פונקציה רציפה במידה שווה

בקצרה: פונקציה [math]\displaystyle{ f }[/math] היא רציפה במידה שווה בקטע [math]\displaystyle{ I }[/math] אם לכל [math]\displaystyle{ \varepsilon>0 }[/math] קיים [math]\displaystyle{ \delta>0 }[/math] כך שלכל [math]\displaystyle{ x,y\in I }[/math] המקיימים [math]\displaystyle{ |x-y|<\delta }[/math] מתקיים [math]\displaystyle{ |f(x)-f(y)|<\varepsilon }[/math]. בשונה מרציפות רגילה, כאן [math]\displaystyle{ \delta }[/math] אינו תלוי בנקודה.

רציפות במידה שווה היא חיזוק של מושג הרציפות הרגילה, המבטיח שקצב השינוי של הפונקציה חסום באופן אחיד על פני כל הקטע ולא רק בכל נקודה בנפרד. המושג נלמד בקורסי אינפי 2 / חדו"א 2, ומשמש להוכחת אינטגרביליות של פונקציות רציפות בקטע סגור.

פונקציה ממשית היא רציפה במידה שווה בקטע [math]\displaystyle{ I }[/math] אם לכל [math]\displaystyle{ \varepsilon>0 }[/math] קיים [math]\displaystyle{ \delta>0 }[/math] כך שלכל [math]\displaystyle{ x,y\in I }[/math] אם [math]\displaystyle{ |x-y|<\delta }[/math] אז [math]\displaystyle{ \Big|f(x)-f(y)\Big|<\varepsilon }[/math] . תכונה זו גוררת רציפות של הפונקציה בכל נקודה, ובדרך-כלל היא חזקה יותר.

משפט

פונקציה בעלת נגזרת חסומה בקטע, רציפה במ"ש באותו קטע

הוכחה

תהי [math]\displaystyle{ f }[/math] בעלת נגזרת חסומה בקטע [math]\displaystyle{ A }[/math] . נניח בשלילה שהיא אינה רציפה במ"ש לכן קיימות שתי סדרות [math]\displaystyle{ x_n,y_n }[/math] בקטע המקיימות

[math]\displaystyle{ |x_n-y_n|\to 0 }[/math]

[math]\displaystyle{ \Big|f(x_n)-f(y_n)\Big|\not\to 0 }[/math]

לכן קיימת תת-סדרה כך ש-

[math]\displaystyle{ \Big|f(x_{n_k)}-f(y_{n_k})\Big|\to a\ne 0 }[/math]

(זוהי תת-הסדרה המתכנסת לגבול העליון. אם הגבול העליון היה שווה 0 סדרת הערכים המוחלטים הייתה מתכנסת).

נובע מכאן כי הסדרה

[math]\displaystyle{ \frac{f(x_{n_k})-f(y_{n_k})}{x_{n_k}-y_{n_k}} }[/math]

אינה חסומה.

אבל לפי משפט לגראנז', קיימות נקודות [math]\displaystyle{ c_{n_k} }[/math] בין [math]\displaystyle{ x_{n_k},y_{n_k} }[/math] כך ש-

[math]\displaystyle{ f'(c_{n_k})=\frac{f(x_{n_k})-f(y_{n_k})}{x_{n_k}-y_{n_k}} }[/math]

ולכן הנגזרת אינה חסומה, בסתירה.