פתרון

תרגיל 1

יהיו [math]\displaystyle{ A }[/math] ו-[math]\displaystyle{ B }[/math] קבוצות סופיות בעלות עוצמה זהה. הוכיחו שכל פונקציה מ-[math]\displaystyle{ A }[/math] ל-[math]\displaystyle{ B }[/math] הינה על אם"ם היא חח"ע.

פתרון:

נסמן [math]\displaystyle{ f:A\to B, A=\{a_1,\dots, a_n\},B=\{b_1,\dots, b_n\} }[/math] . כאשר כל האיברים ב-[math]\displaystyle{ A }[/math] שונים זה מזה וכנ"ל ב-[math]\displaystyle{ B }[/math].

נניח [math]\displaystyle{ f }[/math] חח"ע אזי [math]\displaystyle{ |\{f(a_1),\dots, f(a_n)\}|=n }[/math] כיוון ש-[math]\displaystyle{ \{f(a_1),\dots, f(a_n)\}\subseteq B }[/math] ובשניהם יש אותו מספר איברים, מתקיים שיוון ולכן [math]\displaystyle{ f }[/math] על.

נניח [math]\displaystyle{ f }[/math] על. נניח בשלילה ש-[math]\displaystyle{ f }[/math] אינה חח"ע אזי [math]\displaystyle{ |\{f(a_1),\dots, f(a_n)\}|\lt n }[/math] (כי יש שני איברים שנשלחים לאותו מקום) ואז [math]\displaystyle{ f }[/math] אינה על, שזו סתירה.

הערה: הדבר אינו נכון אם [math]\displaystyle{ A }[/math] ו-[math]\displaystyle{ B }[/math] קבוצות אינסופיות. נסו למצוא דוגמה.

תרגיל 2

תהא [math]\displaystyle{ A }[/math] קבוצה. נגדיר פונקציה [math]\displaystyle{ f:P(A)\rightarrow P(P(A)) }[/math] ע"י: [math]\displaystyle{ f(X)=\{ B\subseteq A|X\subseteq B\} }[/math] האם היא חח"ע? על?

פתרון:

חח"ע: כן. תהיינה [math]\displaystyle{ X,Y\in P(A), X\neq Y }[/math] אם [math]\displaystyle{ X\subsetneq Y\lor (X\nsubseteq Y\land Y\nsubseteq X) }[/math] אזי [math]\displaystyle{ X\in f(X)\setminus f(Y) }[/math]. אחרת [math]\displaystyle{ Y\in f(Y)\setminus f(X) }[/math]. כלומר [math]\displaystyle{ f(X)\neq f(Y) }[/math].

על: לא. נבחר [math]\displaystyle{ A=\{1,\dots,7\} }[/math]. למשל לקבוצה [math]\displaystyle{ \{ \{ 1,2\}, \{ 3,4\} \}\in P(P(A)) }[/math] אין מקור. אין תת קבוצה שהאוסף הזה הוא בדיוק אוסף הקבוצות המכילות אותה.

תרגיל 3

יהיו [math]\displaystyle{ f_1,\dots f_k:A\to A }[/math] שכולן הפיכות\חח"ע\על. הוכיחו שההרכבה [math]\displaystyle{ f_k \circ \dots \circ f_1 }[/math] הפיכה\חח"ע\על.

פתרון:

למעשה אפשר לעשות אינדוקציה על המשפט מן ההרצאה. עבור שתי פונקציות זה בהרצאה. נניח נכונות ל[math]\displaystyle{ k-1 }[/math] ונוכיח ל[math]\displaystyle{ k }[/math].

חח"ע: נניח [math]\displaystyle{ (f_k \circ \dots \circ f_1)(x_1) =(f_k \circ \dots \circ f_1)(x_2) }[/math] אזי מחח"ע של [math]\displaystyle{ f_k }[/math] נקבל כי [math]\displaystyle{ (f_{k-1} \circ \dots \circ f_1)(x_1) =(f_{k-1} \circ \dots \circ f_1)(x_2) }[/math] מהנחת האינדוקציה עבור [math]\displaystyle{ k-1 }[/math] פונקציות נקבל שההרכבה חח"ע ולכן [math]\displaystyle{ x_1=x_2 }[/math].

על: יהא [math]\displaystyle{ y\in A }[/math] כיוון ש-[math]\displaystyle{ f_k }[/math] על, קיים [math]\displaystyle{ a\in A }[/math] כך ש-[math]\displaystyle{ f_k(a) = y }[/math]. בנוסף, מהנחת האינדוקציה קיים [math]\displaystyle{ b\in A }[/math] כך ש [math]\displaystyle{ f_{k-1}\circ \dots \circ f_1(b)=a }[/math] ולכן נקבל [math]\displaystyle{ f_k\circ \dots \circ f_1(b) = f_k\circ (f_{k-1}\circ \dots \circ f_1)(b)=f_k(a)=y }[/math]. מש"ל.

הפיכות: נובע מחח"ע יחד עם על.