פונקצית האקספוננט
בערך זה נגדיר את פונקצית האקספוננט ונוכיח תכונות חשובות שלה.
אמנם יש דרכים אחרות להגדיר את e וחזקות של מספרים, אנחנו נציג גרסא מבוססת על כלים מתקדמים (טורי חזקות) המתאימה גם לשדה המספרים המרוכבים.
הגדרת פונקצית האקספוננט
לכל
(קל לוודא כי טור החזקות הנ"ל מתכנס בכל שדה המרוכבים.)
נגדיר את המספר e להיות
נשים לב כי
כן כן,
הקוראים עשויים להזדעק ולומר שהסימון
כלומר נגדיר לכל
כאשר
שימו לב שחזקה טבעית של מספר מוגדרת באופן הרגיל כמכפלת המספר בעצמו מספר פעמים, אנחנו משתמשים בזה בטור ה"חזקות".
כפל אקספוננטים
אחת התכונות הבסיסיות והחשובות ביותר של האקספוננט היא שלכל
כיוון שעדיין לא הגדרנו חזקות, בוודאי לא ניתן להשתמש בחוקי חזקות על מנת להוכיח תכונה זו.
עלינו להוכיח אותה ישירות על ידי ההגדרה של האקספוננט כטור חזקות.
הוכחה
ראשית נשים לב כי בנוסחא שאנחנו מוכיחים יש מכפלה של טורים
כיצד ניתן להכפיל שני טורים?
באופן אינטואיטיבי, בהתאם לחוק הפילוג, אנחנו מצפים שהמכפלה תהיה סכום כל הדרכים לכפול איבר מהטור השמאלי, באיבר מהטור הימני.
אך באיזה סדר נסכום את מכפלות הזוגות?
אנחנו היינו רוצים לומר למשל כי
סידרנו כאן את הזוגות לפי סכום האינדקסים שלהם; קודם כל המכפלה בה סכום האינדקסים הוא אפס, לאחר מכן שתי המכפלות בהן סכום האינדקסים הוא אחד, ואז שלוש המכפלות בהן סכום האינדקסים הוא שתיים וכן הלאה.
בכתיב מדוייק אנחנו רוצים לטעון כי
מסתבר שאם שני הטורים
לכן, כיוון שטור האקספוננט מתכנס בהחלט בכל המרוכבים, לכל
כעת הביטוי מזכיר לנו את מקדמי הבינום
נשתמש בשיטת WIN - Wouldn't it be nice ונכפול ונחלק ב
אבל זו בדיוק נוסחאת הבינום של ניוטון!
ולכן נקבל כי
בדיוק כפי שרצינו.
קשר לפעולת החזקה
מהתכונה היסודית של כפל האקספוננטים ניתן להסיק לא מעט מתכונות החזקה המוכרות.
הופכי
לכל מספר
לכן ההופכי של
או בשפת העם:
(אגב שימו לב שנובע כי
חיוביות
לכל
כיוון ש
וכמובן ש
בסה"כ, לכל
חזקות טבעיות
לכל
כלומר פונקצית האקספוננט בn באמת שווה לe בחזקה הטבעית n.
חזקות רציונאליות
בעזרת חקירת פונקציות (מונוטונית וערך הביניים) ניתן להוכיח שלכל מספר ממשי חיובי
כעת, אני מעוניין להוכיח כי
אכן, אם נעלה מספר זה בחזקה הטבעית n נקבל כי
כיוון שיש פתרון יחיד למשוואה
באופן דומה ניתן להוכיח כי לכל
הנגזרת
כיוון שפונקצית האקספוננט מוגדרת ע"י טור חזקות שמתכנס בכל המרוכבים, מותר לבצע גזירה איבר איבר
כלומר הנגזרת של פונקצית האקספוננט היא פונקצית האקספוננט עצמה! (אני בשוק.)
כיוון שראינו שפונקצית האקספוננט חיובית בערכים ממשיים, נובע שהיא מונוטונית עולה (ולכן חח"ע) בממשיים.
כיוון שהיא רציפה בממשיים (טור חזקות) והגבולות שלה באינסוף ומינוס אינסוף הם אינסוף ואפס בהתאמה (קל לחשב) ניתן לומר כי האקספוננט הפיכה מקבוצת הממשיים אל קבוצת הממשיים החיוביים.
נגדיר את פונקצית הלוגריתם
זהות אוילר
בסרטון הבא ניתן לראות הוכחה לזהות אוילר