סדרת פונקציות

הגדרה

נביט בסדרת פונקציות ממשיות [math]\displaystyle{ \Big\{f_n(x)\Big\}_{n=1}^\infty }[/math] . עבור כל מספר ממשי קבוע [math]\displaystyle{ x_0 }[/math] מתקבלת הסדרה הממשית [math]\displaystyle{ f_n(x_0) }[/math] .

נגדיר את פונקציית הגבול [math]\displaystyle{ f(x) }[/math] של סדרת הפונקציות [math]\displaystyle{ f_n(x) }[/math] באופן הבא:

• אם [math]\displaystyle{ f_n(x_0) }[/math] מתכנסת במובן הצר אזי [math]\displaystyle{ f(x_0):=\lim\limits_{n\to\infty}f_n(x_0) }[/math]
• אחרת, [math]\displaystyle{ x_0 }[/math] אינו בתחום ההגדרה של פונקצית הגבול.

מסמנים [math]\displaystyle{ f_n(x)\to f(x) }[/math] ואומרים כי סדרת הפונקציה מתכנסת נקודתית לפונקצית הגבול.

דוגמאות

1.

[math]\displaystyle{ f_n(x)=x^n }[/math]

[math]\displaystyle{ f(x)=\begin{cases}0&|x|\lt 1\\1&x=1\\\not\exists&(x\le -1)\or(x\gt 1)\end{cases} }[/math]

2.

[math]\displaystyle{ f_n(x)=\frac{\sin(nx)}{n} }[/math]

[math]\displaystyle{ f(x)\equiv0 }[/math]