ערכים עצמיים ווקטורים עצמיים

חזרה לסיכום הקורס: לינארית 2 (סמסטר א תשעג)

הערה: בסיכום זה, גם אם לא יצויין בכל מקום, [math]\displaystyle{ V }[/math] הוא מרחב וקטורי מעל השדה [math]\displaystyle{ \mathbb{F} }[/math], וכן [math]\displaystyle{ dim V=n }[/math]. בנוסף, [math]\displaystyle{ A\in M_n (\mathbb{F}) }[/math].

הגדרה:

העתקה לינארית [math]\displaystyle{ T:V\rightarrow V }[/math] (ממרחב לעצמו) תיקרא אופרטור לינארי.

הגדרה:

תהי [math]\displaystyle{ A\in M_n (\mathbb{F}) }[/math]. אומרים ש-[math]\displaystyle{ \lambda\in\mathbb{F} }[/math] הוא ערך עצמי (ע"ע) של [math]\displaystyle{ A }[/math] אם קיים וקטור [math]\displaystyle{ 0\neq v\in\mathbb{F}^n }[/math] שעבורו [math]\displaystyle{ Av=\lambda v }[/math]. הוקטור [math]\displaystyle{ v }[/math] נקרא וקטור עצמי (ו"ע) של [math]\displaystyle{ A }[/math] הקשור ל-[math]\displaystyle{ \lambda }[/math].

הגדרה:

אוסף כל הע"ע של [math]\displaystyle{ A }[/math] נקרא הספקטרום של [math]\displaystyle{ A }[/math], ומסומן [math]\displaystyle{ spec(A) }[/math].

הערה: יכול להיות המצב [math]\displaystyle{ spec(A)=\varnothing }[/math].

משפט:

[math]\displaystyle{ \lambda=0 }[/math] הוא ע"ע של [math]\displaystyle{ A }[/math] אם ורק אם [math]\displaystyle{ A }[/math] אינה הפיכה.

הערה: [math]\displaystyle{ A }[/math] אינה הפיכה אם ורק אם [math]\displaystyle{ det(A)=0 }[/math].

משפט:

[math]\displaystyle{ \lambda\in\mathbb{F} }[/math] הוא ע"ע של מטריצה [math]\displaystyle{ A\in M_n (\mathbb{F}) }[/math] אם ורק אם [math]\displaystyle{ det(\lambda I-A)=0 }[/math].

דוגמה למציאת ע"ע:

[math]\displaystyle{ A=I_n }[/math].

שיטה ראשונה: [math]\displaystyle{ I_n v=\lambda v }[/math] [math]\displaystyle{ \Leftarrow }[/math] [math]\displaystyle{ v=\lambda v }[/math] [math]\displaystyle{ \Leftarrow }[/math] [math]\displaystyle{ \lambda=1 }[/math] [math]\displaystyle{ \Leftarrow }[/math] [math]\displaystyle{ spec(A)=\left \{1 \right \} }[/math].

שיטה שנייה: לפי המשפט. [math]\displaystyle{ \lambda I_n-I_n=\begin{pmatrix} \lambda-1 & &0 \\ & \ddots & \\ 0 & & \lambda-1 \end{pmatrix} }[/math], כלומר [math]\displaystyle{ det(\lambda I_n-I_n)=(\lambda-1)^n }[/math], ומכאן [math]\displaystyle{ (\lambda-1)^n=0 }[/math] [math]\displaystyle{ \Leftrightarrow }[/math] [math]\displaystyle{ \lambda=1 }[/math].

הגדרה:

יהי [math]\displaystyle{ T:V\rightarrow V }[/math] אופרטור לינארי. אומרים ש-[math]\displaystyle{ \lambda\in\mathbb{F} }[/math] הוא ע"ע של [math]\displaystyle{ T }[/math] אם קיים וקטור [math]\displaystyle{ 0\neq v\in\mathbb{F}^n }[/math] שעבורו [math]\displaystyle{ Tv=T(v)=\lambda v }[/math]. הוקטור [math]\displaystyle{ v }[/math] נקרא ו"ע של [math]\displaystyle{ T }[/math] הקשור ל-[math]\displaystyle{ \lambda }[/math].

משפט:

יהי [math]\displaystyle{ T:V\rightarrow V }[/math] אופרטור לינארי, יהי [math]\displaystyle{ B }[/math] בסיס של [math]\displaystyle{ V }[/math] ותהי [math]\displaystyle{ A=[T]_B }[/math] המטריצה המייצגת של [math]\displaystyle{ T }[/math] יחסית לבסיס [math]\displaystyle{ B }[/math]. אזי אם [math]\displaystyle{ \lambda\in\mathbb{F} }[/math] הוא ע"ע של [math]\displaystyle{ T }[/math], אז [math]\displaystyle{ \lambda }[/math] הוא גם ע"ע של [math]\displaystyle{ A }[/math].

אלגוריתם לחיפוש ע"ע של אופרטור לינארי [math]\displaystyle{ T:V\rightarrow V }[/math]:

1. נבחר בסיס [math]\displaystyle{ B }[/math] של [math]\displaystyle{ V }[/math].

2. נחשב את המטריצה המייצגת [math]\displaystyle{ A }[/math].

3. נרכיב את המשוואה [math]\displaystyle{ det(\lambda I-A)=0 }[/math]. זוהי משוואה ממעלה [math]\displaystyle{ n }[/math] עם משתנה יחיד [math]\displaystyle{ \lambda }[/math].

4. נחפש פתרונות [math]\displaystyle{ \lambda_1,...,\lambda_s }[/math], שהם הע"ע של [math]\displaystyle{ T }[/math].