[math]\displaystyle{ }[/math]	[math]\displaystyle{ \lim_{n\to\infty}27-\frac{27}{n^3}\sum_{i=0}^n i^2 }[/math]	[math]\displaystyle{ = }[/math]	[math]\displaystyle{ }[/math]	[math]\displaystyle{ }[/math]
	[math]\displaystyle{ }[/math]	[math]\displaystyle{ \lim_{n\to\infty}27-\frac{27}{n^3}\frac{n(n+1)(2n+1)}6 }[/math]	[math]\displaystyle{ = }[/math]	[math]\displaystyle{ }[/math]	[math]\displaystyle{ }[/math]
	[math]\displaystyle{ }[/math]	[math]\displaystyle{ 27-\frac{27\cdot2}6 }[/math]	[math]\displaystyle{ = }[/math]	[math]\displaystyle{ }[/math]	[math]\displaystyle{ }[/math]
	[math]\displaystyle{ }[/math]	[math]\displaystyle{ 18 }[/math]	[math]\displaystyle{ = }[/math]	[math]\displaystyle{ }[/math]	[math]\displaystyle{ }[/math]

באותו אופן מגיעים ל-[math]\displaystyle{ \overline S=18 }[/math] ולכן [math]\displaystyle{ \int\limits_0^3 f=18 }[/math]. [math]\displaystyle{ \blacksquare }[/math]

דוגמה 3

הוכח או הפרך: אם |f| אינטגרבילית ב-[math]\displaystyle{ [a,b] }[/math] אז f אינטגרבילית ב-[math]\displaystyle{ [a,b] }[/math].

פתרון

הפרכה: נבחר את הפונקציה [math]\displaystyle{ f(x)=\begin{cases}1&x\in\mathbb Q\\-1&x\not\in\mathbb Q\end{cases}=2D(x)-1 }[/math] (כאשר [math]\displaystyle{ D(x) }[/math] היא פונקצית דיריכלה). ברור כי [math]\displaystyle{ |f| }[/math] אינטגרבילית (כי היא קבועה). לעומת זאת, אם נבחר חלוקה של מספרים אי רציונלים נחלק סכום שלילי, ואם נבחר חלוקה של מספרים רציונלים נקבל סכום חיובי. לכן f אינה אינטגרבילית. [math]\displaystyle{ \blacksquare }[/math]

הערה: זוהי דוגמה טובה שמראה שיש להוכיח שלכל חלוקה [math]\displaystyle{ \Delta x\to0 }[/math].

הערה: נראה בהמשך כי אינטגרביליות לפי רימן שקולה לאינטגרביליות לפי דרבו (שם אפשרי לבחור כל נקודה בתת קטע). הפתרון במקרה זה היה יכול להיות יפה יותר.

דוגמה 4

הוכח או הפרך: אם f חסומה ב-[math]\displaystyle{ [a,b] }[/math] ולכל [math]\displaystyle{ [c,b]\subset[a,b] }[/math] f אינטגרבילית ב-[math]\displaystyle{ [c,b] }[/math] אז f אינטגרבילית ב-[math]\displaystyle{ [a,b] }[/math].

פתרון

הוכחה: יהי [math]\displaystyle{ \varepsilon\gt 0 }[/math] נתון. המטרה שלנו היא להראות כי יש חלוקה [math]\displaystyle{ T_\varepsilon }[/math] של [math]\displaystyle{ [a,b] }[/math] המקיימת ש-[math]\displaystyle{ \overline S(T_\varepsilon)-\underline S(T_\varepsilon)\lt \varepsilon }[/math].

נתון כי f אינטגרבילית ב-[math]\displaystyle{ [c,b] }[/math] ולכן יש חלוקה [math]\displaystyle{ T_{\varepsilon'} }[/math] של [math]\displaystyle{ [c,b] }[/math] עבורה מתקיים [math]\displaystyle{ \overline S(T_{\varepsilon'})-\underline S(T_{\varepsilon'})\lt \frac\varepsilon2 }[/math]. נגדיר [math]\displaystyle{ T_\varepsilon:=T_{\varepsilon'}\cup\{a\} }[/math].

נבנה סכום דרבו עליון ותחתון:

[math]\displaystyle{ \overline S(T_\varepsilon)=\sup_{x\in[a,c]} f(x)\cdot (c-a)+\overline S(T_{\varepsilon'}) }[/math]

[math]\displaystyle{ \underline S(T_\varepsilon)=\inf_{x\in[a,c]} f(x)\cdot (c-a)+\underline S(T_{\varepsilon'}) }[/math]

לכן:

נסמן [math]\displaystyle{ M:=\sup_{x\in[a,c]} f(x) }[/math] וכן [math]\displaystyle{ m:=\inf_{x\in[a,c]}f(x) }[/math], לפיכך:	[math]\displaystyle{ }[/math]	[math]\displaystyle{ M(c-a)+\overline S(T_{\varepsilon'})-\underline S(T_{\varepsilon'})-m(c-a) }[/math]	[math]\displaystyle{ = }[/math]	[math]\displaystyle{ \overline S(T_\varepsilon)-\underline S(T_\varepsilon) }[/math]	[math]\displaystyle{ }[/math]
	[math]\displaystyle{ }[/math]	[math]\displaystyle{ (M-m)(c-a)+\overline S(T_{\varepsilon'})-\underline S(T_{\varepsilon'}) }[/math]	[math]\displaystyle{ = }[/math]	[math]\displaystyle{ }[/math]	[math]\displaystyle{ }[/math]
נבחר c כך ש- [math]\displaystyle{ (c-a)(M-m)=\frac\varepsilon{2} }[/math] (קיים כי כאשר [math]\displaystyle{ a\lt c\to a }[/math] מתקיים [math]\displaystyle{ M-m\to0 }[/math] ולכן [math]\displaystyle{ (c-a)(M-m)\to0 }[/math])	[math]\displaystyle{ }[/math]	[math]\displaystyle{ \frac\varepsilon2+\frac\varepsilon2 }[/math]	[math]\displaystyle{ \le }[/math]	[math]\displaystyle{ }[/math]	[math]\displaystyle{ }[/math]
	[math]\displaystyle{ }[/math]	[math]\displaystyle{ \varepsilon }[/math]	[math]\displaystyle{ = }[/math]	[math]\displaystyle{ }[/math]	[math]\displaystyle{ }[/math]

[math]\displaystyle{ \blacksquare }[/math]

דוגמה 5

חשב [math]\displaystyle{ \lim_{n\to\infty}\frac1n\left(e^{\frac1n}+e^{\frac2n}+\dots+e^{\frac{n-1}n}+e\right) }[/math].

פתרון

נשים לב שמוגדר למעשה סכום של מלבנים. נסתכל על הפונקציה [math]\displaystyle{ e^x }[/math] בקטע [math]\displaystyle{ [0,1] }[/math]. [math]\displaystyle{ e^x }[/math] פונקציה אינטגרבילית. הגבול הנתון הוא [math]\displaystyle{ \lim_{n\to\infty}\frac1n\sum_{i=1}^n e^{\frac{i}{n}} }[/math], וזוהי בדיוק ההגדרה של אינטגרל מסויים. לכן [math]\displaystyle{ \lim_{n\to\infty}\frac1n\sum_{i=1}^n e^{\frac{i}{n}}=\int\limits_0^1 e^xdx }[/math].

לפי המשפט היסודי זה שווה ל-[math]\displaystyle{ [e^x]_0^1=e^1-e^0=e-1 }[/math] (הפונקציה הקדומה של [math]\displaystyle{ e^x }[/math] היא [math]\displaystyle{ e^x }[/math]). [math]\displaystyle{ \blacksquare }[/math]

משפט: תנאי הכרחי כדי שפונקציה [math]\displaystyle{ f(x) }[/math] תהיה אינטגרבילית ב-[math]\displaystyle{ [a,b] }[/math] הוא ש-f חסומה בקטע.

משפט: אם f חסומה בקטע [math]\displaystyle{ [a,b] }[/math] ורציפה פרט אולי למספר סופי של נקודות אי רציפות אז f אינטגרבילית ב-[math]\displaystyle{ [a,b] }[/math].

דוגמה 6

קבע מי מהפונקציות הבאות אינטגרבילית:

[math]\displaystyle{ f(x)=\begin{cases}\tan(x)&0\le x\lt \tfrac\pi2\\1&x=\tfrac\pi2\end{cases} }[/math] בקטע [math]\displaystyle{ \left[0,\tfrac\pi2\right] }[/math].
פתרון

לא אינטגרבילית: מתקיים [math]\displaystyle{ \lim_{k\to\frac\pi2^-}f(x)=\lim_{k\to\frac\pi2^-}\tan(x)=\lim_{k\to\frac\pi2^-}\frac{\sin(x)}{\cos(x)}=\infty }[/math]. לפיכך f לא חסומה ולכן לא אינטגרבילית. [math]\displaystyle{ \blacksquare }[/math]
[math]\displaystyle{ f(x)=\begin{cases}\sin\left(\frac1x\right)&x\ne0\\0&x=0\end{cases} }[/math] בקטע [math]\displaystyle{ [-1,1] }[/math].
פתרון

כן אינטגרבילית: נשים לב כי [math]\displaystyle{ -1\le\sin\left(\frac1x\right)\le1 }[/math]. בנוסף יש לנו נקודת אי-רציפות יחידה ב-[math]\displaystyle{ x=0 }[/math] ולכן f אינטגרבילית. [math]\displaystyle{ \blacksquare }[/math]