השתנות חסומה

הגדרה: נתונה פונקציה f המוגדרת ב-[math]\displaystyle{ [a,b] }[/math] ותהי [math]\displaystyle{ P=\{x_0,x_1,\dots,x_n\} }[/math] חלוקה של [math]\displaystyle{ [a,b] }[/math] ([math]\displaystyle{ a=x_0\lt x_1\lt \dots\lt x_n=b }[/math]). נגדיר [math]\displaystyle{ v(f,P)=\sum_{i=1}^n |f(x_i)-f(x_{i-1})| }[/math]. נתבונן בקבוצת כל המספרים [math]\displaystyle{ v(f,P) }[/math] עבור כל החלוקות האפשריות P של הקטע. אם קבוצה זו חסומה נאמר של-f יש השתנות חסומה בקטע, והיא [math]\displaystyle{ \overset b\underset aV f=\sup_P\ v(f,P) }[/math].

משפט: פונקציה בעלת השתנות חסומה בקטע סגור חסומה בקטע. ההיפך אינו נכון - תתכן פונקציה חסומה בעלת השתנות בלתי חסומה.

דוגמה 1

קבעו האם [math]\displaystyle{ f(x)=\begin{cases}x\cos\left(\frac\pi x\right)&0\lt x\le1\\0&x=0\end{cases} }[/math] בעלת השתנות חסומה.

פתרון

נשים לב כי f חסומה בקטע. נראה שבכל זאת היא בעל השתנות לא חסומה: נבחר את החלוקה [math]\displaystyle{ P=\left\{0,\frac1n,\frac1{n-1},\dots,\frac12,1\right\}=\{x_k\}_{k=0}^n }[/math] של הקטע [math]\displaystyle{ [0,1] }[/math] ולכן

[math]\displaystyle{ \begin{align}v(f,P)&=\sum_{k=1}^n|f(x_k)-f(x_{k-1})|\\&=\left|f(0)-f\left(\frac1n\right)\right|+\sum_{k=2}^n\left|f\left(\frac1{k-1}\right)-f\left(\frac1k\right)\right|\\&=\left|0-\frac1n\cos(\pi n)\right|+\sum_{k=2}^n\left|\frac1{k-1}\cos(\pi(k-1))-\frac1k\cos(\pi k)\right|\\&=\frac1n+\sum_{k=2}^n\left(\frac1{k-1}+\frac1k\right)\\&\gt \sum_{k=2}^n\frac1k\\&\to\infty\end{align} }[/math]

[math]\displaystyle{ \blacksquare }[/math]

משפט: פונקציה מונוטונית בקטע סגור היא בעלת השתנות חסומה בו.

משפט: השתנות חסומה שומרת על חיבור וכפל בסקלר: [math]\displaystyle{ \overset b\underset aV (f+g)\le\overset b\underset aV f+\overset b\underset aV g\ \and\ \overset b\underset aV c\cdot f=|c|\overset b\underset aV f }[/math].

דוגמה 2

תהינה f ו-g בעלות השתנות חסומה ב-[math]\displaystyle{ [a,b] }[/math].

הוכיחו כי המכפלה [math]\displaystyle{ f\cdot g }[/math] בעלת השתנות חסומה.
נתון שבנוסף קיים [math]\displaystyle{ \varepsilon\gt 0 }[/math] כך ש-[math]\displaystyle{ f(x)\ge\varepsilon }[/math] לכל [math]\displaystyle{ x\in[a,b] }[/math]. הוכיחו [math]\displaystyle{ \frac1f }[/math] בעלת השתנות חסומה בקטע.

פתרון

נניח ש-P חלוקה של הקטע ונסמן [math]\displaystyle{ h(t)=f(t)g(t) }[/math] אזי
[math]\displaystyle{ \begin{align}v(h,P)&=\sum_{k=1}^n |h(x_k)-h(x_{k-1})|\\&=\sum_{k=1}^n|f(x_k)g(x_k)-f(x_{k-1})g(x_{k-1})|\\&=\sum_{k=1}^n|f(x_k)g(x_k)+f(x_{k-1})g(x_k)-f(x_{k-1})g(x_k)-f(x_{k-1})g(x_{k-1})|\\&\le\sum_{k=1}^n |g(x_k)||f(x_k)-f(x_{k-1})|+\sum_{k=1}^n |f(x_{k-1})||g(x_k)-g(x_{k-1})|\end{align} }[/math]
f,g בעלות השתנות חסומה ולכן חסומות. נסמן [math]\displaystyle{ |f|\le M_f\ \and\ |g|\le M_g }[/math] ולכן [math]\displaystyle{ v(h,P)\le M_g\cdot\overset b\underset aV f+M_f\cdot\overset b\underset aV g\lt \infty }[/math]. [math]\displaystyle{ \blacksquare }[/math]
מתקיים [math]\displaystyle{ \forall x\in[a,b]:\ \frac1{f(x)}\le\frac1\varepsilon }[/math] ולכן
[math]\displaystyle{ \begin{align}v(1/f,P)&=\sum_{k=1}^n\left|\frac1{f(x_k)}-\frac1{f(x_{k-1})}\right|\\&=\sum_{k=1}^n\left|\frac{f(x_{k-1})-f(x_k)}{f(x_k)f(x_{k-1})}\right|\\&\le\frac1{\varepsilon^2}\sum_{k=1}^n|f(x_k)-f(x_{k-1})|\\&\le\frac1{\varepsilon^2}\overset b\underset aV f\\&\lt \infty\end{align} }[/math]
[math]\displaystyle{ \blacksquare }[/math]

דוגמה 3

הוכח או הפרך: אם f בעלת השתנות חסומה בכל קטע סגור המוכל בקטע הפתוח [math]\displaystyle{ (a,b) }[/math] אזי f בעלת השתנות חסומה בקטע הסגור [math]\displaystyle{ [a,b] }[/math].

פתרון

ניתן דוגמה נגדית: נגדיר [math]\displaystyle{ f(x)=\begin{cases}\frac1{1-x}&x\ne1\\0&\text{else}\end{cases} }[/math]. ניתן לראות כי f עולה ממש בקטע הפתוח [math]\displaystyle{ (0,1) }[/math] ולכן בכל תת קטע סגור המוכל בקטע [math]\displaystyle{ (0,1) }[/math]. לפיכך f בעלת השתנות חסומה בכל תת קטע סגור של [math]\displaystyle{ (0,1) }[/math], אבל היא אינה חסומה כאשר [math]\displaystyle{ x\to1^- }[/math] ולכן אינה בעלת השתנות חסומה ב-[math]\displaystyle{ [0,1] }[/math]. [math]\displaystyle{ \blacksquare }[/math]